2022-2023學年九年級上學期同步講練(人教版)第21章 重點突破訓練：一元二次方程的綜合應用

第21章重點突破訓練：一元二次方程的綜合應用

考點體系

考點1：一元二次方程與面積問題

典例：（2020.珠海市斗門區(qū)實驗中學初三期中）如圖，某農(nóng)戶準備建一個長方形養(yǎng)雞場，養(yǎng)雞場的一邊靠墻，

墻對面有一個2m寬的門，另三邊用竹籬笆圍成，籬笆總長33m.圍成長方形的養(yǎng)雞場除門之外四周不能有

空隙.

（1）若墻長為18m,要圍成養(yǎng)雞場的面積為150m2,則養(yǎng)雞場的長和寬各為多少？

（2）圍成養(yǎng)雞場的面積能否達到200m2?請說明理由

------12m|--------

【答案】（1）養(yǎng)雞場的寬是10m,長為15m；（2）不能，見解析

【解析】

解：（1）設養(yǎng)雞場的寬為xm,根據(jù)題意得：

x（33-2x+2）=150,

解得：xi=10,X2=7.5,

當XI=10時，33-2x+2=15V18,

當X2=7.5時33-2x+2=20>18,（舍去）,

則養(yǎng)雞場的寬是10m,長為15m.

（2）設養(yǎng)雞場的寬為xm,根據(jù)題意得：

x（33-2x+2）=200,

整理得：2x2-35x+200=0,

△=（-35）2-4x2x200=1225-1600=-375<0,

因為方程沒有實數(shù)根，

所以圍成養(yǎng)雞場的面積不能達到200m2

方法或規(guī)律點撥

此題考查了一元二次方程的應用，讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關系，列出方

程是解題的關鍵，注意寬的取值范圍.

鞏固練習

1.（2019?廣西壯族自治區(qū)初三期末）如圖，在長為32如寬為20根的矩形地面上修筑同樣寬的道路（圖中陰

影部分），余下的部分種上草坪，要使道路的面積比草坪面積少440cm2.

（1）求草坪面積；

（2）求道路的寬.

【答案】⑴540cw2：（2）2>n

【解析】解：（I）設草坪面積為xcm,

f#x+（x-440）=32x20,

解得x=54（）,

所以，草坪面積為540cm2.

（2）設道路的寬為ym,

原圖經(jīng)過平移轉(zhuǎn)化為圖1.

20m

因此，根據(jù)題意得（32-y）（20-y）=540

整理得(y—2)(y—50)=0

解得x=2或x=50（不合題意，舍去）

因此，道路的寬為2,小

2.（2020?湖北省初三月考）如圖是一張長20c7〃、寬12cm的矩形紙板，將紙板四個角各剪去一個邊長相同

的正方形，然后將四周折起，可制成一個無蓋紙盒，若要制成一個底面積為180CT后的無蓋長方體紙盒，求

需要剪去的正方形的邊長為多少？

7

【答案】正方形的邊長為1

【解析】

解：設正方形的邊長為Xcm

則無蓋紙盒的長為（20-2x）cm,寬為（12-2x）cm

（20-2x）（12—2x）=180

Y—16X+15=0

解得：％=1,%=15（不合題意，舍去）

答：正方形的邊長為

3.（2020?射陽縣第二初級中學初二期中）如圖,有長為30m的籬笆，一面利用墻（墻的最大可用長度為10m）,

圍成中間隔有一道籬笆（平行于AB）的長方形花圃.

AD

BC

（1）設花圃的一邊AB為xm,則BC的長可用含x的代數(shù)式表示為m；

（2）當AB的長是多少米時，圍成的花圃面積為63平方米?

【答案】（1）30—3x；（2）7

【解析】

解：（1）由題意得:BC—30-3%,

故答案為：30-3xs

（2）由題意得:-3/+30x=63.

解此方程得xi=7,X2—3.

當x=7時,30-3x=9<10,符合題意;

當x=3時，30-3x=21>10,不符合題意，舍去；

故當A8的長為力”時，花圃的面積為63小.

4.（2020?哈爾濱市松雷中學校初二月考）某社區(qū)進行環(huán)境改造，計劃用地面磚鋪設樓前矩形廣場的地面

ABCD,已知矩形廣場地面的長為100米，寬為80米，圖案設計如圖所示：廣場的四角為邊長相同的小正

方形，陰影分為四個矩形，四個矩形的寬都為小正方形的邊長，陰影部分鋪綠色地面磚，其余部分鋪白色

地面磚.

（1）要使鋪白色地面磚的面積為5200平方米，并且四個角的小正方形面積的和不超過500平方米，那么

這個矩形廣場的四個角的小正方形的邊長應為多少米？

（2）在（1）的條件下，為了增加廣場的綠化同時節(jié)省開支，現(xiàn)將廣場四角的白色正方形地面磚的85%中

的一部分改為種植綠色景觀，另一部分鋪設綠色地面磚.經(jīng)過市場調(diào)查了解到種植綠色景觀每平方米的費

用為30元，白色地面磚每平方米的費用為20元，綠色地面磚每平方米的費用為10元.若廣場四角的總費

用不超過9400元，則最多可以將多少面積的白色地面磚改為種植綠色景觀？

【答案】（1）10米.（2）最多可以將240,小的白色地面磚改為種植綠色景觀.

