第12章 控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性

第12章控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性12.1概述12.2李雅普諾夫穩(wěn)定性定義12.3李雅普諾夫穩(wěn)定性理論12.4線性定常連續(xù)系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析12.5線性定常離散系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析

12.1概述

穩(wěn)定性是控制系統(tǒng)能正常工作的前提條件,控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性通常有外部穩(wěn)定性和內(nèi)部穩(wěn)定性兩種。其中外部穩(wěn)定性是指系統(tǒng)在零初始條件下通過其輸入量、輸出量所定義的外部穩(wěn)定性,即有界輸入有界輸出穩(wěn)定。外部穩(wěn)定性只適用于線性系統(tǒng)。而內(nèi)部穩(wěn)定性是指系統(tǒng)在零輸入條件下通過其內(nèi)部狀態(tài)變化所定義的內(nèi)部穩(wěn)定性,即狀態(tài)穩(wěn)定。

內(nèi)部穩(wěn)定性不但適用于線性系統(tǒng),而且也適用于非線性系統(tǒng)。對(duì)于同一個(gè)線性系統(tǒng),只有在滿足一定條件下兩種定義才具有等價(jià)性。穩(wěn)定性是系統(tǒng)本身的一種特性,只和系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān),與輸入輸出無關(guān)。在經(jīng)典控制理論中,一般用勞斯赫爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)和奈奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)研究系統(tǒng)的穩(wěn)定性。而在現(xiàn)代控制理論中,李雅普諾夫(Lyapunov)穩(wěn)定性分析是解決系統(tǒng)穩(wěn)定性問題的一般方法。

12.2李雅普諾夫穩(wěn)定性定義12.2.1平衡狀態(tài)1.穩(wěn)定性的定義圖12-1(a)是一個(gè)單擺的例子。在靜止?fàn)顟B(tài)下,小球處于A位置。若用外力使小球偏離A而到達(dá)A',就產(chǎn)生了位置偏差。去除外力后,小球從初始偏差位置A',經(jīng)過若干次擺動(dòng)后,最終回到A點(diǎn),恢復(fù)到靜止?fàn)顟B(tài)。圖12-1(b)是處于山頂?shù)囊粋€(gè)足球。足球在靜止?fàn)顟B(tài)下處于B位置。如果我們用外力使足球偏離B位置,足球不可能再自動(dòng)回到B位置。對(duì)于單擺,我們說A位置是小球的穩(wěn)定位置,而對(duì)于足球來說,B則是不穩(wěn)定的位置。圖12-1穩(wěn)定位置和不穩(wěn)定位置

由此看出,處于某平衡工作點(diǎn)的控制系統(tǒng)在擾動(dòng)作用下會(huì)偏離其平衡狀態(tài),產(chǎn)生初始偏差。若擾動(dòng)消失后,控制系統(tǒng)能由初始偏差回復(fù)并穩(wěn)定到原平衡狀態(tài),則稱系統(tǒng)是穩(wěn)定的。若偏離平衡狀態(tài)的偏差越來越大,系統(tǒng)就是不穩(wěn)定的。

2.平衡狀態(tài)的定義

設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

總存在x=xe,對(duì)所有t,使得

則稱xe為系統(tǒng)的平衡狀態(tài)或平衡點(diǎn)。

當(dāng)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)到xe點(diǎn)時(shí),系統(tǒng)狀態(tài)各分量將維持平衡,不再隨時(shí)間變化。

如果系統(tǒng)是線性定常的,也就是說f(x,t)=Ax,則當(dāng)A為非奇異矩陣時(shí),系統(tǒng)存在一個(gè)唯一的平衡狀態(tài);當(dāng)A為奇異矩陣時(shí),系統(tǒng)將存在無窮多個(gè)平衡狀態(tài)。對(duì)于非線性系統(tǒng),可有一個(gè)或多個(gè)平衡狀態(tài)。

12.2.2范數(shù)的概念

1.范數(shù)

n維狀態(tài)空間中,向量x的長度稱為向量x的范數(shù),用‖x‖表示,則圖12-2球域S(ε)

2.向量的距離

由范數(shù)的定義可知,向量(x-xe)的范數(shù)可寫成

通常又將‖x-xe‖稱為x與xe的距離。當(dāng)向量(x-xe)的范數(shù)限定在某一范圍之內(nèi)時(shí),則記為

式(12-1)表示,在三維空間內(nèi)以xe為球心,以ε為半徑的一個(gè)球域,可記為S(ε),如圖12-2所示。

12.2.3李雅普諾夫穩(wěn)定性

系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性指的是系統(tǒng)在平衡狀態(tài)下受到擾動(dòng)時(shí),經(jīng)過“足夠長”的時(shí)間以后,系統(tǒng)恢復(fù)到平衡狀態(tài)的能力。其定義與工程上經(jīng)典的定義不完全一致,在概念上有

