第5章 控制系統(tǒng)的頻域分析

第5章控制系統(tǒng)的頻域分析5.1頻率特性5.2典型環(huán)節(jié)的頻率特性5.3系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性5.4奈奎斯特判據(jù)和系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性

5.1頻率特性

5.1.1頻率特性的基本概念對于圖5-1所示的典型一階系統(tǒng),系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為圖5-1典型一階系統(tǒng)

對于圖5-2所示的一般線性定常系統(tǒng),可列出描述輸出量c(t)和輸入量r(t)關(guān)系的微分方程:圖5-2一般線性定常系統(tǒng)

與其對應(yīng)的傳遞函數(shù)為

如果在系統(tǒng)輸入端加一個(gè)正弦信號,即

式中,R0是幅值,ω是角頻率。由于

所以

對于穩(wěn)定的系統(tǒng),暫態(tài)分量隨著時(shí)間的增長而趨于零,穩(wěn)態(tài)分量cs(t)即為系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng),也稱為頻率響應(yīng)?？梢娤到y(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為與輸入信號同頻率的正弦信號,定義該正弦信號的幅值與輸入信號的幅值之比為幅頻特性A(ω),相位之差為相頻特性φ(ω),則有

頻率特性是指系統(tǒng)的幅頻特性和相頻特性,通常用復(fù)數(shù)來表示,即

頻率特性和傳遞函數(shù)、微分方程一樣,也是系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。三種數(shù)學(xué)模型之間的關(guān)系如圖5-3所示。圖5-3微分方程、頻率特性、傳遞函數(shù)之間的關(guān)系

5.1.2頻率特性的定義

頻率特性:指線性系統(tǒng)或環(huán)節(jié)在正弦函數(shù)作用下,穩(wěn)態(tài)輸出與正弦輸入復(fù)數(shù)符號之比對頻率的關(guān)系特性,即系統(tǒng)或環(huán)節(jié)的穩(wěn)態(tài)輸出與正弦輸入之間的關(guān)系特性,用G(jω)表示,其物理意義反映了系統(tǒng)對正弦信號的三大傳遞能力:同頻、變幅、移相。

5.1.3頻率特性的幾何表示法

1.幅頻特性和相頻特性曲線

幅頻特性和相頻特性曲線是指在直角坐標(biāo)系中分別畫出幅頻特性和相頻特性隨頻率ω變化的曲線,其中橫坐標(biāo)表示頻率ω,縱坐標(biāo)分別表示幅頻特性A(ω)和相頻特性φ(ω)。

例如,設(shè)圖5-4幅頻和相頻特性曲線

2.幅相頻率特性曲線

幅相頻率特性曲線簡稱幅相曲線,是頻率響應(yīng)法中常用的一種曲線。其特點(diǎn)是把頻率ω看作參變量,將頻率特性的幅頻特性和相頻特性同時(shí)表示在復(fù)數(shù)平面上,例如按表5-1所示的頻率特性數(shù)據(jù),可畫出幅相曲線如圖5-5所示。圖5-5-

圖5-5中實(shí)軸正方向?yàn)橄嘟堑牧愣染€,逆時(shí)針轉(zhuǎn)過的角度為正角度,順時(shí)針轉(zhuǎn)過的角度為負(fù)角度。對于某一頻率ω,必有一個(gè)幅頻特性的幅值和一個(gè)相頻特性的相角與之對應(yīng),此幅值和相角在復(fù)數(shù)平面上代表一個(gè)向量。當(dāng)頻率ω從0到∞變化時(shí),相應(yīng)向量的矢端就繪出一條曲線,這條曲線就叫作幅相曲線。幅相曲線中常用箭頭方向代表ω增加時(shí),幅相曲線改變的方向。鑒于幅頻特性是ω的偶函數(shù),相頻特性是ω的奇函數(shù),一旦畫出了ω從0到+∞時(shí)的幅相曲線,則ω從0到-∞時(shí)的幅相曲線,根據(jù)對稱于實(shí)軸的原理即可求得。因此,一般只需研究ω從0到+∞時(shí)的幅相曲線,這種畫有幅相曲線的圖形稱為極坐標(biāo)圖。