【解析】

解：（1）設矩形廣場四角的小正方形的邊長為x米，根據(jù)題意，得：

4x2+(100-2x)(80-lx)=5200，

整理，得：X2-45X+350=0.

解之，得：%]=35,X2=10,

四個角的小正方形面積的和不超過500平方米，

，x=10

二要使鋪白色地面磚的面積為5200平方米，

則矩形廣場四角的小正方形的邊長為10米.

（2）設最多可以將山7的白色地面磚改為種植綠色景觀，則鋪設綠色地面磚的面積為：（85%x400-0根2,

則

30a+10（340-a）+60x20<9400,

解之得：a<240.

最多可以將240帆2的白色地面磚改為種植綠色景觀

5.（2020?黃石市教育局初三一模）某廣場有一塊長50米、寬30米的空地，現(xiàn)要將它改造為花園，請你設

計一個修建方案，使?jié)M足下列條件：

（1）正中間留出一條寬2米的道路（如圖）；

（2）道路兩旁修建花壇，且花壇總面積占整個面積（不包括道路）的一半；

（3）設計好的整個圖形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形.（計算結(jié)果精確到0.1米）.

【答案】x的值約取3.9米.

【解析】

解：設計成如下圖方案.

設花壇的邊與空地之間的距離為x米,

由題意可列方程:

(50-2-4x)(30-2x)=8"

X2-27X+90=0,

解得：x,?3.9,X2?23.1(舍去),

x的值約取3.9米.

花壇四周與空地的距離，中間與道路的距離都約為3.9米.

6.（2019?武昌文華中學初一月考）小麗手中有塊長方形的硬紙片，其中長比寬多10cm,長方形的周長是100cm.

（1）求長方形的面積.

（2）現(xiàn)小麗想用這塊長方形的硬紙片，沿著邊的方向裁出一塊長與寬的比為5：4,面積為520c4的新紙

片作為他用.試判斷小麗能否成功，并說明理由.

。D

BC

【答案】（1）長方形的面積為600c4；（2）不能成功，理由詳見解析.

【解析】

解：（1）設長方形的長為xc加，寬為ycm,

x-y=10

根據(jù)題意得：。/丁、“4

2（x+y）=100

x=30

解得：\“，

y=20

，長方形面積為：30x20=600c、〃/，

答：長方形的面積為600cm2；

（2）不能成功，理由如下：

設長方形紙片的長為5。（。>0）?！?，則寬為，

根據(jù)題意得：5。x4。=520,

解得：q=J正，%=-底（不合題意，舍去），

5?=5>/26<4。=4莊，

V4726>4A/25=20.

即紙片的寬大于原來硬紙片的寬，

...小麗不能成功.

考點2：一元二次方程與營銷問題

典例：（2020?廣東省初三其他）某汽車租貿(mào)公司共有汽車50輛，市場調(diào)查表明，當租金為每輛每日200元

時可全部租出，當租金每提高10元，租出去的車就減少2輛.

（1）當租金提高多少元時，公司的每日收益可達到10120元？

（2）公司領導希望日收益達到10160元，你認為能否實現(xiàn)？若能，求出此時的租金，若不能，請說明理由，

（3）汽車日常維護要定費用，已知外租車輛每日維護費為100元未租出的車輛維護費為50元，當租金為

多少元時，公司的利潤恰好為5500元？（利潤=收益-維護費）

【答案】（1）當租金提高20元或30元時,公司的每日收益可達到10120元；（2）日收益不能達到10160

元，理由見解析；（3）當租金為250元時，公司的利潤恰好為5500元.

【解析】

2x

（1）設租金提高X元，則每日可租出（50——）輛，

10

2x

依題意，得：（200+x）（50——）=10120,

10

整理，得：x2-50x+600=0,

解得:Xi=20,X2=30.

答：當租金提高20元或30元時，公司的每II收益可達到10120元.

（2）假設能實現(xiàn)，租金提高x元，

2x

依題意，得：（200+x）（50--）=10160,

整理，得：x2-50x+900=0,

（-50）2-4xlx900<0,

...該一元二次方程無解，

...日收益不能達到10160元.

(3)設租金提高x元，

2x2x2x

依題意，得：(200+x)(50----)-100(50-----)-50x一=5500,

101010

整理，得：x2-100x+2500=0,

解得：X|=X2=50,

.,.200+x=250.

答：當租金為250元時，公司的利潤恰好為5500元.

方法或規(guī)律點撥

本題考查一元二次方程的應用，正確得出等量關系列方程是解題關鍵.

鞏固練習

1.(2020?浙江省初二期中)某商店銷售一款口罩，每袋的進價為12元，計劃售價大于12元但不超過22元，

通過試場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，這種口罩每袋售價提高1元，日均銷售量降低5袋，當售價為18元時，日均銷售量為

50袋.

(1)在售價為18元的基礎上，將這種口罩的售價每袋提高x元，則日均銷售量是袋；(用含x的

代數(shù)式表示)

(2)要想銷售這種口罩每天贏利275元，該商場每袋口罩的售價要定為多少元？

【答案】⑴(50-5%)；(2)17

【解析】

解：(1)5()-x.5=5()-5x(袋)：

故答案為：(50-5x)；

(2)根據(jù)題意得：(18-12+幻(50-5幻=275,

即：X2-4X-5=0)

解得：玉=T,%=5，

當x=—1時，售價是18+(-1)=17元；

當x=5時，售價是18+5=23元.

