（初中教案）九年級春季班第1講：相似三角形-教師版

（初中教案）九年級春季班第1講：相似三角形-教師版（初中教案）九年級春季班第1講：相似三角形-教師版/（初中教案）九年級春季班第1講：相似三角形-教師版相似三角形相似三角形知識結(jié)構(gòu)知識結(jié)構(gòu)模塊模塊一：比例線段知識知識精講一、比和比例一般來說,兩個數(shù)或兩個同類的量與相除,叫做與的比,記作(或表示為);如果(或),那么就說、、、成比例．比例的性質(zhì)基本性質(zhì)：如果,那么;如果,那么,,．合比性質(zhì)：如果,那么;如果,那么．等比性質(zhì)：如果,那么．比例線段的概念對于四條線段、、、,如果(或表示為),那么、、、叫做成比例線段,簡稱比例線段．黃金分割如果點把線段分割成和()兩段(如下圖),其中是和的比例中項,那么稱這種分割為黃金分割,點稱為線段的黃金分割點．其中,,稱為黃金分割數(shù),簡稱黃金數(shù)．AAPB三角形一邊的平行線性質(zhì)定理平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所在的直線,截得的對應(yīng)線段成比例．lABCDEABCDEABCDElllABCDEABCDEABCDEll三角形一邊的平行線性質(zhì)定理推論ABCDEABCDE如圖,點、分別在的邊、上,如果DE//BC,那么．三角形的重心定義：三角形三條中線交于一點,三條中線交點叫三角形的重心．性質(zhì)：三角形重心到一個頂點的距離,等于它到這個頂點對邊中點的距離的兩倍．三角形一邊的平行線判定定理如果一條直線截三角形的兩邊所得的對應(yīng)線段成比例,那么這條直線平行于三角形的第三邊．三角形一邊的平行線判定定理推論如果一條直線截三角形的兩邊的延長線(這兩邊的延長線在第三邊的同側(cè))所得的對應(yīng)線段成比例,那么這條直線平行于三角形的第三邊．ABCDEABCDEABCDE如圖,在中,直線與、所在直線交于點和點ABCDEABCDEABCDE平行線分線段成比例定理兩條直線被三條平行的直線所截,截得的對應(yīng)線段成比例．如圖,直線////,直線與直線被直線、、所截,那么．BBCDEFG平行線等分線段定理兩條直線被三條平行的直線所截,如果一條直線上截得的線段相等,那么另一條直線上截得的線段也相等．例題解析例題解析ABCDEF如圖,點D、E分別在的邊AB和BC上．下列所給的四個條件中,不一定能得到DE//ABCDEFA． B．C． D．【難度】★【答案】C．【解析】如圖,作,則,∴不能判定DE//AC,故選C．【總結(jié)】本題考查了平行線分線段成比例定理,找準(zhǔn)對應(yīng)關(guān)系,避免錯選．在比例尺為1：40000的一張地圖上,量得A、B兩地的距離是37cm,那么A、B兩地的實際距離是______km．【難度】★【答案】14.8．【解析】設(shè)A、B兩地的實際距離是km,則,解得：．【總結(jié)】本題考查了比例尺的有關(guān)計算,注意單位的換算．FEDABC(2015學(xué)年·普陀區(qū)二?！さ?題)如圖,已知////,DE=4,DF=6,那么下列結(jié)論正確的是(FEDABCA．BC：EF=1：1B．BC：AB=1：2C．AD：EF=2：3D．BE：CF=2：3【難度】★【答案】B．【解析】,故B正確．【總結(jié)】本題考查了平行線分線段成比例定理的運用．如果線段a=4cm,b=9cm,那么它們的比例中項是______cm．【難度】★【答案】6．【解析】設(shè)它們的比例中項是cm,則由題意得,解得：．【總結(jié)】本題考查了比例中項的概念及計算．