人教版初中數(shù)學(xué)同步講義八年級(jí)上冊(cè)第01講 分式（解析版）

第01講分式課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①分式的概念②分式有意義的條件③分式的性質(zhì)掌握分式的概念并能夠根據(jù)概念熟練解題。掌握分式有意義的條件，并能夠熟練解決相應(yīng)的題目。掌握分式的性質(zhì)，能夠熟練的應(yīng)用分式性質(zhì)進(jìn)行約分和通分。知識(shí)點(diǎn)01分式的概念分式的概念：一般地，若A與B均是整式且B中含有字母，那么式子叫做分式。其中A叫做分子，B叫做分母。分式滿足的三個(gè)條件：①式子一定是的形式；②A與B一定是整式；③B中一定含有字母。簡單理解：分母中含有字母的式子就是分式。題型考點(diǎn)：①分式分判斷?！炯磳W(xué)即練1】1．下列各式m2﹣，，x，，，，屬于分式的有（）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【解答】解：，是分式，共2個(gè)．故選：C．【即學(xué)即練2】2．代數(shù)式，，x2﹣，，，中，屬于分式的有（）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【解答】解：分式有：，，，，整式有：x，，x2﹣，分式有4個(gè)，故選：C．知識(shí)點(diǎn)02分式有意義的條件分式有意義的條件：即要求分式的分母不能為0。即中，B不為0。若分母能夠進(jìn)行因式分解，現(xiàn)將分母進(jìn)行因式分解，讓每一個(gè)因式都不為0。題型考點(diǎn)：①根據(jù)分式有意義的條件求值?！炯磳W(xué)即練1】3．當(dāng)x取什么值時(shí)，式子有意義（）A．x＝ B．x＝﹣5 C．x≠ D．x≠﹣5【解答】解：由題意可得x+5≠0，則x≠﹣5，故選：D．【即學(xué)即練2】4．若分式有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是x≠﹣7．【解答】解：∵分式有意義，∴x+7≠0，解得x≠﹣7．故答案為：x≠﹣7．【即學(xué)即練3】5．當(dāng)x為一切實(shí)數(shù)時(shí)，下列分式一定有意義的是（）A． B． C． D．【解答】解：A．當(dāng)x＝﹣1時(shí)，該分式?jīng)]有意義，故本選項(xiàng)不合題意；B．∵x2≥0，∴x2+1＞0，∴當(dāng)x為任意實(shí)數(shù)時(shí)，該分式一定有意義，故本選項(xiàng)符合題意；C．當(dāng)x＝﹣1時(shí)，該分式?jīng)]有意義，故本選項(xiàng)不合題意；D．當(dāng)x＝±1時(shí)，該分式?jīng)]有意義，故本選項(xiàng)不合題意；故選：B．知識(shí)點(diǎn)03分式的值分式的值為0的條件：分式的值為0的條件為要求分子必須為0，同時(shí)要求分母不為0。即中，A＝0，B≠0。對(duì)能分解因式的分子分母進(jìn)行因式分解，讓分子里面的所有因式的值等于0，讓分母里面所有因式的值不等于0。題型考點(diǎn)：①分式值為0的條件?！炯磳W(xué)即練1】6．若分式的值為0，則x的值是（）A．0 B．1 C．1或0 D．0或﹣1【解答】解：根據(jù)題意得x2﹣x＝0且x2﹣1≠0，，解得x＝0．故選：A．【即學(xué)即練2】7．分式的值為0，則x的值為（）A．2或﹣2 B．2 C．﹣2 D．﹣3【解答】解：∵分式的值為0，∴（x+2）（x+3）＝0且x2﹣4≠0，解得：x＝﹣3，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝﹣3是方程的解，故選：D．【即學(xué)即練3】8．若分式的值為0，則x的值為（）A．±3 B．0 C．﹣3 D．3【解答】解：由題意得，解得x＝3．故選：D．分式的值：若分式的值是正的，則，即A與B同號(hào)；若分式的值是負(fù)的，則，即A與B異號(hào)。題型考點(diǎn)：①根據(jù)分式的值求取值范圍。