人教版初中數(shù)學同步講義八年級上冊第02講 畫軸對稱圖形（解析版）

第02講軸對稱作圖課程標準學習目標①軸對稱與軸對稱圖形作圖②畫對稱軸③用坐標表示軸對稱掌握軸對稱與軸對稱圖形的作圖，能夠熟練的作出軸對稱與軸對稱圖形的另一半。掌握對稱軸的畫法，能夠數(shù)量畫出軸對稱與軸對稱圖形的對稱軸。掌握點關于坐標軸對稱以及關于特殊直線對稱的對稱特點，熟練應用其應用。知識點01軸對稱作圖與軸對稱圖形作圖軸對稱與軸對稱圖形的作圖：具體步驟：找圖形的關鍵點。過關鍵點作對稱軸的垂線并延長，使延長部分的長度等于關鍵點到垂足點的長度，從而得到關鍵點的對應點。（3）按照原圖形連接各對應點。題型考點：①作圖?！炯磳W即練1】1．如圖，以直線l為對稱軸，畫出軸對稱圖形的另一半．【解答】解：畫圖如下．．【即學即練2】2．如圖，△ABC的三個頂點的坐標分別為A（﹣4，1），B（﹣1，﹣1），C（﹣3，2）．（1）已知△ABC和△A1B1C1關于x軸對稱，點A1，B1，C1分別是點A，B，C的對稱點，請直接寫出點A1，B1，C1的坐標；（2）在圖中畫出△ABC關于y軸對稱的△A2B2C2．【解答】解：（1）∵A（﹣4，1），B（﹣1，﹣1），C（﹣3，2），∴A1（﹣4，﹣1），B1（﹣1，1），C1（﹣3，﹣2）．（2）如圖，△A2B2C2即為所求．知識點02畫軸對稱與軸對稱圖的對稱軸垂直平分線的畫法：具體步驟：如圖①：分別以線段AB兩端點為圓心，大于線段長度的一半為半徑畫圓弧。兩弧分別交于兩點M，N。如圖②，連接MN，MN所在直線即為線段AB的垂直平分線。垂直平分線的證明：如圖③，連接MA，MB，NA，NB。由作圖過程可知MA＝MB＝NA＝NB在△MAN與△MBN中∴△MAN≌△MBN∴∠AMO＝∠BMO在△AMO與△BMO中∴△AMO≌△BMO∴OA＝OB，∠AOM＝∠BPM＝90°∴MN垂直平分AB。對稱軸的畫法：對稱軸過任意一組對應點連線的中點且與線段垂直，所以對稱軸是任意一組對應點的垂直平分線。作對稱軸即是作任意一組對應點的垂直平分線。按照垂直平分線的作圖即可。題型考點：①尺規(guī)作圖垂直平分線。②根據(jù)作圖痕跡求解題目。③畫對稱軸。【即學即練1】3．如圖所示，一輛汽車在筆直的公路AB上由A向B行駛，M，N分別是位于公路AB兩側(cè)的村莊，請利用尺規(guī)作圖法，在AB上找一點C，使得汽車行駛到C處時，到村莊M，N的距離相等．（保留作圖痕跡，不寫作法）【解答】解：如圖，點C即為所求．【即學即練2】4．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，分別以A、B為圓心，AC為半徑畫弧，兩弧分別交于E、F，直線EF交BC于點D，連接AD，則△ACD的周長等于（）A．7 B．8 C．9 D．【解答】解：由作圖可知EF垂直平分線段AB，∴DA＝DB，∴△ACD的周長＝AC+CD+AD＝AC+CD+DB＝AC+CB＝3+4＝7．故選：A．【即學即練3】5．如圖，在△ABC中，分別以點A和點B為圓心，以相同的長（大于）為半徑作弧，兩弧相交于點M和點N，作直線MN交AB于點D，交AC于點E，連接CD．若△CDB的面積為12，△ADE的面積為9，則四邊形EDBC的面積為（）A．15 B．16 C．18 D．20【解答】解：由尺規(guī)作圖可知，MN是線段AB的垂直平分線，∴點D是AB的中點，∴S△ACD＝S△BCD，∴S△ADE+S△CDE＝S△CDB，∵△CDB的面積為12，△ADE的面積為9，∴S△CDE＝S△CDB﹣S△ADE＝12﹣9＝3，∴四邊形EDBC的面積為：S四邊形EDBC＝S△CDE+S△CDB＝12+3＝15．