?..計劃售價大于12元但不超過22元，

x=-l.售價是17元.

答：該商場每袋口罩的售價要定為17元.

2.(2020?廣州市花都區(qū)南陽學校初三月考)某商店以每件40元的價格進了一批商品，出售價格經(jīng)過兩個月

的調(diào)整，從每件50元上漲到每件72元，此時每月可售出188件商品.

(1)求該商品平均每月的價格增長率；

(2)因某些原因，商家需盡快將這批商品售出，決定降價出售.經(jīng)過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：售價每下降一元，每

個月多賣出一件，設實際售價為x元，則x為多少元時銷售此商品每月的利潤可達到4000元.

【答案】(1)20%;(2)60元

【解析】

解：(1)設該商品平均每月的價格增長率為，”，

依題意，得：50(1+/?)2=72,

解得：叫=0.2=20%,〃?2=-2.2(不合題意,舍去).

答：該商品平均每月的價格增長率為20%.

(2)依題意，得:(x-40)[188+(72-x)]=4000,

整理，得：A2-300.r+14400=0,

解得：M=60,&=240(不合題意，舍去).

答：x為60元時商品每天的利潤可達到4000元.

3.(2020.北京市文匯中學初二期中)因魔幻等與眾不同的城市特質(zhì)，以及抖音等新媒體的傳播，重慶己成

為國內(nèi)外游客最喜歡的旅游目的地城市之一.著名“網(wǎng)紅打卡地”磁器口在2018年五一長假期間，接待游客

達20萬人次，預計在2020年五一長假期間，接待游客將達28.8萬人次.在磁器口老街，美食無數(shù)，一家

特色小面店希望在五一長假期間獲得好的收益，經(jīng)測算知，該小面成本價為每碗6元，借鑒以往經(jīng)驗：若

每碗賣25元，平均每天將銷售300碗，若價格每降低1元，則平均每天多銷售30碗.

(1)求出2018至2020年五一長假期間游客人次的年平均增長率：

(2)為了更好地維護重慶城市形象，店家規(guī)定每碗售價不得超過20元，則當每碗售價定為多少元時，店家才

能實現(xiàn)每天利潤6300元？

【答案】(I)年平均增長率為20%；(2)每碗售價定為20元時，每天利潤為6300元.

【解析】

(1)設平均增長率為％,則20(1+x)2=28.8

解得：％=0.2=20%x2=-2.2（舍）.

答：年平均增長率為20%

(2)設每碗售價定為了元時，每天利潤為6300元

(y-6)[300+30(25-y)]=6300?

解得：X=20y2=21.

???每碗售價不超過20元，

所以y=20.

4.(2020?丹東市第七中學初三一模)某商場經(jīng)銷一種成本為每千克40元的水產(chǎn)品，經(jīng)市場分析，若按每千

克50元銷售，一個月能售出500千克；銷售單價每漲價1元，月銷售量就減少10千克.針對這種水產(chǎn)品

的銷售情況，請解答以下問題.

(1)當銷售單價定為每千克55元，計算月銷售量和月銷售利潤；

(2)商場計劃在月銷售成本不超過10000元的情況下，使得月銷售利潤達到8000元，銷售單價應定為多

少？

【答案】(1)月銷售量450千克，月利潤6750元；(2)銷售單價應定為80元/千克

【解析】

(1)月銷售量為:500-5x10=450(千克),

月利潤為：(55-40)x450=6750(元).

(2)設單價應定為x元，

得：(x-40)[500-10(x-50)]=8000,

解得：xi=6(),X2=80.

當x=60時，月銷售成本為16000元，不合題意舍去.

/.x=80.

答:銷售單價應定為80元/千克.

5.(2020?山東省初二期中)我市某童裝專賣店在銷售中發(fā)現(xiàn)，一款童裝每件進價為40元，若銷售價為60

元，每天可售出20件，為迎接“雙十一”，專賣店決定采取適當?shù)慕祪r措施，以擴大銷售量，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)

現(xiàn)，如果每件童裝降價1元，那么平均可多售出2件?設每件童裝降價x元(x>0)時，平均每天可盈利y

元.

(1)寫出y與x的函數(shù)關系式；

(2)當該專賣店每件童裝降價多少元時，平均每天盈利400元？

（3）該專賣店要想平均每天盈利600元，可能嗎？請說明理由.

【答案】（1）曠=一2爐+20尤+400；（2）10元：（3）不可能，理由見解析

【解析】解：（1）根據(jù)題意得，

y與x的函數(shù)關系式為y=（20+2x）（60—40—x）=-2x2+20x+4（X）：

（2）當y=400時，400=-2x2+20x+400-

解得西=10,々=0（不合題意舍去）.

答：當該專賣店每件童裝降價10元時，平均每天盈利400元；

（3）該專賣店不可能平均每天盈利600元.

當y=600時，600=—2/+20%+400，

整理得/一10了+100=0，

?.?△=（-10）2-4xlxl00=-300<0,

，方程沒有實數(shù)根，

答：該專賣店不可能平均每天盈利600元.

