數(shù)據(jù)包絡(luò)分析綜述

數(shù)據(jù)包絡(luò)分析及其應(yīng)用2012年12月20日1可編輯目錄數(shù)據(jù)包絡(luò)的概念簡介1數(shù)據(jù)包絡(luò)的算法及模型2數(shù)據(jù)包絡(luò)的實(shí)例3課外延伸42可編輯數(shù)據(jù)包絡(luò)的概念簡介起源：

1978年由著名的運(yùn)籌學(xué)家A.Charnes(查恩斯)，W.W.Cooper(庫伯)和E.Rhodes(羅茲)首先提出了數(shù)據(jù)包絡(luò)分析（DataEnvelopmentAnalysis，簡稱DEA）的方法，去評價(jià)部門間的相對有效性（因此被稱為DEA有效）。他們的第一個(gè)模型被命名為CCR模型。從生產(chǎn)函數(shù)角度看，這一模型是用來研究具有多個(gè)輸入、特別是具有多個(gè)輸出的“生產(chǎn)部門”同時(shí)為“規(guī)模有效”與“技術(shù)有效”的十分理想且卓有成效的方法。3可編輯1984年R.D.Banker,A,Charnes和W,W,Cooper給出了一個(gè)被稱為BCC的模型。1985年Charnes,Cooper和B,Golany，L.Seiford,J.Stutz給出了另一個(gè)模型（稱為CCGSS模型），這兩個(gè)模型是用來研究生產(chǎn)部門的間的“技術(shù)有效”的。1986年Charnes，Cooper和魏權(quán)齡為了進(jìn)一步地估計(jì)“有效生產(chǎn)前沿面”，利用Charnes,Cooper和K.Kortanek于1962年首先提出的半無限規(guī)劃理論，研究了具有無窮多個(gè)決策單元的情況，給出了一個(gè)新的數(shù)據(jù)包絡(luò)模型——CCW模型．1987年Charnes,Cooper，魏權(quán)齡和黃志民又得到了稱為錐比率的數(shù)據(jù)包絡(luò)模型——CCWH模型。這一模型可以用來處理具有過多的輸入及輸出的情況，而且錐的選取可以體現(xiàn)決策者的“偏好”。靈活的應(yīng)用這一模型，可以將CCR模型中確定出的DEA有效決策單元進(jìn)行分類或排隊(duì)等等。這些模型以及新的模型正在被不斷地進(jìn)行完善和進(jìn)一步發(fā)展。4可編輯數(shù)據(jù)包絡(luò)分析(dataenvelopmentanalysis，DEA)

是一個(gè)對多投入\多產(chǎn)出的多個(gè)決策單元的效率評價(jià)方法。DEA是使用數(shù)學(xué)規(guī)劃（包括線性規(guī)劃、多目標(biāo)規(guī)劃、具有錐形結(jié)構(gòu)的廣義最優(yōu)化、半無限規(guī)劃、隨機(jī)規(guī)劃等）模型，評價(jià)具有多個(gè)輸入、特別是多個(gè)輸出的“部門”或“單位”（稱為“決策單元”，簡記DMU）間的相對有效性（稱為DEA有效）。以“相對效率”概念為基礎(chǔ),以凸分析和線性規(guī)劃為工具,根據(jù)多指標(biāo)投入和多指標(biāo)產(chǎn)出,對相同類型的單位(部門)進(jìn)行相對有效性或效益評價(jià)的一種新的系統(tǒng)分析方法。根據(jù)對各DMU觀察的數(shù)據(jù)判斷DMU是否為DEA有效，本質(zhì)上是判斷DMU是否位于可能集的“生產(chǎn)前沿面”上。這類組織例如學(xué)校、醫(yī)院、銀行的分支機(jī)構(gòu)、超市的各個(gè)營業(yè)部等，各自具有相同（或相近）的投入和相同的產(chǎn)出。5可編輯數(shù)據(jù)包絡(luò)的算法及模型6可編輯任何一個(gè)企業(yè)的相對生產(chǎn)率最優(yōu)化模型如下：