故選：A．【即學即練4】6．如圖，兩個三角形成軸對稱，畫出對稱軸．【解答】解：如圖，直線m即為所求．知識點03用坐標表示軸對稱關于坐標軸對稱的點的坐標特點：點P（x，y）關于x軸對稱的點的坐標為（x，－y）。點P（x，y）關于y軸對稱的點的坐標為（－x，y）。關于x＝m或y＝m對稱的點的坐標：P（a，b）關于直線x=m對稱的點的坐標為（2m-a，b）。P（a，b）關于直線y=m對稱的點的坐標為（a，2m－b）。。題型考點：根據(jù)坐標特點求坐標?！炯磳W即練1】7．已知點A（a，4）與點B（﹣2，b）關于x軸對稱，則a+b＝（）A．﹣6 B．6 C．2 D．﹣2【解答】解：∵點A（a，4）與點B（﹣2，b）關于x軸對稱，∴a＝﹣2，b＝﹣4，則a+b＝﹣2﹣4＝﹣6．故選：A．【即學即練2】8．已知點A（m，2021）與點B（2022，n）關于y軸對稱，則m+n的值為（）A．﹣1 B．1 C．4043 D．﹣2022【解答】解：∵點A（m，2021）與點B（2022，n）關于y軸對稱，∴m＝﹣2022，n＝2021，∴m+n＝﹣2022+2021＝﹣1．故選：A．【即學即練3】9．已知點A（4，﹣3）和點B是坐標平面內(nèi)的兩個點，且它們關于直線x＝2對稱，則平面內(nèi)點B的坐標為（）A．（0，﹣3） B．（4，﹣9） C．（4，0） D．（﹣10，3）【解答】解：設點B的橫坐標為x，∵點A（4，﹣3）與點B關于直線x＝﹣3對稱，∴＝2，解得x＝0，∵點A、B關于直線x＝2對稱，∴點A、B的縱坐標相等，∴點B（0，﹣3）．故選：A．【即學即練4】10．如圖，已知直線l經(jīng)過點（0，﹣1）并且垂直于y軸，若點P（﹣3，2）與點Q（a，b）關于直線l對稱，則a+b＝．【解答】解：∵點P（﹣3，2）與點Q（a，b）關于直線l對稱，又∵直線l經(jīng)過點（0，﹣1）并且垂直于y軸，∴a＝﹣3，﹣1﹣b＝2﹣（﹣1），∴b＝﹣4，∴a+b＝﹣3+（﹣4）＝﹣7，故答案為：﹣7．題型01軸對稱與軸對稱圖形的作圖與計算【典例1】如圖所示，在平面直角坐標系xOy中，△ABC的三個頂點坐標分別為A（1，1）B（4，2）C（2，3）．（1）在圖中畫出△ABC關于x軸對稱的圖形△A1B1C1；（2）在圖中，若B2（﹣4，2）與點B關于一條直線成軸對稱，則這條對稱軸是y軸，此時C點關于這條直線的對稱點C2的坐標為（﹣2，3）；（3）求△A1B1C1的面積．【解答】解：（1）如圖，△A1B1C1為所作；（2）這條對稱軸是y軸，C點的對稱點C2的坐標為（﹣2，3）；故答案為：y軸，（﹣2，3）；（3）△A1B1C1的面積＝2×3﹣×2×1﹣×2×1﹣×1×3＝2.5．【典例2】如圖，在由邊長為1個單位的小正方形組成的網(wǎng)格中，三角形ABC的頂點均為格點（網(wǎng)格線的交點）．（1）作出三角形ABC關于直線MN的軸對稱圖形三角形A1B1C1；（2）求三角形A1B1C1的面積；（3）在直線MN上找一點P使得三角形BAC的面積等于三角形PAC的面積．【解答】解：（1）如圖，△A1B1C1即為所求；（2）△A1B1C1的面積＝2×3﹣×1×3﹣×1×1﹣×2×2＝2；（3）如圖，點P，點P′即為所求．【典例3】如圖，在由邊長為1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，點A，B，C，D均為格點（網(wǎng)格線的交點）．