3.對數(shù)頻率特性曲線

對數(shù)頻率特性曲線又稱伯德圖(Bode圖),包括對數(shù)幅頻和對數(shù)相頻兩條曲線,是頻率響應(yīng)法中廣泛使用的一組曲線,這兩條曲線連同它們的坐標(biāo)組成了對數(shù)坐標(biāo)圖或稱伯

德圖。

對數(shù)頻率特性曲線的橫坐標(biāo)表示頻率ω,并按對數(shù)分度,單位是弧度/秒。所謂對數(shù)分度,是指橫坐標(biāo)以lgω進(jìn)行均勻分度,即橫坐標(biāo)對lgω來講是均勻的,對ω而言卻是不均勻的,如圖5-6所示。圖5-6對數(shù)分度示意圖

圖5-7是的對數(shù)幅頻和對數(shù)相頻特性曲線。圖5-7

4.對數(shù)幅相曲線

頻率響應(yīng)法中見到的另一種曲線是對數(shù)幅相曲線(又稱尼柯爾斯曲線),對應(yīng)的曲線圖稱為對數(shù)幅相圖(又稱尼柯爾斯圖)。對數(shù)幅相圖的特點(diǎn)是以ω為參變量,橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都均勻分度,橫坐標(biāo)表示對數(shù)相頻特性的角度,縱坐標(biāo)表示對數(shù)幅頻特性的分貝數(shù)。

圖5-8是的對數(shù)幅相曲線。

5.2典型環(huán)節(jié)的頻率特性

比例環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為其頻率特性為

1)極坐標(biāo)圖

比例環(huán)節(jié)的幅頻特性為

其相頻特性為

比例環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖如圖5-9所示。圖5-9比例環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖

2)伯德圖

比例環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性表達(dá)式為

其對數(shù)相頻特性表達(dá)式為

比例環(huán)節(jié)的對數(shù)頻率特性曲線(即伯德圖)如圖5-10所示。圖5-10比例環(huán)節(jié)的伯德圖

2.積分環(huán)節(jié)

積分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為

其頻率特性為

1)極坐標(biāo)圖

積分環(huán)節(jié)的幅頻特性為

其相頻特性為

積分環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖如圖5-11所示。顯然ω由0變化到∞時(shí),其幅值由∞變化到0,而相角始終為-90°。圖5-11積分環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖

2)伯德圖

積分環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性表達(dá)式為

曲線為每十倍頻程衰減20dB的一條斜線,此線通過ω=1、L(ω)=0dB的點(diǎn)。

積分環(huán)節(jié)的對數(shù)相頻特性表達(dá)式為

積分環(huán)節(jié)的伯德圖如圖5-12所示。圖5-12積分環(huán)節(jié)的伯德圖

3.微分環(huán)節(jié)圖5-13微分環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖

2)伯德圖圖5-14微分環(huán)節(jié)的伯德圖

4.慣性環(huán)節(jié)

慣性環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為

其頻率特性為

2)伯德圖

慣性環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性表達(dá)式為

可以通過計(jì)算若干點(diǎn)的數(shù)值來繪制慣性環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性的精確曲線,如圖5-15所示。圖5-15-慣性環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖和伯德圖

慣性環(huán)節(jié)的對數(shù)相頻特性表達(dá)式為

對數(shù)相頻特性曲線的繪制沒有類似的簡化方法。只能給出若干個(gè)ω值,逐點(diǎn)求出相應(yīng)的φ(ω)值,然后用平滑曲線連接。對數(shù)相頻特性曲線如圖5-15(b)所示。ω趨于無窮時(shí),φ(ω)=-90°,相頻曲線是單調(diào)衰減的,而且以轉(zhuǎn)折頻率為中心,兩邊的角度是斜對稱的。

交接頻率ω1也稱為慣性環(huán)節(jié)的特征點(diǎn),此時(shí)A(ω1)=0.707,L(ω1)=-3dB,φ(ω1)=-45°。

5.一階比例微分環(huán)節(jié)