②根據(jù)式子的值求分式的值【即學(xué)即練1】9．若使分式的值為負(fù)數(shù)，則x可以取的值為（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：∵x2+1＞0，∴當(dāng)分式的值為負(fù)數(shù)時(shí)，2x﹣5＜0，解得x＜，故選：A．【即學(xué)即練2】10．若分式的值為整數(shù)，則正整數(shù)x的個(gè)數(shù)為（）A．4 B．6 C．7 D．8【解答】解：＝＝，∵分式的值為整數(shù)，∴x﹣3＝±1或±2或±3或±6，且x+2≠0，∴正整數(shù)x＝4或2或5或1或6或9，共6個(gè)，故選：B．【即學(xué)即練3】11．已知x+y＝5，xy＝2，則的值為（）A．2 B． C．3 D．【解答】解：原式＝，把x+y＝5，xy＝2代入得：原式＝＝．故選：D．【即學(xué)即練4】12．已知，則的值是（）A． B． C． D．【解答】解：∵＝x2+2+＝（x﹣）2+2+2＝4+2+2＝8，∴的值為，故選：C．知識(shí)點(diǎn)04分式的性質(zhì)分式的性質(zhì)的基本內(nèi)容：分式的分子與分母乘（或除以）同一個(gè)不等于0的整式，分式的值不變。式子表達(dá)：（A、B、C均是整式且C≠0）分式的符號(hào)改變法則：分式的分子，分母以及分式本身均有符號(hào)，改變其中任意兩個(gè)符號(hào)分式不會(huì)發(fā)生改變。即：題型考點(diǎn)：①分式基本性質(zhì)的應(yīng)用?！炯磳W(xué)即練1】13．下列等式從左到右的變形一定正確的是（）A．＝ B．＝ C．＝ D．＝【解答】解：A、≠（m≠0），所以A選項(xiàng)不正確；B、若c＝0，則≠，所以B選項(xiàng)不正確；C、＝，所以C選項(xiàng)正確；D、＝，所以D選項(xiàng)不正確．故選：C．【即學(xué)即練2】14．根據(jù)分式的基本性質(zhì)，分式可變形為（）A． B． C． D．【解答】解：A．∵＝＝，∴≠，故本選項(xiàng)不符合題意；B．≠，故本選項(xiàng)不符合題意；C．＝≠，故本選項(xiàng)不符合題意；D．＝＝，故本選項(xiàng)符合題意；故選：D．【即學(xué)即練3】15．若把分式中，x、y都擴(kuò)大到原來的3倍，則分式的值（）A．不變 B．?dāng)U大3倍 C．?dāng)U大9倍 D．不確定【解答】解：，所以分式的值不變．故選A．【即學(xué)即練4】16．把分式中的x，y都變?yōu)樵瓉淼?倍，則分式的值（）A．變?yōu)樵瓉淼?倍 B．不變 C．縮小到原來 D．變?yōu)樵瓉淼?5倍【解答】解：，∴分式的值不變，故選：B．題型01分式的判定【典例1】下列各式：，，分式有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【解答】解：，，是分式，故選：C．【典例2】下列各式：，，5，中，分式有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【解答】解：下列各式：，，5，中，分式有：，，，共有3個(gè)．故選：C．【典例3】下列各式：x2+5x，，，，其中分式有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【解答】解：是分式，共1個(gè)，故選：A．【典例4】在式子；；；；；；中，分式的個(gè)數(shù)是（）A．5 B．4 C．3 D．2【解答】解：在式子；；；；；；中，分式有：；；；，即分式有4個(gè)．故選：B．題型02分式有意義的條件【典例1】要使分式有意義，則x應(yīng)滿足（）A．x＞1 B．x＜1 C．x≠1 D．x＝1【解答】解：∵分式有意義，∴1﹣x≠0，解得x≠1．故選：C．【典例2】要使分式有意義，則x應(yīng)滿足的條件是（）A．x≠2 B．x≠0 C．x≠﹣1 D．x≠﹣2【解答】解：依題意得：x﹣2≠0，解得x≠2．故選：A．【典例3】要使式子有意義，則m的取值范圍是（）A．m≥﹣1且m≠1 B．