（1）畫出線段AB關于直線CD對稱的線段A1B1；（2）將線段AB向左平移2個單位長度，再向上平移1個單位長度，得到線段A2B2，畫出線段A2B2；（3）描出線段AB上的點M及直線CD上的點N，使得直線MN垂直平分AB．【解答】解：（1）線段A1B1如圖所示；（2）線段A2B2如圖所示；（3）直線MN即為所求．【典例4】如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是1，每個小正方形的頂點叫做格點．網(wǎng)格中有一個格點△ABC（即三角形的頂點都在格點上）．（1）畫出△ABC關于直線MN的對稱圖形（不寫畫法）；（2）若網(wǎng)格上的每個小正方形的邊長為1，求△ABC的面積．【解答】解：（1）如圖，△A1B1C1即為所求；（2）△ABC的面積＝4×5﹣×1×4﹣×1×4﹣×3×5＝8.5．題型02垂直平分線的作圖【典例1】如圖，在△ABC中，∠C＝90°．用直尺和圓規(guī)在邊BC上確定一點P，使點P到點A、點B的距離相等，則符合要求的作圖痕跡是（）A． B． C． D．【解答】解：∵點P到點A、點B的距離相等，∴點P在線段AB的垂直平分線上，故選：C．【典例2】如圖，已知△ABC，請用尺規(guī)作圖法在BC邊上找一點D，使得點D到A、B兩點距離相等．（不寫作法，保留作圖痕跡）【解答】解：如圖所示，D點即為所求的點．【典例3】（1）圖1是小正方形的邊長均為1的方格紙，請你涂出一個圖形（所有頂點都在格點上），使其滿足如下條件：①圖形的面積為7；②圖形是軸對稱圖形．（2）如圖2，一條筆直的公路MN同一側(cè)有兩個村莊A和B，現(xiàn)準備在公路MN上修一個公共汽車站點P，使站點P到兩個村莊A和B的距離相等．請你用尺規(guī)作圖找出點P的位置，不寫作法，保留作圖痕跡．【解答】解：（1）圖形如圖1所示：（2）如圖2中，點P即為所求．【典例4】如圖，兩條公路OA和OB相交于O點，在∠AOB的內(nèi)部有工廠C和D，現(xiàn)要在∠AOB內(nèi)部修建一個貨站P，使貨站P到兩條公路OA、OB的距離相等，且到兩工廠C、D的距離相等，用尺規(guī)作出貨站P的位置．（要求：不寫作法，保留作圖痕跡，寫出結(jié)論）【解答】解：如圖所示：P點即為所求．題型03利用垂直平分線的作圖痕跡解題【典例1】如圖，在△ABC中，分別以A，C為圓心，大于AC長為半徑作弧，兩弧分別相交于M，N兩點，作直線MN，分別交線段BC，AC于點D，E，若AE＝3cm，△ABD的周長為10cm，則△ABC的周長為（）A．13cm B．14cm C．15cm D．16cm【解答】解：由作法得MN垂直平分AC，∴DA＝DC，AE＝CE＝3cm，∵△ABD的周長為10cm，∴AB+BD+AD＝10cm，∴AB+BD+DC＝10cm，即AB+BC＝10cm，∴△ABC的周長＝AB+BC+AC＝10+2×3＝16（cm）．故選：D．【典例2】如圖，△ABC中，∠B＝90°，分別以點A和點C為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點M和點N，作直線MN，分別交AB，AC于點E和點F．若BC＝3，AB＝9，則BE的長為?（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：由作圖得：MN垂直平分AC，∴AE＝CE，設BE＝x，則AE＝CE＝9﹣x，∵∠B＝90°，∴EC2﹣BE2＝BC2，即：（9﹣x）2﹣x2＝32，解得：x＝4，故選：B．