一階比例微分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為

其頻率特性為

1)極坐標(biāo)圖

一階比例微分環(huán)節(jié)的幅頻特性為

其相頻特性為

當(dāng)頻率ω從0變化到∞時(shí),實(shí)部始終為單位1,虛部則隨著ω線性增長,極坐標(biāo)圖如圖5-16所示。圖5-16一階比例微分環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖

2)伯德圖

一階比例微分環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性表達(dá)式為

其對數(shù)相頻特性表達(dá)式為

由于一階比例微分環(huán)節(jié)與慣性環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性和對數(shù)相頻特性相差一個(gè)符號,因此它們的伯德圖以橫軸互為鏡像。一階比例微分環(huán)節(jié)的伯德圖如圖5-17所示。圖5-17一階比例微分環(huán)節(jié)的伯德圖

6.振蕩環(huán)節(jié)

振蕩環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為

振蕩環(huán)節(jié)的頻率特性為

1)極坐標(biāo)圖

振蕩環(huán)節(jié)的幅頻特性為

其相頻特性為圖5-18振蕩環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖

可以看出:

(1)ξ>0.707,沒有峰值,A(ω)單調(diào)衰減。

(2)ξ=0.707,Mr=1,ωr=0,這正是幅頻特性曲線的初始點(diǎn)。

(3)ξ<0.707,Mr>1,ωr>0,幅頻A(ω)出現(xiàn)峰值,而且ξ越小,峰值Mr及諧振頻率ωr越高。

(4)ξ=0,峰值Mr趨于無窮,諧振頻率ωr趨于ωn。這表明外加正弦信號的頻率和自然振蕩頻率相同,引起環(huán)節(jié)的共振,環(huán)節(jié)處于臨界穩(wěn)定的狀態(tài)。

2)伯德圖

振蕩環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性表達(dá)式為

根據(jù)式(5-59)可以作出兩條漸近線:

以上得到的兩條漸近線都與阻尼比無關(guān)。實(shí)際上,幅頻特性在諧振頻率處有峰值,峰值大小取決于阻尼比,這一特點(diǎn)也必然反映在對數(shù)幅頻曲線上,用漸近線近似表示對數(shù)幅頻曲線會存在誤差,誤差大小不僅和ω有關(guān),而且也和ξ有關(guān),誤差計(jì)算公式為

振蕩環(huán)節(jié)的對數(shù)相頻特性表達(dá)式為

當(dāng)ω=0時(shí),φ(0)=0°;當(dāng)ω=ωn時(shí),φ(ωn)=-90°;當(dāng)ω→∞

由于系統(tǒng)阻尼比取值不同,φ(ω)在ω=ωn鄰域的角度變化率也不同,時(shí)阻,φ(∞)=-180°。尼比越小,變化率越大。對數(shù)相頻特性曲線如圖5-19所示。圖5-19振蕩環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻和對數(shù)相頻特性曲線(即伯德圖)

7.二階比例微分環(huán)節(jié)

二階比例微分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為

其頻率特性為

二階比例微分環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖如圖5-20所示。圖5-20二階比例微分環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖

二階比例微分環(huán)節(jié)和振蕩環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)互為倒數(shù),它們的對數(shù)幅頻特性和相頻特性關(guān)于橫軸對稱。二階比例微分環(huán)節(jié)的伯德圖如圖5-21所示。圖5-21二階比例微分環(huán)節(jié)的伯德圖

8.延遲環(huán)節(jié)

圖5-22延遲環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖和伯德圖

5.3系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性

5.3.1最小相位系統(tǒng)和非最小相位系統(tǒng)

若控制系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的所有零、極點(diǎn)都位于虛軸以及s左半平面,則稱為最小相位系統(tǒng),否則稱為非最小相位系統(tǒng)。在幅頻特性完全一致的情況下,組成最小相位系統(tǒng)的各典型環(huán)節(jié)(如慣性環(huán)節(jié)、振蕩環(huán)節(jié)等)的相位變化范圍比相應(yīng)的不穩(wěn)定環(huán)節(jié)(如不穩(wěn)定慣性環(huán)節(jié)、不穩(wěn)定振蕩環(huán)節(jié)等)的相位變化范圍要小。

