初中幾何定理的證明

七年級(jí)下冊(cè)幾何定理的證明

怎樣證實(shí)“兩直線平行，同位角相等”

本節(jié)中，我們用疊合的方法發(fā)現(xiàn)了“兩直線平行，同位角相等”.事實(shí)

上，這個(gè)結(jié)論可以運(yùn)用已有的基本事實(shí)，通過(guò)說(shuō)理加以證實(shí).

如圖，直線AB、CD被直線EF所截，AB//CD,N1與N2是

同位角.

假設(shè)/2,那么可以過(guò)直線AB與EF的交點(diǎn)O作直線0G,使

ZEOG=N2,直線0G與直線AB是兩條直線.

根據(jù)基本事實(shí)“同位角相等，兩直線平行”，由NE0G=N2,可以得

到0G//CD.

這樣，過(guò)點(diǎn)。就有兩條直線AB、OG都與C。平行.這與基本事實(shí)''過(guò)

直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行”矛盾.

這說(shuō)明的假設(shè)不正確，于是N1=N2.

2.定理：三角形的內(nèi)角和是180。

己知：如圖，在AABC中，NA、/B、/C是它的三個(gè)內(nèi)角。

求證：ZA+ZB+ZC=180°

方法一：證明：過(guò)點(diǎn)A作AC〃BC

因?yàn)?C/8C.

5,所以NC/C=NC

‘7BAC'+7B=180°.

因?yàn)?/p>

ZBAC+ZCAC+ZB,

所以N84C+N8+NC=180。.

方法二：延長(zhǎng)BC,過(guò)點(diǎn)C作CD〃AB,同樣利用平行線的性質(zhì)來(lái)證明。

3.定理:n邊形的內(nèi)角和等于(n-2)-180°

證明思路：如下圖，將多邊形分割成若干個(gè)三角形，利用三角形的內(nèi)角和定理來(lái)求。

⑴如圖7-34(D,點(diǎn)P在〃邊形AiA2A3…4內(nèi)；

(2)如圖7-34(2),點(diǎn)P在“邊形2A3…A.的邊A2A3上.

利用圖7-34,你能計(jì)算〃邊形的內(nèi)角和嗎？

(1)(2)

4.定理：三角形的外角和等于360°

己知：如圖，在AABC中，Na、/B、/丫是它的三個(gè)外角。

求證：Za+ZP+ZY=360°

Na+Nl=180°,

Z/5+Z2=180°,

Z/+Z3=180°,

Z1+Z2+Z3=180°,

則Za+Z^+Z/=

5.定理：多邊形的外角和等于360°

證明思路和三角形外角和思路一樣。

八年級(jí)上冊(cè)幾何定理的證明

6.定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端距離相等。

已知：如圖，線段AB的垂直平分線1交AB于點(diǎn)0,點(diǎn)P在1上.

求證：PA=PB

證明：

V1-LAB,

...ZA0P=ZB0P=90°

VI平分AB

r.A0=B0

又0P=0P,ZA0P=ZB0P=90°

.,.△AOP全等于ABOP

；.PA=PB

7.定理：到線段兩端距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上。

已知:如圖，PA=PB.

求證：點(diǎn)P在AB的垂直平分線上.

方法一：

證明：過(guò)點(diǎn)P作PQLAB于。

VPO-LAB,

...ZA0P=ZB0P=90°

...△AOP、ABOP都是直角三角形.

VPA=PB,OP=OP

ARtAAOP全等于RtABOP

.".AO=BO

又,.?POSB

，P0垂直平分AB

即點(diǎn)P在AB的垂直平分線上.

方法二：

證明：取AB的中點(diǎn)0,連接P0

VPA=PB,0P=0P,A0=B0

...△A0P全等于ABOP

.?.ZAOP=ZBOP

又/A0P+/B0P=180°

ZA0P=ZB0P=90°

APO-LAB,

又AO=BO

...PO垂直平分AB

即點(diǎn)P在AB的垂直平分線上.

