精講精煉（選擇性必修第二冊） 4

4.2.1等差數(shù)列的概念（精練）

【題組一等差數(shù)列的判斷】

1.（2021?全國高二課時練習(xí)）（多選）已知。，b,。成等差數(shù)列，則（）

A.d一定成等差數(shù)列

B.2",2S2’可能成等差數(shù)列

C.ka+2,kb+2,也+2（左為常數(shù)）一定成等差數(shù)列

D.--,可能成等差數(shù)列

abc

【答案】BCD

【解析】對于A,取a=l,b=2,c=3,則/=1，b2=4,c2=9,

此時從，d不成等差數(shù)列，故A錯誤；

對于B,令a=b=c,則2"=2'=2。，

此時2",2〃，2’是公差為0的等差數(shù)列，故B正確；

對于C,b,c成等差數(shù)列，q=c—6=為常數(shù)）.

又（姐+2）-（如+2）=%e-“），（丘+2）-（妨+2）=%（c-8）,

（必+2）—（fa?+2）=（&"+2）—（必+2）=hn（km為常數(shù)），

：.ka+2,kb+2,履+2"為常數(shù)）為等差數(shù)列，故C正確：

對于D,令4=b=<:/0,則工=工=1,

abc

此時L,1［是公差為0的等差數(shù)列，故D正確.

abc

故選：BCD

2.（2021.全國高二專題練習(xí)）若一個數(shù)列從第二項起每一項與它的前一項的差都是常數(shù)，則這個數(shù)列是等差

數(shù)列.（）

【答案】錯誤

【解析】如果一個數(shù)列｛4｝滿足為常數(shù)），那么｛4｝為等差數(shù)列，

以上為等差數(shù)列的定義，注意“不隨〃的變化而變化，即同一個常數(shù)，

故答案為：錯誤.

3.（2021全國高二課時練習(xí)）判斷下列數(shù)列是否為等差數(shù)列?①?！?3〃+2；②4=1+〃.

【答案】①等差數(shù)列：②不是等差數(shù)列.

【解析】對于①，對任意的"eN*,*—4,=[3（〃+1）+2]-（3〃+2）=3（常數(shù)），

所以，數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列；

對于②，對任意的〃eN+，*一為=[（〃+1）2+（〃+1）卜（〃2+〃）=2〃+2（不是常數(shù)），

所以，數(shù)列｛%｝不是等差數(shù)列.

【題組二等差數(shù)列的基本量】

1.（2021?河南高二月考）在等差數(shù)列｛4｝中，已知生=2,%+%=12,則勺=.

【答案】0

x[a,+d=2[a,=0

【解析】設(shè)｛（4｝的公差為d，因為，=2,%+織=12,所以‘解得：,故答案為：0.

IZ6Z]十OL<—IN\Cl—

2.（2021.新和縣實驗中學(xué)高二期末）等差數(shù)列10,7,4的第10項是.

【答案】77

【解析】設(shè)這個等差數(shù)列為｛&,｝,則％=10,d=7—10=—3,所以%=4+94=10-27=-17.故答案為：-17

3.（2021?全國高二專題練習(xí)）己知等差數(shù)列｛m｝的首項為3,公差為2,則mo=_.

【答案】21

【解析】???等差數(shù)列｛如｝的首項為3,公差為2,??.0o=m+9d=3+9x2=21.故答案為：21.

4.（2021?全國高二專題練習(xí)）在等差數(shù)列｛““｝中，已知的=8,汝=12,則數(shù)列｛3%+4｝的第2019項為

【答案】12118

【解析】設(shè)｛斯｝的公差為"，則"=咚二?=與a=2,?4=ai+3J,所以m=2,

6—42

由等差數(shù)列的性質(zhì)知｛3%+4｝是以3m+4為首項，34為公差的等差數(shù)列，

所以3知+4=（3x2+4）+6（〃-1）=6〃+4.所以第2019項為6x2019+4=12118.故答案為：12118.