一些區(qū)別。

圖12-3穩(wěn)定性示意圖

2.漸近穩(wěn)定性

如果平衡狀態(tài)xe=0在李雅普諾夫意義下是穩(wěn)定的,并且始于域S(δ)的任一條軌跡,當(dāng)時(shí)間t趨于無窮時(shí),都不脫離S(ε),且收斂于xe=0,則稱系統(tǒng)的平衡狀態(tài)xe=0為漸近穩(wěn)定的,如圖12-3(b)所示。其中球域S(δ)被稱為平衡狀態(tài)xe=0的吸引域。

實(shí)際上,漸近穩(wěn)定性比穩(wěn)定性更重要?？紤]到非線性系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性是一個(gè)局部概念,所以簡單地確定漸近穩(wěn)定性并不意味著系統(tǒng)能正常工作。通常有必要確定漸近穩(wěn)定性

的最大范圍或吸引域,它是發(fā)生漸近穩(wěn)定軌跡的那部分狀態(tài)空間。換句話說,發(fā)生于吸引域內(nèi)的每一個(gè)軌跡都是漸近穩(wěn)定的。

3.大范圍漸近穩(wěn)定性

對(duì)所有的狀態(tài)(狀態(tài)空間中的所有點(diǎn)),如果由這些狀態(tài)出發(fā)的軌跡都保持漸近穩(wěn)定性,則平衡狀態(tài)xe=0稱為大范圍漸近穩(wěn)定。或者說,如果系統(tǒng)的平衡狀態(tài)xe=0漸近穩(wěn)定,吸引域?yàn)檎麄€(gè)狀態(tài)空間,則稱此時(shí)系統(tǒng)的平衡狀態(tài)xe=0為大范圍漸近穩(wěn)定。顯然,大范圍漸近穩(wěn)定的必要條件是在整個(gè)狀態(tài)空間中只有一個(gè)平衡狀態(tài)。

在控制工程問題中,總希望系統(tǒng)具有大范圍漸近穩(wěn)定的特性。

4.不穩(wěn)定性

如果對(duì)于某個(gè)實(shí)數(shù)ε>0和任一個(gè)實(shí)數(shù)δ>0,不管這兩個(gè)實(shí)數(shù)多么小,在S(δ)內(nèi)總存在一個(gè)狀態(tài)x0,使得始于這一狀態(tài)的軌跡最終會(huì)脫離開S(ε),那么平衡狀態(tài)xe=0稱為不穩(wěn)定的,如圖12-3(c)所示。

圖12-3(a)、(b)和(c)分別表示平衡狀態(tài)及對(duì)應(yīng)于穩(wěn)定性、漸近穩(wěn)定性和不穩(wěn)定性的典型軌跡。其中,域S(δ)制約著初始狀態(tài)x0,而域S(ε)是起始于x0的軌跡的邊界。

注意,由于上述定義不能詳細(xì)地說明可容許初始條件的精確吸引域,因而除非S(ε)對(duì)應(yīng)于整個(gè)狀態(tài)平面,否則這些定義只能應(yīng)用于平衡狀態(tài)的鄰域。

此外,在圖12-3(c)中,軌跡離開了S(ε),這說明平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。然而卻不能說明軌跡將趨于無窮遠(yuǎn)處,這是因?yàn)檐壽E還可能趨于在S(ε)外的某個(gè)極限環(huán)(如果線性定常系統(tǒng)是不穩(wěn)定的,則在不穩(wěn)定平衡狀態(tài)附近出發(fā)的軌跡將趨于無窮遠(yuǎn);但在非線性系統(tǒng)中,這一結(jié)論并不一定正確)。

對(duì)于線性系統(tǒng),漸近穩(wěn)定等價(jià)于大范圍漸近穩(wěn)定。但對(duì)于非線性系統(tǒng),一般只考慮吸引區(qū)為有限定范圍的漸近穩(wěn)定。

以不受外力的小球?yàn)槔?在幾種典型情況下,圖12-4(a)就是通常說的隨遇平衡,在李雅普諾夫意義下,任意點(diǎn)都是大范圍穩(wěn)定的;而圖12-4(b)屬于局部穩(wěn)定;圖12-4(c)的平衡點(diǎn)是穩(wěn)定的,而且是大范圍漸近穩(wěn)定的;圖12-4(d)為局部漸近穩(wěn)定;圖12-4(e)為局部不穩(wěn)定,圖12-4(f)為全局不穩(wěn)定。圖12-4平衡狀態(tài)穩(wěn)定性示意圖

