清單05 二次根式 全章復習（3個考點梳理+11種題型+10類型）（解析版）

清單05二次根式全章復習（3個考點梳理+10種題型+10類型）考點一二次根式的相關概念二次根式的概念：一般地，我們把形如a（??≥0）的式子叫做二次根式，“”稱為二次根號，二次根號下的數(shù)叫做被開方數(shù)．二次根式有意義的條件：當a≧0時，即被開方數(shù)大于或等于0，二次根式a有意義.最簡二次根式：開方數(shù)所含因數(shù)是整數(shù)，因式是整式，不含能開得盡方的因數(shù)或因式的二次根式，叫做最簡二次根式．最簡二次根式必須同時滿足以下兩個條件：①開方數(shù)所含因數(shù)是整數(shù)，因式是整式（分母中不應含有根號）；②不含能開得盡方的因數(shù)或因式的二次根式，即被開方數(shù)的因數(shù)或因式的指數(shù)都為1.同類二次根式的概念：二次根式化成最簡二次根式后，若被開方數(shù)相同，則這幾個二次根式就是同類二次根式.【考試題型1】二次根式有意義的條件1．（20-21九年級上·吉林長春·期中）式子在實數(shù)范圍內有意義的條件是．【答案】【分析】本題考查二次根式有意義的條件，注意被開方數(shù)大于等于0即可．【詳解】解：因為在實數(shù)范圍內有意義,所以解得.故答案為：．2．（2023·浙江杭州·二模）若在實數(shù)范圍內有意義，請寫出一個滿足條件的的值．【答案】答案不唯一【分析】此題考查了二次根式的有意義的條件，二次根式被開方數(shù)大于等于零時，二次根式有意義，據此解答．【詳解】解：要使若在實數(shù)范圍內有意義，則，即，則寫出一個滿足條件的的值為．故答案為：答案不唯一．【考試題型2】求二次根式的參數(shù)1．（22-23七年級下·廣東汕頭·期末）已知是整數(shù)，則自然數(shù)m的最小值是（）A．2 B．3 C．8 D．11【答案】B【分析】先根據二次根式求出m的取值范圍，再根據是整數(shù)對m的值進行分析討論．【詳解】解：由題意得：，解得，又因為是整數(shù)，∴是完全平方數(shù)，當時，即，當時，即，當時，即，當時，即，綜上所述，自然數(shù)m的值可以是3、8、11、12，所以m的最小值是3，故答案選：B．【點睛】本題考查了二次根式的化簡及自然數(shù)的定義，掌握二次根式的化簡法則及自然數(shù)是指大于等于0的整數(shù)是解答本題的關鍵．2．（22-23八年級下·福建莆田·開學考試）若實數(shù)a，b滿足，則．【答案】【分析】本題考查了求平方根的問題，掌握平方根的性質以及解法是解題的關鍵．根據和有意義得出，，再代入求解即可．【詳解】解：由題可得，解得：，∴，即，∴，故答案為：．3．（20-21七年級下·廣東廣州·期中）若，則的立方根是．【答案】2【分析】根據平方、二次根式的非負性可得，，即可求解．【詳解】解：∵，∴，，即，，∴，∴的立方根是2，故答案為：2．【點睛】本題考查平方、二次根式的非負性以及求立方根，得到，是解題的關鍵．4．（20-21八年級上·四川達州·期中）已知a，b滿足（1）a=_______，b=______（2）把a，b的值代下以下方程并求解關于的方程【答案】（1）-4，；（2）【分析】（1）結合題意，根據二次根式和絕對值的性質，通過求解一元一次方程方程，即可得到答案；（2）結合（1）的結論，通過求解一元一次方程方程，即可完成求解．【詳解】（1）∵∴∴∴故答案為：-4，；（2）根據（1）的結論，得：∴∴．【點睛】本題考查了一元一次方程、二次根式、絕對值的知識；解題的關鍵是熟練掌握二次根式、絕對值的性質，并通過求解一元一次方程，從而完成求解．【考試題型3】最簡二次根式/同類二次根式的判斷1．