5.（2021?全國高二專題練習(xí)）等差數(shù)列｛%｝中,%=3,%=6,則須=.

【答案】7

【解析】解法一：設(shè)等差數(shù)列｛斯｝的公差為d,

5

4=一八

%+d=3.1?59

由題意，得..\a\o=a\+9d=—+—=1.

4+71=6'-,122

a=—

2

解法二：設(shè)等差數(shù)列｛〃”｝的公差為“，—“2=64=3,；.d=5...."“>=48+24=6+2乂萬=7.故答案為：7.

6.（2021.全國）在下表所示的5x5正方形的25個空格中填入正整數(shù)，使得每一行，每一列都成等差數(shù)列，

問標有*號的空格應(yīng)填的數(shù)是.

*

74

2），186

y103

0X2x

【答案】142

【解析】記劭為第i行第/列的格中所填的數(shù)，則”52=x,on=y.

由第3行得43=2-V186,由第3列得“33=2X103—2X,所以2x+y=113.①

由第1列得”2i=3y,則由第2行得。23=2x74—3y,<733+103=423+2x,"23=3x103—4x.由第3列得。23

=3x103-4%.所以2x74—3y=3xl03-4x,即4x-3y=161,②

解①②，得x=50,y=13.所以05=2x186—455=2x186—4x=172,。13=2433—453=112,a14=砥=]42,

故標有*號的空格應(yīng)填142.

故答案為：142

7.（2021?全國高二專題練習(xí)）已知等差數(shù)列一8,—3,2,7,則該數(shù)列的第100項為.

【答案】487

【解析】依題意得，該數(shù)列的首項為-8,公差為5,所以moo=-8+99x5=487.故答案為：487

8.（2021?全國）等差數(shù)列｛%｝是遞增數(shù)列，若42+44=16,0q=28,則通項小=.

【答案】3〃一1

【解析】設(shè)公差為"，；。2+。4=。1+。5=16,

+4=164=2q=14

/?由…：=28'解得"或

%=14as=2.

?.?等差數(shù)列僅”｝是遞增數(shù)列，."尸？，備=14.."=與手=號=3,

5—14

.?“"=0+（〃-1）4=2+3（“-1）=3"—1.故答案為：3n-l

9.（2021?全國高二課時練習(xí)）在數(shù)列｛%｝中，若而+"=2弧.22）,4=8,%=18,則數(shù)列｛4｝的

通項公式為.

【答案】。,,=2（〃+1）2

【解析】因為飆二+二'=2瘋（〃22）,所以用工一百=?-7^7（〃*2）,

所以數(shù)歹U｛直｝是等差數(shù)列，公差d=M-g瓜

所以乩=2&+（〃一1>0=0〃+0,所以％=2（〃+1）2.故答案為：a?=2（n+l）2.

10.（2021?黑龍江高二期中（理））用火柴棒按如圖的方法搭三角形，按圖示的規(guī)律搭下去，則第100個圖形所

用火柴棒數(shù)為（）

AAZW

(1)(3)(4)

A.199C.203D.205

【答案】B

【解析】由圖示可以看出，第一個圖中用了三根火柴棒，從第二個圖開始每一個圖中所用的火柴棒數(shù)都比

前一個圖中所用的火柴棒數(shù)多兩根，

設(shè)第八個圖形所需要的火柴棒數(shù)量為%,則%=3+2（〃-1）=2〃+1,

套用關(guān)系式可以算出，第100個圖形所用火柴棒數(shù)量為2x100+1=201

故選：B

11.（2021.南昌市豫章中學(xué)高二開學(xué)考試（理））設(shè)公差為-2的等差數(shù)列，如果4+/+%+…+%=50,那么

“3+4+%+…+&99=()

A.-72B.-78

C.-182D.-82

【答案】D

【解析】

???{%}是公差為-2的等差數(shù)列，

.?.。3+。6+<79+…+。99=(“1+260+(“4+24)+(〃7+26/)+...+(。97+2f/)=。1+。4+a7++。97+33*24/=5()-132=-82.故選:

D.

