2021年高中數(shù)學(xué)多選題復(fù)習(xí)含答案

一、函數(shù)的概念與基本初等函數(shù)多選題

1.一般地，若函數(shù)/(X)的定義域?yàn)榫?，值域?yàn)椋垡廊纾瑒t稱為的"倍跟隨區(qū)間”;

若函數(shù)的定義域?yàn)椋鄯簿?，值域也為［?可，則稱［a,可為/(x)的“跟隨區(qū)間〃.下列結(jié)論正

確的是()

A.若［1,可為/(力=/一21+2的跟隨區(qū)間，則6=2

B.函數(shù)/(x)=l+g存在跟隨區(qū)間

c.若函數(shù)〃力="-47T存在跟隨區(qū)間，則加￡--,o

I4.

D.二次函數(shù)〃力=一耳/+X存在勺倍跟隨區(qū)間”

【答案】ABCD

【分析】

根據(jù)“攵倍跟隨區(qū)間"的定義，分析函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的最值與取值范圍逐個(gè)判斷即可.

【詳解】

對(duì)A,若［1,可為/(x)=f-2x+2的跟隨區(qū)間，因?yàn)?f—2工+2在區(qū)間［1,可為增

函數(shù)，故其值域?yàn)榭?從一3+2］,根據(jù)題意有從一26+2=b，解得b=l或匕=2,因?yàn)榉剑?

故8=2.故A正確；

對(duì)B,因?yàn)楹瘮?shù)/(同=1+2在區(qū)間(-oo,0)與(0,y)上均為減函數(shù)，故若/(力=1+2存

XJC

1-V5

在跟隨區(qū)間修則有《:，解得：＜2

1+非

b=l+-

a

故存在,B正確.

對(duì)c,若函數(shù)/(%)二機(jī)一J7TT存在跟隨區(qū)間［。,句,因?yàn)?(x)=〃z-Jx+i為減函數(shù)，故由

\b=m-Ja+l/------/------

跟隨區(qū)間的定義可知＜-----a-b=\la+\-＞］b+\,a＜b

［a=m-y/b+T

即(q_3(Ja+］+x/Z?+1)=(a+l)_(b+1)=a-氏因?yàn)閍＜6,所以Ja+］+J/?+l=1.

易得Owja+lv屈

所以a=用一Jb+T=tn-^\-Ja+1),令t=Ja+1代入化簡(jiǎn)可得/一，-相=0,同理

/=歷1也滿足產(chǎn)一，一加=0,即/一，一加=。在區(qū)間［0,1］上有兩根不相等的實(shí)數(shù)根.

1+4m>0(1

故〈八，解得相￡一二,0,故C正確.

-m>0V4

對(duì)D,若/(1)=一;f+x存在“3倍跟隨區(qū)間，，，則可設(shè)定義域?yàn)榫?值域?yàn)閇3〃,3句.當(dāng)

avbWl時(shí)，易得/(%)=—；/+x在區(qū)間上單調(diào)遞增，此時(shí)易得。力為方程

—gf+x=3x的兩根，求解得1=0或1=^.故存在定義域[_4,()],使得值域?yàn)椴?2,0].

故D正確.

故選：ABCD.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了函數(shù)新定義的問(wèn)題，需要根據(jù)題意結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)分析函數(shù)的單調(diào)性與取最

大值時(shí)的自變量值，并根據(jù)函數(shù)的解析式列式求解.屬于難題.

“IlnxLx>0°c

2.已知函數(shù)/(幻=?'八，若函數(shù))=/(/*))+。有6個(gè)不同零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)〃

x+1,x<0

的可能取值是()

11

A.0B.C.-1D.——

23

【答案】BD

【分析】

分別代入各個(gè)選項(xiàng)中〃的值，選解出/(7(x))+〃=。中的/*),然后再根據(jù)數(shù)形結(jié)合可

得出答案

【詳解】

函數(shù)y=/(/*))+。有零點(diǎn)，即方程/(/(x))+〃=o有根的問(wèn)題.

對(duì)于A：當(dāng)〃=0時(shí)，/(/(x))=o,

故f(x)=T，f(x)=1,故x=0,x=-2,x=-,x=e,

e

故方程f(/(%))+〃=0有4個(gè)不等實(shí)根；

對(duì)于B：當(dāng)4=時(shí)，=

故/(幻=-5，/(x)=4e,八*=爰，

當(dāng)/")=一;時(shí)，由圖象可知，有1個(gè)根，

當(dāng)，(幻=”時(shí)，由圖象可知，有2個(gè)根，

當(dāng)f*)=9時(shí)，由圖象可知，有.3個(gè)根，

故方程/(/(%))+。=0有6個(gè)不等實(shí)根；

對(duì)于C：當(dāng)〃=一1時(shí)，/(/?)=1,

故f(x)=O，fM=e,/(%)=-,

e

當(dāng)f(x)=O時(shí)，由圖象可知，有2個(gè)根，

當(dāng)f(x)=e時(shí)，由圖象可知，有2個(gè)根，

當(dāng)f(x)=1時(shí)，由圖象可知，有3個(gè)根，

e

故方程/(/(%))+。=0有7個(gè)不等實(shí)根；

對(duì)于。：當(dāng)〃=一(時(shí)，/(/(x))=1,

21

故/(%)=-§，f(x)=y/e,/(")=亞，

2

當(dāng),")=一7時(shí)，由圖象可知,有1個(gè)根.

