工程力學(xué)教案 (詳細(xì)講稿)

理論力學(xué)教案1課題第1講——第一章緒論學(xué)時(shí)2學(xué)時(shí)教學(xué)要求2.理解工程力學(xué)的研究對象(桿件)的幾何特征，使學(xué)生對工程力學(xué)這門課程的任務(wù)、研究對象有一個(gè)全面的概念。3.了解工程的發(fā)展簡史和學(xué)習(xí)本課程的方法。主要內(nèi)容1、簡單介紹四種基本變形重點(diǎn)難點(diǎn)變形固體及其基本假設(shè)教學(xué)方法和手段以講授為主，使用電子教案課后作業(yè)練習(xí)預(yù)習(xí)：第二章本次講稿第一章緒論第一節(jié)工程力學(xué)的研究對象建筑物中承受荷載而起骨架作用的部分稱為結(jié)構(gòu)。結(jié)構(gòu)是由若干構(gòu)件按一定方式組合而成的。組成結(jié)構(gòu)的各單獨(dú)部分稱為構(gòu)件。例如：支承渡槽槽身的排架是由立柱和橫梁組成的剛架結(jié)構(gòu)，如圖1—1a所示；單層廠房結(jié)構(gòu)由屋頂、樓板和吊車梁、柱等構(gòu)件組成，如圖1—1b所示。結(jié)構(gòu)受荷載作用時(shí)，如不考慮建筑材料的變形，其幾何形狀和位置不會發(fā)生改變。大型屆面板大型屆面板柱杯形基福素混凝土禁層結(jié)構(gòu)按其幾何特征分為三種類型：(1)桿系結(jié)構(gòu)：由桿件組成的結(jié)構(gòu)。桿件的幾何特征是其長度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于橫截面的寬度和高度。(2)薄壁結(jié)構(gòu)：由薄板或薄殼組成。薄板或薄殼的幾何特征是其厚度遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于另兩個(gè)方向的尺寸。(3)實(shí)體結(jié)構(gòu)：由塊體構(gòu)成。其幾何特征是三個(gè)方向的尺寸基本為同一數(shù)量級。工程力學(xué)的研究對象主要是桿系結(jié)構(gòu)。第二節(jié)工程力學(xué)的研究內(nèi)容和任務(wù)工程力學(xué)的任務(wù)是研究結(jié)構(gòu)的幾何組成規(guī)律，以及在荷載的作用下結(jié)構(gòu)和構(gòu)件的強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定性問題。研究平面桿系結(jié)構(gòu)的計(jì)算原理和方法，為結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)合理的形式，其目的是保證結(jié)構(gòu)按設(shè)計(jì)要求正常工作，并充分發(fā)揮材料的性能，使設(shè)計(jì)的結(jié)構(gòu)既安全可靠又經(jīng)濟(jì)合理。進(jìn)行結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)時(shí)，要求在受力分析基礎(chǔ)上，進(jìn)行結(jié)構(gòu)的幾何組成分析，使各構(gòu)第三節(jié)剛體、變形固體及其基本假設(shè)(2)均勻性假設(shè)。認(rèn)為材料的力學(xué)性質(zhì)是均(3)向同性假設(shè)。認(rèn)為材料的力學(xué)性質(zhì)是各向同性第四節(jié)荷載的分類體為研究對象時(shí)，作用在結(jié)構(gòu)上的分布荷載可用其合力(集中荷載)代替；但以變理論力學(xué)教案2課題第2講——第二章剛體靜力學(xué)基礎(chǔ)學(xué)時(shí)4學(xué)時(shí)+2學(xué)時(shí)習(xí)題課教學(xué)要求1、掌握力學(xué)的基本概念和公理。2、熟悉各種常見約束的性質(zhì)，熟練地畫出受力圖。主要內(nèi)容2、靜力學(xué)基本公理。重點(diǎn)難點(diǎn)2、掌握物體的受力分析的方法3、正確地選取分離體，并畫出受力圖是求解靜力學(xué)的關(guān)鍵，教學(xué)方法和手段以講授為主，使用電子教案課后作業(yè)練習(xí)問題：P12:1,2,3,4,5,6習(xí)題：P12:1,2,3預(yù)習(xí)：第三章第二章剛體靜力學(xué)基礎(chǔ)第一節(jié)靜力學(xué)基本概念(1)力的大小是物體相互作用的強(qiáng)弱程度。在國際單位制中，力的單位用牛頓(N)或千牛頓(kN),1kN=103N。(2)力的方向包含力的方位和指向兩方面的涵義。如重力的方向是“豎直向圖2-1所示，線段AB長度按一定的比例尺表示力F的大小，線段的方位和箭頭的指向表示力的方向。線段的起點(diǎn)A或終點(diǎn)B表示力的作用點(diǎn)。線段AB的延長線(圖中虛線)表示力的作用線。圖2-1單的等效力系(或一個(gè)力)代替一個(gè)復(fù)雜力系的過程稱為力系的簡化。力系的簡化是第二節(jié)靜力學(xué)公理公理一二力平衡公理公理二加減平衡力系公理效應(yīng)。推論一力的可傳性原理圖2-2證明：設(shè)力F作用于剛體上的點(diǎn)A,如圖2-2所示。在力F作用線上任選一點(diǎn)B,在點(diǎn)B上加一對平衡力F,和F?,使由此可知，作用于剛體上的力是滑移矢量，因此作用于剛體上力的三要素為大小、方向和作用線。公理三力的平行四邊形法則F推論二三力平衡匯交定理剛體受同一平面內(nèi)互不平行的三個(gè)力作用而平衡時(shí)，則此三力的作用線必匯交于一點(diǎn)。A/FFFF公理四作用與反作用公理兩個(gè)物體間相互作用力，總是同時(shí)存在，它們的大小相等，指向相反，并沿同一物體間的作用力與反作用力總是同時(shí)出現(xiàn)，同時(shí)消失。可見，自然界中的力總是成對地存在，而且同時(shí)分別作用在相互作用的兩個(gè)物體上。這個(gè)公理概括了任何兩物應(yīng)該注意，作用力與反作用力雖然等值、反向、共線，但它們不能平衡，因?yàn)槎叻止砦鍎偦碜冃误w在已知力系作用下平衡時(shí)，若將此變形體視為剛體(剛化),則其平衡狀件，對于變形體的平衡來說，也必須滿足。但是，滿足了剛體的平衡條件，變形體不一定平衡。例如一段軟繩，在兩個(gè)大小相等，方向相反的拉力作用下處于平衡，若將軟繩變成剛桿，平衡保持不變。把過來，一段剛桿在兩個(gè)大小相等、方向相反的壓力作用下處于平衡，而繩索在此壓力下則不能平衡?？梢姡瑒傮w的平衡條件對于變第三節(jié)約束與約束反力工程上所遇到的物體通常分兩種：可以在空間作任意運(yùn)動的物體稱為自由體，如如懸掛的重物，因?yàn)槭艿嚼K索的限制，使其在某些方向不能運(yùn)動而成為非自由體，這既然約束阻礙物體沿某些方向運(yùn)動，那么當(dāng)物體沿著約束所阻礙的運(yùn)動方向運(yùn)動或有運(yùn)動趨勢時(shí)，約束對其必然有力的作用，簡稱反力。約束反力的方向總是與約束所能阻礙的物體的運(yùn)動或運(yùn)動趨勢的方向相反，它的作用點(diǎn)就在約束與被約束的物體的接觸點(diǎn)，大小可以水壓力等。通常主動力是已知的，約束反力是柔性約束方向沿柔索的中心線而背離物體，為拉力。如圖2—5和圖2—6所示。圖2-7和圖2—8所示。鉸連接或中間鉸，圖2-9a所示。圖2—9b為計(jì)算簡圖。鉸鏈約束只能限制物體在垂直于銷釘軸線的平面內(nèi)相對移動，但不能限制物體繞銷釘軸線相對轉(zhuǎn)動。如圖2-9c用在垂直于銷釘軸線平面內(nèi)，通過銷釘中心，方向不定。為計(jì)算方便，鉸鏈約束的約分力的指向可以假設(shè)。圖2—10將結(jié)構(gòu)物或構(gòu)件用銷釘與地面或機(jī)座連接就構(gòu)成了固定鉸支座，如圖2—10a所示。固定鉸支座的約束與鉸鏈約束完全相同。簡化記號和約束反力如圖2-10b和圖2—10c。圖2—11在固定鉸支座和支承面間裝有輥軸，就構(gòu)成了輥軸支座，又稱活動鉸支座，如圖2—11a所示。這種約束只能限制物體沿支承面法線方向運(yùn)動，而不能限制物體沿支承面移動和相對于銷釘軸線轉(zhuǎn)動。所以其約束反力垂直于支承面，過銷釘中心指向可假設(shè)。如圖2—11b和圖2—11c所示。六、鏈桿約束圖2—12著鏈桿，兩端中心連線方向，指向或?yàn)槔驗(yàn)閴毫?。