12.（2021.山東日照.高二期末）對于一個給定的數(shù)列，從第二項開始，每一項減去前一項得出第二個數(shù)列，

又將第二個數(shù)列從第二項開始，每一項減去前一項得出第三個數(shù)列，這樣一直做下去，假如減了

P（PN2,PeN）次之后，得到了一個非零常數(shù)列，那么我們就稱第一個數(shù)列為產(chǎn)階等差數(shù)列，即為高階等差

數(shù)列.南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算術(shù)》和《算法通變本末》中研究了高階等差數(shù)列，對這類高階等差

數(shù)列的研究，在楊輝之后一般稱為“垛積術(shù)現(xiàn)有高階等差數(shù)列，其前7項分別為1,5,11,21,37,61,

95,則該數(shù)列的第8項為（）

A.99B.131C.139D.141

【答案】D

【解析】由題意知，如圖，

51121376195x

24681012

可得：7-34=12,解得y=46,x-95=y=46,解得x=141,

故選：D.

13.（2021?全國高二專題練習(xí)）我國古代以天為主，以地為從，天和干相連叫天干，地和支相連叫地支，合起

來叫天干地支.天干有十個，就是甲、乙，丙、丁.、戊、己、庚、辛、王、癸，地支有十二個，依次是子、丑、寅、卯

、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.古人把它們按照甲子、乙丑、丙寅……的順序而不重復(fù)地搭配起來，從甲子到

癸亥共六十對，叫做一甲子.我國古人用這六十對干支來表示年、月、日、時的序號，周而復(fù)始，不斷循環(huán)，

這就是干支紀年法，今年（2021年）是辛丑年，則百年后的2121年是（）年.

A.丙午B.丁巳C.辛巳D.辛午

【答案】C

【解析】天干：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、

申、酉、戌、亥，天干是以10為公差的等差數(shù)列，地支是以12為公差的等差數(shù)列，2021年是“干支紀年法”

中的辛丑年，以2021年的天干和地支分別為首項，所以100=10x10+0,則2121年的天干為辛；又

100=12x8+4,則2121年的地支為巳,故2121年是辛巳.

故選：C.

【題組三等差數(shù)列的中項性質(zhì)】

I.（2021?輝縣市第一高級中學(xué)高二月考（理））已知等差數(shù)列｛《,｝滿足%+4+4=15,貝1」%+%=.

【答案】10

【解析】由等差中項的性質(zhì)可得/+為+4=3%=15,可得%=5,因此，/+%=2%=10.

故答案為：10.

2.（2021?北京朝陽?高二期末）等差數(shù)歹義可｝滿足4+出=12,4+4=4,則%+%=.

【答案】-4

【解析】等差數(shù)列｛可｝滿足4+“2=12,生+4=4,設(shè)公差為d,貝！|0,+%-（4+%）=41=一8,

貝IJ%+&=%+4+4d=-4,

故答案為：-4.

3.（2021.貴溪市實驗中學(xué)高二月考）在等差數(shù)列｛q｝中，生+4+牝+&+%=450,則/+4=

【答案】180

【解析】等差數(shù)列｛《,｝中，若%+4+為+%+%=5死=450,故%=90.%+4=2%=180.故答案為：180.

4.（2021?全國高二課時練習(xí)）已知等差數(shù)列｛4｝的前三項分別為“-1,2?+1,4+7,則此數(shù)列的通項公式

為巴,=.

【答案】4n-3

【解析】由題意，得a—l+a+7=2（2a+l）,所以。=2,

所以｛%｝的前三項分別為1，5,9,公差為4,故aa=l+（〃—l）x4=4〃-3.

故答案為：4n-3.