當(dāng)/(幻=%時(shí)，由圖象可知，有2個(gè)根，

當(dāng)/(”)=這時(shí)，由圖象可知，有3個(gè)根，

故方程/(/(%))+。=0有6個(gè)不等實(shí)根：

故選：BD.

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵一是將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程問(wèn)題，二是先解出/(幻的值，三是根據(jù)數(shù)形

結(jié)合得到每一個(gè)新的方程的根.

3.已知函數(shù)/(力_("'7)Msir”，則下列說(shuō)法正確的是()

A.函數(shù)y=是偶函數(shù)，且在(TO,”)上不單調(diào)

B.函數(shù)y=/'(x)是奇函數(shù)，且在(F.M)上不單調(diào)遞增

C.函數(shù)y=/(x)在1一方0)上單調(diào)遞增

D.對(duì)任意mcR,都有6)，且/'(機(jī))之。

【答案】AD

【分析】

由函數(shù)的奇偶性以及函數(shù)的單調(diào)性即可判斷A、B、C、D.

【詳解】

解：為A,.=———+4sin2—=-——-2cosx*

定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

lx

P-+1戶1

/(-x)=-----2cos(-x)=------2cos(*=f(x)，

ee

?.?y=/(x)是偶函數(shù)，其圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，

???/(%)在(-00,位)上不單調(diào)，故A正確；

對(duì)B,ff(x)=ex——-+2sinx,

=e~x———+2sin(-x)=-(ex——-+2sinx)=-f\x),

???/(力是奇函數(shù),

令g(x)="-----+2sinx,

ex

則^f(x)=ev+—+2cosx>2+2cosx>0,

ex

在(YO,+OO)上單調(diào)遞增，故B錯(cuò)誤;

對(duì)C,v/(%)=^--+2sinx,且/(處在(YO,+00)上單調(diào)遞增,

ex

又???八0)二0，

xw(一萬(wàn),0)時(shí)，f\x)<0,

"二/(力在(go)上單調(diào)遞減，故C錯(cuò)誤；

對(duì)D,???y=/(x)是偶函數(shù)，且在(0,+00)上單調(diào)遞增，

???/(|相|)=/(m)，且f(m)N/(0)=0,故D正確.

故選：AD.

【點(diǎn)睛】

用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間或判斷函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題時(shí)應(yīng)注意如下幾方面：

（1）在利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，首先要確定函數(shù)的定義域；

⑵不能隨意將函數(shù)的2個(gè)獨(dú)立的單調(diào)遞增（或遞減）區(qū)間寫成并集形式；

⑶利用導(dǎo)數(shù)解決含參函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題時(shí)，一般將其轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問(wèn)題，解題過(guò)程

中要注意分類討論和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

4.函數(shù)/（X）的定義域?yàn)镺,若存在區(qū)間［見(jiàn)〃仁。使/（X）在區(qū)I,磯町同上的值域也是

［加,〃］，則稱區(qū)間［加,可為函數(shù)/（力的“和諧區(qū)間〃，則下列函數(shù)存在“和諧區(qū)間〃的是

A.f（X）=y［xB./（X）=X2-2x+2C./（X）=X+—

D-

【答案】ABD

【分析】

根據(jù)題意，可知若/（X）在區(qū)間團(tuán)用上的值域也是在幾川，則/（￡）存在“和諧區(qū)

m/㈣=n

間且"2<〃，貝卜或，,再對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行運(yùn)算求解

/(〃)=nm

小〃，即可判斷該函數(shù)是否存在“和諧區(qū)間

【詳解】

解：由題得，若“X）在區(qū)間1上的值域也是［孫川，則/（X）存在“和諧區(qū)

間”[私〃],

〃加）=/㈣=〃

可知，m<n,或，

?。?，f⑺二m

，、一、\f（）n）=\［rn=m（m=0

A：/（x）=Vx（x>0）,若「，解得：〈?，

f（n）=\ln=n=1

所以“力=&存在“和諧區(qū)間〃［05；

+2%R）,若優(yōu)）」j+2=〃'解得“〃=2

所以/（工）=工2-2x+2存在"和諧區(qū)間”［1,2］；

f(fn)=m-\——=m—=0

m

C：/(x)=x+—(x^O),若，,得1:,故無(wú)解:

/(〃)=n+-=n0

〃？+—

m

f(in\=m+—=n

mmtrr+m+\_

即—,化簡(jiǎn)得:

M+1nw(/n2+1)

/(n)=n+—=m

1

〃+—=tn

n

即加2+相+1=0，由于△二/一4xlxl=-3v0，故無(wú)解;

若0＜機(jī)＜1=機(jī)...機(jī)=2,不成立

所以f(x)=x+-不存在"和諧區(qū)間"；

X

f(m)=—=n

D：/(x)=-(x^0),函數(shù)在(0,+oo),(?8,0)單調(diào)遞減，則＜:,不妨令

X

1

m=—

2,

n=2

所以=J■存在"和諧區(qū)間”1,2；

X_4

綜上得：存在“和諧區(qū)間”的是ABD.

故選：ABD.

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛；本題以函數(shù)的新定義為載體，考查函數(shù)的定義域、值域以及零點(diǎn)等知識(shí)，解

題的關(guān)鍵是理解"和諧區(qū)間"的定義，考查運(yùn)算能力以及函數(shù)與方程的思想.

5.若/(%)滿足對(duì)任意的實(shí)數(shù)。，b都有且/。)=2,則下列判

斷正確的有()

A./(力是奇函數(shù)

B./(%)在定義域上單調(diào)遞增

C.當(dāng)XW(0,+8)時(shí)，函數(shù)/(x)＞l

n"2)“4)”6)7(2016)/(2018)/(2020)_

./(I)/(3)/(5)/(2015)/(2017)/(2019)

【答案】BCD

【分析】

利用新定義結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷.計(jì)算出了⑴判斷A；先利用/(1)=2>1證明所有

有理數(shù)，，有/(p)>l，然后用任意無(wú)理數(shù)9都可以看作是一個(gè)有理數(shù)列的極限，由極限

的性質(zhì)得了(0>1，這樣可判斷C,由此再根據(jù)單調(diào)性定義判斷B,根據(jù)定義計(jì)算

f(2n)

:二：、(neN),然后求得D中的和，從而判斷D.

【詳解】

令。=0/=1,則/⑴=/(1+0)=")/(0),即2=2/(0),"0)=1,/")不可

能是奇函數(shù)，A錯(cuò)；

對(duì)于任意X￡R,/(幻工0,若存在/￡/?，使得/(%)=0,則

/(0)=/(%+(-/))=/(%)/(-%)=0,與/(0)=1矛盾，故對(duì)于任意X￡R,

/(外工0,

??對(duì)于任意Wx)=f(泊卜佃佃力削3

.?.對(duì)任意正整數(shù)〃，

/?川斗”心2>一?”

、*J確

同理fS)=/(1+1+...+1)=/(l)/(l).../(l)=2n>l,

m

對(duì)任意正有理數(shù)〃，顯然有〃=一(，幾〃是互質(zhì)的正整數(shù))，則

n

f(P)=f~—>1，

L

對(duì)任意正無(wú)理數(shù)g,可得看作是某個(gè)有理數(shù)列網(wǎng),小，。3,…的極限，而

ieN,A/(4)與/(化)的極限，,

綜上對(duì)所有正實(shí)數(shù)x,有C正確，

設(shè)司<占，則七一%>0，「?/(9一%)>1，則

/(七)=/(%+(電-%))=/($>/(X2-％)>/($)，???/(X)是增函數(shù)，B正確;

由已知f(2〃)=f(2〃-1+1)=/(2〃-1)/(1)=2/(2〃一1),「.f八二2,

八嘰“4）"6）7（2016）/（2018）/（2020）7-2x1010-2020

---7T+++；------rH:-------rH----;------r=Z+/+???++Z=ZXlUIU=ZUZU

/（l）”3）/（5）/（2015）/（2017）/（2019）、個(gè)？'

,D正確.

故選：BCD.

【點(diǎn)睛】

本題考查新定義函數(shù)，考查學(xué)生分析問(wèn)題，解決問(wèn)題的能力，邏輯思維能力，運(yùn)算求解能

力，對(duì)學(xué)生要求較高，本題屬于難題.

6.已知/(力是定義域?yàn)?—，依)的奇函數(shù)，/(1+1)是偶函數(shù)，且當(dāng)了￡(0,1］時(shí)，

/(x)=-x(x-2),則()

A./(X)是周期為2的函數(shù)

B./(2019)+/(2020)=-1

C.“X)的值域?yàn)椴?,1］

D./(X)的圖象與曲線y=cosx在(0,2元)上有4個(gè)交點(diǎn)

【答案】BCD

【分析】

對(duì)于A,由“力為R上的奇函數(shù)，〃工+1)為偶函數(shù)，得/(x)=/(x—4),則/(X)是

周期為4的周期函數(shù)，可判斷A；

對(duì)于B,由/(X)是周期為4的周期函數(shù)，則”2020)="0)=0,

/(2019)=/(-1)=-/(1)=-1,可判斷B.