BCDEFGA四邊形ABCD是平行四邊形,點E在邊BA的延長線上,CE交邊AD于點BCDEFGA求證：CG是EG與FG的比例中項．【難度】★【答案】詳見解析．【解析】∵四邊形是平行四邊形, ∴∥,∥,∴,, ∴,∴CG是EG與FG的比例中項．【總結(jié)】本題考查了平行線分線段成比例定理的運用．(2014學(xué)年·長寧區(qū)二?！さ?6題)已知線段AB=10,P是線段AB的黃金分割點(AP>PB),則AP=______．【難度】★【答案】．【解析】由題意得,解得：．【總結(jié)】本題考查了黃金分割的有關(guān)計算．已知,,,求的值．【難度】★★【答案】27．【解析】∵,,∴, ∵,∴,∴．【總結(jié)】本題考查了等比性質(zhì)的應(yīng)用．如果直角三角形的斜邊長為18,那么這個三角形的重心到直角頂點的距離為______．【難度】★★【答案】6．【解析】如圖,易得,∴．【總結(jié)】本題考查了重心的性質(zhì)及直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．(2015學(xué)年·浦東新區(qū)二?！さ?5題)如圖,已知AD//EF//BC,AE=3BE,ABCDEFMNAD=2ABCDEFMN【難度】★★【答案】6．【解析】作∥分別交、于點、, 由題意得,,即,∴,∴．【總結(jié)】本題考查了平行線分線段成比例定理的運用．(2015學(xué)年·普陀區(qū)二?！さ?7題)如圖,點E、F分別在正方形ABCD的邊AB、BC上,EF與對角線BD交于點G,如果BE=5,BF=3,那么FG：EF的比值是_______．ABCABCDEFGH【答案】．【解析】作于點,易得,∵,,解得：,∴．【總結(jié)】本題考查了平行線分線段成比例定理的運用,注意比和比值的區(qū)別．(2015學(xué)年·長寧區(qū)、金山區(qū)二模·第23題)如圖,BD是的角平分線,點E、F分別在BC、AB上,且DE//AB,．(1)求證：BE=AF;(2)設(shè)BD與EF交于點M,聯(lián)結(jié)AE,交BD于點N,求證：．MAFMAFBECDN【答案】詳見解析．【解析】(1)∵DE//AB,,∴∥,∴四邊形是平行四邊形, ∴,, ∵BD是的角平分線,∴, ∴,∴,∴;(2)∵DE//AB,∴,∵∥,∴, ∵,∴,∴,∴．【總結(jié)】本題考查了平行四邊形的判定及平行線分線段成比例定理．(2013學(xué)年·寶山區(qū)、嘉定區(qū)二模·第23題)如圖,在直角梯形ABCD中,AD//BC,,E為CD的中點,聯(lián)結(jié)AE并延長交BC的延長線于F;(1)聯(lián)結(jié)BE,求證：BE=EF．(2)聯(lián)結(jié)BD交AE于M,當(dāng)AD=1,AB=2,AM=EM時,求CD的長．ABCABCDEFM【答案】(1)詳見解析;(2)．【解析】(1)∵AD//BC,, 易得≌,∴E為AF的中點,∵, ∴; (2)∵,∴,∴, ∵,∴,,∵,∴．【總結(jié)】本題考查了直角三角形的性質(zhì)、平行線分線段成比例定理及勾股定理等．模塊二：相似三角形模塊二：相似三角形知識知識精講相似三角形的定義如果一個三角形的三個角與另一個三角形的三個角對應(yīng)相等,且它們各有的三邊對應(yīng)成比例,那么這兩個三角形叫做相似三角形．DABCE如圖,是的中位線,那么在與中,,,;．由相似三角形的定義,可知這兩個三角形相似．用符號來表示,記作,其中點與點、點與點、點與點分別是對應(yīng)頂點;符號"”讀作"相似于”．