8.定理：角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等。

已知：如圖，點(diǎn)Q是NAOB角平分線0Q上的點(diǎn)，QC-LOATC

QD-1-OB于D,

求證：QC=QD.

證明：

VQC-LQA,QD->-OB,

AZ0QD=Z0QC=90°,

：0Q平分/AOB,

.\ZQOD=ZQOC

又OQ=OQ

.,.△OQD全等于AOQC

；.QC=QD

9.定理：到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上。

己知：如圖，點(diǎn)Q是NAOB內(nèi)的點(diǎn)，QCLDA于C

QldOB于D,且QC=QD

求證：Q在NAOB角平分線上.

證明：

VQC-LQA,QD->-OB,

.?.Z0QD=Z0QC=90°,

.".△OQD,AOQC都是直角三角形.

VQC=QD,OQ=OQ

.,.RtAOQD全等于RtAOQC

,ZQOD=ZQOC

.?.OQ平分NAOB

即Q在/AOB角平分線上.

10.定理：等腰三角形的兩個(gè)底角相等.

例7已知：如圖1-18,在△ABC中.AB=AC.

求證：/B=NC

分析：要證NB=NC,只要設(shè)法使NB、NC分別在兩個(gè)三角形

中,然后證明這兩個(gè)三角形全等.

證明：作—直：的中線AD.入

在△ABD和△ACD中，/1\

「AB=AC（已知），/I\

BD=CD（輔助線作法），g---------------

AD=AD（公共邊），圖]_]8

/.AABD^AACD（SSS）.

/.NB=NC（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）.

還有不同的方法證明NB=NC嗎？

11.定理：等腰三角形地邊上的高線、中線'頂角的平分線重合。

證明思路如下：

作頂角的平作底邊上的

:岳分線，用“SAS”中線，用-SSS-

1C**證明.證明.

12.定理：有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形

已知：如圖在AABC中，ZB=ZC

求證：4ABC是等腰三角形

證明思路:

作的角平分線AD.

由ZBAD=NCAD,NB=/C,

AD=AD,可證AABD^AACD.可知

AB=AC.

13.定理：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半

己知：CD是RtAABC斜邊AB上的中線。

求證：CD=-AB

2

方法一:

證明思路：延長(zhǎng)CD到E,使DE=CD,得AB、CE互相平分，又/ACB=90°,所以得矩形

ACBE,所以CE=AB.因?yàn)镃D=^CE,所以CE=』AB

22

方法二：

如圖2-34,在RtAABC中，ZACB是直角.

ZB是銳角,在ZACB內(nèi)作ZBCD=ZB.CD

與AB相交于點(diǎn)D,可知DB=DC.由等角的余角

相等,可得ZACD=ZA.于是DA=DC\從而

DA=DB=DC,B|JCD是斜邊AB上的中線,且

CD=yAB.

圖2-34

14.定理：斜邊和直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等

證明思路：

4(彳)在△X8C和△WC7

把兩個(gè)直角三

中，由/8=3,^ACB=

角形拼在一起.像

/A'C'B',AB=A'B',可

本節(jié)例7那樣，可

以證明

以證得4828'.BB'

C(C)(AAS).

15.勾股定理：直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。

方法一：

證明思路：

3.小明用這4張直角三角形紙片拼成圖

3-5.你能仿照上面的方法，利用圖3-5驗(yàn)

證勾股定理嗎？

圖3—5

用兩種方法計(jì)算：圖3-5(a+?=4X加b+c)

..卬丸&的面積—(“+/>)：,圖3-5的面a,+2ab-\-b'=2ah+c

J,積=4X加b+c)a"'=c'.

方法二：思路如下:

1.制作4張全等的直角三角形紙片（如圖3-3）.

圖3-3圖3-4

2.把這4張紙片拼成一個(gè)以弦Kc為邊長(zhǎng)的正方形（如圖3-

它的面積為試用另一種方法計(jì)算圖3-4的面積.你有什么發(fā)現(xiàn)?