對(duì)于C,當(dāng)工€(0,1］時(shí)，/(x)=-x(x-2),有又由/(X)為R上的奇函

數(shù)，則1,0)時(shí)，―1K/(X)VO,可判斷C.

對(duì)于D,構(gòu)造函數(shù)g(x)=〃x)-cosx,利用導(dǎo)數(shù)法求出單調(diào)區(qū)間，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理，

即可判斷D.

【詳解】

根據(jù)題意，

對(duì)于A,/(力為R上的奇函數(shù)，〃R+1)為偶函數(shù)，

所以/U)圖象關(guān)于x=1對(duì)稱，/(2+x)=f(-x)=-/(x)

即/(x+4)=-/(x+2)=/(x)

則“X)是周期為4的周期函數(shù)，A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,7(力定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，則/(0)=0,

/(X)是周期為4的周期函數(shù)，則”2020)="0)=0；

當(dāng)時(shí)，/(x)=-x(x_2),則/⑴=TX(1_2)=1,

則〃2019)=/(T+2020)=f(T)=-/⑴=T,

則/(2019)+/(2020)=-1：故B正確.

對(duì)于C,當(dāng)X￡(O,1]時(shí)，/(x)=「r(x-2),此時(shí)有0寸(641,

又由〃x)為/?上的奇函數(shù)，則XE[-1,0)時(shí),-l</(.r)<0,

/(0)=0,函數(shù)關(guān)于工=1對(duì)稱，所以函數(shù)“X)的值域

故C正確.

對(duì)于D,,??/(())=0,且X￡(O,1]時(shí)，/(x)=-x(x-2),

XG[0,1],/(x)=-x(x-2),

.?.XG[1,2],2-XG[0,1L/(X)=/(2-X)=-XU-2),

.?“W[0,2]J(X)=T(X-2),

???/(幻是奇函數(shù)，「」￡[-2,0],/(幻=1*+2),

/(x)的周期為4，「.尤w[2,4],/(x)=(x-2)(x-4),

x€[4,6],/(x)=一(“-4)(。-6),

xG[6,2^-],/(x)=(X-6)(%-8),

設(shè)g(")=/(x)-cosx,

當(dāng)xw[0,2],g(x)=-x2+2x-cosx，

g'(x)=-2x+2+sinx,

設(shè)h(x)=g'(x),"(x)=-2+cosx<0在[0,2]恒成立,

//*)在[0,2]單調(diào)遞減，即g'(x)在[0,2]單調(diào)遞減，

且g〈l)=sinl>0,g'(2)=-2+sin2<0,

存在/w(l,2),g(%)=0,

xe(0,%),g，(x)>0,g(x)單調(diào)遞增,

xG(X0,2),g\x)<0,g(x)單調(diào)遞減，

g(0)=-1,^(1)=l-cosl>0,g(%)>g(l)>0,g(2)=-cos2>0,

所以g(x)在(0,兩)有唯一零點(diǎn)，在(/，2)沒(méi)有零點(diǎn)，

即xe(0,2],/(力的圖象與曲線y=cosx有1個(gè)交點(diǎn)，

當(dāng)xe[24]時(shí)，,^(x)=/(x)-cosx=x2-6x+8-cosx,

則g'(x)=2x-6+sinx,/z(x)=g'(x)=2x—6+sinx,

則h\x)=2+cosxX),所以g'(x)在[2,4]上單調(diào)遞增，

且g[3)=sin3>0,g'⑵=-2+sin2<0,

所以存在唯一的x,e[2,3]cz[2,4],使得g'(?=0,

所以X￡(2,XJ,g'(x)<0，g[x)在(2,xJ單調(diào)遞減,

工￡(司4),g'(x)X),g(x)在(％4)單調(diào)遞增，

Xg(3)=-l-cos3<0,所以g(%)vg(3)vO,

又g(2)=-cos2>0,g(4)=-cos4>0.

所以g(x)在(2,*)上有一個(gè)唯一的零點(diǎn)，在(3,4)上有唯一的零點(diǎn)，

所以當(dāng)時(shí)，的圖象與曲線y=8sx有2個(gè)交點(diǎn)，，

當(dāng)不句4,6]時(shí)，同xw[0,2],的圖象與曲線y=cosx有1個(gè)交點(diǎn)，

當(dāng)xe[6,2^],f(x)=(x—6)(x-8)<0,y=cosx>0,

的圖象與曲線y=COSX沒(méi)有交點(diǎn)，

所以/(x)的圖象與曲線)'=cosx在(0,2兀)上有4個(gè)交點(diǎn)，故D正確；

故選：BCD.

【點(diǎn)睛】

本題考查抽象函數(shù)的奇偶性、周期性、兩函數(shù)圖像的交點(diǎn)，屬于較難題.