（23-24八年級上·上海青浦·期中）在下列二次根式中，與是同類二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了同類二次根式，熟練掌握同類二次根式的定義是解題的關鍵。根據同類二次根式的定義，先化簡，再判斷．【詳解】解：A、與被開方數(shù)不同，故不是同類二次根式；B、不是二次根式，故與不是同類二次根式；C、與被開方數(shù)相同，故是同類二次根式；D、不是二次根式，故與不是同類二次根式．故選C．2．（23-24八年級上·山東濱州·期末）下列各式化成最簡二次根式正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了對最簡二次根式的定義的理解，先根據二次根式的性質化簡，再根據最簡二次根式的定義判斷是解此題的關鍵．【詳解】解：A.，化簡不正確；B.，化簡不正確；C.，化簡不正確；D.，化簡正確；故選D．3．（23-24八年級上·貴州黔東南·期中）下列二次根式中，是最簡二次根式的有（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】A【分析】根據最簡二次根式的被開方數(shù)不含分母，且不含能開方開的盡的因數(shù)或因式，進行判斷即可．【詳解】解：下列二次根式中，是最簡二次根式的有，共2個；故選A．4．（22-23八年級下·海南省直轄縣級單位·期中）已知是最簡二次根式，且它與是同類二次根式，則．【答案】【分析】本題考查了同類二次根式的定義，熟練掌握同類二次根式的定義是解答本題的關鍵，化成最簡二次根式后被開方式相同的二次根式是同類二次根式．先把化為最簡二次根式，然后根據同類二次根式的定義列方程求解即可．【詳解】解：∵，∴，∴故答案為：．【考試題型4】已知最簡二次根式/同類二次根式求參數(shù)1．（23-24九年級上·四川宜賓·階段練習）已知最簡二次根式與是同類二次根式，則a的值可能是（）A．16 B．0 C．2 D．任意實數(shù)【答案】B【分析】本題考查了同類二次根式：一般地，把幾個二次根式化為最簡二次根式后，如果它們的被開方數(shù)相同，就把這幾個二次根式叫做同類二次根式．先把化簡為，再利用最簡二次根式的定義和同類二次根式的定義得到，從而得到a的值．【詳解】解：∵，而最簡二次根式與是同類二次根式，∴，解得．故選：B．2．（22-23九年級上·四川遂寧·期中）若和最簡二次根式是同類二次根式，則m的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】把化成最簡二次根式，由最簡二次根式的含義：被開方數(shù)相同，可得關于m的方程，解方程即可．【詳解】∵，而最簡二次根式與是同類二次根式，∴，解得：；故選：B．【點睛】本題考查了最簡二次根式，掌握最簡二次根式的概念是解題的關鍵．但要注意，要把化成最簡二次根式．3．（22-23八年級下·山東泰安·階段練習）若是最簡二次根式，則m，n的值為（

）A．0， B．，0 C．1， D．0，0【答案】A【分析】根據最簡根式的定義可知a、b的指數(shù)都為1，據此列式求解即可．【詳解】解：∵是最簡二次根式，∴，∴，故選A．【點睛】本題主要考查了最簡二次根式的定義，熟知最簡二次根式的定義是解題的關鍵：被開方數(shù)不含能開的盡的因數(shù)或因式；被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式．．4．（21-22八年級下·江西贛州·期中）若與是被開方數(shù)相同的最簡二次根式，求的值．