1、評價(jià)決策單元技術(shù)和規(guī)模綜合效率的C2R模型設(shè)有n個(gè)同類型的企業(yè)（也稱決策單元），對于每個(gè)企業(yè)都有m種類型的“輸入”（表示該單元對“資源”的消耗）以及p種類型的“輸出”（表示該單元在消耗了“資源”之后的產(chǎn)出）。N個(gè)決策單元這n個(gè)企業(yè)及其輸入-輸出關(guān)系如下：CCR模型7可編輯……:………:……y1ny2n:ypny1jy2j:ypj……:…y12y22:yp2y11y21:yp1u1u2:up12:p輸出x1nx2n:xmnx1jx2j:xmj……:…x12x22:xm2x11x21:xm1v1v2:vm12:m輸入nj…21部門指標(biāo)權(quán)數(shù)每個(gè)決策單元的效率評價(jià)指數(shù)定義為：

j=1,2,…,nCCR模型8可編輯CCR模型在DEA中一般稱被衡量績效的組織為決策單元（decisionmakingunit——DMU）。設(shè)：n個(gè)決策單元（j=1，2，…，n）每個(gè)決策單元有相同的m項(xiàng)投入（輸入）（i=1，2，…，m）每個(gè)決策單元有相同的p項(xiàng)產(chǎn)出（輸出）（r=1，2，…，p）

Xij——第j決策單元的第i項(xiàng)投入

yrj——第j決策單元的第r項(xiàng)產(chǎn)出衡量第j0

決策單元是否DEA有效9可編輯而第j0個(gè)決策單元的相對效率優(yōu)化評價(jià)模型為：模型的含義是以權(quán)系數(shù)vi,ur為變量，以所有決策單元的效率指標(biāo)hj為約束，以第hj0個(gè)決策單元的效率指數(shù)為目標(biāo)。一般說來，它越大表明DUMj0能夠用相對較少的輸入而取得相對較多的輸出。

s.t.

vi,ur≥0,i=1,2,…,m;r=1,2,…,p（1）CCR模型10可編輯有效解的解釋：F(X)={f1(X),f2(X),…,fn(X)}如對于求極大(max)型，其各種解定義如下：絕對最優(yōu)解：若對于任意的X，都有F（X*）≥F(X)有效解：若不存在X，使得F（X*）≤F(X)弱有效解：若不存在X，使得F（X*)<F(X)11可編輯有效性定義：對任何一個(gè)決策單元，它達(dá)到100%的效率是指：①在現(xiàn)有的輸入條件下，任何一種輸出都無法增加，除非同時(shí)降低其他種類的輸出；②要達(dá)到現(xiàn)有的輸出，任何一種輸入都無法降低，除非同時(shí)增加其他種類的輸入。一個(gè)決策單元達(dá)到了100%的效率，該決策單元就是有效的，也就是有效的決策單元。無效性定義：（1）對任意（X，Y）∈T，并且，均有（2）對任意（X，Y）∈T，并且，均有這就是說，以較多的輸入或較少的輸出進(jìn)行生產(chǎn)總是可能的。12可編輯既是技術(shù)有效,也是規(guī)模有效下面我們以單輸入單輸出的情況來說明DEA有效性的經(jīng)濟(jì)含義。首先敘述生產(chǎn)函數(shù)的概念。生產(chǎn)函數(shù)Y=f(X）表示在生產(chǎn)處于最好的理想狀態(tài)時(shí)，當(dāng)投入量為X,所能獲得的最大輸出。因此，生產(chǎn)函數(shù)圖象上的點(diǎn)(X表示輸入，Y表示輸出)所對應(yīng)的決策單元，從生產(chǎn)函數(shù)的角度看，是處于“技術(shù)有效”的狀態(tài)。一般來說生產(chǎn)函數(shù)的圖象如下:ABC既不是技術(shù)有效,也不是規(guī)模有效技術(shù)有效,但不是規(guī)模有效13可編輯BCC模型相應(yīng)的生產(chǎn)可能集為14可編輯BCC模型由于投入產(chǎn)出效率的高低關(guān)乎到區(qū)域經(jīng)濟(jì)的可持續(xù)性和可競爭性，本文借助于DEA－BCC模型，以全國31個(gè)省份為研究對象，對其純技術(shù)效率、規(guī)模效率和綜合效率進(jìn)行測算，結(jié)果顯示其中有21個(gè)為DEA有效單元，10個(gè)為非DEA有效單元，并對非DEA有效單元進(jìn)行投影求出有效目標(biāo)值。因此，建議各區(qū)域減免區(qū)域要素的單邊效應(yīng)，明確資源的投入方向，注重市場主體特征異化，促進(jìn)區(qū)域經(jīng)濟(jì)發(fā)展效率的提高?；贐CC模型的區(qū)域經(jīng)濟(jì)發(fā)展績效評價(jià)研究，白雪，張明斗15可編輯

