數列專題訓練包括通項公式求法和前n項和求法-的方法和習題-

數列專題1、數列的通項公式與前n項的和的關系(數列的前n項的和為).2、等差數列的通項公式；3、等差數列其前n項和公式為.4、等比數列的通項公式；5、等比數列前n項的和公式為或.常用數列不等式證明中的裂項形式:（1）(;(2)(3)(4);(5)(6))一.數列的通項公式的求法1.定義法：①等差數列通項公式；②等比數列通項公式。例．等差數列是遞增數列，前n項和為，且成等比數列，．求數列的通項公式.解：設數列公差為∵成等比數列，∴，即∵，∴………………①∵∴…………②由①②得：，∴2.公式法：已知（即）求，用作差法：。例．已知數列的前項和滿足．求數列的通項公式。解：由當時，有……，經驗證也滿足上式，所以3.作商法：已知求，用作商法：。如數列中，對所有的都有，則______；4.累加法：若求：。例.已知數列滿足，，求。解：由條件知：分別令，代入上式得個等式累加之，即所以，例：已知數列，且a1=2，an+1=an+n，求an.解：∴，，，···，將以上各式相加得又因為當n=1，成立，∴5.累乘法：已知求，用累乘法：。例.已知數列滿足，，求。解：由條件知，分別令，代入上式得個等式累乘之，即又，例：已知,求通項an.解：∵∴，，…，把以上各項式子相乘得∴又當n=1時，成立∴6.已知遞推關系求，用構造法（構造等差、等比數列）。（1）形如只需構造數列，消去帶來的差異．其中有多種不同形式=1\*GB3①為常數，即遞推公式為（其中p，q均為常數，）。解法：轉化為：，其中，再利用換元法轉化為等比數列求解。例.已知數列中，，，求.解：設遞推公式可以轉化為即.故遞推公式為,令，則,且.所以是以為首項，2為公比的等比數列，則,所以.=2\*GB3②為一次多項式，即遞推公式為例．設數列：，求.解：設，將代入遞推式，得…（１）則,又，故代入（１）得備注：本題也可由,（）兩式相減得轉化為求之.=3\*GB3③為的二次式，則可設;（2）遞推公式為（其中p，q均為常數，）。（或,其中p，q,r均為常數）解法：該類型復雜一些。一般地，要先在原遞推公式兩邊同除以，得：引入輔助數列（其中），得：再應用類型（1）的方法解決。例.已知數列中，,，求。解：在兩邊乘以得：令，則,應用例7解法得：所以（3）遞推公式為（其中p，q均為常數）。解法：先把原遞推公式轉化為其中s，t滿足，再應用前面類型（2）的方法求解。例.已知數列中，,,，求。解：由可轉化為即或這里不妨選用（當然也可選用，大家可以試一試），則是以首項為，公比為的等比數列,所以,應用類型1的方法，分別令，代入上式得個等式累加之，即又，所以。7.形如或的遞推數列都可以用倒數法求通項。例：解：取倒數：是等差數列，8、型該類型是等式兩邊取對數后轉化為前邊的類型，然后再用遞推法或待定系法構造等比數列求出通項。兩邊取對數得設∴原等式變?yōu)榧醋優(yōu)榛拘?。例．已知，求其通項公式。解：由知且，將等式兩邊取對數得，即，∴為等比數列，其首項為，公比?∴，∴。通項公式為二.數列的前n項求和的求法1.公式法：①等差數列求和公式；②等比數列求和公式，特別聲明：運用等比數列求和公式，務必檢查其公比與1的關系，必要時需分類討論.；③常用公式：，，.例、已知，求的前n項和.解：由由等比數列求和公式得（利用常用公式）＝＝＝1－2.分組求和法：在直接運用公式法求和有困難時，常將“和式”中“同類項”先合并在一起，再運用公式法求和.例2、求數列的前n項和：，…解：設將其每一項拆開再重新組合得（分組）當a＝1時，＝（分組求和）當時，＝3.倒序相加法：若和式中到首尾距離相等的兩項和有其共性或數列的通項與組合數相關聯(lián)，則?？煽紤]選用倒序相加法，發(fā)揮其共性的作用求和（這也是等差數列前和公式的推導方法）.例3、求的值解：設………….①將①式右邊反序得…………..②（反序）又因為①+②得（反序相加）＝89∴S＝44.54.錯位相減法：如果數列的通項是由一個等差數列的通項與一個等比數列的通項相乘構成，那么常選用錯位相減法（這也是等比數列前和公式的推導方法）.例4、求和：………①解：由題可知，{}的通項是等差數列{2n－1}的通項與等比數列{}的通項之積設……….