【答案】【分析】根據最簡二次根式的定義列出a，b的方程求出，再代入計算求值【詳解】解：∵與是被開方數(shù)相同的最簡二次根式解得：∴符合題意【點睛】本題考查了最簡二次根式的概念：（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)中不含能開的盡的因數(shù)或因式，滿足上述兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式．本題求出a，b后還需檢驗，因為被開方數(shù)必須為非負數(shù)．考點二二次根式的性質與化簡二次根式的化簡方法：1）利用二次根式的基本性質進行化簡；2）利用積的算術平方根的性質和商的算術平方根的性質進行化簡．ab=a?b（a≥0，b≥0），化簡二次根式的步驟：1）把被開方數(shù)分解因式；2）利用積的算術平方根的性質，把各因式（或因數(shù)）積的算術平方根化為每個因式（或因數(shù)）的算術平方根的積；3）化簡后的二次根式中的被開方數(shù)中每一個因數(shù)（或因式）的指數(shù)都小于根指數(shù)2．【考試題型5】利用二次根式的性質化簡【類型一】數(shù)形結合法方法簡介：利用數(shù)軸和數(shù)學表達式相結合，達到快速化簡的目標.1．（22-23八年級下·四川綿陽·階段練習）已知實數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡．【答案】【分析】本題考查了數(shù)軸的定義、二次根式的運算、絕對值運算．觀察數(shù)軸可得，從而得到，再根據二次根式的運算、絕對值運算計算即可．【詳解】解：觀察數(shù)軸得：，∴，∴2．（23-24八年級上·重慶萬州·階段練習）已知實數(shù)x、y、z在數(shù)軸上的對應點如圖所示：(1)若，，且x對應的點與z對應的點恰好關于y對應的點對稱，求z的值．(2)化簡：【答案】(1)(2)【分析】本題考查了二次根式的性質與化簡，實數(shù)與數(shù)軸等知識．（1）根據對稱性求解即可；（2）先根據實數(shù)x，y，z在數(shù)軸上的對應點的位置來判斷其符號及絕對值的大小，再根據二次根式的性質化簡即可．【詳解】（1）解：∵，，且x對應的點與z對應的點恰好關于y對應的點對稱，∴，∴；（2）解：由數(shù)軸知，∴，，∴．3．（23-24八年級上·湖北襄陽·開學考試）已知實數(shù)x，y，z在數(shù)軸上的對應點如圖所示，試化簡：．【答案】【分析】本題考查了二次根式的性質與化簡，實數(shù)與數(shù)軸，先根據實數(shù)x，y，z在數(shù)軸上的對應點的位置來判斷其符號及絕對值的大小，再根據二次根式的性質化簡即可．【詳解】由數(shù)軸可得：，∴，∴原式．【類型二】估值法方法簡介：先運用二次根式的運算法則化簡，再將最后的化簡結果化成根式再確定取值范圍.1．（2023·重慶·模擬預測）與最接近的整數(shù)是（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【分析】本題考查了二次根式的乘法、無理數(shù)的估算，先根據二次根式的乘法得出，再估算出更接近，即可得出答案．【詳解】解：，，，即，更接近，更接近，更接近，即與最接近的整數(shù)是，故選：C．2．（2023·山東臨沂·中考真題）設，則實數(shù)m所在的范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據二次根式的加減運算進行計算，然后估算即可求解．【詳解】解：，∵，∴，即，故選：B．【點睛】本題考查了二次根式的加減運算，無理數(shù)的估算，正確的計算是解題的關鍵．3．