7.對(duì)立eR,㈤表示不超過(guò)1的最大整數(shù).十八世紀(jì)，)=[幻被"數(shù)學(xué)王子"高斯采用，

因此得名為高斯函數(shù)，人們更習(xí)慣稱為“取整函數(shù)”，則下列命題中的真命題是()

A.3xGR,X.[x]+1

B.Vx,y€R,[x]+[yj,[x4-y]

C.函數(shù)、=%-[幻。€氏)的值域?yàn)閇0,1)

D.若方eR,使得[尸]=1,口[=2,口5]=3,L,口[=〃一2同時(shí)成立，則正整數(shù)〃的

最大值是5

【答案】BCD

【分析】

由取整函數(shù)的定義判斷，由定義得[x]Wxv[x]+l,利用不等式性質(zhì)可得結(jié)論.

【詳解】

3是整數(shù),若％N[幻+L[幻+1是整數(shù)，.??印之[幻+1,矛盾，,A錯(cuò)誤；

VX,^GR,[x]<x,[y]<j,[x]+[^]<x+y,/.[x]+[y]<[x+^],B正確；

由定義x-lv[x]4x,..?！豆ひ籟幻<1,??.函數(shù)=[幻的值域是[0』)，C正確；

若于ER,使得[/]=1,[/]=2,[r]=3,1,口1=〃一2同時(shí)成立，則iw次，

正建，</，迎，<%，…，VnZ2<r<-x/nZT?

因?yàn)檠?次，若〃之6,則不存在，同時(shí)滿足l?fv啦，^4<r<V5.只有"45

時(shí)，存在[百，次)滿足題意，

故選：BCD.

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)新定義，正確理解新定義是解題基礎(chǔ).由新定義把問(wèn)題轉(zhuǎn)化不等關(guān)系是解題

關(guān)鍵，本題屬于難題.

8.已知〃幻為R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)，/(x)=lgx.記

g(x)=sinX+/(x)-cosx,下列結(jié)論正確的是()

A.g(X)為奇函數(shù)

B.若g(x)的一個(gè)零點(diǎn)為且與<0,貝ijlg(—xJ—tanXouO

c.g(x)在區(qū)間(一的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3個(gè)

D.若g(x)大于1的零點(diǎn)從小到大依次為%,％2,…，則2萬(wàn)<％+工2<3萬(wàn)

【答案】ABD

【分析】

根據(jù)奇偶性的定義判斷A選項(xiàng)；將g(x)=O等價(jià)變形為tanx=-/3,結(jié)合〃幻的奇偶

性判斷B選項(xiàng)，再將零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，結(jié)合函數(shù)g(x)的奇偶性判斷C

選項(xiàng)，結(jié)合圖象，得出Xi，/的范圍，由不等式的性質(zhì)得出玉+玉的范圍.

【詳解】

由題意可知g(x)的定義域?yàn)镠，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

因?yàn)間(T)=sin(-x)+/(-%)-cos(-x)=-sinx-/(x)cosx=-g(x),所以函數(shù)g(x)

為奇函數(shù)，故A正確；

假設(shè)cosx=0,即工=]+左肛RwZ時(shí)，sinx+/(x)cosx=sin]+女萬(wàn))=cosZ;rwO

所以當(dāng)x=E+時(shí)，g(x)wO

2

當(dāng)xw巳+k冗,kwZ時(shí)，sinx+f(x)?cosx=0<=>tanx=-f(x)

2

當(dāng)/<。，-x0>0,則/(%)=/(/)=lg(%)

由于g(x)的一個(gè)零點(diǎn)為/，則tan=-/(A^)=1g()=>1g(-AQ)-tan=0,故B

正確；

當(dāng)x>0時(shí)，令乂=tanx,%=一館％，則g(x)大于。的零點(diǎn)為％=Enx,必=一愴式的交

點(diǎn)，由圖可知，函數(shù)g。)在區(qū)間(0,〃)的零點(diǎn)有2個(gè)，由于函數(shù)gQ)為奇函數(shù)，則函數(shù)

g(x)在區(qū)間(一],0)的零點(diǎn)有1個(gè)，并且g(0)=sin0+/(0)-cos0=0

所以函數(shù)在區(qū)間(一萬(wàn))的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為4個(gè)，故C錯(cuò)誤；

故選：ABD

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了判斷函數(shù)的奇偶性以及判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，屬于較難題.