如圖2-12b和圖2-12c所示。圖2—13將構(gòu)件的一端插入一固定物體(如墻)中，就構(gòu)成了固定端約束。在連接處具有第四節(jié)物體的受力分析與受力圖例2—1起吊架由桿件AB和CD組成，起吊重物的重量為Q。不計(jì)桿件自重，圖2—14解：取桿件AB為分離體，畫出其分離體圖。桿件AB上沒有荷載，只有約束反力。A端為固定鉸支座。約束反力用兩個(gè)垂直分例2—2水平梁AB用斜桿CD支撐，A、C、D三處均為光滑鉸鏈連接，如圖2-15所示。梁上放置一重為FG?的電動機(jī)。已知梁重為FG?,不計(jì)桿CD自重，試分別畫出桿CD和梁AB的受力圖。解：(1)取CD為研究對象。由于斜桿CD自重不計(jì)，只在桿的兩端分別受有鉸鏈的約束反力Fc和Fp的作用，由些判斷CD桿為二力桿。根據(jù)公理一，F(xiàn)c和Fp兩力大小相等、沿鉸鏈中心連線CD方向且指向相反。斜桿CD的受力圖如圖2-15b所示。例2-3簡支梁兩端分別為固定鉸支座和可動鉸支座，在C處作用一集中荷載例2-4三鉸拱橋由左右兩拱鉸接而成，如圖2—17a所示。設(shè)各拱自重不計(jì)，在拱AC上作用荷載F。試分別畫出拱AC和CB的受力圖。圖2—17拱AC的受力圖如圖2—17c所示。例2-5圖2-18a所示系統(tǒng)中，物體F重FG,其它和構(gòu)件不計(jì)自重。作(1)整體；(2)AB桿；(3)BE桿；(4)桿CD、輪C、繩及重物F所組成的系統(tǒng)的受力圖2-18桿件AB的受力圖如圖2-18b所示。對桿件AB來說，鉸B、D的反力是外力，桿件BE的受力圖如圖2-18c所示。BE上B點(diǎn)的反力Xp′和Yg′是AB上Xp分別是圖2-18b和圖2—18c上相應(yīng)力的相反。如X是圖2-18c上Xp的反作用力，力Xp的作用力必與之相反，不可再假設(shè)指向。(7)內(nèi)力不必畫出。思考題2-1說明下列式子的意義和區(qū)別。2-2力的可傳性原理的適用條件是什么?如圖2-19所示，能否根據(jù)力的可傳性原理，將作用于桿AC上的力F沿其作用線移至桿BC上而成力F′?圖2—19圖2—202-3作用于剛體上大小相等、方向相同的兩個(gè)力對剛體的作用是否等效?2-4物體受匯交于一點(diǎn)的三個(gè)力作用而處于平衡，此三力是否一定共面?為什么?2-5圖2-20中力F作用在銷釘C上，試問銷釘C對AC的力與銷釘C對BC的力是否等值、反向、共線?為什么?2-6圖2-21中各物體受力圖是否正確?若有錯誤試改正。理論力學(xué)教案3課題第3講——第三章平面匯交力系課時(shí)4學(xué)時(shí)教學(xué)要求3、理解力在直角坐標(biāo)系的投影，能熟練計(jì)算力在直角坐標(biāo)軸上的投影。主要內(nèi)容2、平面匯交力系合成與平衡的解析法重點(diǎn)難點(diǎn)平面匯交力系合成與平衡的解析法教學(xué)方法和手段以講授為主，使用電子教案課后作業(yè)練習(xí)問題：P21:1,2,3,4,5習(xí)題：P22:1,2,3,4,5,6,8預(yù)習(xí)：第四章\本次講稿第三章平面匯交力系§3-1平面匯交力系合成與平衡的幾何法合成三角形法則將各力依次合成，即從任意點(diǎn)a作矢量ab代表力矢F,在其末端b作矢量bc代表力矢F?,則虛線ac表示力矢F,和F?的合力矢FR?;再從點(diǎn)C作矢量cd代表力矢F?,則ad表示F和F?的合力FR?;最后從點(diǎn)d作de代表力矢F?,則ae代表力矢FR?與F?的合力矢，亦即力F,、F?、F?、F?的合力矢FR,其大小和方向如圖3—1b,其作用線通過匯交點(diǎn)A。圖3—1作圖3—1b時(shí)，虛線ac和ad不必畫出，只需把各力則第一個(gè)力矢F,的起點(diǎn)a向最后一個(gè)力矢F?的終點(diǎn)e作ae,即得合力矢Fp。各分力交力系合成的結(jié)果是一個(gè)合力，合力的作用線過力系的匯交點(diǎn)，合力等于原力系中所有各力的矢量和?？捎檬噶渴奖硎緸槔?—1同一平面的三根鋼索邊連結(jié)在一固定環(huán)上，如圖3—2所示，已知三鋼索的拉力分別為：F,=500N,F?=1000N,F?=2000N。試用幾何作圖法求三根鋼索在環(huán)上作用的合力。解先定力的比例尺如圖。作力多邊形先將各分力乘以比例尺得到各力的長度，二、平面匯交力系平衡的幾何條件在圖3—3a中，平面匯交力系合成為一合力，即與原力系等效。若在該力系中再加一個(gè)與等值、反向、共線的力，根據(jù)二力平衡公理知物體處于平衡狀態(tài)，即為平衡力系。對該力系作力的多邊形時(shí)，得出一個(gè)閉合的力的多邊形，即最后一個(gè)力矢的末端與第一個(gè)力矢的始端相重合，亦即該力系的合力為零。因此，平面匯交力系的平衡的必要與充分的幾何條件是：力的多邊形自行封閉，或各力矢的矢量和等于零。用矢量表示為例3-2圖3—4a所求一支架，A、B為鉸鏈支座，C為圓柱鉸鏈。斜撐桿BC與水平桿AC的夾角為30°。在支架的C處用繩子吊著重G=20kN的重物。不計(jì)桿件的自重，試求各桿所受的力。解桿AC和BC均為二力桿，其受力如圖3—4b所示。取銷釘C為研究對象，作用在它上面的力有：繩子的拉力F?(F?=G),AC桿和BC桿對銷釘C的作用力FcA點(diǎn)c,于是得力三角形abc,順著abc的方向標(biāo)出箭頭，使其首尾相連，則矢量ca和bc就分別表示力FcA和Fcp的大小和方向。用同樣的比例尺量得求解平面匯交力系問題的幾何法，具有直觀簡捷的優(yōu)點(diǎn)，但是作圖時(shí)的誤差難以避免。因此，工程中多用解析法來求解力系的合成和平衡問題。解析法是以力在坐標(biāo)軸上的投影為基礎(chǔ)的。一、在坐標(biāo)軸上的投影如圖3-5所示，設(shè)力F作用于剛體上的A點(diǎn)，在力作用的平面內(nèi)建立坐標(biāo)系oxy,由力F的起點(diǎn)和終點(diǎn)分別向x軸作垂線，得垂足a,和b,,則線段a,b,冠以相應(yīng)的正負(fù)號稱為力F在x軸上的投影，用X表示。即X=±a,b,;同理，力F在y軸上的投影用Y表示，即Y=±a?b?。力在坐標(biāo)軸上的投影是代數(shù)量，正負(fù)號規(guī)定：力的投影由始到末端與坐標(biāo)軸正向一致其投影取正號，反之取負(fù)號。投影與力的大小及方向有關(guān)，即式中α、β軸正向所夾的銳角。圖3—5反之，若已軸上的投影X、Y,則該力的大小及方向余弦為應(yīng)當(dāng)注意，力的量是兩個(gè)不同的概念。投影是代數(shù)量，而分力是矢量；投影無所謂作用點(diǎn)，而分力作用點(diǎn)必須作用在原力的作用點(diǎn)上。另外僅在直角坐標(biāo)系中在坐標(biāo)上的投影的絕對值和力沿該軸的分量的大小相等。二、合力投影定理由圖3—6可知即同理將上述關(guān)系式推廣到任意平面匯交力系的情形，得圖3—6即合力在任一軸上的投影，等于各分力在同一軸上投影的代數(shù)和，這就是合力投影定理。三、平面匯交力系合成的解析法用解析法求平面匯交力系的合成時(shí)，首先在其所在的平面內(nèi)選定坐標(biāo)系oxy。求出x.Y軸正向所夾的銳角。解建立如圖3—7所示直角坐標(biāo)系。根據(jù)合力投影定理，有軸的負(fù)向。由式(3—6)得合力的大小方向?yàn)樗?、平面匯交力系平衡的解析條件上式表明，平面匯交力系平衡的必要與充分條件是：力系中各力在力系所在平面內(nèi)兩個(gè)相交軸上投影的代數(shù)和同時(shí)為零。式(3—8)稱為平面匯交力系的平衡方程。式(2-8)是由兩個(gè)獨(dú)立的平衡方程組成的，故用平面匯交力系的平衡方程只能求解兩個(gè)未知量。和重物，放置在傾角為α的光滑斜面上(如圖3—8),試求保圖3—8受力圖如圖3-8b所示。取坐標(biāo)系oxy,列平衡方程解得F=GsinaFN=Gcosa例3—5重G=20kN的物體被絞車勻速吊起，絞車的繩子繞過光滑的定滑輪A (圖3—9a),滑輪由不計(jì)重量的桿AB、AC支撐，A、B、C三點(diǎn)均為光滑鉸鏈。試求AB、AC所受的力。圖3—9解桿AB和AC都是二力桿，其受力如圖3—9b所示。假設(shè)兩桿都受拉。取滑輪連同銷釘A為研究對象。重物G通過繩索直接加在滑輪的一邊。在其勻速上升時(shí)，拉力F?=G,而繩索又在滑輪的另一邊施加同樣大小的拉力，即F=F?。