（23-24九年級上·四川宜賓·階段練習）若，則a的值所在的范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意知，，由，然后利用不等式的性質求解作答即可．【詳解】解：，∵，∴，∴，即，故選：D．【點睛】本題考查了分母有理化，無理數(shù)的估算，不等式的性質．解題的關鍵在于利用分母有理化進行化簡．【類型三】公式法方法簡介：根據題目已知條件，通過變形、湊元等方法，湊成可用乘法公式，快速求解.1．（23-24九年級上·河南周口·階段練習）已知，，則與的關系為（

）A．相等 B．絕對值相等 C．互為相反數(shù) D．互為倒數(shù)【答案】D【分析】本題考查的是互為負倒數(shù)的性質，二次根式的乘法，熟練掌握性質是本題的解題關鍵．根據互為倒數(shù)的性質進行計算．【詳解】．∴與的關系為互為倒數(shù)．故選：D．2．（23-24八年級上·云南文山·階段練習）計算題：(1)；(2)．【答案】(1)3(2)0【分析】（1）直接利用二次根式的乘除運算法則化簡即可得出答案；（2）直接利用二次根式的乘法運算法則化簡，再利用有理數(shù)的加減運算法則計算得出答案．【詳解】（1）解：；（2）解：．【點睛】此題主要考查了二次根式的混合運算，正確化簡二次根式是解題關鍵．3．（23-24八年級上·上海楊浦·期中）已知：，求：的值【答案】【分析】本題考查了完全平方公式，二次根式的乘法，算術平方根，熟練掌握完全平方公式“”是解題的關鍵.【詳解】解：①；②；①－②得，.【類型四】換元法方法簡介：根據已知條件，利用未知變量替換有規(guī)律表達式，尋找規(guī)律，快速求解.1．（19-20八年級上·福建泉州·期中）若ab＝1，我們稱a與b互為倒數(shù)，我們可以用以下方法證明與互為倒數(shù)：方法一：∵，∴與互為倒數(shù)．方法二：∵﹣1，∴與互為倒數(shù)．(1)請你證明與互為倒數(shù)；(2)若，求的值；(3)利用“換元法”求的值．【答案】(1)1(2)5(3)1【分析】（1）利用倒數(shù)的定義證明即可；（2）求出，根據完全平方公式進行變形求值即可；（3）設，，則，原式變形為，代入的值即可．【詳解】（1）所以與互為倒數(shù)；（2）∵，∴，∴，即，∴，；（3）設，，則，∴原式＝1．【點睛】本題考查了二次根式的混合運算，在二次根式的混合運算中，如能結合題目特點，靈活運用二次根式的性質是，選擇合適的解題途徑，往往能事半功倍．【類型五】拆項法方法簡介：分子為多項式的和，分母為多項式的積，將分子拆出與分母相同或相似的項.1.計算：6+43+326+33+2.[提示：6＋43＋3【答案】6?【提示】根據題中提示進行拆分，在進行化簡即可.【詳解】解：原式＝6+43＝6＋3＝13+＝3?2＝6?【類型六】整體代入法方法簡介：由已知條件，通過加減乘除運算，得到與求解表達式相關的表達數(shù)值，整體代入.1．（23-24八年級下·云南昭通·期中）已知，求代數(shù)式的值．【答案】6【分析】此題主要考查了二次根式的混合運算，解題的關鍵是掌握二次根式的混合運算法則．將代入代數(shù)式即可求解；【詳解】解：將代入原式得，．2．（23-24八年級下·海南省直轄縣級單位·期中）已知求下列各式的值：(1)和；(2)【答案】(1)6；2(2)34【分析】本題主要考查二次根式的化簡求值，解題的關鍵是掌握二次根式的運算法則．（1）將、的值直接代入求值即可；（2）將、的值代入，計算即可．【詳解】（1）（2）3．（23-24八年級下·湖北武漢·期中）已知，求下面各代數(shù)式的值：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查了二次根式的化簡求值，分式的求值，完全平方公式的變形，熟知相關計算法則是解題的關鍵．