【典例3】如圖，在Rt△ABC中，分別以B，C為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點P，Q，作直線PQ，分別交BC，AC于點D，E，連接BE．若∠EBD＝32°，則∠A的度數(shù)為（）A．50° B．58° C．60° D．64°【解答】解：根據(jù)作圖可得PQ是BC的垂直平分線，∴EB＝EC，∴∠C＝∠EBD＝32°，∵∠ABC＝90°，∴∠A＝90°﹣∠C＝90°﹣32°＝58°，故選：B．【典例4】如圖，在△ABC中，分別以點A和點B為圓心，以相同的長（大于）為半徑作弧，兩弧相交于點M和點N，作直線MN交AB于點D，交AC于點E，連接CD．已知△CDE的面積比△CDB的面積小5，則△ADE的面積為（）?A．5 B．4 C．3 D．2【解答】解：由作圖得：MN是AB的垂直平分線，∴CD是△ABC的中線，∴△ACD和△BCD的面積相等，∵△CDE的面積比△CDB的面積小5，∴△CDE的面積比△ACD的面積小5，∴△ADE的面積為5，故選：A．題型04關于坐標軸對稱的點的坐標【典例1】點（3，﹣2）關于x軸的對稱點是（）A．（﹣3，﹣2） B．（3，2） C．（﹣3，2） D．（3，﹣2）【解答】解：根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，得點（3，﹣2）關于x軸的對稱點是（3，2）．故選：B．【典例2】在平面直角坐標系中，點P（a，3）與點Q（﹣2，b）關于x軸對稱，則a﹣b的值為（）A．1 B．﹣1 C．5 D．﹣5【解答】解：∵點P（a，3）與點Q（﹣2，b）關于x軸對稱，∴a＝﹣2，b＝﹣3，則a﹣b的值為：﹣2﹣（﹣3）＝﹣2+3＝1．故選：A．【典例3】已知點P（a，3）和點Q（4，b）關于x軸對稱，則a+b的值為（）A．1 B．﹣1 C．7 D．﹣7【解答】解：∵點P（a，3）和點Q（4，b）關于x軸對稱，∴a＝4，b＝﹣3，則a+b＝4﹣3＝1．故選：A．【典例4】在平面直角坐標系中，點P（4，1）關于y軸對稱的點的坐標是（）A．（4，1） B．（﹣4，﹣1） C．（﹣4，1） D．（4，﹣1）【解答】解：點P（4，1）關于y軸對稱的點的坐標是（﹣4，1）．故選：C．【典例5】若點M（a，﹣1）與點N（﹣2，b）關于y軸對稱，則（a+b）2022的值是（）A．2022 B．﹣2022 C．1 D．﹣1【解答】解：∵點M（a，﹣1）與點N（﹣2，b）關于y軸對稱，∴a＝2，b＝﹣1，∴（a+b）2022＝（2﹣1）2022＝1．故選：C．【典例6】已知點A（4，a﹣5）與點B（b﹣1，﹣3）關于y軸對稱，則ab的值為（）A．﹣6 B．﹣8 C． D．﹣【解答】解：由題意可得b﹣1＝﹣4，a﹣5＝﹣3，解得：a＝2，b＝﹣3，∴．故選：C．題型05關于直線對稱的點的坐標【典例1】點（2，5）關于直線x＝1的對稱點的坐標為（0，5）．【解答】解：所求點的縱坐標為5，橫坐標為1﹣（2﹣1）＝0，∴點（2，5）關于直線x＝1的對稱點的坐標為（0，5）．【典例2】點P（﹣2，﹣4）與點Q（6，﹣4）的位置關系是（）A．關于x軸對稱 B．關于y軸對稱 C．關于直線x＝2對稱 D．關于直線y＝2對稱【解答】解：點P（﹣2，﹣4）與點Q（6，﹣4）（﹣2+6）÷2＝2，橫坐標相加除以2為2，縱坐標不變，則P，Q兩個點關于直線x＝2對稱，故選：C．