浙江省杭州五校2022年高三下學期第六次檢測數(shù)學試卷含解析

2021-2022高考數(shù)學模擬試卷考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知集合，集合，則等于（）A． B．C． D．2．已知雙曲線：的左、右兩個焦點分別為，，若存在點滿足，則該雙曲線的離心率為（）A．2 B． C． D．53．如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AD＝DC＝2AB，E為AD的中點，若，則λ＋μ的值為（）A． B． C． D．4．某四棱錐的三視圖如圖所示，記為此棱錐所有棱的長度的集合，則（）.A．，且 B．，且C．，且 D．，且5．若樣本的平均數(shù)是10，方差為2，則對于樣本，下列結(jié)論正確的是（）A．平均數(shù)為20，方差為4 B．平均數(shù)為11，方差為4C．平均數(shù)為21，方差為8 D．平均數(shù)為20，方差為86．給出以下四個命題：①依次首尾相接的四條線段必共面；②過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面；③空間中如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角必相等；④垂直于同一直線的兩條直線必平行.其中正確命題的個數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．37．將函數(shù)圖象上每一點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，再將圖像向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)圖象的一個對稱中心為（）A． B． C． D．8．已知實數(shù)x，y滿足，則的最小值等于（）A． B． C． D．9．設(shè)且，則下列不等式成立的是（）A． B． C． D．10．已知函數(shù)（），若函數(shù)在上有唯一零點，則的值為（）A．1 B．或0 C．1或0 D．2或011．若復數(shù)是純虛數(shù)，則()A．3 B．5 C． D．12．復數(shù)的（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)，若方程的解為，（），則_______；_______．14．已知函數(shù)是偶函數(shù)，直線與函數(shù)的圖象自左向右依次交于四個不同點A，B，C，D．若AB＝BC，則實數(shù)t的值為_________．15．已知為雙曲線：的左焦點，直線經(jīng)過點，若點，關(guān)于直線對稱，則雙曲線的離心率為__________．16．設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項和，若an0，a1=1，且2Sn=an（an+t），n∈N*，則S10=_____.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在斜三棱柱中，已知為正三角形，D，E分別是，的中點，平面平面，.（1）求證：平面；（2）求證：平面.18．（12分）在，角、、所對的邊分別為、、，已知.（1）求的值；（2）若，邊上的中線，求的面積.19．（12分）《山東省高考改革試點方案》規(guī)定：從2017年秋季高中入學的新生開始，不分文理科；2020年開始，高考總成績由語數(shù)外3門統(tǒng)考科目和物理、化學等六門選考科目構(gòu)成．將每門選考科目的考生原始成績從高到低劃分為、、、、、、、共8個等級．參照正態(tài)分布原則，確定各等級人數(shù)所占比例分別為、、、、、、、．選考科目成績計入考生總成績時，將至等級內(nèi)的考生原始成績，依照等比例轉(zhuǎn)換法則，分別轉(zhuǎn)換到、、、、、、、八個分數(shù)區(qū)間，得到考生的等級成績．某校高一年級共2000人，為給高一學生合理選科提供依據(jù)，對六個選考科目進行測試，其中物理考試原始成績基本服從正態(tài)分布．（1）求物理原始成績在區(qū)間的人數(shù)；（2）按高考改革方案，若從全省考生中隨機抽取3人，記表示這3人中等級成績在區(qū)間的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望．（附：若隨機變量，則，，）20．（12分）如圖1，與是處在同-個平面內(nèi)的兩個全等的直角三角形，，，連接是邊上一點，過作，交于點，沿將向上翻折，得到如圖2所示的六面體（1）求證：（2）設(shè)若平面底面，若平面與平面所成角的余弦值為，求的值；（3）若平面底面，求六面體的體積的最大值.21．（12分）如圖，是正方形，點在以為直徑的半圓弧上（不與，重合），為線段的中點，現(xiàn)將正方形沿折起，使得平面平面.（1）證明：平面.（2）三棱錐的體積最大時，求二面角的余弦值.22．（10分）已知矩陣的一個特征值為3，求另一個特征值及其對應(yīng)的一個特征向量.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．B【解析】

求出中不等式的解集確定出集合，之后求得.【詳解】由，所以，故選：B.【點睛】該題考查的是有關(guān)集合的運算的問題，涉及到的知識點有一元二次不等式的解法，集合的運算，屬于基礎(chǔ)題目.2．B【解析】

利用雙曲線的定義和條件中的比例關(guān)系可求.【詳解】.選B.【點睛】本題主要考查雙曲線的定義及離心率，離心率求解時，一般是把已知條件，轉(zhuǎn)化為a,b,c的關(guān)系式.3．B【解析】