（1）首先根據題意得到，然后將利用完全平方公式變形代入求解即可；（2）將通分，然后利用完全平方公式變形，最后代入求解即可．【詳解】（1）解：，．；（2）解：．【類型七】因式分解法方法簡介：與分式的化簡相同，代數(shù)式的化簡也要“變肥為瘦”.此題分母較為復雜，結合分子可將分母進行因式分解，約去公因式從而達到“瘦身”的效果.1.計算：2+【答案】5?【詳解】提示：把分母2+6+10+解：2+32+6+=1＝5?＝5＝5?【類型八】配方法1．（23-24八年級下·北京·期中）閱讀材料：材料一：數(shù)學上有一種根號內又帶根號的數(shù)，它們能通過完全平方式及二次根式的性質化去一層（或多層）根號，如：．材料二：配方法是初中數(shù)學思想方法中的一種重要的解題方法，配方法的最終目的就是配成完全平方式，利用完全平方式來解決問題，它的應用非常廣泛，在解方程、化簡根式、因式分解等方面都經常用到．如：，，，即．的最小值為1．閱讀上述材料解決下面問題：(1)_______，______；(2)求的最值；(3)比較和的大小，并說明理由．【答案】(1)；(2)的最小值為(3)，見解析【分析】此題主要考查二次根式的應用，解題的關鍵是熟知完全平方公式及配方法的應用．（1）利用完全平方公式及二次根式的性質即可求解；（2）利用完全平方公式配方即可求解；（3）首先計算和，然后比較即可．【詳解】（1），；故答案為：；；（2）∵∴的最小值為；（3）∵∴．2．閱讀材料：材料一:數(shù)學上有一種根號內又帶根號的數(shù)，它們能通過完全平方式及二次根式的性質化去一層(或多層)根號,如：材料二：配方法是初中數(shù)學思想方法中的一種重要的解題方法，配方法的最終目的就是配成完全平方式,利用完全平方式來解決問題，它的應用非常廣泛，在解方程、化簡根式、因式分解等方面都經常用到．如：∵，∴，即∴的最小值為閱讀上述材料解決下面問題：（1），；（2）求的最值；（3）已知，求的最值．【答案】（1）；（2）-；（3）-4.【分析】（1）利用完全平方公式及二次根式的性質即可求解；（2）利用完全平方公式配方即可求解；（3）先化簡x,再代入代數(shù)式化簡，最后求出其最值即可求解.【詳解】（1），；故答案為：；（2）∵==≥-1∴的最小值為-；（3）∵=∴===≤-4故的最大值為-4.【點睛】此題主要考查二次根式的應用，解題的關鍵是熟知完全平方公式及配方法的應用.【類型九】輔元法方法簡介：所謂輔元法，就是引入一個新的未知數(shù)把其他未知數(shù)表示出新的未知數(shù)的代數(shù)式，然后再代入求值.1.已知x∶y∶z＝1∶2∶3(x>0，y>0，z>0)，求x+yx+z【答案】15?2【詳解】設x＝k(k＞0)，則y＝2k，z＝3k，∴原式＝3k4k【類型十】先判斷后化解1.已知a＋b＝－6，ab＝5，求bba＋aa【答案】?【分析】首先對每一項根式進行分母有理化進行化簡，然后通分，進行分式的加法運算，再用對分母提取公因式后，運用配方法對提取公因式后的分母進行整理，最后再入求值即可．【詳解】解：∵a＋b＝－6，ab＝5，∴a＜0，b＜0.∴原式=?aab=?262.先化簡再求值(1)已知：y>3x?2+2?3x(2)已知a=12+3【答案】(1)2(2)7【分析】（1）根據二次根式被開方數(shù)的非負性，可得x的值，從而得y的范圍，從而可將要求的式子化簡求解；?（2）先對已知條件利用分母有理化進行化簡，再對要求的式子進行化簡，最后將a的值代入計算即可．【詳解】（1）∵3x?2≥0，2?3x≥0，3x?2≥0，∴x=23∵y>∴y>2?