DABCE用符號表示兩個相似三角形時,通常把對應(yīng)頂點的字母分別寫在三角形記號"”后相應(yīng)的位置上．根據(jù)相似三角形的定義,可以得出：(1)相似三角形的對應(yīng)角相等,對應(yīng)邊成比例;兩個相似三角形的對應(yīng)邊的比,叫做這兩個三角形的相似比(或相似系數(shù))．(2)如果兩個三角形分別與同一個三角形相似,那么這兩個三角形也相似．相似三角形的預(yù)備定理平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所在的直線,截得的三角形與原三角形相似．如圖,已知直線與的兩邊、所在直線分別交于點和點,則．AABCDEABCDEABCDE相似三角形判定定理1如果一個三角形的兩角與另一個三角形的兩角對應(yīng)相等,那么這兩個三角形相似．可簡述為：兩角對應(yīng)相等,兩個三角形相似．ABCA1B1C1如圖,在與中,如果、,那么ABCA1B1C1常見模型如下：相似三角形判定定理2如果一個三角形的兩邊與另一個三角形的兩邊對應(yīng)成比例,并且夾角相等,那么這兩個三角形相似．可簡述為：兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等,兩個三角形相似．ABCA1B1C1如圖,在與中,,,那么ABCA1B1C1相似三角形判定定理3如果一個三角形的三條邊與另一個三角形的三條邊對應(yīng)成比例,那么這兩個三角形相似．可簡述為：三邊對應(yīng)成比例,兩個三角形相似．ABCA1B1C1如圖,在與中,如果ABCA1B1C1直角三角形相似的判定定理如果一個直角三角形的斜邊及一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊及一條直角邊對應(yīng)成比例,那么這兩個直角三角形相似．可簡述為：斜邊和直角邊對應(yīng)成比例,兩個直角三角形相似．ABCA1B1C1如圖,在ABCA1B1C1那么∽．相似三角形性質(zhì)定理相似三角形性質(zhì)定理1：相似三角形對應(yīng)高的比、對應(yīng)中線的比和對應(yīng)角平分線的比都等于相似比．相似三角形性質(zhì)定理2：相似三角形周長的比等于相似比．相似三角形性質(zhì)定理3：相似三角形的面積的比等于相似比的平方．例題解析例題解析(2014學(xué)年·普陀區(qū)二?！さ?題)在下列的正方形網(wǎng)格圖中,每個小正方形的邊長都是1,三角形的頂點都在格點上,那么與圖1中相似的三角形所在的網(wǎng)格圖是()圖1圖1 A． B． C． D．【難度】★【答案】B．【解析】由圖易得為直角三角形,且,故選B．【總結(jié)】本題考查了相似三角形的判定．(2013學(xué)年·普陀區(qū)二?！さ?1題)已知∽,且相似比為3：4,cm2,則______cm2．【難度】★【答案】．【解析】由題意得,∴cm2．【總結(jié)】本題考查了相似三角形的性質(zhì)．ABCDEF如圖,已知點D是中的邊BC上的一點,,的平分線交邊AC于點E,交AD于F,那么下列結(jié)論中錯誤的是(ABCDEFA．∽ B．∽C．∽ D．∽【難度】★【答案】C．【解析】∵,,∴∽; ∵,,∴∽; ∵,,∴∽;故C錯誤．【總結(jié)】本題考查了相似三角形的判定．ABCD如圖,已知點D在的邊AB上,且,．ABCD求的值．【難度】★【答案】．【解析】∵,, ∴,∴, ∵,∴,∴．【總結(jié)】本題考查了相似三角形的判定及性質(zhì)．ABCDEF如圖,已知點E、F分別在矩形ABCD的邊BC和CD上,,BE=3cm,AB=6cm,矩形ABCD的周長為ABCDEF【難度】★【答案】cm．