冬3-4可以看成是由4個(gè)

直角三角形與1個(gè)邊長(zhǎng)為@一。）

..吸的小上方形組成的.它的面積為可以發(fā)現(xiàn)，=/+必，

勾股定理得到了驗(yàn)證.

:4X，ab+（6—a），-1+從

方法三：思路如下

圖3-7

把一個(gè)直立的火柴盒放倒（如圖3-7）.你能用不同的方法計(jì)算梯

形ABCD的面積，再次驗(yàn)證勾股定理嗎？

方法四：思路如下

4.圖中涂色部分是直角邊長(zhǎng)為a、b,斜邊長(zhǎng)為c的4個(gè)直角三角形.

試?yán)眠@個(gè)圖形證明勾股定理.

16.勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)分別為a、b、c,且

a2+b2=c2,那么這個(gè)三角形是直角三角形.

已知：如圖，SAABC41,a2+b2=c2

求證：AABC是直角三角形

證明思路：

圖3-8

為了證明△ABC是直角三角形.我們先畫(huà)RtAA'B'C'.使=

90°,B'C‘na'A'C=6(如圖3-8(2)),再設(shè)法證明△A'6'C"與AABC

全等.

根據(jù)勾股定理，可得八'3'2=/+廿

因?yàn)锳B?=。2+〃，

所以A'8'2=AB2,A'Bf=AB.

根據(jù)“SSS”，可證△ABC/ZSA'B'C'.

于是，NC=N("=90°,△ABC是直角三角形.

八年級(jí)下冊(cè)幾何定理的證明

17.定理：平行四邊形的對(duì)邊相等、對(duì)角相等、對(duì)角線互相平分。

證明思路：1.連接AC,證明AABC與ACDA全等，得出平行四邊形對(duì)邊相等

2.連接AC,證明AABC與ACDA全等，得出NB=ND,再利用AD〃BC,同旁內(nèi)

角互補(bǔ)及等角的補(bǔ)角相等，得出平行四邊形對(duì)角相等

3.連接AC、BD,證明AAOB與ACOD全等，得出平行四邊形對(duì)角線互相平分。

18.定理：一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形

已知：如圖9-14,在四邊形ABCD中，AD〃BC,仞=BC.

求證：四邊形ABCD是平行四邊形.

證明：連接AC.

■:AD//BC',

：.ZDAC=/BCA.

在△BC八fllADAC中,

CB=AD,

<ZBCA=Z.DAC,

CA=AC,

ABC'A9A￡MC'.

ZBAC=NDCA.

AB//CD.

：.四邊形ABCD是平行四邊形（兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平

行四邊形）.

19.定理：兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形

在四邊形ABCD中，AB=CD,AD=BC.

四邊形ABCD是平行四邊形嗎？證明你的結(jié)論.

連接4C,曲48=

CD,AD=CB,可證

A/1BC^ACD^(SSS),

得N]=N2,AB//CD.

20.定理：對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形

已知：如圖9-16,直線AC、BD相交于點(diǎn)（）.OA=a',OB=OD.

求證：四邊形ABCD是平行四邊形.

證明：在△AOB和△COD中，

OA=OC,

?NAOB=ZCOD,

OB=OD.

，AAOB色ACOD.

AB=CD.

同理AD=CB.

/.四邊形ABCD是平行四邊形（兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平

行四邊形）.