6.（2020?山西省初三一模）2020年年初以來，全國多地豬肉價格連續(xù)上漲，引起了民眾與政府的高度關注，

政府向市場投入儲備豬肉進行了價格平抑.據(jù)統(tǒng)計：某超市2020年1月10日豬肉價格比去年同一天上漲

了40%,這天該超市每千克豬肉價格為56元.

（1）求2019年1月10日，該超市豬肉的價格為每千克多少元？

（2）現(xiàn)在某超市以每千克46元的價格購進豬肉，按2020年1月10日價格出售，平均一天能銷售100千

克.經(jīng)調(diào)查表明：豬肉的售價每千克下降1元，平均每日銷售量就增加20千克，超市為了實現(xiàn)銷售豬肉平均

每天有1120元的銷售利潤，在盡可能讓利于顧客的前提下，每千克豬肉應該定價為多少元？

【答案】（D2019年1月10日豬肉的價格為每千克40元；（2）每千克豬肉應該定價為53元.

【解析】（1）設2019年I月10[|,該超市豬肉的價格為每千克x元，

根據(jù)題意,得(1+40%)尤=56,

解得：x=40，

答：2019年1月10日豬肉的價格為每千克40元；

(2)設每千克豬肉應降價V元，

依題意，得:(56-46-y)(100+20y)=1120,

解得：X=2,y2=3,

?.?盡可能讓利于顧客，

,y=3,

56-y=53.

答：每千克豬肉應該定價為53元.

7.(2019?遼寧省初三月考)某商店經(jīng)銷甲、乙兩種商品?現(xiàn)有如下信息：信息1：甲、乙兩種商品的進貨單

價之和是3元；信息2：甲商品零售單價比進貨單價多1元，乙商品零售單價比進貨單價的2倍少1元；信

息3：按零售單價購買甲商品3件和乙商品2件，共付了12元.請根據(jù)以上信息，解答下列問題：

(1)求甲、乙兩種商品的零售單價；

(2)該商店平均每天賣出甲商品500件和乙商品1200件?經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，甲種商品零售單價每降().1元，甲種

商品每天可多銷售100件?商店決定把甲種商品的零售單價下降m(m>())元?在不考慮其他因素的條件下，

當m為多少時，商店每天銷售甲、乙兩種商品獲取的總利潤為1700元？

【答案】(1)甲、乙零售單價分別為2元和3元；(2)當m定為0.5元才能使商店每天銷售甲、乙兩種商

品獲取的利潤共1700兀.

【解析】

(1)假設甲、種商品的進貨單價為X,y元，乙種商品的進貨單價為y元，

"x+y=3

根據(jù)題意可得：h(x+l)+2(2y-l)=12,

解得：［.=’2,

故甲、乙零售單價分別為2元和3元;

（2）根據(jù)題意得出：

（l-m）^500+100x^+lxl200=1700.

即2m2-m=0，

解得m=0.5或m=0（舍去），

答：當m定為0.5元才能使商店每天銷售甲、乙兩種商品獲取的利潤共1700元.

考點3：以百分數(shù)為未知量的一元二次方程

典例：（2020?廣東省初三月考）經(jīng)中共中央決定設立河北雄安新區(qū)，這一重大措施必將帶動首都及周邊區(qū)域

向更高水平發(fā)展，同時也會帶來更多商機.某水果經(jīng)銷商在第一周購進一批水果1160件，預計在第二周進

行試銷，購進價格為每件10元，若售價為每件12元，則可全部售出；若售價每漲價0.1元，銷量就減少2

件.

（1）若該經(jīng)銷商在第二周的銷量不低于1100件，則售價應不高于多少元？

（2）由于銷量較好，第三周水果進價比第一周每件增加了20%,該經(jīng)銷商增加了進貨量，并加強了宣傳力

度，結(jié)果第三周的銷量比第二周在（1）條件下的最低銷量增加了m％,但售價比第二周在（1）條件下的最

2

高售價減少了后加％,結(jié)果第三周利潤達到3388元，求機的值（相>10）.

【答案】（D售價應不高于15元；（2）"7=40.

【解析】

（1）設售價應為x元，依題意有：

2（12）

1160―-----^>1100,

0.1

解得:爛15.

答：售價應不高于15元.

（2）第三周的進價：10（1+20%）=12（元），

由題意得：

2

1100（1+m%）[15（1-—m%）-12]=3388,

設化簡得50產(chǎn)-25f+2=0,

2I

解得：“=不’2=歷，

所以"71=40,，〃2=10,

因為w>10,

所以？n=40.

答：機的值為40.

方法或規(guī)律點撥

本題考查了一元一次不等式的應用，一元二次方程的應用，解題的關鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給

出的條件，找出合適的不等關系和等量關系，列出不等式和方程，再求解.

鞏固練習

1.(2020?重慶初三其他)新型冠狀病毒肺炎是一種急性感染性肺炎，其病原體是一種先前未在人體中發(fā)現(xiàn)

的新型冠狀病毒.市民出于防疫的需求，持續(xù)搶購防護用品.某藥店口罩每袋售價20元，醫(yī)用酒精每瓶售

價15元.

