新教材蘇教版選擇性必修第二冊6 . 3 空間向量的應(yīng)用

第6章空間向量與立體幾何

6.3空間向量的應(yīng)用

6.3.4空間距離的計算

基礎(chǔ)過關(guān)練

題組一點到平面的距離

1.（2020陜西西安高二期末）已知正方體力閱K44G〃的棱長為1,￡為做的中點，則點。到平

面的距離為（）

V5

-BV5一

A.C52

V5

-V3一

35

D.

2.（2021江蘇蘇州常熟中學(xué)高二月考）空間四點2（2,31）,及4,1,2）,6（6,3,7）43,1,0）,則點〃到平面

力比的距離是.?

3.已知正四棱柱ABOhABC。中,AB=2,CCE2近，點E為笫的中點，則直線陽與平面龐P間的

距離為.?

4.（2021江蘇揚(yáng)州高三月考）正方體Z6O44G〃的棱長為4,瓶4￡/分別為6K的

中點,則平面Z就與平面跖切間的距離為_______.?

5.（2020江西景德鎮(zhèn)高二期末）如圖，在五面體ABCDEF中,四邊形ABCD為矩形，鰭〃平面

ABCD,EA=ED=AD=EI^2,A方4M為的中點.

⑴求證：￡勿〃平面BDE\

（2）若平面力施，平面力￡。求點￡到平面應(yīng)出的距離.

題組二點到直線的距離

6.在棱長為1的正方體力￡＜呀4￡4〃中/為4〃的中點，則點G到直線界的距離為（）

1

V3-

A.C一3B.3

D.

V6

75一

一33

7.已知直線/的一個方向向量為爐（1,a,T）,若點代-1,1,-1）為直線，外一點,4（4,1,-2）為直線

1上一點，則點尸到直線1的距離為.?

8.（2020山東濟(jì)南第二中學(xué)高二上月考）如圖，在正方體ABCD~4B1G"中,N是慢4?的中點，〃是

棱陽上的點，且⑶=3緇求直線陽與直線4N之間的距離.

能力提升練

題組一點到平面的距離

1.（2020安徽合肥高二月考,城）如圖所示，在多面體ABCDFQE中，底面ABCD是矩形，且

40,0,0）,及2,4,0）,/（2,0,0）,[0,4,0）,42,4,1）,C（0,4,3）.若四邊形力因尸為平行四邊形，則點。到平

面力園尸的距離為

n4V33

A^33CL).------

庠.警11

2.（2021湖北高三三模，靖）在棱長為1的正四面體"口中，"為段上的一點，且聞號切”為AC

的中點，則點Z到平面的W的距離為（）

A.包B苫C.包D.包

551010

3.（2021江西南昌二中高二月考，鏟）棱長為4的正方體/式》48K〃的頂點/在平面a內(nèi)，平

面力比P與平面a所成的二面角為30。，則頂點G到平面。的距離的最大值是（）

A.3+2V2V3+2V2

V3+3V2D.2+2V3

4.(2020重慶西南大學(xué)附中高二期末,*；)如圖,四棱錐4ABCD中，底面ABCD為矩形,側(cè)面山〃為

正三角形，力氏2,2廬3,平面平面力￡0,￡為棱心上一點(不與P、￡重合)，平面ADE交掾PC

于點F.

(1)求證：/〃〃打

(2)若二面角無力上￡的余弦值為繆，求點￡到平面/度的距離.

5.(2021江蘇宿遷高三第二次調(diào)研,4)已知四棱錐「力￡切的底面力￡切是直角梯形

1,BO2AD=2,E%切的中點，必，

⑴證明:平面功/小平面ABCD,

(2)若PB=PD,PC與平面相切所成的角為？，試問在側(cè)面70內(nèi)是否存在一點〃使得氏吐平面

4

70?若存在，求出點N到平面力￡如的距離;若不存在,請說明理由.

題組二點到直線的距離

6.（2021江蘇南京航空航天大學(xué)附屬中學(xué)高二月考,普）已知正方體則空間中到

三條棱Z&CG,4〃所在直線的距離相等的點有（）

個個個D.無數(shù)個

7.（2021江蘇常州前黃高級中學(xué)、深陽中學(xué)高三期末,）如圖所示，在長方體力叱

中，力廬4,止陽=2a,〃是況;的中點”是陽的中點，若異面直線的與所成的角為。，距離

為d貝（Jdsin9-.?

答案全解全析

第6章空間向量與立體幾何

6.3空間向量的應(yīng)用

6.3.4空間距離的計算

基礎(chǔ)過關(guān)練

1.A如圖所示，以Z為原點，福苑近方向分別為x軸/軸,z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系,

則4(0,0,1),〃(0,1,1),及1,0,|),6(1,1,0),因此京=(0,1,0),參=(1,0,-》碇=(1,1,一1).設(shè)平面4〃￡的

法向量為爐(幾見4),則『?處=月：°'令芯=1則為=2,此時爐(1,0,2),所以點。到平面4〃￡

(m?ArE=x1--z1=0,

的距離為舞產(chǎn)畤詈￡故選A.