【典例3】若點A（a，4）在第二象限，則點A關于直線m（直線m上各點的橫坐標都是2）對稱的點坐標是（）A．（﹣a，4） B．（4﹣a，4） C．（﹣a﹣4，﹣4） D．（﹣a﹣2，﹣4）【解答】解：∵直線m上各點的橫坐標都是2，∴直線為：x＝2，∵點A（a，4）在第二象限，∴a到2的距離為：2﹣a，∴點A關于直線m對稱的點的橫坐標是：2﹣a+2＝4﹣a，故A點對稱的點的坐標是：（4﹣a，4）．故選：B．【典例4】點（1，2m﹣1）關于直線x＝m的對稱點的坐標是（）A．（2m﹣1，1） B．（﹣1，2m﹣1） C．（﹣1，1﹣2m） D．（2m﹣1，2m﹣1）【解答】解：點（1，2m﹣1）關于直線x＝m的對稱點的坐標為（2m﹣1，2m﹣1），故選：D．1．在平面直角坐標系中，點P（﹣3，4）關于y軸的對稱點在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【解答】解：在平面直角坐標系中，點P（﹣3，4）關于y軸的對稱點為（3，4），點（3，4）在第一象限．故選：A．2．如圖，在3×3的正方形網(wǎng)格中有四個格點A、B、C、D，以其中一點為原點，網(wǎng)格線所在直線為坐標軸建立直角坐標系，使其余三個點中存在兩個點關于一條坐標軸對稱，則原點是（）A．A B．B C．C D．D【解答】解：如圖所示：原點是B點時，A，C關于y軸對稱，故選：B．3．已知：點A（m﹣1，3）與點B（2，n﹣1）關于x軸對稱，則（m+n）的值為（）A．0 B．1 C．﹣1 D．3【解答】解：∵點A（m﹣1，3）與點B（2，n﹣1）關于x軸對稱，∴m﹣1＝2，n﹣1＝﹣3，解得：m＝3，n＝﹣2，則m+n＝1．故選：B．4．如圖，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝50°，請觀察尺規(guī)作圖的痕跡（D，E，F(xiàn)分別是連線與△ABC邊的交點），則∠DAE的度數(shù)是（）A．25° B．30° C．35° D．40°【解答】解：由作圖得：DF垂直平分AB，AE平分∠DAC，∴AD＝BD，∠DAE＝∠DAC，∴∠BAD＝∠B＝30°，∵∠B＝30°，∠C＝50°，∴∠BAC＝100°，∴∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝70°，∴∠DAE＝∠DAC＝35°，故選：C．5．如圖，在△ABC中，結(jié)合尺規(guī)作圖的痕跡，已知AD＝2cm，△ABE的周長為14cm，則△ABC的周長是（）A．17cm B．18cm C．19cm D．20cm【解答】解：由尺規(guī)作圖知，DE垂直平分AC，∴AC＝2AD＝4cm，AE＝CE，∵△ABE的周長為14cm，∴AB+BE+AE＝AB+BC＝14cm，∴△ABC的周長為AB+BC+AC＝14+4＝18（cm），故選：B．6．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，分別以點A和B為圓心，以相同的長（大于AB）為半徑作弧，兩弧相交于點M和N，作直線MN交AB于點D，交BC于點E，連接CD，下列結(jié)論錯誤的是（）A．AD＝BD B．BD＝CD C．∠A＝∠BED D．∠ECD＝∠EDC【解答】解：∵MN為AB的垂直平分線，∴AD＝BD，∠BDE＝90°；∵∠ACB＝90°，∴CD＝BD；∵∠A+∠B＝∠B+∠BED＝90°，∴∠A＝∠BED；∵∠A≠60°，AC≠AD，∴EC≠ED，∴∠ECD≠∠EDC．