(1)該藥店第一周口罩的銷售袋數(shù)比醫(yī)用酒精的銷售瓶數(shù)多100,且第一周這兩種防護用品的總銷售額為

9000元，求該藥店第一周銷售口罩多少袋？

(2)由于疫情緊張，該藥店為了幫助大家共渡難關，第二周口罩售價降低了銷量比第一周增加了

2

2a0/0,醫(yī)用酒精的售價保持不變，銷量比第一周增加了。％,結(jié)果口罩和醫(yī)用酒精第二周的總銷售額比第

一周增加了求。的值.

【答案】(1)第一周銷售口罩300袋；(2)。的值為20.

【解析】(1)設第一周銷售口罩％袋，則銷售醫(yī)用酒精(無一100)瓶，

依題意，<20x4-15(^-100)=9000,

解得x=3(X).

答：第一周銷售口罩300袋，

故答案為：300；

(2)依題意得，

20(1a%)x300(1+2a%)+15x(300-100)(1+a%)=9000(1+1a%),

整理得0.6。2一12a=(),

解得q=20,?2=0(舍去).

答：”的值為20,

故答案為：20.

2.（2020?重慶一中初三一模）4月24日《復仇者聯(lián)盟4》在中國大陸上映.我市江北影城為加大宣傳，

決定在4月23日預售普通3。票400張和/MAX票100張，且預售中的/M4X的票價是普通3￡>票價的2倍.

（1）若影城的預售總額不低于21000元，則普通30票的預售價格最少為多少元？

（2）影城計劃在上映當天推出普通30票3200張，/MAX票800張.由于預售的火爆，影城決定將普通30

票的價格在（1）中最低價格的基礎上增加而/M4X票價在（1）中/M4X票價上增加了。元，結(jié)果

7

普通3D票的銷售量比計劃少2a%.IMAX票的銷售量與計劃保持一致，最終實際銷售額與計劃銷售額相等，

求”的值.

【答案】（1）普通30票的預售價格最少為35元/張；（2）a的值為20.

【解析】

（1）設普通3D票的預售價格為x元/張，則/MAX票的預售價格為2x元/張，

依題意，得：400.r+100x2r>21000,

解得：x>35.

答:普通3。票的預售價格最少為35元/張.

（2）依題意，得：35（1+—a%）x3200（l-2a%）+（35x2+a）x800=35x3200+35x2x800,

7

整理，得:a2-20?=0,

解得:41=0（舍去），42=20.

答：”的值為20.

3.（2020?重慶巴蜀中學初二月考）智能手環(huán)是一種穿戴式智能設備，通過智能手環(huán)，用戶可以記錄日常生

活中的鍛煉，睡眠、部分還有飲食等實時數(shù)據(jù)，并將這些數(shù)據(jù)與手機、平板同步，起到通過數(shù)據(jù)指導健康

生活的作用，某公司2020年3月新推出A型和8型兩款手環(huán).A型手環(huán)每只售價是B型手環(huán)售價的1.5倍.3

月份A、3手環(huán)總計銷售650只，A型手環(huán)銷售額為108000元，3型手環(huán)銷售額為84000元.

（1）求A、3型手環(huán)的售價各是多少？

（2）由于更多的公司研發(fā)手環(huán)投入市場，市場競爭的加劇，公司決定4月份對兩種手環(huán)進行降價促銷，對

A型手環(huán)直降2a元，銷量比原來提高了a%,對5型手環(huán)在原價基礎上降價@%銷售，銷量比原來提高了

4

20%,4月份總計銷售額為208320元，求。的值.

【答案】（1）A型手環(huán)售價為360元，8型手環(huán)售價為240元.（2）40.

【解析】

解：（1）設B型手環(huán)售價為X元，表示出A型手環(huán)售價為1.5%元，由題意得：

10800084000…

------+-----=650

1.5xx

解得x=240

經(jīng)檢驗，犬=240符合實際意義，

A型手環(huán)售價為L5x=360（元）.

故A型手環(huán)售價為360元，8型手環(huán)售價為240元.

（2）由（1）得，B型手環(huán)促銷前的銷售量為84000+240=350臺，則A型手環(huán)促銷前的銷量為650-350=300

臺，

由題意得：300（360-2（a）（l+4％）+240x350（1--%）（1+20%）=208320

化簡得：80+38“-/=0

解得a=40或。=一2（舍）

故。的值為40.

4.（2020?重慶一中初三月考）受非洲豬瘟的影響，2019年的豬肉價格創(chuàng)歷史新高，同時其他肉類的價格也

有一定程度的上漲，某超市11月份的豬肉銷量是羊肉銷量的3倍，且豬肉價格為每千克70元羊肉價格為每

千克110元.

（1）若該超市11月份豬肉、羊肉的總銷售額不低于27.2萬元，則11月份的豬肉銷量至少多少千克？

（2）12月份香腸臘肉等傳統(tǒng)美食的制作，使得市場的豬肉需求加大，12月份豬肉的銷量比11月份增長了

20a%,由于國家對豬肉價格的調(diào)控，12月份的豬肉價格比11月份降低了。％,羊肉的銷量是11月份豬

肉銷量的！，且價格不變.最終，該超市12月份豬肉和.羊肉的銷售額比11月份這兩種肉的銷售額增加了

3

21

—a0/0,求。的值.

2

【答案】（D11月份豬肉銷量至少為2550千克；（2）。的值為15

【解析】

解：（I）設11月份豬肉銷量為x千克，

則：70x+110xl%>272000.

