7.3.1離散型隨機(jī)變量的均值課件高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性

7.3離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征一、課前回顧：1.填一填:(1)一般地,設(shè)離散型隨機(jī)變量X的可能取值為x1,x2,…,xn,我們稱(chēng)X取每一個(gè)值xi的概率,i=1,2,…,n為X的概率分布列,簡(jiǎn)稱(chēng).(2)與函數(shù)的表示法類(lèi)似,離散型隨機(jī)變量的分布列也可用

表示,如下表:Xx1x2…xnPp1p2…pn還可以用表示.(3)根據(jù)概率的性質(zhì),離散型隨機(jī)變量分布列具有下述兩個(gè)性質(zhì):①pi≥0,i=1,2,…,n;②p1+p2+…+pn=1.P(X=xi)=pi分布列表格圖形X01P1-pp我們稱(chēng)X服從

兩點(diǎn)分布

或

0—1分布

.做一做:(1)某射擊運(yùn)動(dòng)員射擊所得環(huán)數(shù)X的分布列為則此射擊運(yùn)動(dòng)員“射擊一次命中環(huán)數(shù)大于7”的概率為(

)A.0.28 B.0.88

C.0.79

D.0.51X45678910P0.020.040.060.090.280.290.22解析:(1)P(X>7)=P(X=8)+P(X=9)+P(X=10)=0.28+0.29+0.22=0.79.答案:(1)C2:若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布,且P(X=0)=0.8,P(X=1)=0.2.設(shè)Y=3X-2,則P(Y=-2)=

.

解析:由Y=-2,且Y=3X-2,得X=0,所以P(Y=-2)=0.8.答案:0.8離散型隨機(jī)變量的分布列全面地刻畫(huà)了這個(gè)隨機(jī)變量的取值規(guī)律，但在解決有些實(shí)際問(wèn)題時(shí)，直接使用分布列并不方便．例如，要比較不同班級(jí)某次考試成績(jī)，通常會(huì)比較平均成績(jī)；要比較兩名射箭運(yùn)動(dòng)員的射箭水平，一般會(huì)比較他們射箭的成績(jī)（平均環(huán)數(shù)或總環(huán)數(shù)）以及穩(wěn)定性．因此，類(lèi)似于研究一組數(shù)據(jù)的均值和方差，我們也可以研究離散型隨機(jī)變量的均值和方差，它們統(tǒng)稱(chēng)為隨機(jī)變量的數(shù)字特征．7.3.1離散型隨機(jī)變量的均值學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解離散型隨機(jī)變量的均值的意義和性質(zhì),會(huì)根據(jù)離散型隨機(jī)變量的分布列求出均值.2.掌握兩點(diǎn)分布的均值.3.會(huì)利用離散型隨機(jī)變量的均值,解決一些相關(guān)問(wèn)題.問(wèn)題1甲、乙兩名射箭運(yùn)動(dòng)員射中目標(biāo)箭靶的環(huán)數(shù)的分布列如表7.3-1所示．表7.3-1環(huán)數(shù)X78910甲射中的概率0.10.20.30.4乙射中的概率0.150.250.40.2如何比較他們射箭水平的高低呢？類(lèi)似兩組數(shù)據(jù)的比較，首先比較擊中的平均環(huán)數(shù)，如果平均環(huán)數(shù)相等，再看穩(wěn)定性．即甲射中平均環(huán)數(shù)的穩(wěn)定值（理論平均值）為9，這個(gè)平均值的大小可以反映甲運(yùn)動(dòng)員的射箭水平．從平均值的角度比較，甲的射箭水平比乙高．環(huán)數(shù)X78910甲射中的概率0.10.20.30.4乙射中的概率0.150.250.40.2一般地，若離散型隨機(jī)變量X的分布列如表7.3-2所示，為隨機(jī)變量X的均值(mean)或數(shù)學(xué)期望(mathematicalexpectation)，數(shù)學(xué)期望簡(jiǎn)稱(chēng)期望．均值是隨機(jī)變量可能取值關(guān)于取值概率的加權(quán)平均數(shù)，它綜合了隨機(jī)變量的取值和取值的概率，反映了隨機(jī)變量取值的平均水平．例1