CCWH模型

1987年查恩斯，庫伯，魏權(quán)齡和黃志明又得到了稱為錐比率的數(shù)據(jù)包絡(luò)模型——CCWH模型。這一模型可用來處理具有過多的輸入及輸出的情況,而且錐的選取可以體現(xiàn)決策者的“偏好”。靈活地應(yīng)用這一模型，可以將CCR模型中確定出的DEA有效決策單元進(jìn)行分類或排隊(duì)。

數(shù)據(jù)包絡(luò)分析是一種非參數(shù)的統(tǒng)計(jì)分析的新方法.考慮到現(xiàn)有的具有多個(gè)獨(dú)立子系統(tǒng)的YMK-DEA模型不能體現(xiàn)決策者的偏好,建立了體現(xiàn)決策者偏好的錐比率C2WH-YMK模型,并將它應(yīng)用于中國制造業(yè)發(fā)展效率評價(jià)的研究中。CCWH-YMK模型及其在制造業(yè)發(fā)展評價(jià)中的應(yīng)用段永瑞，田澎，張衛(wèi)平16可編輯具有錐比率的CCWH模型假設(shè)有n個(gè)決策單元對應(yīng)的輸入數(shù)據(jù)和輸出數(shù)據(jù)如下XY12…nCCWH模型17可編輯CCWH模型(P)結(jié)論:(1)若規(guī)劃P存在最優(yōu)解,滿足(D)則稱決策單元j0為弱DEA有效(C2WH)(2)若規(guī)劃P存在最優(yōu)解,滿足則稱決策單元j0為DEA有效(C2WH)18可編輯使用凸錐去度量決策單元的DEA有效性時(shí),相應(yīng)的生產(chǎn)可能集為:其中若令則錐比率模型(P)和(D)化為C2R模型(P)(D)可見C2WH模型是C2R模型的推廣.CCWH模型19可編輯CCWY模型具有錐結(jié)構(gòu)的半無限規(guī)劃的模型20可編輯CCGSS模型

