初中數(shù)學(xué)公式表

初中數(shù)學(xué)公式表

1、乘法與因式分解

①(a+b)(a—b)=a2—卜2；

②(a士b)2=a2±2ab+b2;

③(a+b)(a2—ab+t>2)=a3+￡)3;

④(a—b)(a2+ab+t>2)=a3—foS;a2+t>2=

(a+b)2—2ab；(a—b)2=(a+b)2—4abe

2、塞的運(yùn)算性質(zhì)

7、amxan=am+n；

2、am^an=am-n.

3、(am)n=amn；

4、(ab)n=anbn；

aa"

5、位)〃=廬；

L匕a

6、a-n=a,特別：(a)-n=(j)n.

7、a°=1(aH。)。

3、二次根式

①(M)2=a(az0)；

②亞=IaI；

(b近

④心=血(a〉0,b>0)o

4、三角不等式

|a|-|b|<|a±b|<|a|+|b|(定理)；

力口強(qiáng)條件：llaHbkla士b|s|a|+|b|也成立,這個(gè)

不等式也可稱為向量的三角不等式（其中a,

b分別為向量a和向量b）

|a+b|<|a|+|b|；|a-b|<|a|+|b|；|a|<b<=>-b<a<b

|a-b|>|a|-|b|；-|a|<a<|a|；

5、某些數(shù)列前n項(xiàng)之和

1+2+3+4+5+6+7+8+9+...+n=n(n+1)/2；

1+3+5+7+9+11+13+15+...+(2n-1)=n2；

2+4+6+8+10+12+14+...+(2n)=n(n+1)；

12+22+32+42+52+62+72+82+...+n2=n(n+1)

(2n+1)/6；

13+23+33+43+53+63+...n3=n2(n+1)2/4；

1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+...

+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3；

6、一元二次方根

又寸于方程：ax^+bx+c=O：

①求根公式是x=2=,其中△=

b2—4ac叫做根的判別式。

當(dāng)△>()時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

當(dāng)△=€)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；

當(dāng)△<()時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根.注意：當(dāng)△的

時(shí)，方程有實(shí)數(shù)根。

②若方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根xi和X2，則二次三項(xiàng)

式ax2+bx+c可分角牟為a(x——xq)(x—%2)°

③以a和b為根的一元二次方程是X2一(a+

b)x+ab=0o

7、一次函數(shù)

一次函數(shù)丫=/?<+6(依0)的圖象是一條直線(b

是直線與y軸的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，稱為截距)。

①當(dāng)k〉0時(shí)，y隨x的增大而增大(直線從左向

右上升);

②當(dāng)k<0時(shí)，y隨x的增大而減小(直線從左向

右下降)；

③特別地:當(dāng)b=0時(shí)，y=kx(kw0)又叫做正

比例函數(shù)(y與x成正比例)，圖象必過(guò)原點(diǎn)。

8、反比例函數(shù)

反比例函數(shù)y=)(kxo)的圖象叫做雙曲線。

①當(dāng)k>0時(shí)，雙曲線在一、三象限(在每一象

限內(nèi)，從左向右降)；

②當(dāng)k<0時(shí)，雙曲線在二、四象限(在每一象

限內(nèi)，從左向右上升)。

9、二次函數(shù)

（1）.定義：一般地，如果

y=axP?Aoc?q是常數(shù)，a#Q）,月B么,

叫做K的二次函數(shù)。

（2）.拋物線的三要素：開(kāi)口方向、對(duì)稱

軸、頂點(diǎn)。

①4的符號(hào)決定拋物線的開(kāi)口方向：當(dāng)">O

時(shí)，開(kāi)口向上；當(dāng)"V。時(shí)，開(kāi)口向下；

同相等，拋物線的開(kāi)口大小、形狀相同。

②平行于,軸（或重合）的直線記作工=另.特

別地，V軸記作直線x=o。

（3）.幾種特殊的二次函數(shù)的圖像特征如

下：

開(kāi)口方

函數(shù)解析式對(duì)稱軸頂點(diǎn)坐標(biāo)

向

當(dāng)">oJC=O(

(0,0)

y=axP時(shí),軸)

開(kāi)口向K=O(

2（。，*）

y=aac+it,軸)

上

（左）

_y=為尸_JC=91,0

當(dāng)"vO

)2JC=J1（另,近）

y=A+it時(shí)

b4ac—b2

開(kāi)口向

CDb

y=^+fee4-cx=-----2a4a

下2?)