在籃球比賽中，罰球命中1次得1分，不中得0分．如果某運(yùn)動(dòng)員罰球命中的概率為0.8，那么他罰球1次的得分X的均值是多少？即該運(yùn)動(dòng)員罰球1次得分X的均值是0.8．1.兩點(diǎn)分布的特點(diǎn):(1)一次試驗(yàn)的結(jié)果要么發(fā)生要么不發(fā)生.(2)隨機(jī)變量的取值為0,1.(3)試驗(yàn)次數(shù)一般只有一次試驗(yàn).2.如果隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布,那么隨機(jī)變量X的均值E(X)=p.熟練應(yīng)用上述公式可大大減少運(yùn)算量,提高解題速度.例2

拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，設(shè)出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為X，求X的均值．分析：先求出X的分布列，再根據(jù)定義計(jì)算X的均值．觀察擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，擲出的點(diǎn)數(shù)的均值為3.5．隨機(jī)模擬這個(gè)試驗(yàn)，重復(fù)60次和重復(fù)300次各做6次，觀測(cè)出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)并計(jì)算平均數(shù)．根據(jù)觀測(cè)值的平均數(shù)（樣本均值）繪制統(tǒng)計(jì)圖，分別如圖7.3-1（1）和（2）所示．觀察圖形，在兩組試驗(yàn)中，隨機(jī)變量的均值與樣本均值有何聯(lián)系與區(qū)別？觀察圖7.3-1可以發(fā)現(xiàn)：在這12組擲骰子試驗(yàn)中，樣本均值各不相同，但它們都在擲出點(diǎn)數(shù)X的均值3.5附近波動(dòng)，且重復(fù)擲300次的樣本均值波動(dòng)幅度明顯小于重復(fù)60次的．事實(shí)上，隨機(jī)變量的均值是一個(gè)確定的數(shù)，而樣本均值具有隨機(jī)性，它圍繞隨機(jī)變量的均值波動(dòng)．隨著重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)的增加，樣本均值的波動(dòng)幅度一般會(huì)越來(lái)越?。虼?，我們常用隨機(jī)變量的觀測(cè)值的均值去估計(jì)隨機(jī)變量的均值．探究你能給出證明嗎？【例3】

已知隨機(jī)變量X的分布列如下表:(1)求m的值;(2)求E(X);(3)若Y=2X-3,求E(Y).與離散型隨機(jī)變量性質(zhì)有關(guān)的問(wèn)題的解題思路若給出的隨機(jī)變量ξ與X的關(guān)系為ξ=aX+b,a,b為常數(shù).一般先求出E(X),再利用公式E(aX+b)=aE(X)+b求E(ξ).也可以利用X的分布列得到ξ的分布列,關(guān)鍵先由X的取值計(jì)算ξ的取值,對(duì)應(yīng)的概率相等,再由定義法求得E(ξ).【變式訓(xùn)練】