建立平面直角坐標系，用坐標表示，利用，列出方程組求解即可.【詳解】建立如圖所示的平面直角坐標系，則D(0，0).不妨設(shè)AB＝1，則CD＝AD＝2，所以C(2，0)，A(0，2)，B(1，2)，E(0，1)，∴(－2，2)＝λ(－2，1)＋μ(1，2)，解得則.故選：B【點睛】本題主要考查了由平面向量線性運算的結(jié)果求參數(shù)，屬于中檔題.4．D【解析】

首先把三視圖轉(zhuǎn)換為幾何體，根據(jù)三視圖的長度，進一步求出個各棱長.【詳解】根據(jù)幾何體的三視圖轉(zhuǎn)換為幾何體為：該幾何體為四棱錐體，如圖所示：所以：，，.故選：D..【點睛】本題考查三視圖和幾何體之間的轉(zhuǎn)換，主要考查運算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題.5．D【解析】

由兩組數(shù)據(jù)間的關(guān)系,可判斷二者平均數(shù)的關(guān)系,方差的關(guān)系,進而可得到答案.【詳解】樣本的平均數(shù)是10，方差為2，所以樣本的平均數(shù)為,方差為.故選:D.【點睛】樣本的平均數(shù)是，方差為，則的平均數(shù)為,方差為.6．B【解析】

用空間四邊形對①進行判斷；根據(jù)公理2對②進行判斷；根據(jù)空間角的定義對③進行判斷；根據(jù)空間直線位置關(guān)系對④進行判斷.【詳解】①中，空間四邊形的四條線段不共面，故①錯誤.②中，由公理2知道，過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面，故②正確.③中，由空間角的定義知道，空間中如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等或互補，故③錯誤.④中，空間中，垂直于同一直線的兩條直線可相交，可平行，可異面，故④錯誤.故選：B【點睛】本小題考查空間點，線，面的位置關(guān)系及其相關(guān)公理，定理及其推論的理解和認識；考查空間想象能力，推理論證能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想.7．D【解析】

根據(jù)函數(shù)圖象的變換規(guī)律可得到解析式，然后將四個選項代入逐一判斷即可.【詳解】解：圖象上每一點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍,得到再將圖像向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，故選：D【點睛】考查三角函數(shù)圖象的變換規(guī)律以及其有關(guān)性質(zhì)，基礎(chǔ)題.8．D【解析】

設(shè)，，去絕對值，根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)即可求出．【詳解】因為實數(shù)，滿足，設(shè)，，，恒成立，，故則的最小值等于.故選：．【點睛】本題考查了橢圓的參數(shù)方程、三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查了運算能力和轉(zhuǎn)化能力，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平．9．A【解析】項，由得到，則，故項正確；項，當時，該不等式不成立，故項錯誤；項，當，時，，即不等式不成立，故項錯誤；項，當，時，，即不等式不成立，故項錯誤．綜上所述，故選．10．C【解析】

求出函數(shù)的導函數(shù)，當時，只需，即，令，利用導數(shù)求其單調(diào)區(qū)間，即可求出參數(shù)的值，當時，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及零點存在性定理可判斷；【詳解】解：∵（），∴，∴當時，由得，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以是極小值，∴只需，即.令，則，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增.∵，∴；當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，∵，，函數(shù)在上有且只有一個零點，∴的值是1或0.故選：C【點睛】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的零點問題，零點存在性定理的應(yīng)用，屬于中檔題.11．C【解析】

先由已知，求出，進一步可得，再利用復數(shù)模的運算即可【詳解】由z是純虛數(shù)，得且，所以，.因此，.故選：C.【點睛】本題考查復數(shù)的除法、復數(shù)模的運算，考查學生的運算能力，是一道基礎(chǔ)題.12．C【解析】所對應(yīng)的點為（-1，-2）位于第三象限.【考點定位】本題只考查了復平面的概念，屬于簡單題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

求出在上的對稱軸，依據(jù)對稱性可得的值;由可得，依據(jù)可求出的值.【詳解】解：令，解得因為，所以關(guān)于對稱.則.由，則由可知，，又因為，所以，則，即故答案為:;.【點睛】本題考查了三角函數(shù)的對稱軸，考查了誘導公式，考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系.本題的易錯點在于沒有正確判斷的取值范圍，導致求出.在求的對稱軸時，常用整體代入法，即令進行求解.14．【解析】

由是偶函數(shù)可得時恒有，根據(jù)該恒等式即可求得，，的值，從而得到，令，可解得，，三點的橫坐標，根據(jù)可列關(guān)于的方程，解出即可．【詳解】解：因為是偶函數(shù)，所以時恒有，即，所以，所以，解得，，；所以；由，即，解得；故，．由，即，解得．故，．因為，所以，即，解得，故答案為：．【點睛】本題考查函數(shù)奇偶性的性質(zhì)及二次函數(shù)的圖象、性質(zhì)，考查學生的計算能力，屬中檔題．15．【解析】