m≠1 C．m＞1 D．m＞﹣1【解答】解：要使式子有意義，則m﹣1≠0，解得m≠1，故選：B．【典例4】下列分式中，有意義的條件為x≠2的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、∵有意義，∴2x﹣4≠0，解得x≠2，符合題意；B、∵有意義，∴x+2≠0，解得x≠﹣2，不符合題意；C、∵有意義，∴x+2≠0，解得x≠﹣2，不符合題意；D、∵有意義，∴x﹣1≠0，解得x≠1，不符合題意．故選：A．題型03分式值為0的條件【典例1】當(dāng)x______時(shí)，分式的值為0．（）A．x＝3 B．x＝1 C．x＝±3 D．x＝﹣3【解答】解：由題意得：，解得x＝﹣3．故選：D．【典例2】若分式的值為0，則x的值為（）A．0或1或2 B．0或﹣2或2 C．0或1 D．0或﹣2【解答】解：∵的值為0，∴x（x﹣1）（x﹣2）＝0且x2﹣4≠0，解得：x＝0或x＝1．故選：C．【典例3】如果分式的值為零，那么x等于（）A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D．0【解答】解：∵的值為零，∴|x|﹣2＝0且x﹣2≠0，解得x＝﹣2．故選：B．【典例4】若分式的值為0，則x的值為（）A．8 B．﹣8 C．8或﹣8 D．4【解答】解：由題意得：，解得x＝8．故選：A．題型04式子的求值問題【典例1】若分式的值為負(fù)數(shù)，則x的取值范圍是（）A．x為任意數(shù) B．x＜2 C．x＞﹣2 D．x≤2【解答】解：∵x2+1＞0，要使分式的值為負(fù)數(shù)，即2x﹣4＜0，∴x＜2．故選：B．【典例2】若分式的值為正，則x的取值范圍是（）A． B． C．，且x≠0 D．【解答】解：∵x2＞0，且x≠0，分式的值為正，∴2x+1＞0，∴，∴且x≠0．故選：C．【典例3】若分式的值為正整數(shù)，則整數(shù)x的值為0，1．【解答】解：∵＝值為正整數(shù)，且x≠3，∴整數(shù)x的值為0，1．故答案為：0，1．【典例4】若y＝，則的值為（）A． B．﹣1 C． D．【解答】解：∵y＝，∴y﹣2xy＝x，∴y﹣x＝2xy，∴＝＝＝﹣，故選：D．【典例5】已知x2﹣3x﹣m＝0，則代數(shù)式的值是（）A．3 B．2 C． D．【解答】解：由x2﹣3x﹣m＝0得x2﹣m＝3x，則，故選：D．題型05分式的性質(zhì)【典例1】下列等式從左到右變形正確的是（）A．＝x B．＝1 C．＝﹣1 D．＝【解答】解：A．＝，故本選項(xiàng)不符合題意；B．＝1+，故本選項(xiàng)不符合題意；C．＝＝﹣1，故本選項(xiàng)符合題意；D．≠，故本選項(xiàng)不符合題意．故選：C．【典例2】根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把分式中的分子、分母的x，y同時(shí)擴(kuò)大2倍，那么分式的值（）A．?dāng)U大2倍 B．縮小2倍 C．改變 D．不改變【解答】解：根據(jù)題意得：＝＝，即分式的值不改變．故選：D．【典例3】若分式中的x，y都擴(kuò)大原來的3倍，那么分式的值（）A．?dāng)U大為原來的9倍 B．?dāng)U大為原來的3倍 C．不變 D．縮小到原來的【解答】解：分式的x，y都擴(kuò)大原來的3倍變?yōu)椋海剑?，即x，y都擴(kuò)大原來的3倍后分式的值不變，故選：C．【典例4】下列分式從左到右的變形中正確的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、＝，故A不符合題意；B、＝，故B符合題意；C、≠，故C不符合題意；D、＝（a≠0），故D不符合題意；故選：B．【典例5】分式變形＝中的整式A＝x2﹣2x，變形的依據(jù)是分式的分子與分母同乘（或除以）一個(gè)不等于0的整式，分式的值不變．【解答】解：∵x2﹣4＝（x+2）（x﹣2），∴分式變形＝中的整式A＝x（x﹣2）＝x2﹣2x，依據(jù)是分式的分子與分母同乘（或除以）一個(gè)不等于0的整式，分式的值不變．故答案為：x2﹣2x，分式的分子與分母同乘（或除以）一個(gè)不等于0的整式，分式的值不變．