思考：對(duì)角相等的四邊形是平行四邊形嗎？（是的，通過(guò)四邊形內(nèi)角和及同旁內(nèi)角互補(bǔ)兩直

線平行來(lái)證明）

思考：一組對(duì)邊平行，一組對(duì)角相等的四邊形是平行四邊形嗎？（是的，利用兩直線平行同

旁內(nèi)角互補(bǔ)及同旁內(nèi)角互補(bǔ)兩直線平行來(lái)證明。）

思考：一組對(duì)邊行，另一組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形嗎？（不一定，反例：等腰梯形）

思考：一組對(duì)邊相等，一組對(duì)角相等的四邊形是平行四邊形嗎？（不一定，反例如下圖：四

邊形ABCD是平行四邊形，過(guò)點(diǎn)A、B、C作圓，則/B=/D,以C為圓心，BC長(zhǎng)為半徑作

圓，則CD'=BC.因此，在四邊形AD'CD中，滿足/D=ND',AD=CD',但它明顯不是平行四

邊形）

21.定理：矩形的四個(gè)內(nèi)角都是指教，對(duì)角線相等

證明思路：根據(jù)矩形的定義，有一個(gè)角是90。的平行四邊形是矩形，假設(shè)NB=90。

由N8=90。，

D^AB=DC,

Z.A+Zfl=180°,

乙ABC=ZDCB=90°,

可得N4=90。.

BC=CB,

由N4=NC,可知

所曲C=￡>8.

*可得NC=NQ=90。.

22.定理：三個(gè)角是直角的四邊形是矩形

證明思路:

由Z/=Z8=Z.C=90°,可得

44+28=180°,ZB+ZC=180°,

于是/￡>〃BC,AB//DC,所以四蝦；歲

邊形45C。是矩形.

23.定理：對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形

如圖9-21,在口ABCD中，AC=

DB.由AB=DC,BC=CB,AC=DB,

可證△ABC里ADC'B,于是ZABC=

ZDCB,又由NABC+NDCB=180°,

可知ZABC=90°.

DABCD是矩形.

24.定理：菱形的四條邊相等，對(duì)角線互相垂直

證明思路：根據(jù)菱形的定義，有以一組鄰邊相等的四邊形是菱形，假設(shè)：AB=BC

當(dāng)8c=/8時(shí)，當(dāng)8c=4B時(shí),

.明企由平行四邊形的性由平行四邊形對(duì)

,(?質(zhì)，可知4B=DC,角線的性質(zhì)，可

AD=BC.于是48=^\AO=CO.于是

BC=CD=DA.BDLAC.

25.定理：四條邊都相等的四邊形是菱形

證明思路：

曲48=QC,AD=BCf可知四

邊形45co是平行四邊形.

根據(jù)有一組鄰邊相等的平行四，/X*

邊形是菱形，可知O48CD是菱形.'

26.定理：對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形

證明思路:

如圖9-27,在U/ABCD中，AC±BD,

垂足為。由BD=DO,AC8D,可知

AB=AD.

匚JABCD是菱形.

圖9-27

27.定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半。

已知：如圖，在DE是AABC的中位線。

求證：DE〃BC,DE=-BC

2

證明思路：

在圖9-31中，延長(zhǎng)DE到點(diǎn)F,使EF=DE,連接CF（如

圖9-32）.

在aADE和ACFE中，由ED=FE,/

ZAED=/CEF,AE=CE,可證△ADE9/\

△CFE.于是，AD=CF，ZADE=NF,可%-----y…-yp

知BD//CF./\/

B乙------------

又因?yàn)锽D=AD=CF,所以四邊形c

圖9-32

DBCF是平行四邊形，從而DF〃BC,

DE=1l）F=~BC.

九年級(jí)上冊(cè)幾何定理的證明

28.

垂直于弦的直徑平分弦以及弦所對(duì)的兩條弧.

已知:是。。的直徑,CD是。O的弦，AB_LCD,垂足為P.

求證：PC=PD,改'=BD.AC=AD

證明：

?一????，??a???1???/??-、**???-*??-MA--，??

如圖2-15,AB是。()的直徑.CD是

的弦.AB_C'D.垂足為P.

連接OC、OD.

作△()('/)中.

()c=()1),OPCD.

：.PC=PD,ZBOC=/BOQ.

/八OC=/八OQ.

二位'=BI）.AC'=.G（同圓中.相等的圓心角所對(duì)的弧相等）.

