數(shù)學分析第三講：數(shù)列極限定義

數(shù)學分析第三講數(shù)列極限定義1.復習了基本的符號、集合的知識。2.復習了函數(shù)、反函數(shù)、復合函數(shù)的定義。復習3.復習了函數(shù)的幾個性質：單調性、奇偶性、周期性、有界性。

數(shù)列的定義“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”1、割圓術：——劉徽極限概念的歷史正六邊形的面積正十二邊形的面積正形的面積極限概念的歷史“一尺之棰，日截其半，萬世不竭”極限概念的歷史極限概念的歷史極限的直觀理解定義1(?)：極限就是事物在無限變化之后最終表示的一種穩(wěn)定的狀態(tài)的值。注：極限表示的一種變化趨勢，并且就是這種變化趨勢最終穩(wěn)定的狀態(tài)。極限的直觀理解例1：證明調和數(shù)列極限為0.證：因為此數(shù)列在其變化過程中，和0的差距越來越小，可以想象在無窮的時間之后，此數(shù)列最終會穩(wěn)定到0，所以其極限為0.例2：證明1，-1交替的數(shù)列極限不存在證明：自行編寫。極限的定義在很長的歷史時期，人類對于極限的理解大致也就是如上的水平。即便在牛頓發(fā)明了微積分的一百多年之中，極限的定義(無窮小)還是存在一些問題。人類真正弄清楚這些事情是在Cauchy、

Weierstrass完善了極限理論之后。極限的定義基本理念：極限是一個變化過程。無窮小(極限為0)就是在過程中“要多小有多小”要多小有多小：無論給出多小的數(shù)，在此變化過程中，終究會比這個給出的數(shù)小。2.正無窮大就是在過程中“要多大有多大”極限的定義無論給出多小的數(shù)，在此變化過程中，終究會比這個給出的數(shù)小。

如果數(shù)列沒有極限,就說數(shù)列是發(fā)散的.極限的定義幾何解釋:其中極限的定義極限的定義注:(重要)這三種情況是極限不存在，也就是發(fā)散的特殊情況。數(shù)列極限方法：由定義驗證極限的存在。給定一數(shù)列，要想知道其極限是否存在，存在的話等于多少，這是做不到的。但是，由定義，可以驗證一個數(shù)列的極限是不是給出的特定的數(shù)。數(shù)列極限由定義證明數(shù)列極限的思路：例：證所以,數(shù)列極限證數(shù)列極限證：數(shù)列極限(放縮法)因為只需要證明存在N，不用找最小的N否的敘述方法數(shù)列極限即便證明一個數(shù)列的極限不等于某數(shù)。不代表此數(shù)列極限不存在。由定義可知，若要證明一個數(shù)列的極限不存在，必須證明任意的實數(shù)都不是此數(shù)列的極限。數(shù)列極限總結本節(jié)課只需掌握2.具體到每一個數(shù)列極限的習題，請動筆按照定義練習練習。(書上的例題，課后的習題)證明要使只要使