②（設制錯位）①－②得（錯位相減）再利用等比數列的求和公式得：∴例5、求數列前n項的和.解：由題可知，{}的通項是等差數列{2n}的通項與等比數列{}的通項之積設…………………①………………②（設制錯位）①－②得（錯位相減）∴5.裂項相消法：如果數列的通項可“分裂成兩項差”的形式，且相鄰項分裂后相關聯(lián)，那么常選用裂項相消法求和.常用裂項形式有：①；②；③，；④；⑤；⑥. 例6、求數列的前n項和.解：設（裂項）則（裂項求和）＝＝例7、在數列{an}中，，又，求數列{bn}的前n項的和.解：∵∴（裂項）∴數列{bn}的前n項和（裂項求和）＝＝6.通項轉換法：先對通項進行變形，發(fā)現其內在特征，再運用分組求和法求和。例8、求之和.解：由于（找通項及特征）∴＝（分組求和）＝＝＝7、合并法求和針對一些特殊的數列，將某些項合并在一起就具有某種特殊的性質，因此，在求數列的和時，可將這些項放在一起先求和，然后再求Sn.例求cos1°+cos2°+cos3°+···+cos178°+cos179°的值.例數列{an}：，求S2002.數列通項課后練習1已知數列中，滿足a＝６，a+1=2(a+1)（n∈N）求數列的通項公式。2已知數列中，a＞0,且a＝３，＝＋１（n∈N）3已知數列中，a＝３，a＝a＋１（n∈N）求數列的通項公式4已知數列中，a＝１，a＝3a＋２，求數列的通項公式5已知數列中，a≠０，a＝，a＝（n∈N）求a6設數列滿足a=4，a=2，a=1若數列成等差數列，求a7設數列中，a=2，a=2a+1求通項公式a8已知數列中，a=1，2a=a+a求a9已知,求an.10已知,求通項an.11已知,求通項an.（1）求和：；（2）在數列中，，且Sｎ＝９，則n＝_____；②求和：；①求數列1×4，2×5，3×6，…，，…前項和=；數列求和課后練習[例1]已知，求的前n項和.[例2]設Sn＝1+2+3+…+n，n∈N*,求的最大值.二、錯位相減法求和這種方法是在推導等比數列的前n項和公式時所用的方法，這種方法主要用于求數列{an·bn}的前n項和，其中、分別是等差數列和等比數列.[例3]求和：………①[例4]求數列前n項的和.三、倒序相加法求和這是推導等差數列的前n項和公式時所用的方法，就是將一個數列倒過來排列（反序），再把它與原數列相加，就可以得到個.[例5]求的值四、分組法求和有一類數列，既不是等差數列，也不是等比數列，若將這類數列適當拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數列，然后分別求和，再將其合并即可.[例6]求數列的前n項和：，…[例7]求數列{n(n+1)(2n+1)}的前n項和.五、裂項法求和這是分解與組合思想在數列求和中的具體應用.裂項法的實質是將數列中的每項（通項）分解，然后重新組合，使之能消去一些項，最終達到求和的目的.通項分解（裂項）如：（1）（2）（3）（4）（5）(6)[例9]求數列的前n項和.[例10]在數列{an}中，，又，求數列{bn}的前n項的和.[例11]求證：一、選擇題：1、等差數列{}中，若，則A、45B、75C、180D、3202、已知{}是等比數列，且＞0，，則A、5B、10C、15D、203、等差數列{an}中，a1=3,a100=36,則a3＋a98等于()(A)36(B)38(C)39(D)424、含2n+1個項的等差數列，其奇數項的和與偶數項的和之比為()(A)(B)(C)(D)5、在項數為2n+1的等差數列中，若所有奇數項的和為165，所有偶數項的和為150，則n等于()(A)9(B)10(C)11(D)126、等差數列{an}的前m項和為30，前2m項和為100，則它的前3m項和為()(A)130(B)170(C)210(D)160二、填空題：7、已知數列則其前n項和Sn=________.8、數列前n項和為Sn=n2+3n,則其通項an等于____________.9、已知數列1,,前n項的和為____________.三、解答題：10、已知數列{}的前n項和n(n＋1)(n＋2),試求數列{}的前n項和.11、在數列{}中，已知，,求