10、統(tǒng)計(jì)初步

(1)概念:

①所要考察的對(duì)象的全體叫微總體，其中每

—考察對(duì)象叫做個(gè)體.從總、體中抽取的一

部份個(gè)體叫做總體的一-樣本，樣本中個(gè)體

的數(shù)目叫做樣本容量.

②在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)(有時(shí)不

止一個(gè))，叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).

③將一組數(shù)據(jù)按大小順序排列，把處在最中

同的一個(gè)數(shù)(或兩個(gè)數(shù)的平均數(shù))叫做這組數(shù)

據(jù)的中位數(shù).

(2)公式：設(shè)有。個(gè)數(shù),乂2，…，xn>那

么：

①平均數(shù)為：f=五土三;

n

②極差：用一組數(shù)據(jù)的最大值減去最小值所

得的差來(lái)反映這組數(shù)據(jù)的變化范圍，用這種

方法得到的差稱為極差，EP：極差=最大值-

最小值；

③)方差：據(jù)一、St-,,....J1cM的方差為SN,

222

貝/2=^[(xi—X)+(X2~X)H-------(Xn-X)]

④標(biāo)準(zhǔn)差：方差的算術(shù)平方根。一組數(shù)據(jù)的

方差越大，這組數(shù)據(jù)的波動(dòng)越大，越不穩(wěn)

定。

11、頻率與概率

(1)頻率

步頁(yè)率二頻數(shù)，各小組的頻數(shù)之和等于總數(shù)，

各小組的頻率之和等于1,頻率分布直方圖中

各個(gè)小長(zhǎng)方形的面積為各組頻率。

(2)概率

①如果用P表示一個(gè)事件A發(fā)生的概率，則

0<P(A)<1；

P(必然事件)=1；P(不可能事件)=0；

②在具體情境中了解概率的意義，運(yùn)用列舉

法(包括列表、畫(huà)樹(shù)狀圖)計(jì)算簡(jiǎn)單事件發(fā)

生的概率。

③大量的重復(fù)實(shí)驗(yàn)時(shí)頻率可視為事件發(fā)生概

率的估計(jì)值；

12、銳角三角形

①設(shè)NA是AABC的任一銳角，則NA的正

2的對(duì)邊

弦：sin/\=一一,NA的余弦：cosA=

乙鄲）鄰邊入驛?對(duì)邊

斜邊,NA的正切：tanA=乙倏）鄰邊.并

且sin2a+cos2A=l。

0<sin/A<1,0<cos/A<1,tan/A>0.NA

越大，NA的正弦和正切值越大，余弦值反而

越小。

②余角公式：sin（90。一A）=cosA,cos（90°

—A）=siri/4o

③特殊角的三角函數(shù)值：sin30°=cos60°=

1正

2,sin45°=cos45°,sin60°=

行

cos30°=~2~,

tan30o：=-,tan45°=1,tan60°=

鉛垂高度h

④斜坡的坡度：/=水平寬度=了.設(shè)坡角

為Q,貝”=tana=T。

13、正(余)弦定理

(1)正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R；

注：其中R表示三角形的外接圓半徑。

正弦定理的變形公式：(1)a=2RsinA,

b=2RsinB,c=2RsinC；(2)sinA:sinB:

sinC=a:b:c

(2)余弦定理b2=a2+c2-2accosB；

a2=b2+c2-2bccosA；c2=a2+b2-2abcosC；

注：NC所對(duì)的邊為c,NB所對(duì)的邊為b,

NA所對(duì)的邊為a

14、三角函數(shù)公式

(-1)兩角和公式

sin(A-i-B)=sinAcosB-i-cosAsinBsin(A-

B)=sinAcosB-sinBcosA

eos(A-i-B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-

B)=cosAcosB->-sinAsinB

tan(A-?-B)=(tanA-f-tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-

B)=(tanA-tanB)/(1-*-tanAtanB)

ctg(A-i-B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA)ctg(A-

B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)