已知隨機(jī)變量ξ的分布列為

答案:B例4猜歌名游戲是根據(jù)歌曲的主旋律制成的鈴聲來(lái)猜歌名．某嘉賓參加猜歌名節(jié)目，猜對(duì)每首歌曲的歌名相互獨(dú)立，猜對(duì)三首歌曲A，B，C歌名的概率及猜對(duì)時(shí)獲得相應(yīng)的公益基金如表7.3-3所示．表7.3-3歌曲ABC猜對(duì)的概率0.80.60.4獲得的公益基金額/元100020003000規(guī)則如下：按照A，B，C的順序猜，只有猜對(duì)當(dāng)前歌曲的歌名才有資格猜下一首求嘉賓獲得的公益基金總額X的分布列及均值．分析：根據(jù)規(guī)則，公益基金總額X的可能取值有四種情況：猜錯(cuò)A，獲得0元基金；猜對(duì)A而猜錯(cuò)B，獲得1000元基金；猜對(duì)A和B而猜錯(cuò)C，獲得3000元基金；A，B，C全部猜對(duì)，獲得6000元基金．因此X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量．利用獨(dú)立條件下的乘法公式可求分布列．解：分別用A，B，C表示猜對(duì)歌曲A，B，C歌名的事件，則A，B，C相互獨(dú)立．X的分布列如表7.3-4所示．表7.3-4X0100030006000P0.20.320.2880.192如果改變猜歌的順序，獲得公益基金的均值是否相同？如果不同，你認(rèn)為哪個(gè)順序獲得的公益基金均值最大？例5根據(jù)天氣預(yù)報(bào)，某地區(qū)近期有小洪水的概率為0.25，有大洪水的概率為0.01．該地區(qū)某工地上有一臺(tái)大型設(shè)備，遇到大洪水時(shí)要損失60000元，遇到小洪水時(shí)要損失10000元．為保護(hù)設(shè)備，有以下3種方案：方案1 運(yùn)走設(shè)備，搬運(yùn)費(fèi)為3800元；方案2 建保護(hù)圍墻，建設(shè)費(fèi)為2000元，但圍墻只能防小洪水；方案3 不采取措施．工地的領(lǐng)導(dǎo)該如何決策呢？分析：決策目標(biāo)為總損失（投入費(fèi)用與設(shè)備損失之和）越小越好．根據(jù)題意，各種方案在不同狀態(tài)下的總損失如表7.3-5所示．表7.3-5天氣狀況大洪水小洪水沒(méi)有洪水概率0.010.250.74總損失/元方案1380038003800方案26200020002000方案360000100000方案2和方案3的總損失都是隨機(jī)變量，可以采用期望總損失最小的方案．因此，從期望損失最小的角度，應(yīng)采取方案2．值得注意的是，上述結(jié)論是通過(guò)比較“期望總損失”而得出的．一般地，我們可以這樣來(lái)理解“期望總損失”：如果問(wèn)題中的天氣狀況多次發(fā)生，那么采用方案2將會(huì)使總損失減到最小．不過(guò)，因?yàn)楹樗欠癜l(fā)生以及洪水發(fā)生的大小都是隨機(jī)的，所以對(duì)于個(gè)別的一次決策，采用方案2也不一定是最好的．第66頁(yè)1．已知隨機(jī)變量X的分布列為：X12345P0.10.30.40.10.1四、當(dāng)堂檢測(cè)3．甲、乙兩臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)同一種零件，它們生產(chǎn)的產(chǎn)量相同，在1h內(nèi)生產(chǎn)出的次品數(shù)分別為X1，X2，其分布列分別為：甲機(jī)床次品數(shù)的分布列乙機(jī)床次品數(shù)的分布列X10123X2012P0.40.30.20.1P0.30.50.2哪臺(tái)機(jī)床更好？請(qǐng)解釋你所得出結(jié)論的實(shí)際含義？其實(shí)際含義是隨著產(chǎn)量的增加，第2臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)出的次品數(shù)要比第1臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)出的次品數(shù)少．1.期望的概念

E(X)=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn2.期望的意義

離散型隨機(jī)變量的期望，反映了隨機(jī)變量取值的平均水平.

五.課堂小結(jié)課后作業(yè)1.隨機(jī)變量X的分布列為則X的均值是(

)A.2 B.2.1C.2.3 D.隨m的變化而變化解析:因?yàn)?.2+0.5+m=1,所以m=0.3.所以E(X)=1×0.2+2×0.5+3×0.3=2.1.答案:BX123P0.20.5m2.某射手射擊所得環(huán)數(shù)ξ的分布列如下表:已知ξ的期望E(ξ)=8.9,則y的值為

.

答案:0.4ξ78910Px0.10.3y3.設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為Y=2X+5,則E(Y)=

.

4.盒中裝有5節(jié)同品牌的五號(hào)電池,其中混有2節(jié)廢電池,現(xiàn)在無(wú)放回地每次取一節(jié)電池檢驗(yàn),直到取到好電池為止,求:(1)抽取次數(shù)X的分布列;(2)抽取次數(shù)X的均值.5．現(xiàn)要發(fā)行10000張彩票，其中中獎(jiǎng)金額為2元的彩票1000張，10元的彩票300張，50元的彩票100張，100元的彩票50張，1000元的彩票5張．1張彩票中獎(jiǎng)金額的均值是多少元?現(xiàn)要發(fā)行10000張彩票，其中中獎(jiǎng)金額為2元的彩票1000張，10元的彩票300張，50元的彩票100張，100元的彩票50張，1000元的彩票5張．1張彩票中獎(jiǎng)金額的均值是多少元?所以X的分布列為：X0210501001000P0.85450.10.030.010.0050.0005即1張彩票可能中獎(jiǎng)金額的均值是2元．7．在單項(xiàng)選擇題中，每道題有四個(gè)選項(xiàng)，其中僅有一個(gè)選項(xiàng)正確．如果從四個(gè)選項(xiàng)中隨機(jī)選一個(gè)，選對(duì)的概率為0.25．請(qǐng)給選對(duì)和選錯(cuò)分別賦予合適的分值，使得隨機(jī)選擇時(shí)得分的均值為0．設(shè)選對(duì)得分為a，選錯(cuò)得