CCGSS模型，也稱為加法模型，由CharnesA、CooperWW、GolanyB、SeifordL、StutzJ等人提出（取上述五人名字首字母命名該模型），是DEA（數(shù)據(jù)包絡(luò)分析）模型中一種適合評價(jià)技術(shù)有效性和規(guī)模有效性的分析方法，通過數(shù)學(xué)模型來對各決策單元間的相對效率進(jìn)行比較，對具有多個(gè)輸入變量和輸出變量的復(fù)雜系統(tǒng)的效率指標(biāo)進(jìn)行分析。耕地資源的投入產(chǎn)出恰恰是一個(gè)具有多種輸入與輸出的復(fù)雜系統(tǒng)。耕地的有效利用是以區(qū)域耕地資源科學(xué)配置和優(yōu)化為前提，在有限的耕地面積上合理增加相關(guān)生產(chǎn)要素的投入(數(shù)量適宜且結(jié)構(gòu)協(xié)調(diào))，從而最大限度地挖掘耕地利用潛力并提高耕地利用的綜合效益，而建立C2GS2模型恰恰可以從定量的角度，對耕地資源的利用效率進(jìn)行直觀的評價(jià)?；贑CGSS模型的耕地資源利用效率評價(jià)研究——以甘肅省六地市為例王海鴻，王丹21可編輯CCGSS模型(P)(D)該模型計(jì)算出的DMU效率是純技術(shù)效率，反映DMU的純技術(shù)效率狀況，稱為純技術(shù)效率。設(shè)問題的最優(yōu)解為λ*，s*-,s*+,σ*，則有如下結(jié)論：(1)若σ*=1，則DMUj0為弱DEA有效（C2GS2純技術(shù)）。(2)若σ*=1，且s*-=0,s*+=0，則DMUj0為DEA有效(C2GS2純技術(shù))?？紤]一對線性規(guī)劃對偶問題：22可編輯線性規(guī)劃(D)的經(jīng)濟(jì)解釋是:在生產(chǎn)可能集T內(nèi),當(dāng)產(chǎn)出Y0保持不變的情況下,盡量將投入量X0按同一比例σ減少.如果投入量X0不能按同一比例σ減少,即線性規(guī)劃的最優(yōu)值σ=1,在單輸入與單輸出的情況下,決策單元j0既為技術(shù)有效.反之,如果投入量X0能按同一比例σ減少,即線性規(guī)劃的最優(yōu)值σ<1,在單輸入與單輸出的情況下,決策單元j0不為技術(shù)有效.CCGSS模型的經(jīng)濟(jì)解釋:(D)在這里之所以與C2R模型的情況不同,是因?yàn)樯a(chǎn)可能集T的構(gòu)成不滿足“錐性”的公理假設(shè).“錐性”的公理假設(shè):對任意(X,Y)∈T,及數(shù)k≥0,均有這就是說,若以投入量X的k倍進(jìn)行輸入,那么產(chǎn)出量也以原來產(chǎn)出Y的k倍產(chǎn)出是可能的.23可編輯窗口分析法采用魏權(quán)齡在《DEA方法與模型的應(yīng)用——數(shù)據(jù)包絡(luò)分析(三)》中運(yùn)用的窗口分法，將文章的數(shù)據(jù)分成3個(gè)窗口，窗口跨度為3年，

其中窗口1為2005～2007年的數(shù)據(jù)，窗口2為2006～2008年的數(shù)據(jù)，窗口3為2006～2007年的數(shù)據(jù)。投入指標(biāo)的選擇:(起降架次、固定資產(chǎn)投資額和從業(yè)人員數(shù))產(chǎn)出指標(biāo)的選擇:(旅客吞吐量、貨運(yùn)吞吐量、消費(fèi)品零售總額和進(jìn)出口額)使用DEA窗口分析法從區(qū)域資源整合的角度考察除漣水機(jī)場外的七個(gè)江蘇民用機(jī)場臨空經(jīng)濟(jì)的運(yùn)行效率，樣本時(shí)間段為2005～2009年。實(shí)證研究的結(jié)果表明江蘇七個(gè)民用機(jī)場臨空經(jīng)濟(jì)的資源配置效率，

從北到南呈現(xiàn)階梯形上升狀況:其中無錫機(jī)場效率最高，對外貿(mào)易是其主要優(yōu)勢；

南京和常州機(jī)場效率。其次，良好的機(jī)場運(yùn)輸業(yè)務(wù)和經(jīng)濟(jì)和諧無偏廢的發(fā)展是他們各自的優(yōu)勢；徐州和連云港機(jī)場效率最低，對外貿(mào)易是制約他們的主要因素。研究成果可為各機(jī)場發(fā)展臨空經(jīng)濟(jì)，優(yōu)化資源整合提供參考。區(qū)域資源整合視角下臨空經(jīng)濟(jì)的效率X——基于DEA窗口分析法和灰色預(yù)測的江蘇臨空經(jīng)濟(jì)區(qū)的實(shí)證研究，史普潤,江可申,魏潔云24可編輯數(shù)據(jù)包絡(luò)的實(shí)例數(shù)據(jù)包絡(luò)分析法在評價(jià)區(qū)域經(jīng)濟(jì)