3

解得：x>2550,

答：II月份豬肉銷量至少為2550千克；

（2）設11月份羊肉銷量為加千克，豬肉銷量為3加千克，則：

21

3加?（1+20。％）?70?（1-a%）+110冽=（70x34+110?加）（1+豆〃％）,

令a%=f，

2|

則3%(1+20，>70-(1-/)+110根=(70*3根+110?加)(1+5/),

整理得：20/一31=0，

3

解得：，=0或/=一，

20

，a=0(舍)或a=15，

答:a的值為15.

5.(2019?重慶初三一模)鮮豐水果店計劃用12元/盒的進價購進一款水果禮盒以備銷售.

0)據(jù)調(diào)查，當該種水果禮盒的售價為14元/盒時，月銷量為980盒，每盒售價每增長1元，月銷量就相應減

少30盒，若使水果禮盒的月銷量不低于800盒，每盒售價應不高于多少元？

(2)在實際銷售時，由于天氣和運輸?shù)脑?，每盒水果禮盒的進價提高了25%，而每盒水果禮盒的售價比

(1)中最高售價減少了g加％，月銷量比(1)中最低月銷量800盒增加了m%,結(jié)果該月水果店銷售該水果

禮盒的利潤達到了4000元，求”的值.

【答案】(D若使水果禮盒的月銷量不低于800盒，每盒售價應不高于20元；(2)用的值為25.

【解析】

解：(1)設每盒售價x元.

依題意得：980-30(%-14)>8()0

解得：x<20

答：若使水果禮盒的月銷量不低于80()盒，每盒售價應不高于2()元

(2)依題意：2o[l-1m%)-12x(l+25%)x800(1+??%)=4000

令：m%=t

化簡：4產(chǎn)T=0

解得：，|=。(舍去)，t?=一

-4

/.m—25

答：加的值為25.

6.(2020.浙江省初二月考)每年九月是開學季，大多數(shù)學生會購買若干筆記本滿足日常學習需要，校外某

文具店老板開學前某日去批發(fā)市場進貨，購進甲乙丙三種不同款式的筆記本，已知甲款筆記本的進價為2

元/本，乙款筆記本的進價為4元/本，丙款筆記本的進價為6元/本，經(jīng)過調(diào)研發(fā)現(xiàn)，甲款筆記本、乙款筆記

本和丙款筆記本的零售價分別定為4元/本、6元/本和10元/本時，每天可分別售出甲款筆記本30本、乙款

筆記本50本和丙款筆記本20本，如果將乙款筆記本的零售價提高色元(。>25),甲款筆記本和丙款筆

25

記本的零售價均保持不變，那么乙款筆記本每天的銷售量將下降。％,丙款筆記本每天的銷售量將上升

-?%,甲款筆記本每天的銷量仍保持不變.

2

(1)若a=30,調(diào)價后每天銷售三款筆記本共可獲利多少元？

(2)若調(diào)價后每天銷售三款筆記本共可獲利260元，求a的值.

【答案】(1)264元；(2)。的值為50.

30

⑴(4-2)X30+(6+--4)X50X(1-30O/O)+(10-6)X20X(1+15O/O)=264(元),

(2)根據(jù)題意，得(4一2)乂30+(6+4-4)'50(1—。％)+(10—6)[20(1+,4%)]=260,

252

整理得。2一70。+1000=0，

解得，q=50,4=2。(不合題意，舍去)，

答：a的值為50.

7.(2020?重慶南開中學初二月考)某體育用品制造公司通過互聯(lián)網(wǎng)銷售某品牌排球，第一周的總銷售額為

3000元，第二周的總銷售額為3520元，第二周比第一周多售出13個排球.

(1)求每個排球的售價；

(2)該公司在第三周將每個排球的售價降低了(其中a<5()),并預計第三周能售出120個排球.恰

2

逢中國女排奪冠，極大地激發(fā)了廣大青少年積極參與排球運動的熱情，該款排球在第三周的銷量比預計的

120個還多了牝％.已知每個排球的成本為16元，該公司第三周銷售排球的總利潤為4320元，求。的值.

【答案】⑴40；(2)”=20

【解析】

解：(1)設每個排球的售價為x,根據(jù)題意：

3000+13x=3520,

解得：x=4().

答：每個排球的售價為40元.

（2）根據(jù)題意:401——a0/o-16x120(1+4%。)=4320,

整理得：片一95。+1500=0，

解得：4=20,4=75（不符合題意舍去）.

故。的值為20.

考點4：一元二次方程與動態(tài)幾何問題

典例：（2020.綿竹市孝德中學初二期中）如圖所示，在直角梯形ABCD中，AD〃BC,ZA=90°,AB=12,

BC=21,AD=16.動點P從點B出發(fā)，沿射線BC的方向以每秒2個單位長的速度運動，動點Q同時從點

A出發(fā)，在線段AD上以每秒1個單位長的速度向點D運動，當其中一個動點到達端點時另一個動點也隨

之停止運動.設運動的時間為t（秒）.

（1）設4DPQ的面積為S,求S與t之間的關系式；

（2）當t為何值時，四邊形PCDQ是平行四邊形？

（3）分別求出當t為何值時,①PD=PQ；②DQ=PQ.