12.3李雅普諾夫穩(wěn)定性理論

12.3.1李雅普諾夫第一法李雅普諾夫第一法的基本思想是利用狀態(tài)方程解的性質(zhì)來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性,通常又稱為間接法。它適用于線性定常系統(tǒng)和線性時(shí)變系統(tǒng)以及非線性系統(tǒng)可以線性化的情況。對(duì)于線性定常系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充要條件是A的特征值均具有負(fù)實(shí)部。

例12-1線性定常系統(tǒng)

試分析系統(tǒng)的狀態(tài)穩(wěn)定性。

解由A陣的特征方程

可得,特征值為

所以,系統(tǒng)的狀態(tài)不是漸近穩(wěn)定的。

12.3.2李雅普諾夫第二法的二次型函數(shù)

建立在李雅普諾夫第二法基礎(chǔ)上的穩(wěn)定性分析中,有一類標(biāo)量函數(shù)起著很重要的作用,即二次型函數(shù)。在給出李雅普諾夫第二法穩(wěn)定性判據(jù)之前,先介紹一些有關(guān)的預(yù)備知識(shí),然后再介紹李雅普諾夫第二法。

1.二次型

1)二次型函數(shù)的定義

在代數(shù)式中我們常見的一種多項(xiàng)式函數(shù)如下:

式中每項(xiàng)的次數(shù)都是二次的,這樣的多項(xiàng)式稱為二次齊次多項(xiàng)式或二次型。如果將變量個(gè)數(shù)擴(kuò)展到n,仍具有相同的含義。

n個(gè)變量x1,x2,…,xn的二次齊次多項(xiàng)式為

稱為二次型函數(shù),即二次型。式中aij為二次型系數(shù)。

2)二次型函數(shù)的矩陣表達(dá)式

由二次型函數(shù)的定義,式(12-3)可寫成

顯然二次型v(x1,x2,…,xn)完全由矩陣A確定,且A的秩稱為二次型的秩。

例12-2已知二次齊次多項(xiàng)式

試求二次型矩陣A。

解

所以二次型矩陣

2.二次型的定號(hào)性

1)標(biāo)量函數(shù)的正定性

如果對(duì)所有在域Ω中的非零狀態(tài)x≠0,有v(x)>0,且在x=0處有v(0)=0,則在域Ω(域Ω包含狀態(tài)空間的原點(diǎn))內(nèi)的標(biāo)量函數(shù)v(x)稱為正定函數(shù),即

2)標(biāo)量函數(shù)的負(fù)定性

如果-v(x)是正定函數(shù),則標(biāo)量函數(shù)v(x)稱為負(fù)定函數(shù),即

3)標(biāo)量函數(shù)的正半定

如果標(biāo)量函數(shù)v(x)除了原點(diǎn)以及某些狀態(tài)等于零外,在域Ω內(nèi)的所有狀態(tài)都是正定的,則v(x)稱為正半定標(biāo)量函數(shù),即

4)標(biāo)量函數(shù)的負(fù)半定

如果-v(x)是正半定函數(shù),則標(biāo)量函數(shù)v(x)稱為負(fù)半定函數(shù),即

5)標(biāo)量函數(shù)的不定性

如果在域Ω內(nèi),不論域Ω多么小,v(x)既可為正值,也可為負(fù)值,標(biāo)量函數(shù)v(x)稱為不定的標(biāo)量函數(shù)。

3.二次型標(biāo)量函數(shù)定號(hào)性判別準(zhǔn)則

二次型v(x)的正定性可用賽爾維斯特準(zhǔn)則判斷。由于二次型函數(shù)v(x)和它的二次型矩陣A是一一對(duì)應(yīng)的,這樣,二次型函數(shù)定號(hào)性等價(jià)于二次型矩陣A的定號(hào)性。

1)正定

二次型函數(shù)v(x)為正定的充要條件是矩陣A的各階首主子行列式均為正值,即

此時(shí),稱矩陣A是正定的,記為A>0。

2)負(fù)定

二次型函數(shù)v(x)為負(fù)定的充要條件是矩陣A的各階首主子行列式滿足

即

此時(shí),稱矩陣A是負(fù)定的,記為A<0。

3)正半定

二次型函數(shù)v(x)為正半定的充要條件是矩陣A的各階首主子行列式滿足

此時(shí),稱矩陣A是正半定的,記為A≥0。

4)負(fù)半定

二次型函數(shù)v(x)為負(fù)半定的充要條件是矩陣A的各階首主子行列式滿足

即

此時(shí),稱矩陣A是負(fù)半定的,記為A≤0。

例12-3試證明二次型

是正定的。

12.3.3李雅普諾夫第二法

李雅普諾夫第一法稱為間接法,它的基本思路是通過系統(tǒng)狀態(tài)方程的解來判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。對(duì)于線性定常系統(tǒng),只需要解出特征方程的根即可作出穩(wěn)定性判定。對(duì)于非線性