(2)信角公式

tan2A=2tanA/(1-tan2A)ctg2A=(ctg2A-

1)/2ctga

cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sm2a

Cs)半角公式

sin(A/2)=V((1-cosA)/2)sin(A/2)=-V((T-

cosA)/2)

cos(A/2)=V((T+cosA)/2)cos(A/2)=-

V((T+cosA)/2)

tan(A/2)=V((1-cosA)/((1-1-cosA))tan(A/2)=-

V((T-cosA)/((1-fr-cosA))

ctg(A/2)=V((1-+-cosA)/((1-cosZX))ctg(A/2)=-

V((T-*-cosA)/((T-COSA))

(4)禾口差化積

sinA-?-sinB=2sin((A-+-B)/2)cos((A-B)/2

cosAH-cosB=2cos((A-4-B)/2)sin((A-B)/2)

tanA-?-tanB=sin(A-t-B)/cosAcosBtanA-

tanB=sin(A-B)/cosAcosB

ctgZX-f-ctgBsin(A-?-B)/sinAsinB-

ctgA-+-ctgBsin(A-fr-B)/sinAsinB

(5)不只化禾口差

2sinAcosB=sin(A-t-B)-^-sin(A-B)

2cosAsinB=sin(A-i-B)-sin(Z\-B)

2cosAcosB=cos(A-i-B)-sin(A-B)

-2sinAsinB=cos(A-i-B)-oo^<A-B)

15、平面直角坐標(biāo)系

(1)對(duì)稱性：若直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)P(a,

b),貝UP關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)為臼(a,—

b),P關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)為P2(—a,b),

關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)為P3(—a,—b)o

(2)坐標(biāo)平移：若直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)

P(a,b)向左平移h個(gè)單位，坐標(biāo)變?yōu)镻(a

—h,b),向右平移6個(gè)單位，坐標(biāo)變?yōu)?/p>

P(a+h,b)；向上平移分個(gè)單位，坐標(biāo)變

為P(a,b+h),向下平移分個(gè)單位，坐標(biāo)

變?yōu)镻(a,b—h).如：點(diǎn)A(2,—1)向上

平移2個(gè)單位，再向右平移5個(gè)單位，則坐標(biāo)

變?yōu)锳(7,1)o

16、多邊形內(nèi)角和公式

17、平行線段成比例定理

(1)平行線分線段成比例定理：三條平行線

截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例。

如圖：

a//b//c,直名戔片與分另11與直線a、b、c卞目

交與點(diǎn)4B、C和。、E、F,

則有羨DEARDEEC_KF

壽，左ISFUCl^F

(2)推論：平行于三角形一邊的直線截其他

兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)，所得的對(duì)應(yīng)線段

成比例。如圖：

“BC中，DE//BC,DE與AB、AC相交與點(diǎn)

。、E,則有：

AnAKAnAEBEDBEC

18、直角三角形中的射影定理

直角三角形中的射影定理：如圖：

RtZ\/WC中，^ACB=9O0}CD-LAB^D,

則有：（1）CD2=^￡O（2）

^C2=^40^LB（3）SC2=BD

19、圓的有關(guān)性質(zhì)

(1)垂徑定理：如果一條直線具備以下五個(gè)

性質(zhì)中的任意兩個(gè)性質(zhì)：①經(jīng)過(guò)圓心；②垂

直弦；③平分弦；④平分弦所對(duì)的劣?。虎?/p>

平分弦所對(duì)的優(yōu)弧，那么這條直線就具有另

外三個(gè)性質(zhì).注：具備①，③時(shí)，弦不能是

直徑。

(2)兩條平行弦所夾的弧相等。

(3)圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)的弧的度

數(shù)。

(4)一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心

角的一半。

(5)圓周角等于它所對(duì)的弧的度數(shù)的一

半。

(6)同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等。

(7)在同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的

弧相等。

(8)90。的圓周角所對(duì)的弦是直徑，反之，

直徑所對(duì)的圓周角是90。，直徑是最長(zhǎng)的

弦。、

(9)圓內(nèi)接四邊形的對(duì)焦互補(bǔ)°

20、三角形的內(nèi)心與外心

(1)三角形的內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)

心.三角形的內(nèi)心就是三內(nèi)角角平分線的交

點(diǎn)。

(2)三角形的外接圓的圓心叫做三角形的

外心.三角形的外心就是三邊中垂線的交

點(diǎn).

常見(jiàn)結(jié)論：①RtaAB