y=y?2=?1+5?2?=2?∴y2（2）∵a=1=2?=2?∴a2=a+3=(a+3)?2?a=a+3+1=2?3=7?∴a2【點睛】本題考查了二次根式的化簡求值和分式的化簡求值，熟練掌握因式分解及分母有理化的方法，是解題的關鍵．【考試題型6】分母有理化1．（新疆維吾爾自治區(qū)克孜勒蘇柯爾克孜自治州2023-2024學年八年級下學期4月期中考試數(shù)學試題）在進行二次根式化簡時，我們有時會碰上如樣的式子，這樣的式子我們可以將其進一步化簡：以上這種化簡的方法叫做分母有理化，通過觀察請利用分母有理化解答下列問題：(1)利用你觀察到的規(guī)律，化簡(2)計算：【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查了分母有理化：（1）仿照題意進行分母有理化即可；（2）求出，據此把所求式子中的每一項分母有理化后隔項相消即可得到答案．【詳解】（1）解：；（2）解：，∴．2．（23-24八年級下·山東濟寧·期中）【閱讀材料】（材料一）細心觀察圖形，認真分析各式，總結其中蘊含的規(guī)律．，（是的面積）；，（是的面積）；，（是的面積）；（材料二）化簡：．解：．【問題解決】利用你總結的規(guī)律，解答下面的問題：(1)填空：_________，_________；(2)求的值．【答案】(1)5，(2)【分析】本題考查了數(shù)學中的閱讀能力，規(guī)律問題，還有二次根式的化簡，分母有理化，關鍵是理解新定義和有關二次根式的化簡運算．（1）根據題意找到規(guī)律，，即可得到答案；（2）根據題意將原式進行分母有理化進行求解即可．【詳解】（1）解：，（是的面積）；，（是的面積）；，（是的面積）；……，以此類推，可知，，；，（負值舍去）；故答案為：，；（2）解：，．3．（23-24七年級下·上海嘉定·期中）閱讀下列解題過程：；．請回答下列問題：(1)觀察上面的解題過程，請直接寫出式子：______．(2)利用上面所提供的解法，請化簡：．(3)模仿上面所提供的解法，試一試化簡：．【答案】(1)(2)(3)【分析】本題主要考查了分母有理化，二次根式的加減計算：（1）仿照題意進行分母有理化即可；（2）根據（1）所求裂項，然后根據二次根式的加減計算法則求解即可；（3）先分母有理化得到，據此裂項求解即可．【詳解】（1）解：，故答案為：；（2）解：；（3）解：，∴．考點三二次根式的運算乘法法則:兩個二次根式相乘，把被開方數(shù)相乘，根指數(shù)不變.即：ab=a?b（除法法則：兩個二次根式相除，把被開方數(shù)相除，根指數(shù)不變.即：ab=ab（a≥0，加減法法則：先把各個二次根式化為最簡二次根式后，再將被開方數(shù)相同的二次根式合并.【口訣】一化、二找、三合并.分母有理化：通過分子和分母同乘以分母的有理化因式，將分母中的根號去掉的過程.【分母有理化方法】1）分母為單項式時，分母的有理化因式是分母本身帶根號的部分.即：12）分母為多項式時，分母的有理化因式是與分母相乘構成平方差的另一部分.即：1a混合運算順序：先乘方、再乘除，最后加減，有括號的先算括號里的(或先去掉括號)．【考試題型7】二次根式的乘除運算1．（2024·陜西西安·三模）計算：【答案】【分析】本題考查了二次根式的混合運算．根據平方差公式、零次冪、絕對值的性質計算即可求解．【詳解】解：．2．（23-24八年級下·安徽銅陵·期中）化簡：【答案】【分析】本題考查了二次根式的化簡，二次根式的乘除混合運算．先利用二次根式的性質化簡，再根據二次根式的乘除混合運算法則計算即可求解．【詳解】解：．3．（23-24八年級下·全國·課后作業(yè)）計算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查了二次根式混合運算，解題的關鍵是熟練掌握二次根式混合運算法則，準確計算．