不是很嚴(yán)重的系統(tǒng),則可以通過線性化處理,然后根據(jù)其特征根來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

李雅普諾夫第二法又稱為直接法,運(yùn)用這種方法不需求出微分方程的解,也就是說,采用李雅普諾夫第二法,可以在不求出狀態(tài)方程解的條件下,確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。由于求解非線性系統(tǒng)和線性時(shí)變系統(tǒng)的狀態(tài)方程通常十分困難,所以這種方法顯示出極大的優(yōu)越性。

1.李雅普諾夫函數(shù)

由力學(xué)經(jīng)典理論可知,對(duì)于一個(gè)振動(dòng)系統(tǒng),如果系統(tǒng)總能量(正定函數(shù))連續(xù)減小,直到平衡狀態(tài)時(shí)為止,則振動(dòng)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

更為普遍地,如果系統(tǒng)有一個(gè)漸近穩(wěn)定的平衡狀態(tài),則當(dāng)其運(yùn)動(dòng)到平衡狀態(tài)的吸引域內(nèi)時(shí),系統(tǒng)存儲(chǔ)的能量隨著時(shí)間的增長而衰減,直到在平穩(wěn)狀態(tài)達(dá)到極小值為止。李雅普諾夫第二法就是從能量的觀點(diǎn)出發(fā)得來的。任何物理系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)都要消耗能量,并且能量總是大于零的。對(duì)于一個(gè)不受外部作用的系統(tǒng),如果系統(tǒng)的能量隨系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)和時(shí)間的增長而連續(xù)地減小,一直到平衡狀態(tài)為止,則系統(tǒng)的能量將減少到最小,那么這個(gè)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。

2.李雅普諾夫第二法

1)一致漸近穩(wěn)定

定理12-1考慮如下系統(tǒng)

式中

如果存在一個(gè)具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)的標(biāo)量函數(shù)v(x,t),且滿足以下條件:

則系統(tǒng)在原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是一致漸近穩(wěn)定的。

進(jìn)一步地,若‖x‖→∞,有v(x,t)→∞,則在原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是大范圍一致漸近穩(wěn)定的。

例12-4考慮如下系統(tǒng)

試確定其穩(wěn)定性。

解由平衡點(diǎn)方程得

解得,原點(diǎn)(x1=0,x2=0)是唯一的平衡狀態(tài),即xe=0。

選取李雅普諾夫函數(shù)為二次型函數(shù),即

又當(dāng)‖x‖→∞時(shí),有v(x)→∞,故平衡點(diǎn)xe=0是大范圍漸近穩(wěn)定的。

例12-5試判斷下列線性系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。

解由平衡點(diǎn)方程得

可知xe=0是唯一的一個(gè)平衡狀態(tài)。

選取

2)李雅普諾夫意義下的一致穩(wěn)定

3)不穩(wěn)定性

例12-7試判斷下列線性系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。

解原點(diǎn)為系統(tǒng)的平衡狀態(tài)。選二次型函數(shù)作為李雅普諾夫函數(shù),即

利用李雅普諾夫第二法判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性,關(guān)鍵是如何構(gòu)造一個(gè)滿足條件的李雅普諾夫函數(shù),而李雅普諾夫第二法本身并沒有提供構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)的一般方法,尤其是對(duì)

復(fù)雜系統(tǒng),構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)需要有相當(dāng)?shù)慕?jīng)驗(yàn)和技巧。不過,對(duì)于線性系統(tǒng)和某些非線性系統(tǒng),已經(jīng)找到了一些可行的方法來構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)。

12.4線性定常連續(xù)系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析

定理12-5考慮如下線性定常系統(tǒng)式中,x為n維狀態(tài)向量;A為n×n常數(shù)系統(tǒng)矩陣,且是非奇異的。在平衡狀態(tài)xe=0處,漸近穩(wěn)定的充要條件是:對(duì)任意給定的一個(gè)正定對(duì)稱實(shí)矩陣Q,存在一個(gè)正定對(duì)稱實(shí)矩陣P,且滿足矩陣方程

值得注意的是: