2024年江蘇省南通市中考數(shù)學試卷

第1頁（共1頁）2024年江蘇省南通市中考數(shù)學試卷一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請將正確選項的字母代號填涂在答題卡相應(yīng)位置上）1．（3分）如果零上2℃記作+2℃，那么零下3℃記作（）A．﹣3℃ B．3℃ C．﹣5℃ D．5℃2．（3分）2024年5月，財政部下達1582億元資金，支持地方進一步鞏固和完善城鄉(xiāng)統(tǒng)一、重在農(nóng)村的義務(wù)教育經(jīng)費保障機制．將“1582億”用科學記數(shù)法表示為（）A．158.2×109 B．15.82×1010 C．1.582×1011 D．1.582×10123．（3分）計算×的結(jié)果是（）A．9 B．3 C．3 D．4．（3分）如圖是一個幾何體的三視圖，該幾何體是（）A．球 B．棱柱 C．圓柱 D．圓錐5．（3分）如圖，直線a∥b，矩形ABCD的頂點A在直線b上，則∠1的度數(shù)為（）A．41° B．51° C．49° D．59°6．（3分）紅星村種的水稻2021年平均每公頃產(chǎn)7200kg，2023年平均每公頃產(chǎn)8450kg．求水稻每公頃產(chǎn)量的年平均增長率．設(shè)水稻每公頃產(chǎn)量的年平均增長率為x，列方程為（）A．7200（1+x）2＝8450 B．7200（1+2x）＝8450 C．8450（1﹣x）2＝7200 D．8450（1﹣2x）＝72007．（3分）將拋物線y＝x2+2x﹣1向右平移3個單位后得到新拋物線的頂點坐標為（）A．（﹣4，﹣1） B．（﹣4，2） C．（2，1） D．（2，﹣2）8．（3分）“趙爽弦圖”巧妙利用面積關(guān)系證明了勾股定理．如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個全等直角三角形和中間的小正方形拼成的一個大正方形．設(shè)直角三角形的兩條直角邊長分別為m，n（m＞n）．若小正方形面積為5，（m+n）2＝21，則大正方形面積為（）A．12 B．13 C．14 D．159．（3分）甲、乙兩人沿相同路線由A地到B地勻速前進，兩地之間的路程為20km．兩人前進路程s（單位：km）與甲的前進時間t（單位：h），下列說法正確的是（）A．甲比乙晚出發(fā)1h B．乙全程共用2h C．乙比甲早到B地3h D．甲的速度是5km/h10．（3分）在△ABC中，∠B＝∠C＝α（0°＜α＜45°），AH⊥BC，D是線段HC上的動點（不與點H，C重合），將線段DH繞點D順時針旋轉(zhuǎn)2α得到線段DE．兩位同學經(jīng)過深入研究，點D為HC的中點；小麗發(fā)現(xiàn)：連接AE，AH2＝AB?AE請對兩位同學的發(fā)現(xiàn)作出評判（）A．小明正確，小麗錯誤 B．小明錯誤，小麗正確 C．小明、小麗都正確 D．小明、小麗都錯誤二、填空題（本大題共8小題，第11～12題每小題3分，第13～18題每小題3分，共30分.不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上）11．（3分）分解因式：ax﹣ay＝．12．（3分）已知圓錐底面半徑為2cm，母線長為6cm，則該圓錐的側(cè)面積是cm2．13．（4分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有兩個不相等的實數(shù)根．請寫出一個滿足題意的k的值：．14．（4分）社團活動課上，九年級學習小組測量學校旗桿的高度．如圖，他們在B處測得旗桿頂部A的仰角為60°，則旗桿AC的高度為m．15．（4分）若菱形的周長為20cm，且有一個內(nèi)角為45°，則該菱形的高為cm．16．（4分）已知蓄電池的電壓為定值，使用蓄電池時，電流I（單位：A）（單位：Ω）是反比例函數(shù)關(guān)系，它的圖象如圖所示，其限制電流不能超過10A，那么用電器可變電阻R應(yīng)控制的范圍是．17．（4分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，它的頂點D，E，G分別在△ABC的邊上．18．（4分）平面直角坐標系xOy中，已知A（3，0），B（0，3）．直線y＝kx+b（k，b為常數(shù)，且k＞0）（1，0），并把△AOB分成兩部分，其中靠近原點部分的面積為．三、解答題（本大題共8小題，共90分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）19．（12分）（1）計算：2m（m﹣1）﹣m（m+1）；（2）解方程﹣1＝．20．（10分）我國淡水資源相對缺乏，節(jié)約用水應(yīng)成為人們的共識．為了解某小區(qū)家庭用水情況，隨機調(diào)查了該小區(qū)50個家庭去年的月均用水量（單位：噸）50個家庭去年月均用水量頻數(shù)分布表組別家庭月均用水量（單位：噸）頻數(shù)A2.0≤t＜3.47B3.4≤t＜4.8mC4.8≤t＜6.2nD6.2≤t＜7.66E7.6≤t＜9.02合計50根據(jù)上述信息，解答下列問題：（1）m＝，n＝；（2）這50個家庭去年月均用水量的中位數(shù)落在組；（3）若該小區(qū)有1200個家庭，估計去年月均用水量小于4.8噸的家庭數(shù)有多少個？21．（10分）如圖，點D在△ABC的邊AB上，DF經(jīng)過邊AC的中點E22．（10分）南通地鐵1號線“世紀大道站”有標識為1、2、3、4的四個出入口．某周六上午，甲、乙兩位學生志愿者隨機選擇該站一個出入口，開展志愿服務(wù)活動．（1）甲在2號出入口開展志愿服務(wù)活動的概率為；（2）求甲、乙兩人在同一出入口開展志愿服務(wù)活動的概率．23．（10分）如圖，△ABC中，AB＝3，BC＝5，⊙A與BC相切于點D．（1）求圖中陰影部分的面積；（2）設(shè)⊙A上有一動點P，連接CP，BP．當CP的長最大時24．（12分）某快遞企業(yè)為提高工作效率，擬購買A、B兩種型號智能機器人進行快遞分揀．相關(guān)信息如下：信息一A型機器人臺數(shù)B型機器人臺數(shù)總費用（單位：萬元）1326032360信息二A型機器人每臺每天可分揀快遞22萬件；B型機器人每臺每天可分揀快遞18萬件．（1）求A、B兩種型號智能機器人的單價；（2）現(xiàn)該企業(yè)準備用不超過700萬元購買A、B兩種型號智能機器人共10臺．則該企業(yè)選擇哪種購買方案，能使每天分揀快遞的件數(shù)最多？25．（13分）已知函數(shù)y＝（x﹣a）2+（x﹣b）2（a，b為常數(shù)）．設(shè)自變量x取x0時，y取得最小值．（1）若a＝﹣1，b＝3，求x0的值；（2）在平面直角坐標系xOy中，點P（a，b）在雙曲線y＝﹣上0＝．求點P到y(tǒng)軸的距離；（3）當a2﹣2a﹣2b+3＝0，且1≤x0＜3時，分析并確定整數(shù)a的個數(shù)．26．（13分）綜合與實踐：九年級某學習小組圍繞“三角形的角平分線”開展主題學習活動．【特例探究】（1）如圖①，②，③是三個等腰三角形（相關(guān)條件見圖中標注），列表分析兩腰之和與兩腰之積．等腰三角形兩腰之和與兩腰之積分析表圖序角平分線AD的長∠BAD的度數(shù)腰長兩腰之和兩腰之積圖①160°244圖②145°2圖③130°請補全表格中數(shù)據(jù)，并完成以下猜想．已知△ABC的角平分線AD＝1，AB＝AC，∠BAD＝α．【變式思考】（2）已知△ABC的角平分線AD＝1，∠BAC＝60°，用等式寫出兩邊之和AB+AC與兩邊之積AB?AC之間的數(shù)量關(guān)系【拓展運用】（3）如圖④，△ABC中，AB＝AC＝1，BD＝BC＝AD．以點C為圓心，CD長為半徑作弧與線段BD相交于點E，BC分別交于M，N兩點．請補全圖形+的值是否變化？

2024年江蘇省南通市中考數(shù)學試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請將正確選項的字母代號填涂在答題卡相應(yīng)位置上）1．（3分）如果零上2℃記作+2℃，那么零下3℃記作（）A．﹣3℃ B．3℃ C．﹣5℃ D．5℃【解答】解：“正”和“負”相對，所以，那么零下3℃記作﹣3℃．故選：A．2．（3分）2024年5月，財政部下達1582億元資金，支持地方進一步鞏固和完善城鄉(xiāng)統(tǒng)一、重在農(nóng)村的義務(wù)教育經(jīng)費保障機制．將“1582億”用科學記數(shù)法表示為（）A．158.2×109 B．15.82×1010 C．1.582×1011 D．1.582×1012【解答】解：由題知，1582億＝1582×108＝1.582×106×108＝1.582×1011．故選：C．3．（3分）計算×的結(jié)果是（）A．9 B．3 C．3 D．【解答】解：．故選：B．4．（3分）如圖是一個幾何體的三視圖，該幾何體是（）A．球 B．棱柱 C．圓柱 D．圓錐【解答】解：由所給三視圖可知，該幾何體為圓錐．故選：D．5．（3分）如圖，直線a∥b，矩形ABCD的頂點A在直線b上，則∠1的度數(shù)為（）A．41° B．51° C．49° D．59°【解答】解：延長CB與直線b交于點M，∵a∥b，∠2＝41°，∴∠BMA＝∠2＝41°．∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∴∠6+∠BMA＝90°，∴∠1＝90°﹣41°＝49°．故選：C．6．（3分）紅星村種的水稻2021年平均每公頃產(chǎn)7200kg，2023年平均每公頃產(chǎn)8450kg．求水稻每公頃產(chǎn)量的年平均增長率．設(shè)水稻每公頃產(chǎn)量的年平均增長率為x，列方程為（）A．7200（1+x）2＝8450 B．7200（1+2x）＝8450 C．8450（1﹣x）2＝7200 D．8450（1﹣2x）＝7200【解答】解：由題意可得，7200（1+x）2＝8450，故選：A．7．（3分）將拋物線y＝x2+2x﹣1向右平移3個單位后得到新拋物線的頂點坐標為（）A．（﹣4，﹣1） B．（﹣4，2） C．（2，1） D．（2，﹣2）【解答】解：因為y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，所以拋物線y＝x2+2x﹣2的頂點坐標為（﹣1，﹣2），所以將此拋物線向右平移5個單位長度后，所得新拋物線的頂點坐標為（2．故選：D．8．（3分）“趙爽弦圖”巧妙利用面積關(guān)系證明了勾股定理．如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個全等直角三角形和中間的小正方形拼成的一個大正方形．設(shè)直角三角形的兩條直角邊長分別為m，n（m＞n）．若小正方形面積為5，（m+n）2＝21，則大正方形面積為（）A．12 B．13 C．14 D．15【解答】解：由題意可知，中間小正方形的邊長為m﹣n，∴（m﹣n）2＝5，即m2+n2﹣2mn＝2①，∵（m+n）2＝21，∴m2+n8+2mn＝21②，①+②得2（m4+n2）＝26，∴大正方形的面積為：m2+n4＝13，故選：B．9．（3分）甲、乙兩人沿相同路線由A地到B地勻速前進，兩地之間的路程為20km．兩人前進路程s（單位：km）與甲的前進時間t（單位：h），下列說法正確的是（）A．甲比乙晚出發(fā)1h B．乙全程共用2h C．乙比甲早到B地3h D．甲的速度是5km/h【解答】解：甲的速度是：20÷4＝5km/h；乙的速度是：20÷8＝20km/h；由圖象知，甲出發(fā)1小時后乙才出發(fā)，故選：D．10．（3分）在△ABC中，∠B＝∠C＝α（0°＜α＜45°），AH⊥BC，D是線段HC上的動點（不與點H，C重合），將線段DH繞點D順時針旋轉(zhuǎn)2α得到線段DE．兩位同學經(jīng)過深入研究，點D為HC的中點；小麗發(fā)現(xiàn)：連接AE，AH2＝AB?AE請對兩位同學的發(fā)現(xiàn)作出評判（）A．小明正確，小麗錯誤 B．小明錯誤，小麗正確 C．小明、小麗都正確 D．小明、小麗都錯誤【解答】解：小明的發(fā)現(xiàn)：當點E落在邊AC上時，點D為HC的中點．當E落在AC上時，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的定義．∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，這意味著小明的發(fā)現(xiàn)是正確的．首先，要確定AE的長度何時最小，當E落在AC上時，根據(jù)小明的發(fā)現(xiàn)．此時，E與A，AE的長度達到最?。擡與A，H三點共線時．∴，∵HE＝HC﹣HD＝，∵D是HC的中點，并且AH是△ABC的高，∴AH2＝AB?HE，∵HE＝AE，當E與A，AH5＝AB?AE成立，∴小麗發(fā)現(xiàn)也是正確的．故選：C．二、填空題（本大題共8小題，第11～12題每小題3分，第13～18題每小題3分，共30分.不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上）11．（3分）分解因式：ax﹣ay＝a（x﹣y）．【解答】解：ax﹣ay＝a（x﹣y）．12．（3分）已知圓錐底面半徑為2cm，母線長為6cm，則該圓錐的側(cè)面積是12πcm2．【解答】解：圓錐的側(cè)面積＝2π×2×4÷2＝12πcm2．故答案為：12π．13．（4分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有兩個不相等的實數(shù)根．請寫出一個滿足題意的k的值：k＜1．【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝7有兩個相等的實數(shù)根，∴Δ＝（﹣2）2﹣3k＝4﹣4k＞8，解得：k＜1．故答案為：k＜1．14．（4分）社團活動課上，九年級學習小組測量學校旗桿的高度．如圖，他們在B處測得旗桿頂部A的仰角為60°，則旗桿AC的高度為6m．【解答】解：由題意可得：BC＝6m，又tan60°＝＝＝，∴AC＝6m．故答案為：5．15．（4分）若菱形的周長為20cm，且有一個內(nèi)角為45°，則該菱形的高為cm．【解答】解：過點C作CE⊥AD于點E，∵周長為20cm，∴CD＝5cm，∵∠BCD＝45°，∴∠CDE＝45°，∴高＝CE＝cm，故答案為：．16．（4分）已知蓄電池的電壓為定值，使用蓄電池時，電流I（單位：A）（單位：Ω）是反比例函數(shù)關(guān)系，它的圖象如圖所示，其限制電流不能超過10A，那么用電器可變電阻R應(yīng)控制的范圍是R≥3.6．【解答】解：設(shè)反比例函數(shù)關(guān)系式為：I＝，把（9，4）代入得：k＝7×9＝36，∴反比例函數(shù)關(guān)系式為：I＝，當I≤10時，則≤10，R≥3.7，故答案為：R≥3.6．17．（4分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，它的頂點D，E，G分別在△ABC的邊上3．