【解析】∵AB=6cm,矩形ABCD的周長為28cm,∴cm,∴cm,∵,易證∽,∴,即,解得：cm．【總結(jié)】本題考查了一線三等角基本模型的運用．ABCDE(2015學(xué)年·靜安區(qū)二?！さ?題)如圖,已知點D、E分別在邊AB、AC上,DE//BC,BD=2AD,那么等于(ABCDEA．1：2 B．1：3 C．1：4 D．2：3【難度】★★【答案】B．【解析】∵BD=2AD,∴, ∵DE//BC,∴,∴, ∴．【總結(jié)】本題考查了相似三角形的性質(zhì)及同底等高模型的綜合運用．ABCDMG(2014學(xué)年·楊浦區(qū)二?！さ?3題)如圖,中,如果AB=AC,ADBC于點D,M為AC中點,AD與BM交于點G,那么的值為ABCDMG【難度】★★【答案】．【解析】∵AB=AC,ADBC, ∴,, ∵M(jìn)為AC中點, ∴,∴, ∴∽, ∵點為的重心, ∴．【總結(jié)】本題考查了相似三角形的判定及性質(zhì),同時考查了重心的性質(zhì)．ABCDEF如圖,已知中,AB=AC,CD是邊AB上的高,且CD=2,AD=1,四邊形BDEF是正方形．ABCDEF【難度】★★【答案】相似,詳見解析．【解析】由題意,可得：, ∴,∴, ∴,, ∴,∵, ∴∽．【總結(jié)】本題考查了相似三角形的判定．EADACBA(2013學(xué)年·奉賢區(qū)二?！さ?3題)已知：如圖,點E是四邊形ABCD的對角線EADACBA(1)求證：∽;(2)求證：．【難度】★★【答案】詳見解析．【解析】(1)∵, ∴, ∵,, ∴, ∴∽; (2)由(1)知,∴,又∵, ∴∽,∴,∴．【總結(jié)】本題考查了相似三角形的判定及性質(zhì)的綜合運用．(2015學(xué)年·浦東新區(qū)二模·第23題)如圖,已知：四邊形ABCD是平行四邊形,點E在邊BA的延長線上,CE交AD于點F,．ABCDEF(1ABCDEF(2)若DF=AF,求AC：BC的值．【難度】★★【答案】(1)詳見解析;(2)．【解析】(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形, ∴,∵,∴,又∵,∴∽; (2)∵,易證,∴, 由(1)得,即,∴, ∴．【總結(jié)】本題考查了相似三角形的判定及性質(zhì)的應(yīng)用．(2015學(xué)年·寶山區(qū)、嘉定區(qū)二?！さ?3題)如圖,BD是平行四邊形ABCD的對角線,若,于E,于F,DE與BF相交于H,BF與AD的延長線相交于G．ABCDEFGH求證：(1)CD=BH;(2ABCDEFGH【難度】★★【答案】詳見解析．【解析】(1)∵,, ∴,∵, ∴,∴≌, ∴; (2)∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴,∴, ∵,∴∽,∴,∵, ∴,∴AB是AG和HE的比例中項．【總結(jié)】本題考查了全等及相似三角形的判定．CBADEF(2015學(xué)年·松江區(qū)二?！さ?3題)如圖,已知等腰中,AB=AC,ADBC,CEAB,垂足分別為D、CBADEF(1)求證：;(2)點F是AC的中點,聯(lián)結(jié)DF,求證：．【難度】★★【答案】詳見解析．【解析】(1)∵ADBC,CEAB,∴,∵AB=AC,∴,∴;(2)由題意得,∴,∵點F是AC的中點,∴,∴,∵,∴∽,∴,∵,∴,∴．【總結(jié)】本題考查了直角三角形的性質(zhì)及相似三角形的判定．(2014學(xué)年·閔行區(qū)二?！