人教版初中數(shù)學(xué)同步講義八年級(jí)上冊(cè)第03講 角平分線的性質(zhì)（原卷版）

第03講角平分線的性質(zhì)課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①角平分線的定義②角平分線的性質(zhì)③角平分線的尺規(guī)作圖掌握角平分的定義以及基本性質(zhì)。掌握角平分線的性質(zhì)并能夠證明。掌握角平分線尺規(guī)作圖的基本原理，并能夠利用直尺和圓規(guī)進(jìn)行角平分線作圖。知識(shí)點(diǎn)01角平分線的定義及其性質(zhì)角平分線的定義：角的內(nèi)部把角分成兩個(gè)的角的射線這是個(gè)角的角平分線。角平分線的性質(zhì)：性質(zhì)1：平分角。即若OC是∠AOB的平分線，則。且他們都等于∠AOB的。性質(zhì)2：角平分線上任意一點(diǎn)到角的兩邊的距離。即若OC是∠AOB的平分線，P是0C上一點(diǎn)，且PD⊥OB于點(diǎn)D，PE⊥OA于點(diǎn)E，則有。題型考點(diǎn)：①利用角平分線的性質(zhì)求線段長(zhǎng)度或距離。②利用角平分線的性質(zhì)求面積?！炯磳W(xué)即練1】1．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝9，，AD平分∠BAC，則點(diǎn)D到AB的距離為（）A．1 B．2 C．3 D．4【即學(xué)即練2】2．如圖，AB∥CD，BP和CP平分∠ABC和∠DCB，AD過(guò)點(diǎn)P且與直線AB垂直．若AD＝8，則點(diǎn)P到BC的距離是（）A．8 B．6 C．4 D．2【即學(xué)即練3】3．如圖，AD是△ABC中∠BAC的平分線，DE⊥AB，交AB于點(diǎn)E，DF⊥AC，交AC于點(diǎn)F，若DE＝2，AC＝4，則△ADC的面積是（）A．4 B．6 C．8 D．10【即學(xué)即練4】4．如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于點(diǎn)D，AB＝10，CD＝3，則△ABD的面積為（）A．60 B．30 C．15 D．10知識(shí)點(diǎn)02角平分線的尺規(guī)作圖作已知角的角平分線：步驟一：以為圓心，一定長(zhǎng)度為半徑畫(huà)圓弧，交角的兩邊與點(diǎn)M和點(diǎn)N。步驟二：以為圓心，MN的長(zhǎng)度為半徑畫(huà)圓弧，兩弧交于點(diǎn)P。步驟三：連接OP即為角平分線步驟一步驟二步驟三證明上圖中的OP是角平分線：連接MP，NP由作圖過(guò)程可知，OMON，MPNP。在△OMP與△ONP中∴△OMP≌△ONP∴∠MOP＝∴OP是∠AOB的角平分線。題型考點(diǎn)：①尺規(guī)作圖為角平分線的依據(jù)。②尺規(guī)作圖后的有關(guān)計(jì)算。③作圖及其實(shí)際應(yīng)用?！炯磳W(xué)即練1】5．?dāng)?shù)學(xué)課上陳老師要求學(xué)生利用尺規(guī)作圖，作一個(gè)已知角的角平分線，并保留作圖痕跡．學(xué)生小敏的作法是：如圖，∠AOB是已知角，以O(shè)為圓心，任意長(zhǎng)為半徑作弧，與OA、OB分別交于N、M；再分別以N、M為圓心，大于MN的長(zhǎng)為半徑作弧，交于點(diǎn)C；作射線OC；則射線OC是∠AOB的角平分線．小敏作圖的依據(jù)是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS【即學(xué)即練2】6．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，分別交AB，AC于點(diǎn)D，E，再分別以點(diǎn)D，E，為圓心，以大于DE的長(zhǎng)度為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)F，作射線AF交BC于點(diǎn)G，若AB＝12，CG＝3，則△ABG的面積是（）A．12 B．18 C．24 D．36【即學(xué)即練3】7．如圖，l1、l2交于A點(diǎn)，請(qǐng)確定M點(diǎn)，使它到l1、l2的距離相等．（用直尺和圓規(guī)）【即學(xué)即練4】8．如圖，三條公路兩兩相交，現(xiàn)計(jì)劃修建一個(gè)油庫(kù)．（1）如果要求油庫(kù)到兩條公路AB，AC的距離都相等，那么如何選擇油庫(kù)的位置？（2）如果要求油庫(kù)到這三條公路的距離都相等，那么如何選擇油庫(kù)的位置？知識(shí)點(diǎn)03角平分線的判定角平分線的判定的內(nèi)容：角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)一定在上。數(shù)學(xué)語(yǔ)言：點(diǎn)P在∠AOB的內(nèi)部，PE⊥OA于E，PD⊥OB于D，且PE＝PD，則點(diǎn)P在∠AOB的上。