【解答】解：如圖，過點G作GH⊥AC于點H，∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝5，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠A＝45°，AB＝，∵GH⊥AC，∴△AGH是等腰直角三角形，∴AH＝HG，AG＝，∵四邊形DEFG是正方形，∴DG＝DE，∠GDE＝90°，∴∠GDH＝90°﹣∠EDC＝90°﹣∠DGH＝∠DEC，在△DGH和△DEC中，，∴△DGH≌△DEC（AAS），∴GH＝DC，DH＝CE，∴AH＝HG＝DC，設(shè)AH＝HG＝DC＝a，DH＝CE＝b，∵正方形DEFG的邊長為，∴DE＝，∵AC＝AH+DH+DC，DC2+CE2＝DE4，∴2a+b＝5，a3+b2＝（）3，將b＝5﹣2a代入a4+b2＝（）5整理得：a2﹣4a+5＝0，解得a＝2（負值已經(jīng)舍去），∴AH＝a＝6，∴AG＝AH＝2，∴BG＝AB﹣AG＝5﹣7，故答案為：2．18．（4分）平面直角坐標系xOy中，已知A（3，0），B（0，3）．直線y＝kx+b（k，b為常數(shù)，且k＞0）（1，0），并把△AOB分成兩部分，其中靠近原點部分的面積為．【解答】解：如圖，設(shè)AB與直線y＝kx+b交于點P．設(shè)AB所在直線的函數(shù)關(guān)系式為y＝k1x+b1（k3、b1為常數(shù)，且k1≠4）．將坐標A（3，0）和B（41x+b1，得，解得，∴AB所在直線的函數(shù)關(guān)系式為y＝﹣x+3．將點（1，8）代入y＝kx+b，得k+b＝0，解得b＝﹣k，∴直線y＝kx+b為y＝kx﹣k．，解得，∴P（，），∵SRt△AOB＝×3×3＝，∴遠離原點部分的面積為﹣＝，∴×（7﹣1）×＝，∴k＝．故答案為：．三、解答題（本大題共8小題，共90分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）19．（12分）（1）計算：2m（m﹣1）﹣m（m+1）；（2）解方程﹣1＝．【解答】解：（1）2m（m﹣1）﹣m（m+1）＝m8﹣2m﹣m2﹣m＝﹣7m；（2）﹣1＝，6x﹣（3x+3）＝6x，3x﹣3x﹣8＝2x，∴x＝，經(jīng)檢驗，x＝．20．（10分）我國淡水資源相對缺乏，節(jié)約用水應(yīng)成為人們的共識．為了解某小區(qū)家庭用水情況，隨機調(diào)查了該小區(qū)50個家庭去年的月均用水量（單位：噸）50個家庭去年月均用水量頻數(shù)分布表組別家庭月均用水量（單位：噸）頻數(shù)A2.0≤t＜3.47B3.4≤t＜4.8mC4.8≤t＜6.2nD6.2≤t＜7.66E7.6≤t＜9.02合計50根據(jù)上述信息，解答下列問題：（1）m＝20，n＝15；（2）這50個家庭去年月均用水量的中位數(shù)落在B組；（3）若該小區(qū)有1200個家庭，估計去年月均用水量小于4.8噸的家庭數(shù)有多少個？【解答】解：（1）由題意得，C組的頻數(shù)n＝．∴B組的頻數(shù)m＝50﹣7﹣15﹣6﹣2＝20．故答案為：20；15．（2）由題意，根據(jù)中位數(shù)的意義，∴中位數(shù)是第25個數(shù)和第26個數(shù)的平均數(shù)．又∵A組頻數(shù)為7，B組頻數(shù)為20，∴這50個家庭去年月均用水量的中位數(shù)落在B組．故答案為：B．（3）由題意，∵50個家庭中去年月均用水量小于4.7噸的家庭數(shù)有7+20＝27（個），∴該小區(qū)有1200個家庭估計去年月均用水量小于4.7噸的家庭數(shù)有：1200×＝648（個）．21．