（1）根據二次根式乘除混合運算法則進行計算即可；（2）根據二次根式性質和乘除混合運算法則進行計算即可．【詳解】（1）解：．（2）解：【考試題型8】二次根式的加減運算1．（23-24八年級下·吉林松原·期中）計算：．【答案】【分析】本題考查了二次根式的加減，先去括號，再合并同類項，即可解答，熟知相關計算法則是解題的關鍵．【詳解】解：，，．2．（23-24八年級下·廣東陽江·期中）已知，，求的值．【答案】16【分析】本題考查了二次根式的減法和乘法運算、完全平方公式、求代數(shù)式的值，能求出和的值是解此題的關鍵．首先求出，，然后將利用完全平方公式變形代數(shù)求解即可．【詳解】解：∵，，，，．3．（23-24八年級下·北京海淀·期中）人們把這個數(shù)叫做黃金分割數(shù)，著名數(shù)學家華羅庚優(yōu)選法中就應用了黃金分割數(shù)．設，，求下面的值：(1)直接寫出和的值：______，______；(2)求的值．【答案】(1)，1．(2)1．【分析】本題考查二次根式的混合運算和異分母分式的加法運算．（1）分別把，代入到和進行計算即可；（2）先進行異分母分式的加法運算，再將和的值代入即可．【詳解】（1）解：由已知，，，故答案為：，1．（2）解：．【考試題型9】二次根式的混合運算1．（23-24八年級下·吉林四平·期中）計算：【答案】【分析】本題考查二次根式的混合運算，熟練掌握二次根式的運算法則是解題的關鍵．先計算二次根式乘除法，再計算加減，合并同類二次根式即可．【詳解】解：原式2．（23-24九年級下·山東煙臺·期中）計算：(1)．(2)(3)【答案】(1)(2)(3)0【分析】本題考查了二次根式的混合運算以及分母有理化，二次根式的性質，正確掌握相關性質內容是解題的關鍵．（1）先化簡，再進行乘除，最后運算加減，即可作答．（2）先化簡，再進行乘除，最后運算加減，即可作答．（3）先由二次根式有意義，得出，然后進行分母有理化，再運算加減，即可作答．【詳解】（1）解：；（2）解：；（3）解：∵∴．3．（23-24八年級下·遼寧營口·期中）（1）先化簡，再求值：，其中，．（2）計算：【答案】（1），；（2）【分析】本題考查了分式的化簡求值，二次根式的混合運算，熟練掌握知識點是解題的關鍵．（1）先化簡括號內的分式，再將除法運算轉化為乘法運算，最后再代入求值即可；（2）先化簡計算，再合并即可．【詳解】解：（1）原式，當時，原式；（2）原式．【考試題型10】比較二次根式的大小1．（23-24八年級下·浙江金華·階段練習）材料閱讀：二次根式的運算中，經常會出現(xiàn)諸如的計算，將分母轉化為有理數(shù)，這就是“分母有理化”；．類似地，將分子轉化為有理數(shù)，就稱為“分子有理化”；．根據上述知識，請你解答下列問題：(1)化簡；(2)比較與的大小，并說明理由．【答案】(1)2(2)，理由見解析【分析】本題考查的是分母有理化：（1）根據分母有理化是要求把分子分母同時乘以，再計算即可得到答案；（2）根據分子有理化的要求把原式變形為同分子的分數(shù)，再比較大小即可．【詳解】（1）解：；（2）解：∵，，且，∴．2．（23-24八年級下·福建福州·期中）如圖，正方形A，B的面積分別為和，現(xiàn)將正方形A的邊長分別增加和得到矩形甲；將正方形B的邊長都增加得到一個新的正方形乙，請通過計算比較甲、乙兩個圖形的面積的大?。敬鸢浮烤匦渭椎拿娣e小于矩形乙的面積．【分析】此題考查了二次根式混合運算的應用，根據題意表示出矩形甲和乙的面積，然后相減得到，然后由進而求解即可．【詳解】∵正方形A，B的面積分別為和，∴正方形A，B的邊長分別為和，根據題意得，矩形甲的面積為：；矩形乙的面積為：；∴∵∴∴∴矩形甲的面積小于矩形乙的面積．