1．下列式子中是分式的是（）A． B． C． D．【解答】解：，，是整式；是分式．故選：C．2．若分式不論x取任何數(shù)總有意義，則m的取值范圍是（）A．m≥1 B．m＞1 C．m≤1 D．m≠1【解答】解：∵不論x取任何數(shù)分式總有意義，∴x2﹣2x+m≠0，∴方程x2﹣2x+m＝0無解，∴Δ＝4﹣4m＜0，解得：m＞1，故選：B．3．下列關(guān)于分式的判斷，正確的是（）A．當(dāng)x＝3時(shí)，的值為0 B．當(dāng)x≠3時(shí)，有意義 C．無論x為何值，不可能是整數(shù) D．無論x為何值，的值總為正數(shù)【解答】解；A．當(dāng)x＝3時(shí)，無意義，故A不符合題意．B．當(dāng)x≠0時(shí)，有意義，故B不符合題意．C．當(dāng)x＝4、0、﹣2、﹣6時(shí)，是整數(shù)，故C不符合題意．D．根據(jù)偶次方的非負(fù)性，得x2+1＞0，即無論x為何值，的值總為正數(shù)，故D符合題意．故選：D．4．下列結(jié)論：①無論a為何值，都有意義；②當(dāng)a＝﹣1時(shí)，分式的值為0；③若的值為負(fù)，則x的取值范圍是x＜1；④若有意義，則x的取值范圍是x≠﹣2且x≠0．其中正確的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：①∵a2≥0，∴a2+1≥1≠0，∴不論a為何值都有意義，故此結(jié)論正確；②∵當(dāng)a＝﹣1時(shí)，∴a2﹣1＝1﹣1＝0，此時(shí)分式無意義，故此結(jié)論錯(cuò)誤；③∵若的值為負(fù)，∴x﹣1＜0，∴x＜1，故此結(jié)論正確；④∵有意義，∴，解得x≠﹣2，x≠0且x≠﹣1，故此結(jié)論錯(cuò)誤．綜上所述，其中正確的個(gè)數(shù)是2．故選：B．5．若，則的值為（）A． B． C． D．【解答】解：∵＝，∴b＝，則＝＝．故答案為：A．6．不改變分式的值，使分母的首項(xiàng)系數(shù)為正數(shù)，下列式子正確的是（）A． B． C． D．【解答】解：不改變分式的值，使分母的首項(xiàng)系數(shù)為正數(shù)，根據(jù)分式的基本性質(zhì)，分子分母同除以﹣1，A、＝；B、＝；C、＝﹣；D、＝1，故選：B．7．如果將分式中的x和y都擴(kuò)大到原來的3倍，那么分式的值（）A．不變 B．?dāng)U大到原來的9倍 C．縮小到原來的 D．?dāng)U大到原來的3倍【解答】解：把x和y都擴(kuò)大3倍后，原式＝＝，約分后縮小到原來的，故選：C．8．已知三個(gè)數(shù)a、b、c滿足，則的值是（）A． B． C． D．【解答】解：∵，∴＝5，＝6，＝7，∴＝5，+＝6，+＝7，∴2（）＝18，∴＝9，∴＝，故選：A．9．下列四個(gè)代數(shù)式1，π，x2﹣1，x+1，請(qǐng)從中任選兩個(gè)整式，組成一個(gè)分式為（答案不唯一）（只需寫出一個(gè)即可）．【解答】解：分式為．故答案為：（答案不唯一）．10．已知a，b互為相反數(shù)，c，d互為倒數(shù)，|m|＝2，則的值是﹣2．【解答】解：∵a，b互為相反數(shù)，c，d互為倒數(shù)，|m|＝2，∴a+b＝0，cd＝1，m2＝4，∴＝0﹣4+2＝﹣2．故答案為：﹣2．11．如果分式的值等于0，那么m＝﹣4．【解答】解：由題意得：|m|﹣4＝0且|m﹣4|≠0，∴m＝±4且x≠4，∴m的值為﹣4，故答案為：﹣4．12．已知的值為5，若分式中的x、y均變?yōu)樵瓉淼?倍，則的值為10．【解答】解：∵＝5，∴＝＝＝2×5＝10，故答案為：10．13．已知a，b，c均是非零有理數(shù)，請(qǐng)完成下面的探索：（1）試求的值；（2）試求+的值；（3）請(qǐng)直接寫出++的值．【解答】解：（1）當(dāng)a為正數(shù)時(shí)，＝＝1；當(dāng)a為負(fù)數(shù)時(shí)，＝＝﹣1；（2）當(dāng)a＞0，b＞0時(shí)，；當(dāng)a＜0，b＜0時(shí)，；當(dāng)a＞0，b＜0