【答案】（1）S=-6t+96：（2）當t=5時，四邊形PCDQ是平行四邊形：（3）①當t=?■時，PD=PQ；②當口

【解析】

(1)在直角梯形ABCD中，AD〃BC,ZA=90°,BC=21,AB=12,AD=16,

設AQ=t,BP=2t,則DQ=16-t,PC=21-2t,

過點P作PE±AD于E,

BC

則四邊形ABPE是矩形，PE=AB=12,

S=/DQ-AB=J(16-t)x12=-6t+96

故答案為：S=6t+96

(2)當四邊形PCDQ是平行四邊形時，PC=DQ,

/.2l-2t=16-t解得：t=5,

???當t=5時，四邊形PCDQ是平行四邊形.

故答案為：當t=5時，四邊形PCDQ是平行四邊形

(3)VAE=BP=2t,PE=AB=12,

①當PD=PQ時，QE=ED=3QD,

VDE=16-2t,

，AE=BP=AQ+QE,即2t=t+16-2t,

解得：t=一，

3

,161

.,.當t=3-時，PD=PQ

故答案為：當1=當時，PD=PQ

②當DQ=PQ時，DQ2=PQ2

“.7

.，/2+122=(16-#解得：t=—

2

7

，當1=一時，DQ=PQ

2

7

故答案為：當1=一時，DQ=PQ

2

方法或規(guī)律點撥

本題考查了圖形上的動點問題，一般運動時間為t,速度乘以時間得到路程，根據(jù)線段相關關系求解，在解

題過程中應用到了平行四邊形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理解直角三角形等知識點.

鞏固練習

1.(2020?廣東省初三其他)(1)課本情境:如圖，已知矩形AOBC,AB=6cm,BC=16cm,動點P從點A

出發(fā)，以3cm/s的速度向點O運動，直到點O為止；動點Q同時從點C出發(fā)，以2cm/s的速度向點B運動，

與點P同時結(jié)束運動，出發(fā)時，點P和點Q之間的距離是10cm；

(2)逆向發(fā)散:當運動時間為2s時，P,Q兩點的距離為多少？當運動時間為4s時，P,Q兩點的距離為多

少？

（3）拓展應用：若點P沿著AO—OC—CB移動，點P,Q分別從A,C同時出發(fā)，點Q從點C移動到點

B停止時，點P隨點Q的停止而停止移動，求經(jīng)過多長時間APOQ的面積為12cm2?

AB

Roc

Q24

【答案】（1）或（2）6\/2C7?I,2y/l3cm（3）4s或6s

【解析】

解：（1）設運動時間為，秒時，如圖，過點尸作PEL8C于E,

由運動知，AP=3t,CQ=2t,PE=6,EQ=16-3t-2t=16-5t,

?點P和點Q之間的距離是10cm,

A62+(16-5t)2=100,

解得L=m'匕=I-，

(2)t=2時，由運動知AP=3x2=6cm,C0=2x2=4cm,

.??四邊形APEB是矩形,

:,PE=AB=6,BE=6,

：.EQ=BC-BE-C0=16-6-4=6,

根據(jù)勾股定理得PQ=y）PE2+EQ2=672，

，當f=2s時，P,。兩點的距離為60cm；

當f=4s時，由運動知AP=3x4=12a〃，CQ=2x4=8cni,

，四邊形APE8是矩形，

；.PE=AB=6,8。=8,CE=OP=4

：.EQ=BC-CE-8。=16-4-8=4,

根據(jù)勾股定理得PQ=^PE^EQ1=2V13,

P，Q兩點的距離為2ji5c”

(3)點Q從C點移動到B點所花的時間為16+2=8s,

當點P在A。上時，心生=吐瑛=12,

22

解得t=4.

POCO(3/-16)-2/

當點P在0C上時，SAPOQ==12,

22

解得/=6或-劣(舍棄).

3

POCO(2f+22—37)x6

當點P在C8上時?，S“POQ=------------=------------------------=12,

22

解得r=18>8(不符合題意舍棄),

綜上所述，經(jīng)過4s或6s時，的面積為12a".

2.(2020?杭州市拱宸中學初二月考)在矩形ABCD中，AB=5cm,BC=6cm,點P從點A開始沿邊AB

向終點B以1cm/s的速度移動，與此同時，點Q從點B開始沿邊BC向終點C以2cm/s的速度移動.如果

P、Q分別從A、B同時出發(fā)，當點Q運動到點C時，兩點停止運動.設運動時間為t秒.

(1)填空：BQ=,PB=(用含t的代數(shù)式表示)；

(2)當t為何值時，PQ的長度等于5cm?

(3)是否存在t的值，使得五邊形APQCD的面積等于26cm2?若存在，請求出此時t的值；若不存在，請說

明理由.

【答案】⑴2tcm；(5-t)cm(2)當t=2秒時,PQ的長度等于5cm(3)存在t=l秒，能夠使得五邊形APQCD

的面積等于26cm2

【解析】

(1),:P從點A開始沿邊AB向終點B以Icm/s的速度移動，.?.AP=fan.

AB=5cm,.'.PB—(5-r)cm.

???點Q從點B開始沿邊BC向終點C以2cm/s的速度移動，.?.8。=2化"?；

(2)由題意得：(5-f)2+(2f)2=52,解得：日=0,檢=2；

答：當f=0秒或2秒時，PQ的長度等于5a”.