故選：D．7．剪紙藝術是最古老的中國民間藝術之一，很多剪紙作品體現(xiàn)了數(shù)學中的對稱美．如圖，蝴蝶剪紙是一幅軸對稱圖形，將其放在平面直角坐標系中，如果圖中點E的坐標為（m，1），其關于y軸對稱的點F的坐標（2，n），則（m+n）2022的值為（）A．1 B．﹣1 C．32022 D．0【解答】解：∵E（m，1），F(xiàn)（2，n）關于y軸對稱，∴m＝﹣2，n＝1，∴（m+n）2022＝（﹣2+1）2022＝1，故選：A．8．如圖，在平面直角坐標系中，對△ABC進行循環(huán)往復的軸對稱變換，若點C坐標是（6，2），則經(jīng)過第2022次變換后，點C的對應點的坐標為（）A．（﹣6，﹣2） B．（6，﹣2） C．（﹣6，2） D．（6，2）【解答】解：點C第一次關于y軸對稱后在第二象限，點C第二次關于x軸對稱后在第三象限，點C第三次關于y軸對稱后在第四象限，點C第四次關于x軸對稱后在第一象限，即點A回到原始位置，所以，每四次對稱為一個循環(huán)組依次循環(huán)，∵2022÷4＝505余2，∴經(jīng)過第2022次變換后所得的C點與第二次變換的位置相同，在第三象限，坐標為（﹣6，﹣2）．故選：A．9．把點A（a+2，a﹣1）向上平移3個單位，所得的點與點A關于x軸對稱，則a的值為﹣0.5．【解答】解：點A（a+2，a﹣1）向上平移3個單位，得（a+2，a﹣1+3）．由所得的點與點A關于x軸對稱，得a﹣1+（a﹣1+3）＝0，解得a＝﹣0.5，故答案為：﹣0.5．10．如圖，在△ABC中，AB＝10，BC＝6，AC＝8，分別以點A，點B為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于點M，N，作直線MN交AC于點D，則線段CD的長為．【解答】解：在△ABC中，AB＝10，BC＝6，AC＝8，∴AC2+BC2＝82+62＝102＝AB2，∴∠C＝90°，連接BD，由作圖知MN垂直平分AB，∴AD＝BD，∵∠C＝90°，∴BD2＝BC2+CD2，∴（AC﹣CD）2＝BC2+CD2，∴（8﹣CD）2＝62+CD2，∴CD＝；故答案為：．11．如圖，在△ABC中，按以下步驟作圖：①分別以B，C為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于M，N兩點；②作直線MN交AB于點D，連接CD．若∠B＝24°，則∠CDA的度數(shù)為48°．【解答】解：由作圖得：MN垂直平分BC，∴CD＝BD，∴∠DCB＝∠CBD＝24°，∴∠CDA＝∠DCB+∠CBD＝48°，故答案為：48°．12．已知點E（x0，y0），F(xiàn)（x2，y2），點M（x1，y1）是線段EF的中點，則，．在平面直角坐標系中有三個點A（1，﹣1），B（﹣1，﹣1），C（0，1），點P（0，2）關于A的對稱點為P1（即P，A，P1三點共線，且PA＝P1A），P1關于B的對稱點為P2，P2關于C的對稱點為P3，按此規(guī)律繼續(xù)以A，B，C為對稱點重復前面的操作，依次得到P4，P5，P6，則點P2023的坐標是（2，﹣4）．【解答】解：設點P1的坐標為（x，y），根據(jù)題意，得，解得，所以，點P1的坐標為（2，﹣4），同理可得P2（﹣4，2），P3（4，0），P4（﹣2，﹣2），P5（0，0），P6（0，2）．觀察各點坐標可知，點P至點P5為一個循環(huán)，即每6個點循環(huán)一次．∵＝337……2，∴點