即：∵PE⊥OA于E，PD⊥OB于D，且PE＝PD∴∠AOC＝∠BOC題型考點(diǎn)：角平分線的判定證明?！炯磳W(xué)即練1】9．如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，且AE平分∠BAD．求證：DE是∠ADC的平分線．【即學(xué)即練2】10．如圖，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，BE＝CF求證：AD平分∠BAC．知識(shí)點(diǎn)04三角形的角平分線性質(zhì)三角形角平分線的性質(zhì)：三角形一個(gè)角的角平分線分得的兩個(gè)三角形的面積比等于這個(gè)角的兩邊的比，也等于這個(gè)角對(duì)邊分得的兩條線段的比。即如圖：AD是△ABC的平分線。則＝＝。特別提示：分別以AB和AC為底、BD和CD為底表示出兩個(gè)三角形的面積，然后比即可得出。題型考點(diǎn)：利用三角形角平分線的性質(zhì)進(jìn)行面積有關(guān)的計(jì)算?！炯磳W(xué)即練1】11．如圖，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝2，BC＝5，BD是∠ABC的平分線，設(shè)△ABD和△BDC的面積分別是S1，S2，則S1：S2的值為（）A．5：2 B．2：5 C．1：2 D．1：5【即學(xué)即練2】12．如圖，△ABC的三邊AC、BC、AB的長(zhǎng)分別是8、12、16，點(diǎn)O是△ABC三條角平分線的交點(diǎn)，則S△OAB：S△OBC：S△OAC的值為（）A．4：3：2 B．5：3：2 C．2：3：4 D．3：4：5題型01角平分線的性質(zhì)【典例1】如圖，△ABC的外角∠ACD的平分線CP與內(nèi)角∠ABC的平分線BP交于點(diǎn)P，若∠BPC＝40°，則∠CAP＝（）A．40° B．45° C．50° D．60°【典例2】如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB，若BC＝7，BD＝4，則DE的長(zhǎng)為（）A．5 B．4 C．3 D．2【典例3】如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠1＝∠2，BC＝16cm，點(diǎn)D到AB的距離為6cm，則BD的長(zhǎng)為（）A．7cm B．8cm C．9cm D．10cm【典例4】如圖，點(diǎn)P是△ABC的三個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，若△ABC的周長(zhǎng)為24cm，面積為36cm2，則點(diǎn)P到邊BC的距離是（）A．8cm B．3cm C．4cm D．6cm【典例5】如圖，△ABC的周長(zhǎng)為12cm，∠ABC、∠ACB的平分線交于點(diǎn)O，OD⊥BC于點(diǎn)D，且OD＝2cm，則△ABC的面積為cm2．典例5典例6【典例6】如圖，BD是△ABC的角平分線，AB＝8，BC＝4，且S△ABC＝36，則△DBC的面積是．題型02角平分線的作圖【典例1】觀察圖中尺規(guī)作圖痕跡，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A．OE是∠AOB的平分線 B．OC＝OD C．點(diǎn)C、D到OE的距離不相等 D．∠AOE＝∠BOE【典例2】如圖，已知∠AOB，按照以下步驟作圖：①以點(diǎn)O為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)分別交OA，OB于點(diǎn)C，D；②分別以點(diǎn)C，D為圓心，以大于CD的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)E；③連接OE，CE，DE，CD．下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．∠OCE＝∠ODE B．∠ECD＝∠OCD C．∠AOE＝∠BOE D．CD⊥OE【典例3】如圖，在△ABC中，AB＝AC，按如下步驟作圖：以點(diǎn)A為圓心、適當(dāng)長(zhǎng)度為半徑作弧，分別交AB、AC于點(diǎn)M、N；分別以點(diǎn)M、N為圓心、大于MN的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)F，連接AF并延長(zhǎng)，交BC于點(diǎn)E．下列結(jié)論不一定成立的是（）A．∠ABC＝∠ACB B．BE＝CE C．AE⊥BC D．∠BAE＝∠B【典例4】如圖，在△ABC中，∠C＝90°，按以下步驟作圖：①以點(diǎn)A為圓心、適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作圓弧，分別交邊AC、AB于點(diǎn)M、N；②分別以點(diǎn)M和點(diǎn)N為圓心、大于的長(zhǎng)為半徑作圓弧，在∠BAC內(nèi)，兩弧交于點(diǎn)P；③作射線AP交邊BC于點(diǎn)D，若CD＝4，AB＝15，則△ABD的面積是（）A．