受力圖如圖3-9c所示，取坐標(biāo)系A(chǔ)xy。列平衡方程得解得FAB=41.6kN例3-6連桿機(jī)構(gòu)由三個(gè)無重桿鉸接組成(如圖3—10a),在鉸B處施加一已知圖3—10作用于鉸C上，鉸C受平面匯交力系的作用，所以應(yīng)該通過研究鉸C的平衡來求解。解得出，在求解平衡問題時(shí)，要恰當(dāng)?shù)剡x取脫離體，恰當(dāng)?shù)剡x取坐標(biāo)軸，以最簡捷、合理的途徑完成求解工作。盡量避免求解聯(lián)立方程，以提高計(jì)算的工作效率。這些都是求解平衡問題所必須注意的。思考題3—1如圖3-11所示的平面匯交力系的各力多邊形中，各代表什么意義?FF3-2如圖3-12所示，已知力F大小和其與x軸正向的夾角θ,試問能否求出此力在x軸上的投影?能否圖3-123-3同一個(gè)力在兩個(gè)互相平行的軸上的投影有何3-4平面匯交力系在任意兩根軸上的投影的代數(shù)和分別等于零，則力系必平衡，對嗎?為什么?軸是任意的(圖3-13),若作用在理論力學(xué)教案4課題第4講——第四章力矩與力偶學(xué)時(shí)6教學(xué)要求2、掌握合力距定理。3、掌握平面力偶系的合成和平衡條件。主要內(nèi)容1、力對點(diǎn)之距。3、平面力偶系的合成和平衡條件。重點(diǎn)難點(diǎn)1、合力矩定理。2、平面力偶系的合成和平衡條件。教學(xué)方法和手段以講授為主，使用電子教案課后作業(yè)練習(xí)問題：P31:1,2,3,4,5,6習(xí)題：P54:1,2,4,6,7預(yù)習(xí)：第五章第四章力矩與力偶第一節(jié)力對點(diǎn)之矩點(diǎn)轉(zhuǎn)動的力學(xué)效應(yīng)，稱為力對該點(diǎn)之矩。以扳手旋轉(zhuǎn)螺母為例，如圖4—1所示，設(shè)螺母能繞點(diǎn)0轉(zhuǎn)動。由經(jīng)驗(yàn)可知，螺母能否旋動，不僅取決于作用在扳手上的力F小F與力臂d的乘積冠以適當(dāng)?shù)恼?fù)號，以符號m(F)表示，記為圖4—1由圖4—1可見，力F對O點(diǎn)之矩的大小，也可以用三角形OAB的面積的兩倍(1)力對點(diǎn)之矩，不僅取決于力的大小，還與矩心的位置有關(guān)。力矩(2)力對任一點(diǎn)之矩，不因該力的作用點(diǎn)沿其作用線移動而改變，再次說明力定理：平面匯交力系的合力對其平面內(nèi)任一點(diǎn)的矩等于所有各分力對同一點(diǎn)之矩的代數(shù)和。圖4—2證明：設(shè)剛體上的A點(diǎn)作用著一平面匯交力系。力系的合力。在力系所在平面內(nèi)由圖4—2可以看出根據(jù)合力投影定理兩端乘以O(shè)A得將式(1)代入得即上式稱為合力矩定理。合力矩定理建立了合力對點(diǎn)之矩與分力對同一點(diǎn)之矩的關(guān)系。這個(gè)定理也適用于有合力的其它力系。例4—1試計(jì)算圖4—3中力對A點(diǎn)之矩。圖4—3解本題有兩種解法。(1)由力矩的定義計(jì)算力F對A點(diǎn)之矩。先求力臂d。由圖中幾何關(guān)系有：d=ADsinα=(AB-DB)sina=(AB-BCctg)sina=(a-bctgα)sinα(2)根據(jù)合力矩定理計(jì)算力F對A點(diǎn)之矩。將力F在C點(diǎn)分解為兩個(gè)正交的分力和，由合力矩定理可得本例兩種解法的計(jì)算結(jié)果是相同的，當(dāng)力臂不易確定時(shí)，用后一種方法較為簡便。在日常生活和工程實(shí)際中經(jīng)常見到物體受動兩個(gè)大小相等、方向相反，但不在同一直線上的兩個(gè)平行力作用的情況。例如，司機(jī)轉(zhuǎn)動駕駛汽車時(shí)兩手作用在方向盤上的力(圖4—4a);工人用絲錐攻螺紋時(shí)兩手加在扳手上的力(圖4-4b);以及用兩個(gè)手指擰動水龍頭(圖4-4c)所加的力等等。在力學(xué)中把這樣一對等值、反向而不共線的平行力稱為力偶，用符號(F,F′)表示。兩個(gè)力作用線之間的垂直距離稱為力偶臂，兩個(gè)力作用線所決定的平面稱為力偶的作用面。圖4—4實(shí)驗(yàn)表明，力偶對物體只能產(chǎn)生轉(zhuǎn)動效應(yīng)，且當(dāng)力愈大或力偶臂愈大時(shí)，力偶使剛體轉(zhuǎn)動效應(yīng)就愈顯著。因此，力偶對物體的轉(zhuǎn)動效應(yīng)取決于：力偶中力的大小、力偶的轉(zhuǎn)向以及力偶臂的大小。在平面問題中，將力偶中的一個(gè)力的大小和力偶臂的乘積冠以正負(fù)號，(作為力偶對物體轉(zhuǎn)動效應(yīng)的量度，稱為力偶矩，用m或m(F,F′)表示，如圖4—5所示，即圖4—5通常規(guī)定：力偶使物體逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動時(shí)，力偶矩為正，反之為負(fù)。二、力偶的性質(zhì)力和力偶是靜力學(xué)中兩個(gè)基本要素。力偶與力具有不同的性質(zhì)：(1)力偶不能簡化為一個(gè)力，即力偶不能用一個(gè)力等效替代。因此力偶不能與一個(gè)力平衡，力偶只能與力偶平衡。CA=0,說明合力的作用點(diǎn)C不存在，所以力偶不能合成為一合力。即力偶不能用一個(gè)力代替，也不能與一個(gè)力平衡，力偶只能用力偶來平衡。(2)力偶對其作在平面內(nèi)任一點(diǎn)的矩恒等于力偶矩，與矩心位置無關(guān)。圖4—7則力偶(F,F′)對于點(diǎn)O的矩為點(diǎn)的矩總等于力偶矩。所以力偶對物體的轉(zhuǎn)動效應(yīng)總?cè)Q于偶矩(包括大小和轉(zhuǎn)向)圖4-8第三節(jié)平面力偶系的合成與平衡圖4—9然后移轉(zhuǎn)各力偶，使它們的力偶臂都與AB重合，則原平面力偶系變換為作用于點(diǎn)A、B的兩個(gè)共線力系(圖4—9b)。將這兩個(gè)共線力系分別合成，得d=(P,+P?-P)d=P,·d+P?·d-P?·d=F,·d,+F?·d?-F?d?若作用在同一平面內(nèi)有個(gè)力偶，則上式可以推廣為由此可得到如下結(jié)論：平面力偶系可以合成為一合力偶，此合力偶的力偶矩等于力偶系中各力偶的力偶矩的代數(shù)和。二、平面力偶系的平衡條件平面力偶系中可以用它的合力偶等效代替，因此，若合力偶矩等于零，則原力系必定平衡；反之若原力偶系平衡，則合力偶矩必等于零。由此可得到平面力偶系平衡的必要與充分條件：平面力偶系中所有各力偶的力偶矩的代數(shù)和等于零。即平面力偶系有一個(gè)平衡方程，可以求解一個(gè)未知量。例4—2如圖4—10所示，電動機(jī)軸通過聯(lián)軸器與工作軸相連，聯(lián)軸器上4個(gè)螺栓A、B、C、D的孔心均勻地分布在同一圓周上，此圓的直徑d=150mm,電動機(jī)軸傳給聯(lián)軸器的力偶矩m=2.5kN·m,試求每個(gè)螺栓所受的力為多少?圖4—10解取聯(lián)軸器為研究對象，作用于聯(lián)軸器上的力有電動機(jī)傳給聯(lián)軸器的力偶，每個(gè)螺栓的反力，受力圖如圖所示。設(shè)4個(gè)螺栓的受力均勻，即F,=F?=F?=F?=F,則組成兩個(gè)力偶并與電動機(jī)傳給聯(lián)軸器的力偶平衡。解得例4—3定鉸支座A及CD的約束，如圖4—11所示，在桿端B受一力偶作用，已知力偶矩m=100N·m,求A、C處的約束反力。圖4—11解取AB桿為研究對象。作用于AB桿的是一個(gè)主動力偶，A、C兩點(diǎn)的約束可得其中h=Acsin30=1×0.5=0.5m則節(jié)力的平移定理由力的可傳性可知，力可以沿其作用線滑移到剛體上任意一點(diǎn)，而不改變力對剛體的作用效應(yīng)。但當(dāng)力平行于原來的作用線移動到剛體上任意一點(diǎn)時(shí)，力對剛體的作用效應(yīng)便會改變，為了進(jìn)行力系的簡化，將力等效地平行移動，給出如下定理：思考題4-1將圖4-13所示A點(diǎn)的力F沿作用線移至B點(diǎn)，是否改變該力對O點(diǎn)之矩?圖4—13圖4—144-2一矩形鋼板放在水平地面上，其邊長a=3m,b=2m(如圖4-14所示)。按圖示方向加力，轉(zhuǎn)動鋼板需要P=P′=250N。