最小相位系統(tǒng)的開環(huán)幅頻特性和相頻特性是直接關(guān)聯(lián)的,即一個(gè)幅頻特性只能有一個(gè)相頻特性與之對應(yīng);反之亦然。因此,對于最小相位系統(tǒng),只要根據(jù)其對數(shù)幅頻特性曲線就能確定系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù);而對于非最小相位系統(tǒng),僅根據(jù)其對數(shù)幅頻特性曲線是無法確定系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)的。

5.3.2開環(huán)幅相曲線(極坐標(biāo)圖)的繪制

開環(huán)系統(tǒng)的幅相曲線簡稱開環(huán)幅相曲線,又稱開環(huán)極坐標(biāo)圖。這類曲線的繪制方法和繪制典型環(huán)節(jié)極坐標(biāo)圖的方法一樣。也就是說,可以列出開環(huán)幅頻特性和相頻特性的表達(dá)

式,用解析計(jì)算法繪制,也可以用圖解計(jì)算法繪制。這里著重介紹繪制概略開環(huán)幅相曲線的方法。

例5-2系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

要求繪制它的極坐標(biāo)圖。

解系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性為

開環(huán)極坐標(biāo)圖的起點(diǎn)為G(j0)=0,G(j0+)=0+∠90°,終點(diǎn)為G(j∞)=1∠0。注意到在ω由0到∞變化時(shí),G(jω)的相角由90°變化到0°,而G(jω)的幅值由0變化到1,幅相曲線從原點(diǎn)開始,終止于(1,j0)點(diǎn),位于第一象限,概略繪制極坐標(biāo)圖如圖5-23所示。5-23例5-2的極坐標(biāo)圖

例5-3某零型控制系統(tǒng),開環(huán)傳遞函數(shù)為

試概略繪制系統(tǒng)開環(huán)幅相曲線。

解系統(tǒng)開環(huán)頻率特性為

開環(huán)幅相曲線的起點(diǎn)為G(j0)=1∠0°,終點(diǎn)為G(j∞)=0∠-180°,注意到在ω由0到∞變化時(shí),G(jω)的幅值由1變化到0,相角由0°減小到-180°,幅相曲線應(yīng)位于第三、四象限,如圖5-24所示。圖5-24例5-3的幅相曲線

對于最小相位系統(tǒng),可以總結(jié)出幅相曲線的起點(diǎn)和終點(diǎn)的分布規(guī)律。設(shè)最小相位系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

式中,n>m。令s=jω,即可得到系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性,在ω→0時(shí),有圖5-25-幅相曲線起點(diǎn)示意圖圖5-26幅相曲線終點(diǎn)示意圖圖5-27例5-4的幅相曲線

例5-5-概略繪制

的幅相曲線。

解系統(tǒng)的頻率特性包括三個(gè)典型環(huán)節(jié),即比例、慣性和滯后(延遲)環(huán)節(jié),可以求得幅頻特性和相頻特性分別為

圖5-28例5-5的幅相曲線

5.3.3開環(huán)對數(shù)頻率特性曲線的繪制

繪制系統(tǒng)對數(shù)幅頻特性曲線的步驟如下:

(1)將開環(huán)傳遞函數(shù)變?yōu)闀r(shí)間常數(shù)形式,即

(2)求各環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率,并標(biāo)在伯德圖的ω軸上。當(dāng)對數(shù)幅頻特性L(ω)由低頻向高頻延伸時(shí),在轉(zhuǎn)折頻率處,漸近線的斜率依據(jù)對應(yīng)環(huán)節(jié)的性質(zhì)發(fā)生變化,經(jīng)過慣性環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率,斜率變化-20dB/dec;經(jīng)過一階比例微分環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率,斜率變化+20dB/dec;經(jīng)過振蕩環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率,斜率變化-40dB/dec;經(jīng)過二階比例微分環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率,斜率變化+40dB/dec。注意,當(dāng)系統(tǒng)的多個(gè)環(huán)節(jié)具有相同的轉(zhuǎn)折頻率時(shí),該點(diǎn)處斜率的變化應(yīng)為各個(gè)環(huán)節(jié)對應(yīng)的斜率變化值的代數(shù)和。L(ω)高頻段為-20(n-m)dB/dec斜率的直線。