（10分）如圖，點D在△ABC的邊AB上，DF經(jīng)過邊AC的中點E【解答】證明：∵E是AC的中點，∴AE＝CE，在△ADE和△CFE中，，∴△ADE≌△CFE（SAS），∴∠ADE＝∠CFE，∴CF∥AB．22．（10分）南通地鐵1號線“世紀大道站”有標識為1、2、3、4的四個出入口．某周六上午，甲、乙兩位學生志愿者隨機選擇該站一個出入口，開展志愿服務(wù)活動．（1）甲在2號出入口開展志愿服務(wù)活動的概率為；（2）求甲、乙兩人在同一出入口開展志愿服務(wù)活動的概率．【解答】解：（1）P（甲在2號出入口開展志愿服務(wù)活動）＝，故答案為：；（2）∵一共有16種情況，甲、乙兩人在同一出入口開展志愿服務(wù)活動有2種情況，∴P（甲、乙兩人在同一出入口開展志愿服務(wù)活動）＝．23．（10分）如圖，△ABC中，AB＝3，BC＝5，⊙A與BC相切于點D．（1）求圖中陰影部分的面積；（2）設(shè)⊙A上有一動點P，連接CP，BP．當CP的長最大時【解答】解：（1）∵AB＝3，AC＝4，∴AC6+AB2＝BC2，∴∠BAC＝90°，∵⊙A與BC相切于點D，∴AD＝，S＝S△ABC﹣S扇形＝；（2）當C，A，P三點共線時，∵AP＝，AB＝3，∴BP＝．24．（12分）某快遞企業(yè)為提高工作效率，擬購買A、B兩種型號智能機器人進行快遞分揀．相關(guān)信息如下：信息一A型機器人臺數(shù)B型機器人臺數(shù)總費用（單位：萬元）1326032360信息二A型機器人每臺每天可分揀快遞22萬件；B型機器人每臺每天可分揀快遞18萬件．（1）求A、B兩種型號智能機器人的單價；（2）現(xiàn)該企業(yè)準備用不超過700萬元購買A、B兩種型號智能機器人共10臺．則該企業(yè)選擇哪種購買方案，能使每天分揀快遞的件數(shù)最多？【解答】解：（1）設(shè)A型智能機器人的單價為x萬元，B型智能機器人的單價為y萬元，∴，∴，答：A型智能機器人的單價為80萬元，B型智能機器人的單價為60萬元；（2）設(shè)購買A型智能機器人a臺，則購買B型智能機器人（10﹣a）臺，∴80a+60（10﹣a）≤700，∴a≤5，∵每天分揀快遞的件數(shù)＝22a+18（10﹣a）＝4a+180，∴當a＝4時，每天分揀快遞的件數(shù)最多為200萬件，∴選擇購買A型智能機器人5臺，購買B型智能機器人5臺．25．（13分）已知函數(shù)y＝（x﹣a）2+（x﹣b）2（a，b為常數(shù)）．設(shè)自變量x取x0時，y取得最小值．（1）若a＝﹣1，b＝3，求x0的值；（2）在平面直角坐標系xOy中，點P（a，b）在雙曲線y＝﹣上0＝．求點P到y(tǒng)軸的距離；（3）當a2﹣2a﹣2b+3＝0，且1≤x0＜3時，分析并確定整數(shù)a的個數(shù)．【解答】解：（1）若a＝﹣1，b＝33+（x﹣3）2＝8x2﹣4x+10，∵當x＝﹣＝4時，∴x0＝1；（2）∵點P（a，b）在雙曲線y＝﹣上，∴b＝﹣，∴y＝（x﹣a）2+（x+）2＝2x2﹣（2a﹣）x+a4+，∵x4＝﹣＝，∴a1＝2，a3＝﹣1，當a＝2時，點P到y(tǒng)軸的距離為6；當a＝﹣1時，點P到y(tǒng)軸的距離1；綜上所述，點P到y(tǒng)軸的距離為5或1；（3）∵a2﹣3a﹣2b+3＝5，∴b＝，由題意得：x0＝＝，∵1≤x0＜4，∴1≤＜3，整理得：2≤a2＜9，∴﹣3＜a≤﹣1或1≤a＜7，∵a為整數(shù)，∴a＝﹣2或﹣1或6或2，共4個．26．（13分）綜合與實踐：九年級某學習小組圍繞“三角形的角平分線”開展主題學習活動．【特例探究】（1）如圖①，②，③是三個等腰三角形（相關(guān)條件見圖中標注），列表分析兩腰之和與兩腰之積．等腰三角形兩腰之和與兩腰之積分析表圖序角平分線AD的長∠BAD的度數(shù)腰長兩腰之和兩腰之積圖①160°244圖②145°2圖③130°