試問如何加力才能使轉(zhuǎn)動鋼板所用的力最小，并求這個(gè)最小力的大小。絕對值相等(圖4—15),試問兩力偶是否等效?為什么?4-4圖3—16中四個(gè)力作用在某物體同一平面上A、B、C、D四點(diǎn)上(ABCD為一矩形),若四個(gè)力的力矢恰好首尾相接，這時(shí)物體平衡嗎?為什么?4-5水渠的閘門有三種設(shè)計(jì)方案，如圖4-17所示。試問哪種方案開關(guān)閘門時(shí)最省力。4—6力偶不能與一力平衡，那么如何解釋圖4—18所示的平衡現(xiàn)象?理論力學(xué)教案5課題第5講——第五章平面任意力系學(xué)時(shí)12學(xué)時(shí)+6學(xué)時(shí)習(xí)題課教學(xué)要求1、掌握平面任意力系的簡化方法和簡化結(jié)果，能計(jì)算平面力系的主失和主2、能熟練應(yīng)用平面任意力系的平衡方程，求解單個(gè)物體的平衡問題。3、了解靜定和靜不定問題的概念以及物體系統(tǒng)的平衡問主要內(nèi)容1、平面任意力系的簡化2、簡化結(jié)果分析及合力距定理。4、靜定和靜不定問題的概念以及物體系統(tǒng)的平5、考慮摩擦?xí)r物體系統(tǒng)的平衡。重點(diǎn)難點(diǎn)1、力系簡化以及力系簡化結(jié)果對于平面情況要詳細(xì)討論。教學(xué)方法和手段以講授為主，使用電子教案課后作業(yè)練習(xí)問題：P47:1,2,3,4,5,6,7習(xí)題：P54:1,4,5,6,7,8,12,13,14預(yù)習(xí)：第六章本次講稿第五章平面任意力系各力作用線在同一平面內(nèi)且任意分布的力系稱為平面任意力系。在工程實(shí)際中經(jīng)常遇到平面任意力系的問題。例如圖5-1所示的簡支梁受到外荷載及支座反力的作用，這個(gè)力系是平面任意力系。有些結(jié)構(gòu)所受的力系本不是平面任意力系，但可以簡化為平面任意力系來處理。如圖5-2所示的屋架，可以忽略它與其它屋架之間的聯(lián)系，單獨(dú)分離出來，視為平面結(jié)構(gòu)來考慮。屋架上的荷載及支座反力作用在屋架自身平面內(nèi)，組成一平面任意力對于水壩(圖5-3)這樣縱向尺寸較大的結(jié)構(gòu)，在分析時(shí)常截取單位長度(如1)的壩段來考慮，將壩段所受的力簡化為作用于中央平面內(nèi)的平面任意力系。事實(shí)上工程中的多數(shù)問題都簡化為平面任意力系問題來解決。所以，本章的內(nèi)容在工程實(shí)踐中有著重要的意義。第一節(jié)平面任意力系向作用面內(nèi)任意一點(diǎn)簡化平面內(nèi)任取一點(diǎn)O,稱O點(diǎn)為簡化中心。應(yīng)用力的平移定理，將力系中的和力依次分圖5—4平面匯交力系中各力的大小和方向分別與原力系中對應(yīng)的各力相同，即F,'=F,,F,'=F?,…,F,'=FR′稱為該力系的主矢，它等于原力系各力的矢量和，與簡化中心的位置無關(guān)。主矢R′的大小與方向可用解析法求得。按圖5—4b所選定的坐標(biāo)系Oxy,有其中α為主銳角。各附加力偶的力偶矩分別等于原力系中各力對簡化中心O之矩，即原力系中各力對簡化中心之矩的代數(shù)和稱為原力系對簡化中心的主矩。由式(5-3)可見在選取不同的簡化中心時(shí)，每個(gè)附加力偶的力偶臂一般都要發(fā)生變化，所以主矩一般都與簡化中心的位置有關(guān)。由上述分析我們得到如下結(jié)論：平面任意力系向作用面內(nèi)任一點(diǎn)簡化，可得一力和一個(gè)力偶(圖5-4c)。這個(gè)力的作用線過簡化中心，其力矢等于原力系的主矢；這個(gè)力偶的矩等于原力系對簡化中心的主矩。第二節(jié)簡化結(jié)果分析及合力矩定理平面任意力系向O點(diǎn)簡化，一般得一個(gè)力和一個(gè)力偶?？赡艹霈F(xiàn)的情況有四種：其力偶矩等于原力系的主矩。此時(shí)原力系的主矩與簡化中心的位置無關(guān)。如圖5-5所示。將力偶矩為M。的力偶用兩個(gè)力R與R"表示，并使R′=R=R",R"作用在點(diǎn)O,R作用在點(diǎn)O,如圖5一5b所示。R′與R"組成一對平衡力，將其去掉后得到作用于O′點(diǎn)的力R,與原力系等效。因此這個(gè)力R就是原力系的合力。顯然R′=R,而合力作用線到簡化中心的距離為圖5—5由上分析，我們可以導(dǎo)出合力矩定理。由圖4—5c可見，合力對點(diǎn)之矩為因?yàn)镺點(diǎn)是任選的，上式有普遍意義。于是：得到合力矩定理：平面任意力系的合力對其作用面內(nèi)任一點(diǎn)之矩等于力系中各力對同一點(diǎn)之矩的代數(shù)和。例5—1重力壩斷面如圖5-6a所示，壩上游有泥沙淤積，已知水深H=46m,泥沙厚度h=6m,水的容重γ=98kN/m?,泥沙的容重γ′=8kN/m?,已知1m長壩段所受重力W=4500kN,W=14000kN。受力圖如圖5-6b所示。試將此壩段所受的力向點(diǎn)0簡化，并求簡化的最后結(jié)果。解已知水中任一點(diǎn)的相對壓強(qiáng)與距水面的距離成正比，即在坐標(biāo)為y處的水壓游壩面所受的分布荷載如圖5—6b所示。為了方便計(jì)算，先將分布力合成為合力。將水壓力與泥沙壓力分開計(jì)算。水壓力如圖P過三角形形心，即與壩底四個(gè)力向0點(diǎn)簡化。先求主矢。四個(gè)力向0點(diǎn)簡化。先求主矢。再求對0的主矩當(dāng)平面任意力系的主矢和主矩都等于零時(shí)，作用在簡化中心的匯交力系是平衡力系，附加的力偶系也是平衡力系，所以該平面任意力系一定是平衡力系。于是得到平面任意力系的充分與必要條件是：力系的主矢和主矩同時(shí)為零。即用解析式表示可得二矩式平式：合力的可能性。由此斷定，當(dāng)式(5-7)的三個(gè)方程同時(shí)滿足，并附加條件矩心A、對于三矩式附加上條件后，式(5-8)是平面任意力系平衡的必要與充分條件。讀者可參照對式(5-7)的解釋自行證明。平面平行力系是平面任意力系的一種特殊情況。當(dāng)力系中各力的作用線在同一平面內(nèi)且相互平行，這樣的力系稱為平面平行力系。其平衡方程可由平面任意力系的平(5—6)式得由(5-7)的連線不能與各力作用線平行。的連線不能與各力作用線平行。平面平行力系有兩個(gè)獨(dú)立的平衡方程，可以求解兩個(gè)未知量。圖5—7例5—2圖5—8a所示為一懸臂式起重機(jī)，A、B、C都是鉸鏈連接。梁AB自重F=1kN,作用在梁的中點(diǎn)，提升重量Fp=8kN,桿BC自重不計(jì)，求支座A的反力和桿BC所受的力。圖5—8解(1)取梁AB為研究對象，受力圖如圖5—8b所示。A處為固定鉸支座，其反力用兩分力表示，桿BC為二力桿，它的約束反力沿BC軸線，并假設(shè)為拉力。(2)取投影軸和矩心。為使每個(gè)方程中未知量盡可能少，以A點(diǎn)為矩，選取直角坐標(biāo)系A(chǔ)xy。(3)列平衡方程并求解。梁AB所受各力構(gòu)成平面任意力系，用三矩式求解：得中可見計(jì)算無誤。例5-3一端固定的懸臂梁如圖5-9a所示。梁上作用均布荷載，荷載集度為q,在梁的自由端還受一集中力P和一力偶矩為m的力偶的作用。試求固定端A處的約束反力。圖5—9解取梁AB為研究對象。受力圖及坐標(biāo)系的選取如圖5—9b所示。列平衡方程解得YA=ql+P例5-4塔式起得機(jī)如圖5—10所示。機(jī)身重G=220kN,作用線過塔架的中心。已知最大起吊重量P=50kN,起重懸臂長12m,軌道A、B的間距為4m,平衡錘重Q至機(jī)身中心線的距離為6m。試求：(1)確保起重機(jī)不至翻倒的平衡錘重Q的大??；(2)當(dāng)Q=30kN,而起重機(jī)滿載時(shí)，軌道對A、B的約束反力。圖5-10解取起重機(jī)整體為研究對象。其正常工作時(shí)受力如圖所示。(1)求確保起重機(jī)不至翻倒的平衡錘重Q的大小。起重機(jī)滿載時(shí)有順時(shí)針轉(zhuǎn)向翻倒的可能，要保證機(jī)身滿載時(shí)而不翻倒，則必須滿解得Q≥(5P—G)/4=7.5kN起重機(jī)空載時(shí)有逆時(shí)針轉(zhuǎn)向翻倒的可能，要保證機(jī)身空載時(shí)平衡而不翻倒，則必須滿足下列條件解得Q≤G/2=110kN因此平衡錘重Q的大小應(yīng)滿足從前面的討論已經(jīng)知道，對每一種力系來說，獨(dú)立平衡方程的數(shù)目是一定的，能求解的未知數(shù)的數(shù)目也是一定的。