(3)完成了對數(shù)幅頻曲線漸近線之后,如有必要,可以根據(jù)典型環(huán)節(jié)的誤差曲線在各轉(zhuǎn)折頻率附近進(jìn)行修正,得到精確曲線。

例5-6已知單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

試?yán)L制系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)幅頻特性曲線。

解先將G(s)化成由典型環(huán)節(jié)串聯(lián)的標(biāo)準(zhǔn)形式,即

然后按下列步驟繪制L(ω)的漸近線:

(1)把各典型環(huán)節(jié)對應(yīng)的交接頻率標(biāo)在ω軸上,交接頻率分別為1,2.5,25,如圖5-29所示。圖5-29例5-6的對數(shù)幅頻特性曲線圖5-30例5-7的伯德圖

例5-8某最小相位系統(tǒng)的近似對數(shù)幅頻特性曲線如圖5-31所示。試求該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。

解由于在圖5-31上,最左端直線的斜率為-40dB/dec,故系統(tǒng)包含2個(gè)積分環(huán)節(jié)。

因?yàn)樵讦?處近似對數(shù)幅頻曲線斜率從-40dB/dec變?yōu)?20dB/dec,故ω1是一階比例微分環(huán)節(jié)的交接頻率。由類似分析可知,ω2是慣性環(huán)節(jié)的交接頻率,于是系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為如下形式:圖5-31例5-8系統(tǒng)對數(shù)幅頻特性曲線

5.4奈奎斯特判據(jù)和系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性

5.4.1映射定理設(shè)有一復(fù)變函數(shù)為式中,s為復(fù)變量,以s復(fù)平面上的s=σ+jω表示;F(s)為復(fù)變函數(shù),以F(s)復(fù)平面上的F(s)=U+jV來表示。

映射定理:設(shè)s平面上的封閉曲線順時(shí)針包圍了復(fù)變函數(shù)F(s)的Z個(gè)零點(diǎn)和P個(gè)極點(diǎn),并且此曲線不經(jīng)過F(s)的任一零點(diǎn)和極點(diǎn),則當(dāng)s沿著s平面上的封閉曲線順時(shí)針方向移動一周時(shí),在F(s)平面上的映射曲線將沿逆時(shí)針方向圍繞著坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)P-Z周。

5.4.2奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)

現(xiàn)在討論閉環(huán)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性。設(shè)系統(tǒng)的特征方程為

系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)可以寫為

將式(5-79)代入特征方程式(5-78),可得

由式(5-80)可見,復(fù)變函數(shù)F(s)的零點(diǎn)為系統(tǒng)特征方程的

根(閉環(huán)極點(diǎn))s1,s2,…,sn,而F(s)的極點(diǎn)則為系統(tǒng)的開環(huán)極

點(diǎn)p1,p2,…,pn。

閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分和必要條件是,特征方程的根,即F

(s)的零點(diǎn),都位于s平面的左半部。

為了判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性,需要檢驗(yàn)F(s)是否具有位于右半部的零點(diǎn)。為此可以選擇一條包圍整個(gè)s平面右半部的按順時(shí)針方向運(yùn)動的封閉曲線,通常稱為奈奎斯特回線,簡稱奈氏回線,如圖5-32所示。圖5-32奈奎斯特回線

由于閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是,F(s)在s平面右半部無零點(diǎn),即Z=0,因此可得以下穩(wěn)定判據(jù):

如果在s平面上,s沿著奈奎斯特回線順時(shí)針方向移動一周時(shí),在F(s)平面上的映射曲線ΓF圍繞坐標(biāo)原點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)N=P周,則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