9.已知正數(shù)4，y，z,滿足3*=4'=12"則()

,令，121

A.6z<3x<4yB.—+—

xyz

C.x+y>4zD.xy<4z2

【答案】AC

【分析】

令3、=4y=122=/n>b根據(jù)指對(duì)互化和換底公式得：

-=log,”3,-=log,,,4,-=log,,,12,再依次討論各選項(xiàng)即可.

xyz

【詳解】

由題意，可令3'=4'=12二=m>1，由指對(duì)互化得：

111

-----=X,------=V,-------=z,

log,”3log,,,4log,/2

1,o1..1.s111

由換底公式得：一=log巾3,-=k)g“,4,一=log“J2,則有一+—=一，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

xyzxyz

124

對(duì)于選項(xiàng)A,----=log12-log,9=log->0,所以x>2z,又

zxwn/H3

---=log?,81-log,,,64=logw(fy>o,所以4y>3x,所以4y>3x>6z,故選項(xiàng)A

xy64

正確;

對(duì)于選項(xiàng)cc因?yàn)?；=：，所以z=^，所以

4Z?F二至上生垃Mx一?”

(x+y)-(x+?

所以盯>4Z2,則z(x+y)>4zt則x+y>4z,所以選項(xiàng)C正確，選項(xiàng)D錯(cuò)誤；

故選：AC.

【點(diǎn)睛】

本題考查指對(duì)數(shù)的運(yùn)算，換底公式，作差法比較大小等，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.本

II]

題解題的關(guān)鍵在于令3、=4、=12工=帆>1，進(jìn)而得1r=―7

log,”310gM4

再根據(jù)題意求解.

r皿”、Xx+lX+2

10.已知函數(shù)/(%)=----+-----+-----,下列關(guān)于函數(shù)/(x)的結(jié)論正確的為()

x+1x+2x+3

A./(x)在定義域內(nèi)有三個(gè)零點(diǎn)B.函數(shù)/(x)的值域?yàn)镽

C./3)在定義域內(nèi)為周期函數(shù)D./*)圖象是中心對(duì)稱圖象

【答案】ABD

【分析】

將函數(shù)變形為/(幻=3-1」］十—!^+工］，求出定義域，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性

1x+1x+2X+3J

即可判斷BC,由零點(diǎn)存在定理結(jié)合單調(diào)性可判斷A,由/(x)+/(-4—x)=6可求出函數(shù)

的對(duì)稱點(diǎn)，即可判斷D.

【詳解】

解：由題意知,

x+2x+31x+1x+2x+3>

定義域?yàn)?-0o,-3)D(—3,—2)"―2,—1)u(—1,+oo),

f\x)=—!—r+—+—>o

("1)2"+2)2"+3)2，

所以函數(shù)在(f0,-3),(-3,-2),(-2,-1),(-1,+8)定義域上單調(diào)遞增，c不正確：

(3A37I?

當(dāng)x>—1時(shí)，/=-3+-1-+—<0,/(0)=-+->0,則(-L+oo)上有一個(gè)零點(diǎn),

\!JXJAJJJ

當(dāng)X￡(—2,—1)時(shí)，/(一()<°，/(一；)>°，所以在“￡(一2,—1)上有一個(gè)零點(diǎn)，

當(dāng)工?-3,-2)時(shí)，所以在1?-3,-2)上有一個(gè)零點(diǎn)，

當(dāng)工<一3,/(x)>0,所以在定義域內(nèi)函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，A正確;

當(dāng)xvO,*_>一「時(shí)，,當(dāng)xf+oo時(shí)，+oc.

又函數(shù)在(一1,”)遞增，且在(-1,”)上有一個(gè)零點(diǎn)，則值域?yàn)镽，B正確;

f)=3+島+++白卜6一

6-/(x),

所以〃x)+〃T—x)=6,所以函數(shù)圖象關(guān)于(一2,3)對(duì)稱，D正確;

故選:ABD.

【點(diǎn)睛】

結(jié)論點(diǎn)睛：

1、y=/(x)與y=-/(x)圖象關(guān)于x軸對(duì)稱；

2、y=〃x)與y=圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；

3、y=〃力與加一力圖象關(guān)于％軸對(duì)稱;

4、y=/(x)與y=2z—/(冗)圖象關(guān)于丁=。軸對(duì)稱；

5、y=/(x)與y=?-〃2。一可圖象關(guān)于(〃力)軸對(duì)稱.

二、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用多選題

11.已知。>0,b>0,下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()

A.若O〃=1,則a+b之2

B.若e"+2。=e"+3〃，則。

c.a(lna-ln/?)N〃一Z;恒成立

a2LQ4

D.-7-hlnZ?v一怛成“

eae

【答案】AD

【分析】

對(duì)A式化簡(jiǎn)，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)的方法，結(jié)合函數(shù)圖象，說(shuō)明A錯(cuò)誤；對(duì)B不等式放縮

ea+2a>eh+2b^通過(guò)構(gòu)造函數(shù)的方法，由函數(shù)的單調(diào)性，即可證明B正確：對(duì)C不等

式等價(jià)變型。(1114—111〃)2々一人=11)色21-2,通過(guò)Dx>O,lnx>恒成立，可得

bax

a=\

C正確；D求出二-〃In匕的最大值，當(dāng)且僅當(dāng)(1時(shí)取等號(hào)，故D錯(cuò)誤.

eb=-

【詳解】

A.aabb=\<^>a\na-^-b\nb=O

設(shè)f(x)=xInx,.?./(〃)+/(力)=0

由圖可知，當(dāng)人.「時(shí)，存在Of0+,使/(a)+/S)=O

此時(shí)1,故A錯(cuò)誤.