(3)存在r=l秒，能夠使得五邊形APQC力的面積等于26aM.理由如下：

長方形A8CD的面積是：5x6=30(5)2),使得五邊形APQC。的面積等于26c/，則MB。的面積為30-

26=4(cm2),(5-r)x2zx—=4,解得：h=4(不合題意舍去)，々=1.

2

即當，=1秒時，使得五邊形APQCD的面積等于26cm2.

3.(2020?山東省初三一模)閱讀理解：給定一個矩形，如果存在另一個矩形，它的周長和面積分別是已知

矩形的周長和面積的一半，則這個矩形是給定矩形的“減半”矩形.如圖，矩形是矩形ABCD的“減

半”矩形.

請你解決下列問題:

長:4

長:125G

寬：2寬：3

（1）當矩形的長和寬分別為1,7時,它是否存在"減半”矩形？請作出判斷，并說明理由.

（2）邊長為。的正方形存在“減半”正方形嗎？如果存在，求出“減半”正方形的邊長；如果不存在，請說明

理由.

【答案】（D存在；理由見解析；（2）不存在，理由見解析.

【解析】

解：（1）存在

x+y=4①

假設存在，不妨設“減半”矩形的長和寬分別為工,丁，貝“?,

孫=一②

.2

由①，得：y=4—x,③

7

把③代入②，得x9-4x+-=0,

2

42ZBcV2\/2

解%=2H—‘尤2=2—-

所以“減半”矩形長和寬分別為2+注與2-注.

22

（2）不存在

因為兩個正方形是相似圖形，當它們的周長比為!時，面積比必定是L,

所以正方形不存在“減半”正方形.

4.（2018?紹興市元培中學初二期中）如圖四邊形ABC。，AD//BC,48=90°,AD=12an,AB=l（km,

BC=15cm.動點尸從點8出發(fā)，沿射線BC的方向以每秒3cm的速度運動到C點返回，動點。從點A出

發(fā)，在線段AO上以每秒2cm的速度向點。運動，點P，。分別從點3,A同時出發(fā)，當點。運動到點。

時，點P停止運動，設運動時間為秒）.

(1)當0<r<5時，是否存在點P,使四邊形PQOC是平行四邊形，若存在，求出f值；若不存在，請說

明理由；

(2)當f為何值時，以C,D，Q,P為頂點的四邊形面積等于30?！?；

(3)當0<t<5時，是否存在點P,使△PQO是等腰三角形？若存在，請直接寫出所有滿足要求的f的

值；若不存在，請說明理由.

【答案】(1)t=3；(2)t=—；(3)t=3或叵.

53

【解析】解：⑴；AD〃BC

當DQ=CP時-，四邊形PQDC是平行四邊形，

當0<tV5時，點P從B運動到C,

VDQ=AD-AQ=12-2t,CP=15-3t,

.,.12-2t=15-3t,

解得：t=3,

...t=3時，四邊形PQDC是平行四邊形；

(2)分兩種情況討論：

①當點P是從點B向點C運動時，

,?,CP=15-3t,DQ=12-2t,以C、D、Q、P為頂點的四邊形面積等于30cm2,

，S州以*CDQP=，(DQ+CP)?AB=30,即(12-2t+15-3t)xl0=30,

22

解得：t=—；

②當點P從點C返回點B時，

由運動知，DQ=12-2t,CP=3t-15,

:?S四邊形CDQP=,(DQ+CP)?AB=30,即1(12-2t+3t-15)xlO=3O,

■22

解得：t=9,

?.?點Q到達點D的時間為12+2=6,

?*.t=9舍去，

21

.?.當t為w秒時，以C、D、Q、P為頂點的四邊形面積等于30cm2；

(3)分三種情況討論：

作PHJ_AD于H,

①當PQ=PD時-，則HQ=HD,

1I/

VQH=HD=-DQ=-(12-2t)=6-t,

22

由AH=BP,得:6-t+2t=3t,

解得：t=3；

②當PQ=DQ時，

VQH=AH-AQ=BP-AQ=3t-2t=t,DQ=12-2t,

/.PQ2=QH2+PH2=t2+IO2,

,/DQ2=PQ2,

二(12-2t)2=t2+102,

24±2JTTT

解得：t=---------——，

3

VO<t<5,

._24-2A/TTT

??t---------------;

3

③當DQ=PD時，

DH=AD-AH=AD-BP=12-3t,DQ=12-2t,

.\PD2=PH2+HD2=1O2+(l2-3t)2,

：DQ2=PD2,

:.(12-2t)2=1()2+(i2-3t)2,

整理得:5t2-24t+100=0,

，方程無實根，即此情況不存在,

綜上可知，當t=3秒或t=竺小叵秒時，APQD是等腰三角形.

3

5.(2019?浙江省初二期中)如圖，在邊長為12cm的等邊三角形ABC中，點P從點A開始沿AB邊向點B

以每秒鐘1cm的速度移動，點Q從點B開始沿BC邊向點C以每秒鐘2cm的速度移動.若P、Q分別從A、

B同時出發(fā)，其中任意一點到達目的地后，兩點同時停止運動，求：

(1)經(jīng)過6秒后，BP=cm,BQ=cm；

(2)經(jīng)過幾秒后，aBPQ是直角三角形？

(3)經(jīng)過幾秒ABPQ的面積等于1073cm2?