事實(shí)上,閉環(huán)系統(tǒng)在s平面右半部的極點(diǎn)數(shù)Z、開環(huán)系統(tǒng)在s平面右半部的極點(diǎn)數(shù)P,映射曲線ΓF圍繞坐標(biāo)原點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)周數(shù)R之間的關(guān)系為

Z等于零時(shí),系統(tǒng)是穩(wěn)定的;Z不等于零時(shí),系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。

根據(jù)系統(tǒng)閉環(huán)特征方程式,有G(s)H(s)=F(s)-1,這意味著F(s)的映射曲線ΓF圍繞原點(diǎn)的運(yùn)動情況,相當(dāng)于G(s)H(s)的封閉曲線ΓGH圍繞著(-1,j0)點(diǎn)的運(yùn)動情況,如圖5-33所示。圖5-33ΓGH和ΓF的關(guān)系

當(dāng)s沿著奈奎斯特回線順時(shí)針方向移動一周時(shí),繪制映

射曲線ΓGH的方法是,令s=jω代入G(s)H(s),得到開環(huán)頻率特性G(jω)H(jω),當(dāng)ω由零至無窮大變化時(shí),映射曲線ΓGH即為系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性曲線,即幅相曲線。一旦畫出了ω從零到無窮大時(shí)的幅相曲線,則ω從零到負(fù)無窮大時(shí)的幅相曲線可根據(jù)對稱于實(shí)軸的原理得到。

綜上所述,可將奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)(簡稱奈氏判據(jù))表述如下:閉環(huán)控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是,當(dāng)ω從-∞變化到+∞時(shí),系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性曲線G(jω)H(jω)按逆時(shí)針方向包圍(-1,j0)點(diǎn)P周,P為位于s平面右半部的開環(huán)極點(diǎn)數(shù)目。

閉環(huán)系統(tǒng)位于右半部的極點(diǎn)數(shù)Z=P-R,這里R為ω從-∞變到+∞時(shí)系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性曲線G(jω)H(jω)逆時(shí)針方向包圍(-1,j0)點(diǎn)的周數(shù)。顯然,若開環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定,即位于s平面右半部的開環(huán)極點(diǎn)數(shù)P=0,則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是:系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性G(jω)H(jω)不包圍(-1,j0)點(diǎn)。圖5-34例5-9的幅相曲線

5.4.3虛軸上有開環(huán)極點(diǎn)時(shí)的奈氏判據(jù)

圖5-35-開環(huán)系統(tǒng)有積分環(huán)節(jié)時(shí)的奈氏回線

例5-10設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

試?yán)L制系統(tǒng)的開環(huán)幅相曲線,并判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

解令s=jω并將其代入開環(huán)傳遞函數(shù)表達(dá)式,給定若干ω值,畫出幅相曲線如圖5-36所示。系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)有一極點(diǎn)在s平面的原點(diǎn)處,因此從ω=0-到ω=0+時(shí),幅相曲線應(yīng)以無窮大半徑順時(shí)針補(bǔ)畫1/2周,如圖5-36所示。

系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)在s右半平面沒有極點(diǎn),開環(huán)頻率特性G(jω)H(jω)又不包圍(-1,j0)點(diǎn),Z=P-R=0-0=0,故閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。圖5-36例5-10的幅相曲線

例5-11設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

試概略畫出完整的頻率特性曲線,并利用奈奎斯特判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性

需要說明的是,在無窮遠(yuǎn)處,ω=0-與ω=0+是連接在一起的,由于限于畫圖篇幅,只能畫出有限半徑的奈氏曲線,因此圖5-37中畫出的ω=0-與ω=0+雖然沒有連在一起,實(shí)際上這兩點(diǎn)是連在一起的。圖5-37例5-11的完整頻率特性曲線

5.4.4根據(jù)伯德圖判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性圖5-38奈氏圖與伯德圖的對應(yīng)關(guān)系

例5-12一反饋控制系統(tǒng),其開環(huán)傳遞函數(shù)為

試用對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

解系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)頻率特性曲線(伯德圖)如圖5-39所示。由于G