15 B．30 C．45 D．60題型03角平分線的性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用【典例1】為促進(jìn)旅游發(fā)展，某地要在三條公路圍成的一塊平地上修建一個(gè)度假村，如圖所示，若要使度假村到三條公路的距離相等，則這個(gè)度假村應(yīng)修建在（）A．△ABC三條高線的交點(diǎn)處 B．△ABC三條中線的交點(diǎn)處 C．△ABC三條角平分線的交點(diǎn)處 D．△ABC三邊垂直平分線的交點(diǎn)處【典例2】三條公路將A、B、C三個(gè)村莊連成一個(gè)如圖的三角形區(qū)域，如果要在三角形區(qū)域內(nèi)修建一個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)，要使集貿(mào)市場(chǎng)到三條公路的距離相等，那么這個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)可選的位置有（）A．1處 B．2處 C．3處 D．4處1．到三角形的三條邊距離相等的點(diǎn)（）A．是三條角平分線的交點(diǎn) B．是三條中線的交點(diǎn) C．是三條高的交點(diǎn) D．以上答案都不對(duì)2．如圖，BD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，垂足為E．若△ABC的面積為26，AB＝8，BC＝5，則DE的長(zhǎng)為（）第2題第3題A．1 B．2 C．3 D．43．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AD是△ABC的一條角平分線．若CD＝3，則△ABD的面積為（）A．15 B．30 C．12 D．104．如圖，OP平分∠MON，PA⊥ON于點(diǎn)A，點(diǎn)Q是射線OM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．若PA＝2，則PQ的長(zhǎng)不可能是（）A．4 B．3.5 C．2 D．1.55．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，CF⊥AB，交AB于點(diǎn)F，交BE于點(diǎn)D，若BC＝8cm，DF＝3cm，則△CDB的面積為（）A．12cm2 B．8cm2 C．6cm2 D．4cm26．如圖，∠AOB＝70°，點(diǎn)C是∠AOB內(nèi)一點(diǎn)，CD⊥OA于點(diǎn)D，CE⊥OB于點(diǎn)E，且CD＝CE，則∠DOC的度數(shù)是（）A．30° B．35° C．40° D．45°7．如圖，AD∥BC，∠ABC的平分線BP與∠BAD的平分線AP相交于點(diǎn)P，作PE⊥AB于點(diǎn)E，若PE＝4，則點(diǎn)P到AD與BC的距離之和為（）A．4 B．6 C．8 D．108．如圖，△ABC中，AD⊥BC交BC于點(diǎn)D，AE平分∠BAC交BC于點(diǎn)E．過(guò)點(diǎn)C作AE的垂線交AE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，連接BG，下列結(jié)論：①∠BAD＝∠BCG；②（∠ABD﹣∠ACE）；③∠AGC＝∠BAE+∠ACB；④S△ABD?S△CDG＝S△BDG?S△ACD，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．49．隨著人們生活水平的不斷提高，汽車逐步進(jìn)入到千家萬(wàn)戶，小紅的爸爸想在本鎮(zhèn)的三條相互交叉的公路（如圖所示），建一個(gè)加油站，要求它到三條公路的距離相等，這樣可供選擇的地址有處．10．如圖，BD是∠ABC的平分線，DE⊥AB于點(diǎn)E，S△ABC＝15cm2，AB＝8cm，BC＝12cm，則DE＝cm．11．如圖，O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且O到三邊AB、BC、CA的距離OF＝OD＝OE，若∠BAC＝70°，∠BOC＝．12．如圖所示，已知△ABC的周長(zhǎng)是20，OB，OC分別平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝3，則△ABC的面積是．13．已知：如圖，BD平分∠ABC，點(diǎn)F在AB上，點(diǎn)G在AC上，連接FG、FC，F(xiàn)C與BD相交于點(diǎn)H，∠GFH+∠BHC＝180°．（1）證明：∠1＝∠2；（2）若∠A＝55°，∠ABC＝80°，求∠FGC．14．如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，DE⊥AB于點(diǎn)E．（1）若∠ABC＝40°，∠ACB＝70°，求∠BDC的度數(shù)；（2）若DE＝