對于一個(gè)平衡物體，若獨(dú)立平衡方程數(shù)目與未知數(shù)的數(shù)目恰好相等，則全部未知數(shù)可由平衡方程求出，這樣的問題稱為靜定問題。我們前面所討論的都屬于這類問題。但工程上有時(shí)為了增加結(jié)構(gòu)的剛度或堅(jiān)固性，常設(shè)置出，這樣的問題稱為靜不定問題或超靜定問題。圖5-11是超靜定平面問題的例子。圖a是平面平行力系，平衡方程是2個(gè)，而未知力是3個(gè)，屬于超靜定問題；圖b是平面任意力系，平衡方程是3個(gè)，而未知力有4個(gè)，因而也是超靜定問題。對于超靜FFFCF?F?圖5—11例5—5圖5—13所示的人字形折梯放在光滑地面上。重P=800N的人站在梯子AC邊的中點(diǎn)H,C是鉸鏈，已知AC=BC=2m;AD=EB=0.5m,梯子的自重圖5-13解先取梯子整體為研究對象。受力圖及坐標(biāo)系如圖5—13b所示。解得解得為求繩子的拉力，取其所作用的桿BC為研究對象。受力圖如圖5-13c所示。例5—6組合梁由AB梁和BC梁用中間鉸B連接而成，支承與荷載情況如圖如圖5-14a所示。已知P=20kN,q=5kN/m,α=45°;求支座A、C的約束反力及鉸B處的壓力。圖5—14圖5—15解得由,,解得XA=XB(再取左半剛架為研究對象。受力圖如圖5-15c所示。解得解得第一節(jié)考慮摩擦?xí)r物體的平衡前面討論物體平衡問題時(shí)，物體間的接觸面都假設(shè)是絕對光滑的。事實(shí)上這種情況是不存在的，兩物體之間一般都要有摩擦存在。只是有些問題中，摩擦不是主要因素，可以忽略不計(jì)。但在另外一些問題中，如重力壩與擋土墻的滑動稱定問題中，帶輪與摩擦輪的轉(zhuǎn)動等等，摩擦是是重要的甚至是決定性的因素，必須加以考慮。按照接觸物體之間的相對運(yùn)動形式，摩擦可分為滑動摩擦和滾動摩擦。本節(jié)只討論滑動摩擦，當(dāng)物體之間僅出現(xiàn)相對滑動趨勢而尚未發(fā)生運(yùn)動時(shí)的摩擦稱為靜滑動摩擦，簡稱靜摩擦；對已發(fā)生相對滑動的物體間的摩擦稱為動滑動摩擦，簡稱動摩擦。一、滑動摩擦與滑動摩擦定律當(dāng)兩物體接觸面間有相對滑動或有相對滑動趨勢時(shí)，沿接觸點(diǎn)的公切面彼此作用著阻礙相對滑動的力，稱為滑動摩擦力，簡稱摩擦力。用F表示。圖5—16如圖5-16所示一重為G的物體放在粗糙水平面上，受水平力P的作用，當(dāng)拉力P由零逐漸增大，只要不超過某一定值，物體仍處于平衡狀態(tài)。這說明在接觸面處除了有法向約束反力N外，必定還有一個(gè)阻礙重物沿水平方向滑動的摩擦力F,這時(shí)的摩擦力稱為靜摩擦力。靜摩擦力可由平衡方程確定。ΣX=0,P一F=0。解得F=P。可見，靜摩擦力F隨主動力P的變化而變化。但是靜摩擦力F并不是隨主動力的增大而無限制地增大，當(dāng)水平力達(dá)到一定限度時(shí)，如果再繼續(xù)增大，物體的平衡狀態(tài)將被破壞而產(chǎn)生滑動。我們將物體即將滑動而未滑動的平衡狀態(tài)稱為臨界平衡狀態(tài)。在臨界平衡狀態(tài)下，靜摩擦力達(dá)到最大值，稱值。即最大靜摩擦力與許多因素有關(guān)。大量實(shí)驗(yàn)表明最大靜摩擦力的大小可用如下近似關(guān)系：最大靜摩擦力的大小與接觸面之間的正壓力(法向反力)成正比，即這就是庫倫摩擦定律。式中f是無量綱的比例系數(shù)，稱為靜摩擦系數(shù)。其大小與接觸體的材料以及接觸面狀況(如粗糙度、濕度、溫度等)有關(guān)。一般可在一些工程手冊中查到。式(5—10)表示的關(guān)系只是近似的，對于一般的工程問題來說能夠滿足要求，但對于一些重要的工程，如采用上式必須通過現(xiàn)場測量與試驗(yàn)精確地測定靜摩擦系數(shù)的值作為設(shè)計(jì)計(jì)算的依據(jù)。物體間在相對滑動的摩擦力稱為動摩擦力，用F′表示。實(shí)驗(yàn)表明，動摩擦力的方向與接觸物體間的相對運(yùn)動方向相反，大小與兩物體間的法向反力成正比。即相對速度有關(guān)，但由于它們關(guān)系復(fù)雜，通常在一定速度范圍內(nèi)，可以不考慮這些變化，而認(rèn)為只與接觸的材料以及接觸面狀況有關(guān)外。二、摩擦角與自鎖現(xiàn)象如圖5—17所示，當(dāng)物體有相對運(yùn)動趨勢時(shí)，支承面對物體法向反力N和摩擦力F,這兩個(gè)力的合力R,稱為全約束反力。全約束反力R與接觸面公法線的夾角為φ,如圖5-17a。顯然，它隨摩擦力的變化而變化。當(dāng)靜摩擦力達(dá)到最大值F時(shí)，夾角φ也達(dá)到最大值φm,則稱φ,0為摩擦角。如圖5-17b所示，可見若過接觸點(diǎn)在不同方向作出在臨界平衡狀態(tài)下的全約束反力的作用線，則這些直線將形成一個(gè)錐面，稱摩擦錐。如圖5—17c所示。圖5—1718)。由此得到法線間的夾角α不大于摩擦角0,物體必保持靜止。這種現(xiàn)象稱為自鎖現(xiàn)象。擦系數(shù)為f=0.20。有一大小為Q=588N的力沿斜面推物體如圖5-19a所示，問物體在斜面上處于靜止還是處于滑動狀態(tài)?若靜止，此時(shí)摩擦力多大?解得解得N=Gcosα=848.7N根據(jù)靜定摩擦定律，可能產(chǎn)生的最大靜摩擦力為，假設(shè)方向相反，故物體沿斜面有上滑的趨勢。例5-9重Q面上靜止時(shí)的水平推力P的大小。圖5—20若力P的數(shù)值必在某一范圍內(nèi)。態(tài)，其受力圖及坐標(biāo)系如圖5—20b所示。此時(shí)物體處于上滑的臨界平衡狀態(tài)，其受力圖及坐標(biāo)如圖5—20c所示。ZY=0,N?-Psa-Qos,,理論力學(xué)教案6課題第6講——第六章空間力系學(xué)時(shí)8學(xué)時(shí)+4學(xué)時(shí)教學(xué)要求1、掌握空間力在軸和平面上的投影的關(guān)系，力對軸的矩和力對點(diǎn)的矩矢間的2、掌握空間力系的平衡方程，會應(yīng)用求解簡單的空間平衡問題。4、掌握重心和形心坐標(biāo)公式，能計(jì)算簡單形狀物體的重心，能計(jì)算組合形狀5、理解物體的重心的概念。主要內(nèi)容1、力的投影與分解。2、力對軸之距。3、空間力系的平衡。重點(diǎn)難點(diǎn)1、力在空間直角坐標(biāo)軸上的投影。2、力對軸之距。3、物體的重心。教學(xué)方法和手段以講授為主，使用電子教案課后作業(yè)練習(xí)問題：P62:1,2,3,4,5,6習(xí)題：P62:1,3,5,6,9,10,13總結(jié)：理論力學(xué)本次講稿第六章空間力系作用在物體上各力的作用線不在同一平面內(nèi)，稱該力系為空間力系。按各力的作用在空間的位置關(guān)系，空間力系可分為空間匯交力系、空間平行力系和空間任意力系。前幾章介紹的各種力系都是空間力系的特例。第一節(jié)力的投影與分解一、力在空間直角坐標(biāo)軸上的投影已知力F與x軸如圖6—1(a)所示，過力F的兩端點(diǎn)A、B分別作垂直于x軸的平面M及N,與x軸交于a、b,則線段ab冠以正號或負(fù)號稱為力F在x軸上的投影，即F=±ab符號規(guī)定：若從a到b的方向與x軸的正向一致取正號，反之取負(fù)號。已知力F與平面Q,如圖6-1(b)所示。過力的兩端點(diǎn)A、B分別作平面Q的垂直線AA′、BB′,則矢量A'B'稱為力F在平面Q上的投影。應(yīng)注意的是力在平面上的投影是矢量，而力在軸上的投影是代數(shù)量。圖6—1圖6—2現(xiàn)在討論力F在空間直角坐標(biāo)系Oxy中的情況。如圖6-2(a)所示，過力F的端點(diǎn)A、B分別作x、y、z三軸的垂直平面，則由力在軸上的投影的定義知，OA、OB、OC就是力F在x、y、z軸上的投影。設(shè)力F與x、y、z所夾的角分別是a、β、y,則力F在空間直角坐標(biāo):(6—1)用這種方法計(jì)算力在軸上的投影的方法稱為直接投影法。一般情況下，不易全部找到力與三個(gè)軸的夾角，設(shè)已知力F與z軸夾角為γ,可先將力投影到坐標(biāo)平面Oxy上，然后再投影到坐標(biāo)軸x、y上，如圖6-2(b)所示。