由點，關(guān)于直線對稱，得到直線的斜率，再根據(jù)直線過點，可求出直線方程，又，中點在直線上，代入直線的方程，化簡整理，即可求出結(jié)果.【詳解】因為為雙曲線：的左焦點，所以，又點，關(guān)于直線對稱，，所以可得直線的方程為，又，中點在直線上，所以，整理得，又，所以，故，解得，因為，所以.故答案為【點睛】本題主要考查雙曲線的簡單性質(zhì)，先由兩點對稱，求出直線斜率，再由焦點坐標求出直線方程，根據(jù)中點在直線上，即可求出結(jié)果，屬于?？碱}型.16．55【解析】

由求出.由，可得，兩式相減，可得數(shù)列是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，即求.【詳解】由題意，當n=1時，，當時，由，可得，兩式相減，可得，整理得，，即，∴數(shù)列是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，.故答案為：55.【點睛】本題考查求數(shù)列的前項和，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）見解析；（2）見解析【解析】

（1）根據(jù)，分別是，的中點，即可證明，從而可證平面；（2）先根據(jù)為正三角形，且D是的中點，證出，再根據(jù)平面平面，得到平面，從而得到，結(jié)合，即可得證．【詳解】（1）∵，分別是，的中點∴∵平面，平面∴平面.（2）∵為正三角形，且D是的中點∴∵平面平面，且平面平面，平面∴平面∵平面∴∵且∴∵，平面，且∴平面.【點睛】本題考查直線與平面平行的判定，面面垂直的性質(zhì)等，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)，中檔題．18．(1)(2)答案不唯一，見解析【解析】

（1）由題意根據(jù)和差角的三角函數(shù)公式可得，再根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系可得的值；（2）在中，由余弦定理可得，解方程分別由三角形面積公式可得答案．【詳解】解：（1）在中，因為，又已知，所以，因為，所以，于是.所以.（2）在中，由余弦定理得，得解得或，當時，的面積，當時，的面積.【點睛】本題考查正余弦定理理解三角形，涉及三角形的面積公式和分類討論思想，屬于中檔題．19．（Ⅰ）1636人；（Ⅱ）見解析．【解析】

（Ⅰ）根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性，可將區(qū)間分為和兩種情況，然后根據(jù)特殊區(qū)間上的概率求出成績在區(qū)間內(nèi)的概率，進而可求出相應(yīng)的人數(shù)；（Ⅱ）由題意得成績在區(qū)間[61,80]的概率為，且，由此可得的分布列和數(shù)學期望．【詳解】（Ⅰ）因為物理原始成績，所以．所以物理原始成績在（47，86）的人數(shù)為（人）．（Ⅱ）由題意得，隨機抽取1人，其成績在區(qū)間[61,80]內(nèi)的概率為．所以隨機抽取三人，則的所有可能取值為0,1,2,3，且，所以，，，．所以的分布列為0123所以數(shù)學期望．【點睛】（1）解答第一問的關(guān)鍵是利用正態(tài)分布的三個特殊區(qū)間表示所求概率的區(qū)間，再根據(jù)特殊區(qū)間上的概率求解，解題時注意結(jié)合正態(tài)曲線的對稱性．（2）解答第二問的關(guān)鍵是判斷出隨機變量服從二項分布，然后可得分布列及其數(shù)學期望．當被抽取的總體的容量較大時，抽樣可認為是等可能的，進而可得隨機變量服從二項分布．20．（1）證明見解析（2）（3）【解析】

根據(jù)折疊圖形，，由線面垂直的判定定理可得平面，再根據(jù)平面，得到.（2）根據(jù)，以為坐標原點，為軸建立空間直角坐標系，根據(jù)，可知，，表示相應(yīng)點的坐標，分別求得平面與平面的法向量，代入求解.設(shè)所求幾何體的體積為，設(shè)為高，則，表示梯形BEFD和ABD的面積由，再利用導數(shù)求最值.【詳解】（1）證明：不妨設(shè)與的交點為與的交點為由題知，，則有又，則有由折疊可知所以可證由平面平面，則有平面又因為平面，所以....（2）解：依題意，有平面平面，又平面，則有平面，，又由題意知，如圖所示：以為坐標原點，為軸建立如圖所示的空間直角坐標系由題意知由可知，則則有，，設(shè)平面與平面的法向量分別為則有則所以因為，解得設(shè)所求幾何體的體積為，設(shè)，則，當時，，當時，在是增函數(shù)，在上是減函數(shù)當時，有最大值，即六面體的體積的最大值是【點睛】本題主要考查線線垂直，線面垂直，面面垂直的轉(zhuǎn)化