\m\V55

方法總結(jié)

求點/到平面aP的距離，方法如下:⑴等體積法:先計算出四面體4為9的體積，然后計算出△

aZ?的面積，利用錐體的體積公式可計算出點力到平面aZ7的距離;(2)空間向量法:先計算出平

面aP的一個法向量〃的坐標(biāo),進(jìn)而可得出點A到平面aZ?的距離聲聾泮.

2.答案f

解析由已知彳導(dǎo)荏=(2,-2,1),就=(4,0,6)萬=(1,-2,-1),設(shè)平面加。的法向量是n={x,y,z),

mdfn?AB=2x-2y+z=0,

In?~AC=4%+6z=0,

令尸3,則斤-2,產(chǎn)2,???力=(3,2,-2),

.?.點〃到平面.C的距離為4=J34+2I哆

In1舊+2?+.2V17

3.答案1

解析如圖，連接”;交座于點0,連接您;以。為原點，建立空間直角坐標(biāo)系,

貝IJ久0,0,0),力(2,0,0),及2,2,0),風(fēng)0,2,企),所以防=(2,2,0),云=(0,2,金)，或=(2,0,0),

易知NG〃平面BED.

設(shè)平面應(yīng)應(yīng)的法向量是n={x,y,z),

則(n,DB=2x+2y=0,

(n,DE=2y+V2z=0,

令產(chǎn)1,則A=-1,2=-V2,

所以72=(-l,l-V2).

又因為方=(2,0,0),

所以點力到平面加￡的距離為

I九?萬1|_____H2J_____=]

"J(-l)2+l2+(-V2)2

故直線ZC到平面￡切的距離為1.

4.答案|

解析以。為坐標(biāo)原點，物,":以所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系。町名

則2(4,0,0),破2,0,4),以0,0,0),44,4,0),在0,2,4),網(wǎng)2,4,4),網(wǎng)4,2,4).?.標(biāo)=(2,2,0),加=(2,2,0),俞=(一

2,0,4),BF=(-2,0,4),.".~EF='MN,'BF=AM,:.EF〃MN,BF〃AM,又EFCB廬F,MNC//也頌郎?平面

EFBD,MN,A必平面力的，平面匈W〃平面EFBD.

設(shè)平面匈W的法向量是n={x,y,z),

Ijjlj(n,~MN=2x+2y=0,即儼=2z,

In,AM=-2x+4z=0,N=2Z-

令2=1,貝IJ尸2,產(chǎn)一2,...爐(2,-2,1).

?.?荏=(0,4,0),.?.平面匈W與平面〃期間的距離戶與普喙

方法總結(jié)

空間中兩條平行直線間的距離,一條直線到與它平行的平面的距離，兩個平行平面間的距離都

可以轉(zhuǎn)化為點到直線的距離進(jìn)行求解.

5.解析⑴證明:取他的中點4連接的覘

因為〃為的中點，所以腑〃切且例號紹因為必〃平面力￡切,切平面ABCD吩2,AB=CA4,

所以EF〃CD且E*CD,

所以MN〃EF且MI^EF,

所以四邊形明W為平行四邊形，

所以FM〃EN,又斯平面BDE,Em平面BDE,

所以放〃平面BDE.

(2)以初的中點。為坐標(biāo)原點，色照?！晁谥本€分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

則風(fēng)0,0,遙)，久一1,0,0),及1,4,0),其0,2,6)，

所以元=(1,0,75),西=(2,4,0),9=(0,2,0).

設(shè)平面應(yīng)應(yīng)的法向量為n={x,y,z),

則黑：：：o：即"黑：［’令:1，則尸一泊哼所以心，書，

則點￡到平面應(yīng)出的距離戶霽F=富.

\n\19

6.C建立空間直角坐標(biāo)系，如圖,

則6(1,1,O),G(1,1,1),J5(O,川,所以前=(I,?芯=(0,0,1),

所以點G到直線"的距離d=J鬲2一昌邙R哼

故選C.

7.答案V17

解析,.,p(-l,l,-l),A(4,l,-2),

.??萬二(5,0,T),又77F(1,V2,-1),

p

；?cos

'|m|?\LPA\=-2-V=26^V=26,1

.\sin<m^PA>-盤，

又|而|=V26,

...點尸到直線/的距離為

8.解析設(shè)正方體的棱長為1,如圖，建立空間直角坐標(biāo)系,

貝U以1,1,0),￡1(1,1,1),網(wǎng)0,1,0,o),.,.西=(0,0,1),前二(-L0,

設(shè)直線BM與6W的公垂線方向上的向量為n=(x,y⑼,

(n-~BM=0,(-x+|z=0,

由1jBN=0,倚，1

I?±(--x-y-z=O,

令卡2,則2=6,5—7,.,.77=(2-7,6).

設(shè)直線9與6W之間的距離為d貝U小粵滬=焉=察.