設(shè)力F在Oxy平面軸間的夾角為0,則標(biāo)軸上投影的絕對值。=第二節(jié)力對軸之矩6-4所示的一扇門可繞固定軸z轉(zhuǎn)動。我們將力F分解為平行于z軸的分力F,和垂直于軸的分力F(即為力F在平面Oxy上的投影)。由經(jīng)驗(yàn)可知，分力F?不能使門m(F)表示力F對z軸的矩，點(diǎn)O為平面Oxy與z軸的交點(diǎn)，h為0點(diǎn)到力F作用線例6—2求圖6-6所示力F對x、y、z軸的矩。已知F=20N。F=—Fcos60°cos45°=-7.07N)空間力系的平衡如圖6—7b所示，設(shè)物體受一空間平行力系的作用。令軸與這些力平行，則各力對于軸的矩恒等于零；又由于軸和軸都與這些力垂直，所以各力在這兩個(gè)軸上的投影因此空間平行力系的平衡方程為空間匯交力系和空間平行力系分別只有三個(gè)獨(dú)立的平衡方程，因此只能求解三個(gè)未知數(shù)。例6—3用三角架ABCD和絞車提升一重物如圖6—8所示。設(shè)ABC為一等邊三角形，各桿及繩索均與水平面成60°的角。已知重物F=30kN,各桿均為二力桿，滑輪大小不計(jì)。試求重物勻速吊起時(shí)各桿所受的力。FoDNaoI=FoNaD解取鉸D為脫離體，畫受力圖如圖6—8b所示，各力形成空間匯交力系。N所示。求靜止時(shí)地面對輪子的反力。圖6—9聯(lián)立以上萬程得=40kN,h=6m。試求基礎(chǔ)的約束反力。—10所示，解柱子基礎(chǔ)為固定端，其約束反力如圖6該約束反力與柱子上各荷載形成空間任意力系?！?0所示，例6—6圖6—11a所示為水平放置的直角直桿，A處為球鉸，B處用繩BC拉住，D處為普通軸承約束，E懸掛重物F?=1kN,各尺寸如圖所示。試求A、束反力及繩BC的拉力。圖6—11abz三個(gè)方向分解：FTBx=FTpcosaFTBy=FTscosβFTBz=FrBCosy列出力矩方程時(shí)分別選擇AB、BD、AD及Z軸為矩軸。=物體的重力是地球?qū)ξ矬w的引力，如果把物體看成是由許多微小部分組成的，則每個(gè)微小的部分都受到地球的引力，這些引力匯交于地球的中心，形成一個(gè)空間匯交力系，但由于我們所研究的物體尺寸與地球的直徑相比要小得多，因此可以近似地看成是空間平行力系，該力系的合力即為物體的重量。由實(shí)踐可知，無論物體如何放置，重力合力的作用線總是過一個(gè)確定點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)就是物體的重心。重心的位置對于物體的平衡和運(yùn)動，都有很大關(guān)系。在工程上，設(shè)計(jì)擋土墻、重力壩等建筑我時(shí)，重心位置直接關(guān)系到建筑我的抗傾穩(wěn)定性及其內(nèi)部受力的分布。機(jī)械的轉(zhuǎn)動部分如偏心輪應(yīng)使其重心離轉(zhuǎn)動軸有一定距離，以便利用其偏心產(chǎn)生的效果；而一般的高速轉(zhuǎn)動物體又必須使其重心盡可能不偏離轉(zhuǎn)動軸，以免產(chǎn)生不良影響。所以如何確定物體的重心位置，在實(shí)踐中有著重要的意義。一、重心坐標(biāo)公式根據(jù)物體重心的性質(zhì)，固連在一起繞x軸轉(zhuǎn)過90°,各力△P及P分別繞其作用點(diǎn)也轉(zhuǎn)過90°,如圖中虛線所示，再應(yīng)用合力矩定理，有由上述三式可得物體的重心坐標(biāo)公式為——狀和尺寸。這個(gè)由物體的幾何形狀和尺寸決定的物體的幾何中心，稱為物體的形心。它是幾何概念。只有均質(zhì)物體的重心和形心才重合于同一點(diǎn)。若物體是均質(zhì)薄殼(或曲面),其重心(或形心)坐標(biāo)公式為若物體是或均質(zhì)細(xì)桿(或曲線),其重心(或形心)坐標(biāo)公式為重重圖6—13abc(二)組合法例6—7圖6—14為一倒T形截面，求該截面不圖6—14解因圖形有一對稱軸，故取該軸為軸，如圖所示。則圖形形心必在軸上，即則例6—8圖6—15所示為振動器中偏心塊，已知R=100mm,r=17mm,d=13mm。求偏心塊形心。圖6—15思考題m(F)=0;(c)F≠0,m(F)≠0;(d)F=0,m(6-3空間任意力系的平衡方程除了包括三個(gè)投影方程和三個(gè)力矩方程外，是否還有其它形式?課題第1講——第七章桿件的內(nèi)力分析課時(shí)8學(xué)時(shí)+2學(xué)時(shí)習(xí)題課+2學(xué)時(shí)實(shí)驗(yàn)教學(xué)要求能正確分析直桿在常見載荷作用下的變形形式，并能較熟練的分析桿件的內(nèi)主要內(nèi)容2、內(nèi)力的概念，求內(nèi)力的基本方法----截面法。3、軸力和軸力圖4、扭矩和扭矩圖5、剪力、彎矩和剪力圖、彎矩圖重點(diǎn)難點(diǎn)內(nèi)力圖的繪制直接繪制剪力圖、彎矩圖教學(xué)方法和手段以講授為主，使用電子教案課后作業(yè)練習(xí)問題：P80:1,2,3,4,5習(xí)題：P54:1,2,5,6預(yù)習(xí)：§3-1,§3-2,§3-3次講稿第七章桿件的內(nèi)力分析在進(jìn)行結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)時(shí)，為保證結(jié)構(gòu)安全正常工作，要求各構(gòu)件必須具有足夠的強(qiáng)度和剛度。解決構(gòu)件的強(qiáng)度和剛度問題，首先需要確定危險(xiǎn)截面的內(nèi)力。內(nèi)力計(jì)算是結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)。本章研究桿件的內(nèi)力計(jì)算問題。第一節(jié)桿件的外力與變形特點(diǎn)進(jìn)行結(jié)構(gòu)的受力分析時(shí)，只考慮力的運(yùn)動效應(yīng)，可以將結(jié)構(gòu)看做是剛體；但進(jìn)行結(jié)構(gòu)的內(nèi)力分析時(shí)，要考慮力的變形效應(yīng)，必須把結(jié)構(gòu)作為變形固體處理。所研究桿件受到的其他構(gòu)件的作用，統(tǒng)稱為桿件的外力。外力包括載荷(主動力)以及載荷引起的約束反力(被動力)。廣義地講，對構(gòu)件產(chǎn)生作用的外界因素除載荷以及載荷引起的約束反力之外，還有溫度改變、支座移動、制造誤差等。桿件在外力的作用下的變形可分為四種基本變形及其組合變形。受力特點(diǎn)：桿件受到與桿件軸線重合的外力的作用。變形特點(diǎn)：桿沿軸線方向的伸長或縮短。產(chǎn)生軸向拉伸與壓縮變形的桿件稱為拉壓桿。圖：7-1所示屋架中的弦桿、牽引橋的拉索和橋塔、閥門啟閉機(jī)的螺桿等均為拉壓桿。圖7-1受力特點(diǎn)：桿件受到垂直桿件軸線方向的一組等值、反向、作用線相距極近的平行力的作用。變形特點(diǎn)：二力之間的橫截面產(chǎn)生相對的錯動。產(chǎn)生剪切變形的桿件通常為拉壓桿的連接件。如圖7-2所示螺栓、銷軸連接中的螺栓和銷釘，均產(chǎn)生剪切變形。圖7-2圖7-3圖7-4單跨靜定梁有三種基本形式：懸臂梁、簡支梁和外伸梁。如圖7-5所示。圖7-5第二節(jié)內(nèi)力及其截面法一、內(nèi)力的概念構(gòu)件的材料是有許多質(zhì)點(diǎn)組成的。構(gòu)件不受外力作用時(shí)，材料內(nèi)部質(zhì)點(diǎn)之間保持一定的相互作用力，使構(gòu)件具有固體形狀。當(dāng)構(gòu)件受外力作用產(chǎn)生變形時(shí)，其內(nèi)部質(zhì)點(diǎn)之間相互位置改變，原有內(nèi)力也發(fā)生變化。這種由外力作用而引起的受力構(gòu)件內(nèi)部質(zhì)點(diǎn)之間相互作用力的改變量成為附加內(nèi)力，簡稱內(nèi)力。工程力學(xué)所研究的內(nèi)力是由外力引起的，內(nèi)力隨外力的變化而變化，外力增大，內(nèi)力也增大，外力撤銷后，內(nèi)力也隨著消失。顯然，構(gòu)件中的內(nèi)力是與構(gòu)件的變形相聯(lián)系的，內(nèi)力總是與變形同時(shí)產(chǎn)生。