29.

圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)弧上的圓心角度數(shù)的一半，同弧或等

弧所對(duì)的圓周角相等.

已知：：NBA。、//KX,分別是6（）的加,所對(duì)的圓周角、圓心角。

求證：.B八（'f

證明：根據(jù)圓心O與NBAC的位置關(guān)系分以下三種情況：

⑴如圖2-24,圓心（）在NBAC的邊AB上.

?；Z.BOC是△八（X、的外角.

JZBOC=ZBAC+.

V（M=（K\

：./（X1A=ABAC.

：./次）（'—2ZB/K,.

ZB4C=jZBOC.

（2）如圖2-25,圓心。在NBAC內(nèi),作直徑AD.

由（1）.得

/BAD=>NBC)D，NDAC=得/DOC.

///）（、）=]/故）（、.

（3）如圖2-26.圓心。在NBAC外，作直

徑4）.

由（1）.得

Z.DA13=L>OC.

.\ZB4C=ZDA('=十(/DOC-/DOB)=^ZBOC.

綜上所述：NBAC="BOC.

30.

經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.

如圖2-40,因?yàn)橐恍腛到直線I的距離OD

等于。。的半徑廣.所以直線/與。。相切.

圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑.

我們可以用反證法證明11.00.

假設(shè)立線I與()1)不垂宜.過(guò)圓心。作

ODf±l,垂足為D'(如圖2-42).因?yàn)橹本€/

與。O相切,所以圓心。到直線/的距離

()4等于。()的半徑?點(diǎn)D'在。()上.這一

樣.直線/與。。有兩個(gè)公共點(diǎn)D、D'.這

圖2-42

與“直線/與。。相切”矛盾,所以LLOD.

過(guò)圓外一點(diǎn)所畫(huà)的圓的兩條切線長(zhǎng)相等.

在圖2-48中,連接OA、OB、OP(如圖2-49).

???RA、PB是。。的切線,a

：.PA_()A.PBJ)B.

即△P(M、△POB是直角三角形.((^-―

又?/(),\=()B.()P=OP，\

ARZA/AR9B.

圖2-49

，PA=PB.

我們也可以通過(guò)圖形的運(yùn)動(dòng)證實(shí)PA=PB.

在圖2-49中.由（加.PA.

（）BPB.OA=（比.可知點(diǎn)。在

NAPB的平分線上.于是，把圖

2-495的PB沿宜線翻折.射線

PB與射線PA重合（如圖2-50）.

因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)。有且只有一條直線與

圖2-50

PA（P3）垂直.所以（出與OA重合.

即點(diǎn)B與點(diǎn)八重合，PA=PB.

已知:點(diǎn)八、&C、D、E將。。五等分.

求證：五邊形ABCDE是正五邊形。

如圖2-54,點(diǎn)八、B、如D、E將。。五等分.

'.'AB=H'=CD=DE=EA.

AB=BC=CD=DE=EA.BCE=CDA.

：.ZA=ZB.

同理NB=ZC=/D=/E.

，五邊形ABCDE是正五邊形.圖2-54

求作正方形:

求作正六邊形:

作法圖形

1.在。。中任意作一條宜徑AQ.

2.分別以點(diǎn)A、D為圓心.。。的半徑為半

徑作弧，與。。相交于點(diǎn)8、廠和點(diǎn)

C、E.

3.依次連接A、B、（'、D、E、F各點(diǎn).

六邊形A/寅就是所求作的正六邊形.

S扇形=成'\lR.

v"V"J

半徑為R.圓心角為〃。的扇形的弧長(zhǎng)I=呼.扇形的面積

1oU

s扇形=備儲(chǔ)，'可以寫(xiě).成s場(chǎng)形=品嚼?R?于是

,S扇形=.

（2）探究用哪種邊長(zhǎng)相同的正多邊形材料能夠密鋪

地面.