B.ea+2a=eb+3b>eb+2b

設(shè)/(x)=/+2x單調(diào)遞增，「.a〉。，B正確

a(lna-lnZ?)>a-Z?<=>In￡>

b~a

又Vx>0,InA->1---,/.In—之1----,C正確

xba

D.y=W=ymax=2當(dāng)且僅當(dāng)X=1；

ee

y=x\nx^>y^n=一!當(dāng)且僅當(dāng)x=L；

ee

a=1

所以二一blnb￡-,當(dāng)且僅當(dāng),1時(shí)取等號(hào)，D錯(cuò)誤.

eeD--

故選：AD

【點(diǎn)睛】

本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查了運(yùn)算求解能力和邏輯推理能力，轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想和數(shù)

形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于難題.

12.已知偶函數(shù)y=〃x)對(duì)于任意的XE0,]^滿足/'(x)cosx+f(x)sin冗>0(其中

/'(無(wú))是函數(shù)“X)的導(dǎo)函數(shù))，則下列不等式中不成立的是()

C.〃0)>wC[口.6]<扁停

【答案】ABC

【分析】

構(gòu)造函數(shù)g(x)=,結(jié)合導(dǎo)數(shù)和對(duì)稱性可知g(x)為偶函數(shù)且在上單調(diào)遞

COSX2)

增，即可得苧/閨〈⑸圖?閨，從而可判斷ABD選項(xiàng)，由

/\

g(0)＜g7可判斷c選項(xiàng).

【詳解】

■\

因?yàn)榕己瘮?shù)y=/(幻對(duì)于任意的0,日滿足了'(x)co$x+/(x)sinx＞0,

乙7

忠.川。,小=/'(x)8SX+〃X)Si

cosxcosX

「?以幻為偶函數(shù)且在0,上單調(diào)遞增，「.g1-二

3

g七M(jìn)訃與=磯3公閨一

46

由函數(shù)單調(diào)性可知且傳卜弓人圖，即。⑸圖＜2佃,

對(duì)于AB，/閣7圖(扃1卜見(jiàn)牙

故AB錯(cuò)誤；

對(duì)于c,g(o)＜g仔)/(0)＜可用=0/14,故c錯(cuò)誤；

4J

對(duì)于D,竽既＜2佃,即佃＜退電

-，故D正確；

7

故選：ABC.

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，解題的關(guān)鍵是利用已知條件構(gòu)造對(duì)

應(yīng)的新函數(shù)gCr)="D,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

,從而比較大小，考查學(xué)生的邏輯

COSX

推理能力與轉(zhuǎn)化思想，屬于較難題.

Inx

13.對(duì)于函數(shù)/(X)=F，下列說(shuō)法正確的是()

X

A.函數(shù)在x處取得極大值LB.函數(shù)的值域?yàn)?-8,二

2ek2e」

C.f(x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)D./(2)</(而</(我

【答案】ABD

【分析】

求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而研究函數(shù)的極值可判斷A選項(xiàng)，作出函數(shù)f（x）

的抽象圖像可以判斷BCD選項(xiàng).

【詳解】

rx2-,nx2x_l-21nx,

函數(shù)的定義域?yàn)椋?,+8）,求導(dǎo)外幻二

4

X.V

令/'（幻=0,解得：X=4^

X（五,+00）

+0—

/（X）極大值

所以當(dāng)％=及時(shí)，函數(shù)有極大值/（右）-宓，故人正確；

對(duì)于BCD,令/（x）=0,得lnx=0,即x=l,當(dāng)xf+oo時(shí)，ln_r＞0,%2＞。，則

/U）＞0

作出函數(shù)/*）的抽象圖像，如圖所示:

,故B正確：函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn),故C錯(cuò)誤：又函數(shù)

/（X）在（五,+oo）上單調(diào)遞減，且〃＜百＜正＜2,則/⑵＜小—＜/（我，故D

正確；

故選：ABD

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，函數(shù)的極值，函數(shù)的值域，及求函數(shù)零點(diǎn)

個(gè)數(shù)，求函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)常用的方法：

（1）方程法：令/（司=0,如果能求出解，有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn).

（2）零點(diǎn)存在性定理法：利用定理不僅要求函數(shù)在區(qū)間同上是連續(xù)不斷的曲線，且

/（6T）-/（Z?）＜0,還必須結(jié)合函數(shù)的圖像與性質(zhì)（如單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱性）才

能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn)或零點(diǎn)值所具有的性質(zhì).