構(gòu)件中的內(nèi)力隨著變形的增加而增加大，但對于確定的材料，內(nèi)力的增加有一定的限度，超過這一限度，構(gòu)件將發(fā)生破壞。因此，內(nèi)力與構(gòu)件的強(qiáng)度和剛度都有密切的聯(lián)系。在研究構(gòu)件的強(qiáng)度、剛度等問題時(shí)，必須知道構(gòu)件在外力作用下某截面上的內(nèi)力值。確定構(gòu)件任意截面上內(nèi)力值的基本方法是截面法。圖7-6(a)所示為任意受平衡力系作用的構(gòu)件.為了顯示并計(jì)算某一截面上的內(nèi)力，可在該截面處用一假想截面將構(gòu)件一分為二并棄去其中一部分.將棄去部分對保留部分的作用以力的形式表示，此即該截面上的內(nèi)力.根據(jù)變形固體均勻、連續(xù)的基本假設(shè)，截面上的內(nèi)力是連續(xù)分布的。通常將截面上的分布內(nèi)力用位于該截面形心處的合力(簡化為主矢和主矩)來代替。盡管內(nèi)力的合力是未知的，但總可以用其六個(gè)內(nèi)力分量(空間任意力系)N、Q、Q和M、M、M來表示，如圖7-6(b)所示.因?yàn)闃?gòu)件在外力作用下處于平衡狀態(tài)，所以截開后的保留部分也應(yīng)保持平衡.由此，根據(jù)空間力系的六個(gè)平衡方程：M、M等各內(nèi)力分量.用截面法研究保留部分的平衡時(shí)，各內(nèi)力分量相當(dāng)于平衡體上的外力.圖7-6截面上的內(nèi)力并不一定都同時(shí)存在上述六個(gè)內(nèi)力分量，一般可能僅存在其中的一個(gè)或幾個(gè).隨著外力與變形形式的不同，截面上存在的內(nèi)力分量也不同，如拉壓桿截面截面法求內(nèi)力的步驟可歸納為：(2)代替：棄去任一部分，并將棄去部分對保留部分的作用以相應(yīng)內(nèi)力代替(即顯示內(nèi)力)。在本章以后各節(jié)中，將分別詳細(xì)討論幾種基本變形桿件橫截面上的內(nèi)力計(jì)算。第三節(jié)桿件的內(nèi)力計(jì)算一、軸向拉(壓)桿件橫截面上的內(nèi)力如圖7-7(a)所示為一受拉桿，用截面法求m-m截面上的內(nèi)力，取左段(圖7-7b)圖7-7由ZX=0N-P=0解得N=P同樣以右段(圖7-7c)為研究對象：解得N=P由上可見N與N大小相等，方向相反，符合作用與反作用定律。由于內(nèi)力的作用線與軸線重合，故稱軸力。其實(shí)際是橫截面上分布內(nèi)力的合力。為了無論取哪段，均使求得的同一截面上的軸力N有相同的符號，則規(guī)定：軸力N方向與截面外法線方向相同為正，即為拉力；相反為負(fù)，即為壓力。例7-1一等直桿受4個(gè)軸向力作用(圖7-8a),試求指定截面的軸力。圖7-8解假設(shè)各截面軸力均為正。如圖7-8b所示。如圖7-8c所示，由解得N=P+P=35KN如圖7-8d所示，由數(shù)值等于對應(yīng)截面一側(cè)所有外力的代數(shù)和，且當(dāng)外力的方向使截面受拉時(shí)為正，受壓時(shí)為負(fù)。即：二、受扭桿件橫截面上的內(nèi)力如圖7-9a為一受扭桿，用截面法來求n—n截面上的內(nèi)力，取左段：(圖7-9b),作用于其上的外力僅有一力偶m,因其平衡，則作用于n—n截面上的內(nèi)力必合成為一力偶。圖7-9解得桿件受到外力偶矩作用而發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形時(shí)，在桿的橫截面上產(chǎn)生的內(nèi)力稱扭矩(T)符號規(guī)定：按右手螺旋法則將T表示為矢量，當(dāng)矢量方向與截面外法線方向相同為正(圖7-9c);反之為負(fù)(圖7-9d)。例7-2圖7-10(a)所示的傳動軸的轉(zhuǎn)速n=300r/min,主動輪A的功率N=400kW,如圖7-10(b)。圖7-10解得如圖7-10(c)。解得如圖7-10(d)。解得的代數(shù)和，且外力偶矩應(yīng)用右手螺旋定則背離該截面時(shí)為正，反之為負(fù)。即例7-3圖7-11所示的傳動軸有4個(gè)輪子，作用輪上的外力偶矩分別m,,,試求指定截面的扭矩。m圖7-11取右段取左段取右段T,=m+m=4kN·m取左段一分為二，取如圖7-12(b)所示的左半部分為研究對象。因?yàn)樽饔糜谄渖系母髁υ诖怪庇诹狠S方向的投影之和一般不為零，為使左段梁在垂直方向平衡，則在橫截面上必然存在一個(gè)切于該橫截面的合力Q,稱為剪力。它是與橫截面相切的分布內(nèi)力系的合力；同時(shí)左段梁上各力對截面形心0之矩的代數(shù)和一般不為零，為使該段梁不發(fā)生轉(zhuǎn)動，在橫截面上一定存在一個(gè)位于荷載平面內(nèi)的內(nèi)力偶，其力偶矩用M表示，稱為彎矩。它是與橫截面垂直的分布內(nèi)力偶系的合力偶的力偶矩。由此可知，梁彎曲時(shí)橫截面上一般存在兩種內(nèi)力。如圖7-12(b)。圖7-12解得剪力符號：當(dāng)截面上的剪力使分離體作順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動時(shí)為正；反之為負(fù)。如圖7-13a所示。彎矩符號：當(dāng)截面上的彎矩使分離體上部受壓、下部受拉時(shí)為正，反之為負(fù)。如圖7-13b所示。例7-4試求圖7-14(a)所示外伸梁指定截面的剪力和彎矩。解如圖7-14(b)。圖7-14求梁的支座反力。解得Rc-R-P=0解得解得如解得解得由上述剪力及彎矩計(jì)算過程推得：任一截面上的剪力的數(shù)值等于對應(yīng)截面一側(cè)所有外力在垂直于梁軸線方向上的投影的代數(shù)和，且當(dāng)外力對截面形心之矩為順時(shí)針轉(zhuǎn)向時(shí)外力的投影取正，反之取負(fù)；任一截面上彎矩的數(shù)值等于對應(yīng)截面一側(cè)所有外力對該截面形心的矩的代數(shù)和，若取左側(cè)，則當(dāng)外力對截面形心之矩為順時(shí)針轉(zhuǎn)向時(shí)取正，反之取負(fù)；若取右側(cè)，則當(dāng)外力對截面形心之矩為逆時(shí)針轉(zhuǎn)向時(shí)取正，反之取負(fù)；即例7-5如圖7-15所示簡支梁，在點(diǎn)C處作用一集中力P=10kN,求截面n-n上的剪力和彎矩。圖7-15解求梁的支座反力。解得解得R=6.25kN取右段RA+R-P=0描述內(nèi)力沿桿長度方向變化規(guī)律的坐標(biāo)x的函數(shù)，稱為內(nèi)力方程。為了形象直觀的反映內(nèi)力沿桿長度方向的變化規(guī)律，以平行于桿軸線的坐標(biāo)x表示橫截面的位置，以垂直于桿軸線的坐標(biāo)表示內(nèi)力的大小，選取適當(dāng)?shù)谋壤?，便可作出對?yīng)的內(nèi)力圖。一、利用內(nèi)力方程作內(nèi)力圖內(nèi)力方程所提供的函數(shù)圖形，即為內(nèi)力圖。例7-6一受力如圖7-16(a)所示的階梯形桿件，q為沿軸線均勻分布的載荷，試作軸力圖。圖7-16解如圖7-16(b)。由于作用在桿件上的外力不是連續(xù)變化的，故應(yīng)分段列出內(nèi)力方程。(0<x<1)p-2P+--N()=PNp=P根據(jù)N+、N-、N、N-的對應(yīng)值便可作出圖7-16(c)所示的軸力圖。N+及n-分別對應(yīng)橫截面右側(cè)及左側(cè)相鄰橫截面的軸力。由例子可見，桿的不同截面上有不同的軸力，而對桿進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算時(shí)，要以桿內(nèi)最大的軸力為計(jì)算依據(jù)，所以必須知道各個(gè)截面上的軸力，以便確定出最大的軸力值。這就需要畫軸力圖來解決。例7-7試作出例7-2中傳動軸的扭矩圖。圖7-17由例子可見，軸的不同截面上有不同的扭矩，而對軸進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算時(shí)，要以軸內(nèi)最大的扭矩為計(jì)算依據(jù)，所以必須知道各個(gè)截面上的扭矩，以便確定出最大的扭矩值。這就需要畫扭矩圖來解決。例7-8試作出圖7-18(a)所示梁的剪力圖和彎矩圖。圖7-18解如圖7-18(b)。求梁的支座反力。