5.（2021.全國高二課時練習(xí)）己知6是a,C的等差中項，且a>b>c,若lg（a+l）,lg（b—1）,Ig（c-l）成等

差數(shù)列，a+h+c=\5,則a的值為.

【答案】7

2h=a+c「_

Q=7

【解析】由題意，知21g，T）；lg（“+l）+lg（cT）,解得小5,故答案為：7.

a+b+c=15

c=3

a>b>c

6.（2021?全國高二課時練習(xí)）已知等差數(shù)列｛%｝滿足4+的+生+…+4（n=0，貝U（）

A.4+4（）i>0B.4+%oi〈OC.a3+a^=0D.=51

【答案】c

【解析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，得4+/）1=的+q00=…=。5＜）+。52=2%，

因為%+%+為+…+。⑼=。，所以％=°，

所以4+%01=%+%9=2a51=0，

故選：C.

7（2021.全國）侈選）等差數(shù)列｛為｝中,0=3,0+42+43=21,則（）

A.公差d=-4

B.42=7

C.數(shù)列｛〃〃｝為遞增數(shù)列

D.。3+〃4+。5=84

【答案】BC

【解秒f】Tai+s+suZl,.?.3〃2=21,.,?。2=7.

V?i=3,AJ=4.，數(shù)列｛斯｝為遞增數(shù)列，44=02+21=15.

。3+〃4+〃5=3。4=45.

故選：BC

【題組四等差數(shù)列的證明】

1.（2021?廣西壯族自治區(qū)北流市高級中學(xué)高二開學(xué)考試）在數(shù)列｛4｝中，q=1，%-%+2%+。=0,數(shù)列也｝

的前〃項和為5,,且2=占.證明：數(shù)列是等差數(shù)列；

2〃+1[??J

【答案】證明見解析

【解析】因為??+1-a?+2a向4=0,所以“向-an=-2an+ian,

即4,+避"=%二『旦，由」-----=--a—=2

2??+1%

又'=1,故數(shù)列是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列.

2.（2021?甘肅張掖市第二中學(xué)高二期中（理））在數(shù)列｛4｝中，0=1,3?！八?i+斯一斯-i=0（"N2,"SM）.

⑴由遞推公式求焉意的值，并猜想｛力的通項公式

(2)求證：數(shù)列(-1是等差數(shù)列并求數(shù)列｛4｝的通項公式.

【答案-=4,-=7,猜想工=3〃-2；⑵證明見解析；a?=—L-

a\。2。33/1-2

【解析】(I)由題知，當(dāng)"=2時，3424+a2-q=°，解得弓=；，

當(dāng)〃=3時，3a36f2+a3-?2=0,解得%=g，

故2=1,-=4,1=7,猜想得，=3"—2

a\。2。34〃

J,11c

(2)證明：由3〃M-i+a”一1=0(論2),整理得當(dāng)〃之2時，-------二3

a

%n-\

所以數(shù)列｛'｝是以I為首項，以3為公差的等差數(shù)列.

冊

11

可得-=1+3(〃-1)=3〃-2,所以4〃=；；----.

43〃一2

2a

3.(2021?全國高二專題練習(xí))已知數(shù)列｛為｝滿足％=2,飛n.數(shù)列是否為等差數(shù)列？請說明理由.

+2

【答案】是等差數(shù)列，證明見解析.

【解析】數(shù)列,是等差數(shù)列，理由如下:

2a1a+21II1I

因為《向—T.所以一=7一=—+T,即-------=~

%+2??+12見a?2an+lan2

所以根據(jù)等差數(shù)列的定義可知數(shù)列是以為首項，公差為9的等差數(shù)列.

422

a

4.(2021?全國高二專題練習(xí))已知數(shù)列｛《,｝中，?1=i??=2--(n>2,?e/V),數(shù)列也｝滿足

,an-\

d=一)(〃N)求證：數(shù)列也｝是等差數(shù)列.

an1

【答案】證明見解析.