3．（23-24八年級下·江蘇揚州·階段練習）觀察下列等式：①；②；③；……像，，，兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘，積不含有二次根式，我們稱這兩個代數(shù)式互為有理化因式．例如：與，與，與等都是互為有理化因式．進行二次根式計算時，利用有理化因式，可以化去分母中的根號，請回答下列問題：(1)化簡：①②(2)計算___________（為正整數(shù)）．(3)計算：___________；(4)已知，，試比較、的大小，則___________．（填“<”“>”或“=”）【答案】(1)①；②(2)(3)(4)【分析】本題考查二次根式的化簡求值、分母有理化、無理數(shù)的大小比較，（1）①根據平方差公式，分子分母同乘以；②根據平方差公式，分子分母同乘以；（2）根據平方差公式，分子分母同乘以；（3）根據分母有理化將化簡，再與相乘即可；（4）根據分母有理化將，分別轉化為，，再進行比較即可；掌握二次根式的混合運算法則、平方差公式是解題的關鍵．【詳解】（1）解：①；②；（2），故答案為：；（3），故答案為：；（4）∵，，又∵，∴，∴，∴，故答案為：．【考試題型11】二次根式的應用1．（23-24八年級下·甘肅慶陽·期中）高空拋物極其危險，是我們必須杜絕的行為．據研究，高空拋出的物體下落的時間t（單位：）和高度h（單位：）近似滿足（不考慮風速的影響）．(1)從高處拋下的物體落地所需的時間；從高處拋下的物體落地所需的時間(2)是的多少倍？(3)若從高空拋下的物體經過落地，則該物體下落的高度是多少？【答案】(1)；(2)是的倍(3)下落的高度是【分析】本題主要考查了二次根式的實際應用：（1）根據所給公式代值計算即可；（2）根據（1）的計算結果求解即可；（3）把代入公式求解即可．【詳解】（1）解：由題意得，，，故答案為：；；（2）解：，∴是的倍；（3）解：由題意得，，解得，∴下落的高度是．2．（23-24八年級下·江西宜春·階段練習）有一塊長方形木板，木工師傅采用如圖所示的方式，在木板上截出面積分別為和的兩塊正方形木板．(1)截出的兩塊正方形木板的邊長分別為______，______；(2)求剩余木板的面積；(3)如果木工師傅想從剩余的木板中截出長為1.5、寬為1.2的長方形木條，最多能截出______個這樣的木條．（參考數(shù)據：）【答案】(1)，(2)(3)2【分析】本題考查二次根式的應用；（1）由正方形的面積可得邊長，再利用二次根式的性質化簡，即可求解；（2）求出剩余的木料的長和寬，即可求面積；（3）求剩余的木料的長和寬，即可求解．【詳解】（1）根據題意得：截出的兩塊正方形木料的邊長分別為，，故答案為：，；（2）根據題意得：從剩余的木料的長為，寬為，∴剩余的面積為；（3）根據題意得：從剩余的木料的長為，寬為，∵，，能截出塊這樣的木條．故答案為：2．3．（23-24八年級下·廣東東莞·期中）小樂是一個善于思考的學生，學習完“二次根式”和“勾股定理”后，他發(fā)現(xiàn)可以有多種方法求三角形的面積，以下是他的數(shù)學筆記，請認真閱讀并完成任務，題目：已知在中，，求的面積，思路1：可以利用八年級下冊課本16頁“閱讀與思考”中的海倫－秦九韶公式求的面積，海倫公式，，其中，秦九韶公式，，思路2：可以利用勾股定理在正方形網格中構造三角耏，將的面積．(1)請根據思路1的公式，求的面積；(2)請你結合思路2，在如圖所示的網格中（正方形網格中的每個小正方形的邊長都是1，每個小正方形的頂點叫做格點），完成下列任務，①畫出，要求三個頂點都在格點上；②結合圖形，寫出面積的計算過程．【答案】(1)(2)①見解析；②，過程見解