(3)數(shù)形結(jié)合法：轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題.先畫出兩個(gè)函數(shù)的圖像，看其

交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，其中交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不同的值，就有幾個(gè)不同的零點(diǎn).

14.函數(shù)/(幻=嚀，則下列說(shuō)法正確的是()

A./(2)>/(3)B.ln^>

V

C.若/(x)=m有兩個(gè)不相等的實(shí)根玉、X2,則為/</D.若2,=5,My均為正

數(shù)，則2x<5y

【答案】BD

【分析】

求出導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)口單調(diào)性，極值，函數(shù)的變化趨勢(shì)，然后根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)判

斷各選項(xiàng).

由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及指數(shù)函數(shù)單調(diào)性判斷A,由函數(shù)/(幻性質(zhì)判斷BC,設(shè)

25

2*=5'=左，且乂了均為正數(shù)，求得2%=1[ln￡5y=；—In%,再由函數(shù)/*)性質(zhì)判

m2In5

斷D.

【詳解】

由f(x)=——,x>0得：/W=——

Xx~

令r(x)=O得，x=e

當(dāng)x變化時(shí)，r(x)j(x)變化如下表:

X(O,e)e七E)

f1(x)+0—

極大值」

fM單調(diào)遞增單調(diào)遞減

e

故，/口)=止在(0,4上遞增，在(e,+8)上遞減，/(e)=』是極大值也是最大值,

xe

時(shí)，xf+oo時(shí)，,f(x)f0,且時(shí)/(x)>0,Ovxvl時(shí)，/(%)<0,

/(1)=0,

In2--

A./(2)=—=ln22,/(3)=ln33

zj\6(IXj.

???3^>22.-.3^>2^?./(3)>/(2),故A錯(cuò)

B.?.?J^<6<e，且/*)在(0,e)單調(diào)遞增

「.華〈字..乃＞叵故：B正確

e兀?弋兀Ve

c.??,/(x)=m有兩個(gè)不相等的零點(diǎn)%,當(dāng)二?/(藥)=/(/)=m

不妨設(shè)。<A<e<x2

22

2

要證：x}x2<e,即要證：Xy<—vx,>e,:.^r<e?.?/(x)在[0,e)單調(diào)遞增，.?.只

x,x

/2\/2\/2\

需證：/(%)</—即：f(工2)<f—只需證：/(占)一/一<?！?/p>

kX27\X27

令g(x)=/W-f[—l(x>e),貝|Jg'(x)=(InX-1)--vl

當(dāng)%>e時(shí)，Inx>l，!>」7.-..g(x)>o.,.g(x)在?+8)單調(diào)遞增

e~x~

/2\

YXj>e.>.^(^)>^(e)=o,即：/(X2)-/—>0這與①矛盾，故C錯(cuò)

r,,,In%,.\nk

D.設(shè)2*=5「二女，且無(wú)，〉均為正數(shù),則工=108,2==,》=1085上==

In2In5

25

:.2x=—\nk,5y=—\nk

In2In5

X10/1\

i21i51--I[-

nn??2

q4=11122,吧=11155且22>55.2>5§

257\/

25

出,監(jiān)0---<----2x<5yt故D正確.

In2In5

故選：BD.

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值，函數(shù)零點(diǎn)等性質(zhì)，解題關(guān)鍵是由

導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)/a)的性質(zhì).其中函數(shù)值的大小比較需利用單調(diào)性，函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題中有兩

個(gè)變量再,勺，關(guān)鍵是進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用零點(diǎn)的關(guān)系轉(zhuǎn)化為一個(gè)變量，然后引入新函數(shù)進(jìn)行證

明.

15.對(duì)于函數(shù)/(*)=丁+5-lnx-4+l,其中awR,下列4個(gè)命題中正確命題有()

A.該函數(shù)定有2個(gè)極值B.該函數(shù)的極小值一定不大于2

C.該函數(shù)一定存在零點(diǎn)D.存在實(shí)數(shù)。，使得該函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)

【答案】BD

【分析】

求出導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)確定極值，結(jié)合零點(diǎn)存在定理確定零點(diǎn)個(gè)數(shù).

【詳解】

函數(shù)定義域是(0,+8),

由已知r(x)=2xIa1=2/+以-1,

XX

A=a2+8>0?2爐+辦一1=0有兩個(gè)不等實(shí)根但不赴=-5<0,內(nèi),第一正一

負(fù).

由于定義域是(0,+8),因此r*)=o只有一個(gè)實(shí)根，/*)只有一個(gè)極值，A錯(cuò)；

不妨設(shè)王<0<工2,則0<x<%2時(shí)，r(x)<0，/0)遞減，時(shí)，/")>0，

/(幻遞增.所以/(/)是函數(shù)的極小值.2月+出一1=0,。=匕組，

x2

f(x2)=Xj+唯-Inx2-a+1=

￥+1