さ?3題)如圖,已知在梯形ABCD中,AD//BC,,AB=AD．點E在邊AB上,且,DF平分,交BC于點F,聯(lián)結(jié)CE、EF．ABCDEFH(ABCDEFH(2)如果,求證：．【難度】★★【答案】詳見解析．【解析】(1)作的延長線于點, ∵AD//BC,,AB=AD, ∴,∵,∴, ∴≌,∴; (2)∵,,∴∽,∴, ∵DF平分,, ∴≌,∴,∵, ∴,∴．【總結(jié)】本題考查了一線三直角模型及相似和全等三角形的綜合應(yīng)用．ABCDEFG(2013學(xué)年·靜安區(qū)二?！さ?3題)已知：如圖,在中,AB=AC,點D、E分別是邊AC、AB的中點,DFAC,DF與CE相交于點F,AF的延長線與ABCDEFG(1)求證：;(2)聯(lián)結(jié)CG,求證：．【難度】★★【答案】詳見解析．【解析】(1)∵AB=AC,點D、E分別是邊AC、AB的中點, ∴≌, ∴, ∵DFAC, ∴, ∴, ∴∽, ∴, ∴; (2)∵,∴, ∵, ∴∽, ∴, ∵, ∴, ∴, ∴．【總結(jié)】本題考查了相似三角形的判定及性質(zhì)．(2015學(xué)年·閘北區(qū)二模·第23題)如圖,直角梯形ABCD中,,AD//BC,BC=2AD,點E為邊BC的中點．(1)求證：四邊形AECD為平行四邊形;(2)在CD邊上取一點F,聯(lián)結(jié)AF、AC、EF,設(shè)AC與EF交于點G,且．求證：∽;(3)在(2)的條件下,當(dāng)時,求：FG：EG的比值．ABCABCDEFG【答案】(1)詳見解析;(2)詳見解析;(3)．【解析】(1)∵BC=2AD,點E為邊BC的中點, ∴,∵AD//BC, ∴四邊形AECD為平行四邊形; (2)∵,∴, ∵四邊形AECD為平行四邊形,∴, ∴∽; (3)∵,∴, 設(shè),則,,∴, ∵∽,∴,解得,∴, ∴．【總結(jié)】本題考查了平行四邊形的判定、勾股定理、相似三角形的判定及性質(zhì)的綜合運用,綜合性較強,解題時注意進(jìn)行分析．如圖,已知在中,P是邊BC上的一個動點,PQ//AC,PQ與邊AB相交于點Q,AB=AC=10,BC=16,BP=x,的面積為y．(1)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式;ABCPQH(2)試探索：與ABCPQH【難度】★★★【答案】(1); (2)能相似,．【解析】(1)作于點, ∵AB=AC=10,BC=16,∴, ∴,, ∵PQ//AC,∴∽,∴,∴, ∴,即; (2)能相似,此時,詳解如下： ∵∽,∴,∴, ∵,∴,∴∽, ∴,即,解得：, ∵,即,解得：, 綜上,與能相似,此時．【總結(jié)】本題考查了相似三角形的性質(zhì)及相似三角形的存在性問題．

隨堂檢測隨堂檢測如果兩個相似三角形的面積的比為4：9,那么它們對應(yīng)的角平分線的比是______．【難度】★【答案】．【解析】相似三角形面積比等于相似比的平方．【總結(jié)】本題考查了相似三角形的性質(zhì)．ABCMN(2014學(xué)年·浦東新區(qū)二?！さ?題)如圖,和都是等邊三角形,點M是的重心,那么的值為()ABCMNA． B． C． D．【難度】★★【答案】B．【解析】∵點M是的重心,設(shè),則可得, ∴,故選B．【總結(jié)】本題考查了相似三角形及重心的性質(zhì)的綜合運用．ABCDFEM(2013學(xué)年·虹口區(qū)二模·第16題)如圖,AB//DC,DE=2AE,CF=2BF,且DC=5,ABCDFEM【難度】★★【答案】7．