【解析】證明：因為a“=2-」-(〃Z2,〃eN*),且么=白("6?)，

an-\n

,,1111q1i

所以?！?|一1?！币?"〃一1anT，，

a

n

315

又a、=7,所以4f=—7=--,

5q—1，

所以數(shù)列｛〃,｝是以-|為首項，以1為公差的等差數(shù)列.

5.(2021?全國高二專題練習(xí))已知數(shù)列｛4｝中，4=2,—=24+2"”，設(shè)畛.求證：數(shù)列也｝是等差

數(shù)列.

【答案】證明見解析.

【解析】證明：因為%M=24+2向，所以（一2。,1=2"（〃22）

所以當(dāng)〃W2時，加=得，2一如啜一患=丐也=1,

因為4=1,

所以他,｝是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列.

5.（2021.全國高二專題練習(xí)）在數(shù)列｛《,｝中，4=1,3《/*+q一41=0（〃22,〃€"）證明：數(shù)列1是等

差數(shù)列.

【答案】證明見解析.

【解析】證明：因為3。,,如+=0（心2,〃e"）,

11*

所以等式兩邊同除以見6T得-------=3（〃22,〃￡N）,

anan-\

又，=1,所以數(shù)列是以1為首項，3為公差的等差數(shù)列.

6.（2021?全國）已知數(shù)列｛《,｝滿足q=3,。向=』■.證明：數(shù)列一4是等差數(shù)列，并求｛《,｝的通項公

1〃〃一1,

式.

【答案】證明見解析，%=

3〃—]1一3『-24-1).1??1_1J

【解析】⑴音，+

T??+14+1'"2(67,,-1)a?-l2'

----------------4=3,

?T312'%4-12,

二?數(shù)列是嗎為首項，對為公差的等差數(shù)列，???六號+*7"…=等

7.（2021?上海市建平中學(xué)高二期末）無窮數(shù)列｛/｝滿足：an+la?+3〃向+?！?4=0且。戶-2.

（1）求證：」為等差數(shù)列;

a+2j

（2）若生⑼為數(shù)列｛%｝中的最小項，求4的取值范圍.

【答案】⑴證明見解析；（2）（-4謝041，-礪4043YA，

【解析】⑴因為4+口“+3??+1+”“+4=0,則an+tan=-3”,用一-4

所以---------------=---------------

?！?1+2+2（〃“+]+2乂?！?2）

=__________%_%+1___________

《山〃“+2（〃〃+?川）+4

一3。"1一?！?4+2（?！?a〃+J+4

〃〃一%

aa

~n+\+n

故數(shù)列［六）是以1為公差的等差數(shù)列;

⑵若為'則數(shù)列｛三I'是遞增數(shù)列’所以數(shù)列｛1%｝無最大項，因此｛“”｝中無最小項，故.<°，

又數(shù)列｛三i｝是遞增數(shù)列，且出⑼為數(shù)列｛%｝中的最小項，所以土5是數(shù)列,中的最大負項,

1—!—+2020<0

<0

&202I+2a.+240414043

從而有，,而+〃T,則，，解得一----<tl.<------

+2q+2202012021

——>0----+2021>0

出022+2q+2

40414043

故力的取值范圍為

202052021

【題組五等差數(shù)列的單調(diào)性】

1.（2021?全國）已知數(shù)列他“｝的通項公式為如=2020—3〃，則使小>0成立的最大正整數(shù)”的值為.

【答案】673

【解析】由如=2020—3”>0,得〃2<0等20=673；1,又?.XG”，二〃的最大值為673.

故答案為：673.

2.（2021?全國高二專題練習(xí)）已知等差數(shù)列｛q,｝的各項均為正整數(shù)，且%=2021,則4的最小值是

【答案】5

【解析】若等差數(shù)列｛叫的各項均為正整數(shù)，則數(shù)列應(yīng)｝單增，則公差4eN,

故