正〃邊形的每個(gè)內(nèi)角等于（〃-2）?180：如果在一

n

個(gè)頂點(diǎn)周圍有k個(gè)正n邊形的角，那么這些角的和應(yīng)為

360。，因此有*（〃-2）"80°=360。.

n

又由于左、〃均為正整數(shù)，因此用一種正多邊形材

料密鋪地面只有3種情況：

k=3,n=6；或左=4,〃=4;或左=6,n=3.

統(tǒng)計(jì)：

在一組數(shù)據(jù)力?.…?春中.各數(shù)據(jù)與它們的平均數(shù)亍的差的

平方分別是5汁）2,5亍）2.….y了）2.我們用它們的平均

數(shù),即

X2=-E（—T）2+（X2~T）2+???+（x~J7）2]

nn

來(lái)描述這組數(shù)據(jù)的離散程度.并把它叫做這組數(shù)據(jù)的方差（\"iance）.

從方差計(jì)算公式可以看出:一組數(shù)據(jù)的方差越大,這組數(shù)據(jù)的離

散程度就越大；一組數(shù)據(jù)的方差越小.這組數(shù)據(jù)的離散程度就越小.

概率：

一只不透明的袋子中裝有1個(gè)白球和2

個(gè)紅球.這些球除顏色外都相同.攪勻后從中任意

慎出1個(gè)球.記錄顏色后放回、攪勻.再?gòu)闹腥我?/p>

慎出1個(gè)球.求兩次都摸到紅球的概率.

解：如圖4-6.把2個(gè)紅球編號(hào)為紅球1、

圖4-6

紅球2,用表格列出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果:

結(jié)7

白紅1紅2

A（白,白）（白，紅1）（白,紅2）

:「1（紅1.白）（紅1.紅1）（紅1.紅2）

紅2（紅2,白）（紅2,紅1）（紅2,紅2）

由表格可知,共有9種可能出現(xiàn)的結(jié)果,并且它們都是等可能

的.??兩次都摸到紅球”記為事件B.它的發(fā)生有4種可能.所以事件

B發(fā)生的概率

P3T

即兩次都摸到紅球的概率是小

Z/

一般地，設(shè)試驗(yàn)結(jié)果落在某個(gè)區(qū)域S中每一點(diǎn)的機(jī)會(huì)均等，用A表示

事件,＜：＜-'tS中的一個(gè)小區(qū)域M中”.那么事件A發(fā)生的概率

M的面積

/'(A)=

S的面積.

在如圖所示的正方形ABCD內(nèi)任取一點(diǎn)O.將點(diǎn)

。與A、B兩點(diǎn)相連接.得△QAB.如果正方形

ABCD內(nèi)每一點(diǎn)被取到的可能性都相同，分別求

△OAB是鈍角三角形和直角三角形的概率.

設(shè)正方形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)為E.則

“△OAB是鈍角三角形”這個(gè)事件發(fā)生就相當(dāng)于點(diǎn)O

恰好落在以A8為直徑的半圓內(nèi).所以

P^OAIi以AB為百?gòu)降钠綀A的而積1

正方形ABCD的面積

同理，“△OAB是直角三角形”這個(gè)事件發(fā)生就相當(dāng)于點(diǎn)O恰好落在

半圓弧份上.所以

AEB的面積

P(AQAB是直角三角形)-

正方形ABCD的面積

注意，這個(gè)例子中，“△OAB是直角三角形”這個(gè)事件發(fā)生的概率是

()!但這并不意味著這個(gè)事件不會(huì)發(fā)生.我們只能說(shuō)該事件發(fā)生的概率為

。.所以，概率為0的事件不一定是不可能事件.

九年級(jí)下冊(cè)幾何定理的證明

33.基本事實(shí)：兩條直線被一組平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例。

如圖:直線l|〃12〃b，它們與直線a、b相交于點(diǎn)A、B、C、D、E、F.

ABDE

求證:

~CD~~EF

證明思路：設(shè)/也之間的距離是m