\n\V8989

能力提升練

1.D由題知藍(lán)=(0,4,1),西=(-2,0,2),設(shè)《0,0,0,則行=(-2,0,0,?.?四邊形力園6為平行四邊

形,，/=西，即(-2,0,0=(-2,0,2),...2=2,...《0,0,2),喬=(-2,0,2).設(shè)〃為平面Z￡G廠的一個法向量，

顯然n不垂直于平面亞用故可設(shè)爐(區(qū)用),則｛:：*二；即置:+匕之)，

.?.仁I1),又而=(0,0,3),.?.點。到平面力陽一的距離為號1=3=曙故選口.

1"卜+Gj+12

2.C取比的中點回連接四交廨于點0,連接DO.'：四面體力￡0為正四面體,可￡分別為

公火的中點,。為等邊三角形力￡。的中心，且DOL平面Z因以'為坐標(biāo)原點建立如圖所示的

空間直角坐標(biāo)系，其中〃O〃z軸,二?正四面體力￡口的棱長為

1,.?.Z3|Z良衿屁言.”3尺圣貝IJJ(o,4-O)，4T-°-冬降,。，o)，NO,O,O),?,?施=(亭0.o),

:匈管〃即臍場

，噌「最?)'

???麗=信,小。設(shè)平面曲的法向量為止(x,y,z),

則卜?麗=去=。，

卜?NM=+yZ=0,

令z=3,則產(chǎn)0,產(chǎn)危.?.小。佩3),

又病=(o,io),...點A到平面的W的距離左/*=黑=粵.

\2/\n\V6+910

3.B以Z為坐標(biāo)原點所在直線分別為x軸/軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則平面

的一個法向量為爐(0,0,1),碣=(4,4,4),設(shè)平面a的法向量為止(x,y,l),因為平面力優(yōu)》與

平面。成30。角，所以立〈典人高小學(xué)可得V+f殳嚀。sO，Ssin。,則G到平面

a的距離曲用名空”■=2V3Ix+y+1|=2|V2sin(0+g+V3|<2(V2+V3)，故頂點G到平面a的距

|n|Jx2+y2+l

離的最大值是2(百+四).

4.解析⑴證明:.底面為矩形,

：.AD//BC.

?.3Z7?平面分Ca?平面PBC,

...力〃〃平面PBC,

又平面4次平面力龐n平面PBOEF,：.AD//EF.

(2)取2〃的中點0,連接做過點。作就〃以交比于點H.

,：側(cè)面用。為正三角形,POLAD.

'：平面PADL平面ABCD且交線為AD,

平面ABCD.

?.?四邊形力￡口為矩形,

：.ABLAD,：.OHLAD,

如圖所示，以。為原點，陽陽?！杆谥本€分別為x軸,y軸,2軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

則”0,0,0),取0,旬4(1,0,0)風(fēng),3,0),q-l,3,0),

因此無=(-2,3,0),PB=(1,3-V3).

設(shè)鳳x,y,z),而二4話(0<A<1),

.,.(^,y,^V3)=^(1,3,-Vs),

A,3A,V3-V3A),

AE-(4T,3,V3_V34)，

設(shè)平面/比的法向量為77=(Xi,%,Zi),

?Cn?^4C=0,

(n,AE=0,

即「2/+3yl=°，

lU-l)%1+3Ayt+(V3-V3A)=0,

令-%=2,ZF筆工，

?"(3’2，制).

又易知方=(0,0,K)是平面N8C的一個法向量，

|COS<OP,/7>|

-J奔?_=3質(zhì)

V3x]13+；⑸T?20

J(乃1)

解得幾=|,

.?.據(jù),2,外衣(3,2,-3百),

又卻,3,0),

f),一

.?.點6到平面絲。的距離為午與烹=嘴.

5.解析⑴證明：；四棱錐切的底面48口是直角梯形，力廬6,叱22氏2,月秋照

:皿/BC%,

.?.△為口是等邊三角形，

:.BD=2,DB平分/ADC.

?；￡為工的中點,

:.D方AD=\,：.BDLAE,

又,；PB1AE,PBCB廬B,PB即平面PBD,

平面PBD.

?.F皿平面ABCD,

平面儂江平面ABCD.

⑵存在.

在平面加內(nèi)作P01BD于0,連接0C.

?.?平面M切，平面力￡紹平面PBDC平面ABCD=BD,

：.POL平面ABCD,：.POL0C,

...N/T0即為用與平面力戰(zhàn)所成的角，則NF。；.

4

'：PB=PD,P0kBD,

為助的中點,施二做

易得0六006,

以。為原點，如,私。「所在直線分別為x軸,y軸,z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則

5(1,0,0),6(0,73,0),^-1,0,0),7^0,0,73),

/.PC=(0,V3,-y/3),PD=(-1,0,~y/3).

假設(shè)在側(cè)面/O內(nèi)存在點兒使得氏口平面PCD,

設(shè)前=APD+JJ~PC(A,〃20,A+〃W1),易得A(_A,V3jU,-V3(x+zz-l)),

.,.前=(_X_1,V3〃,_V3(4+

f.=1

即優(yōu)：管片”