解得解得由上述內(nèi)力圖可見，集中力作用處的橫截面，軸力圖及剪力圖均發(fā)生突變，突變的值等于集中力的數(shù)值；集中力偶作用的橫截面，剪力圖無變化，扭矩圖與彎矩圖均發(fā)生突變，突變的值等于集中力偶的力偶矩?cái)?shù)值。二、利用分布荷載與剪力、彎矩間的微分關(guān)系作梁的內(nèi)力圖在的某些規(guī)律，在不列內(nèi)力方程的情況下，能夠快速準(zhǔn)確的畫出內(nèi)力圖。上為正，反之為負(fù)，并以A為原點(diǎn)，取x軸向右為正。用坐標(biāo)分別為x和x+dx的兩個(gè)橫截面從梁上截出長為dx的微段，其受力圖如圖7-19(b)所示。yyB(圖7-19解得由分別是剪力圖和彎矩圖的斜率。根據(jù)上述各關(guān)系式及其幾何意義，可得出畫內(nèi)力圖的一些規(guī)律如下：(1)q=0:剪力圖為一水平直線，彎矩圖為一斜直線。(2)q=常數(shù)：剪力圖為一斜直線，彎矩圖為一拋物線。(3)集中力P作用處：剪力圖在P作用處有突變，突變值等于P。彎矩圖為一折P作用處有轉(zhuǎn)折。(4)集中力偶作用處：剪力圖在力偶作用處無變化。彎矩圖在力偶作用處有突變，突變值等于集中力偶。掌握上述載荷與內(nèi)力圖之間的規(guī)律，將有助于繪制和校核梁的剪力圖和彎矩圖。將這些規(guī)律列于表7-1。梁上荷載情況無分布荷載M圖為料直線M圖為料直線M上斜直線2均布荷載向上作用均布荷載向下作用M編中力作用FCC藏面有次交C我而有轉(zhuǎn)折5集中力偶作用C截面無變化C截面有突究6Q=0戴面利用上述規(guī)律，首先根據(jù)作用于梁上的已知載荷，應(yīng)用有關(guān)平衡方程求出支座反力，然后將梁分段，并由各段內(nèi)載荷的情況初步確定剪力圖和彎矩圖的形狀，最后由式(7-3)求出特殊截面上的內(nèi)力值，便可畫出全梁的剪力圖和彎矩圖。這種繪圖方法稱為簡捷法。下面舉例說明。例7-9外伸梁如圖7-20(a)所示，試畫出該梁的內(nèi)力圖。(1)求梁的支座反力解得由Ro)e圖7-20(2)畫內(nèi)力圖：CA段：q=0kN,剪力圖為水平直線；彎矩圖為斜值線。m00在小變形情況下，梁在載荷作用下，其長度的改變可忽略不計(jì)，則當(dāng)梁上同時(shí)作用有幾個(gè)載荷時(shí)，其每一個(gè)載荷所引起梁的支座反力、剪力及彎矩將不受其它載荷的等于各載荷單獨(dú)作用時(shí)彎矩的代數(shù)和。利用疊加法作彎矩圖時(shí)，只有熟悉一些基本載荷的彎矩圖，才能快速省時(shí)。為此將常見梁的彎矩圖列表7-2中，以便查用。表7-2常見梁的彎矩圖例7-10用疊加法作圖7-21(a)所示梁的彎矩圖。圖7-21解查表7-2,可得P、p單獨(dú)作用時(shí)產(chǎn)生的彎矩圖分別為圖7-21(b、c)然后將此二彎矩圖對應(yīng)的縱坐標(biāo)代數(shù)相加，便可做出由p、p共同作用時(shí)梁的彎矩圖。如圖7-21(d)所示。例7-11用疊加法作圖7-22(a)所示梁的彎矩圖。相抵消，使得圖7-22(d)所示的陰影部分，即為梁的彎矩圖。圖7-227-1.設(shè)兩根材料不同，截面面積也不同的拉桿，承受相同的軸向拉力，其內(nèi)力是否相同?7-2.外力偶矩與扭矩的區(qū)別與聯(lián)系是什么?7-4.集中力及集中力偶作用的構(gòu)件橫截面上的軸力、扭矩、剪力、彎矩如何變化?材料力學(xué)教案2課題第2講——第八章桿件的強(qiáng)度計(jì)算學(xué)時(shí)24學(xué)時(shí)教學(xué)要求1、掌握正應(yīng)力的概念；熟練地計(jì)算出各種變形時(shí)橫截面上應(yīng)力。4.理解面積矩和形心，軸慣性矩，極慣性矩和慣性積，慣性矩和慣性積的平行移軸定理。5、了解慣性矩和慣性積的轉(zhuǎn)軸公式，慣性矩的近似計(jì)算方6、掌握各種基本變形和組合變形的強(qiáng)度計(jì)算。7、掌握剪切和擠壓的實(shí)用計(jì)算8、理解剪切的概念和實(shí)例。主要內(nèi)容2、拉壓桿和梁的正應(yīng)力。3、桿件橫截面上的切應(yīng)力。5、截面的幾何性質(zhì)。6、桿件的強(qiáng)度計(jì)算。重點(diǎn)難點(diǎn)3、偏心壓縮4、剪切面和擠壓面的確定教學(xué)方法和手段以講授為主，使用電子教案課后作業(yè)練習(xí)問題：P115:1,2,3,4,5,8,10,11習(xí)題：P115:2,3,4,5,8,11,12,13,14,17,22,26,27,預(yù)習(xí)：第九章本次講稿第八章桿件的強(qiáng)度計(jì)算內(nèi)力是構(gòu)件橫截面上分布內(nèi)力系的合力，只求出內(nèi)力，還不能解決構(gòu)件的強(qiáng)度問題。例如，兩根材料相同、粗細(xì)不同的直桿，在相同的拉力作用下，隨著拉力的增加，細(xì)桿首先被拉斷，這說明桿件的強(qiáng)度不僅與內(nèi)力有關(guān)，而且與截面的尺寸有關(guān)。為了研究構(gòu)件的強(qiáng)度問題，必須研究內(nèi)力在截面上的分布的規(guī)律。為此引入應(yīng)力的概念。內(nèi)力在截面上的某點(diǎn)處分布集度，稱為該點(diǎn)的應(yīng)力。設(shè)在某一受力構(gòu)件的m-m截面上，圍繞K點(diǎn)取為面積△A(圖8-1a),△A上的內(nèi)△A上內(nèi)力的平均集度定圖8-1一般情況下，m-m截面上的內(nèi)力并不是均勻分布的，因此平均應(yīng)力隨所取△A的大小而不同，當(dāng)△A→0時(shí)，上式的極限值解成垂直于截面的分量。和相切與截面的分量t。由圖中的關(guān)系可知。稱為正應(yīng)力，t稱為剪應(yīng)力。在國際單位制中，應(yīng)力的單位是帕斯卡，以P表示，1Pa=1N/m2。由于帕斯卡這一單位甚小，工程常用kPa(千帕)、MPa(兆帕)GPa(吉帕)。1kPa=10?Pa,1Mpa=10?Pa,1Gpa=10?Pa。第二節(jié)軸向拉(壓)桿及梁彎曲的正應(yīng)力一、桿件拉(壓)時(shí)的正應(yīng)力1.橫截面上的正應(yīng)力為觀察桿的拉伸變形現(xiàn)象，在桿表面上作出圖8-2(a)所示的縱、橫線。當(dāng)桿端加上一對軸向拉力后，由圖8-2(a)可見：桿上所有縱向線伸長相等，橫線與縱線保持垂直且仍為直線。由此作出變形的平面假設(shè)：桿件的橫截面，變形后仍為垂直于桿軸的平面。于是桿件任意兩個(gè)橫截面間的所有纖維，變形后的伸長相等。又因材料為連續(xù)均勻的，所以桿件橫截面上內(nèi)力均布，且其方向垂直于橫截面(圖8-2b),即橫截面上只有正應(yīng)力。。于是橫截面上的正應(yīng)力為式中為橫截面面積，σ的符號規(guī)定與軸力的符號一致，即拉應(yīng)力。為正，壓應(yīng)力。為注意：由于加力點(diǎn)附近區(qū)域的應(yīng)力分布比較復(fù)雜，式(8-2)不在適用，其影響的長度不大于桿的橫向尺寸。圖8-22.斜截面上的正應(yīng)力圖8-3其中角α及剪應(yīng)力t符號規(guī)定：自軸x轉(zhuǎn)向斜截面外法線n為逆時(shí)針方向時(shí)α角為正，反之為負(fù)。剪應(yīng)力t對所取桿段上任一點(diǎn)的矩順時(shí)針轉(zhuǎn)向時(shí)，剪應(yīng)力為正，反之為規(guī)在一般情況下，梁的橫截面上即有彎矩，又有剪力，如圖8-4(a)所示梁的AC及DB段。此二段梁不僅有彎曲變形，而且還有剪切變形，這種平面彎曲稱為橫力彎曲或剪切彎曲。為使問題簡化，先研究梁內(nèi)僅有彎矩而無剪力的情況。如圖8-4(a)所示梁的CD段，這種彎曲。圖8-4圖8-5稱為純彎曲1.純彎曲變形現(xiàn)象與假設(shè)為觀察純彎曲梁變形現(xiàn)象，在梁表面上作出圖8-5(a)所示的縱、橫線，當(dāng)梁端上加一力偶M后，由圖8-5(b)可見：橫向線轉(zhuǎn)過了一個(gè)角度但仍為直線；位于凸邊的縱向線伸長了，位于凹邊的縱向線縮短了；縱向線變彎后仍與橫向線垂直。由此作出純彎曲變形的平面假設(shè)：梁變形后其橫截面仍保持為平面，且仍與變形后的梁軸線垂直。同時(shí)還假設(shè)梁的各縱向纖維之間無擠壓。即所有與軸線平行的縱向纖維均是軸向拉、壓。如圖8-5(c)所示，梁的下部