【解析】延長、交于點, ∵AB//DC,∴, ∵DE=2AE,CF=2BF, ∴,∴EF//DC, 過點作∥,易求．【總結(jié)】本題考查了本題考查了平行線分線段成比例定理的運用．ABCDEFOP已知,如圖,D、E、F分別是的邊BC、AB、AC的中點,AD與EF相交于點O,線段CO的延長線交AB于點ABCDEFOP【難度】★★【答案】詳見解析．【解析】∵D、E、F分別是的邊BC、AB、AC的中點, ∴∥,, 設(shè),則,∴,,∴, ∴,,∴．【總結(jié)】本題考查了三角形一邊平行線的性質(zhì)定理及中位線性質(zhì)定理的運用．(2013學(xué)年·楊浦區(qū)二模·第23題)如圖,在平行四邊形ABCD中,AEBC于E,AFCD于F．(1)求證：;ABCDEFMNG(2)若M、N分別是AB、ADABCDEFMNG【難度】★★【答案】詳見解析．【解析】(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形, ∴, ∵AEBC,AFCD, ∴∽,∴,∵,, ∴; (2)延長、交于點, ∵M(jìn)、N分別是AB、AD中點,AEBC,AFCD,∴,, ∵,∴、為等邊三角形, ∴,∵, ∴,∴EM//FN．【總結(jié)】本題考查了相似三角形的判定及直角三角形的有關(guān)性質(zhì)．(2013學(xué)年·黃浦區(qū)二?！さ?3題)如圖,中,,D是邊BC上一點,點E、F分別是線段AB、AD中點,聯(lián)結(jié)CE、CF、EF．ABCDEF(1ABCDEF(2)聯(lián)結(jié)DE,當(dāng)BD=2CD時,求證：DE=AF．【難度】★★【答案】詳見解析．【解析】(1)∵,點E、F分別是線段AB、AD中點, ∴,,∵, ∴≌; (2)∵點E、F分別是線段AB、AD中點,∴∥,, ∵BD=2CD,∴,∴四邊形是平行四邊形, ∴,∵,∴．【總結(jié)】本題考查了直角三角形的性質(zhì)、三角形全等及平行四邊形的判定和性質(zhì)的綜合運用．ABCDPGOFHE(2015學(xué)年·崇明縣二?！さ?3題)已知正方形ABCD的對角線相交于點O,的平分線分別交BD、BC于點E、F,作,垂足為H,BH的延長線分別交ACABCDPGOFHE(1)求證：AE=BG;(2)求證：．【難度】★★【答案】詳見解析．【解析】(1)∵為正方形, ∴,,∵, ∴,∵, ∴,∴≌,∴; (2)∵為的平分線,∴,∵, ∴∽,∴,∵,,∴, ∵∥,∴, ∴,∴．【總結(jié)】本題考查了正方形的性質(zhì)及相似三角形的判定．課后作業(yè)課后作業(yè)(2013學(xué)年·長寧區(qū)二模·第4題)若∽(其中點A和、B和、C和分別對應(yīng)),且AB=4,=6,則的周長和的周長之比是()A．9：4 B．4：9 C．2：3 D．3：2【難度】★【答案】C．【解析】相似三角形的周長比等于相似比．【總結(jié)】本題考查了相似三角形的性質(zhì)．ABCDEF已知,如圖,在中,,點D為AB的中點,,垂足為點F,BE交AC于點E,CE=1cm,AEABCDEF求證：(1)∽;(2)求斜邊AB的長．【難度】★【答案】詳見解析．【解析】(1)∵,, ∴,∵點D為AB的中點, ∴,∴,∴, ∴∽; (2)由(1)得,解得：cm, ∴cm．【總結(jié)】本題考查了相似三角形的判定及性質(zhì),注意觀察母子形．(2013學(xué)年·金山區(qū)二模·第23題)已知：如圖,線段AB//CD,,AC、BD相交于點P,E、F分別是線段BP和DP的中點．(1)求證：AE//CF;(2)如果AE和DC的延長線相交于點Q,M、N分別是線段AP和DQ的中點,ABC