2024年九年級數(shù)學(xué)下冊28銳角三角函數(shù)小專題七構(gòu)造基本圖形解直角三角形的應(yīng)用題檢測題含解析新版新人教版

小專題(七)構(gòu)造基本圖形解直角三角形的應(yīng)用題類型1構(gòu)造單始終角三角形1．平放在地面上的直角三角形鐵板ABC的一部分被沙堆掩埋，其示意圖如圖所示．量得∠A為54°，∠B為36°，斜邊AB的長為2.1m，BC邊上露出部分BD的長為0.9m．求鐵板BC邊被掩埋部分CD的長．(結(jié)果精確到0.1m．參考數(shù)據(jù)：sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan54°≈1.38)解：由題意，得∠C＝180°－∠B－∠A＝180°－36°－54°＝90°.在Rt△ABC中，sinA＝eq\f(BC,AB)，∴BC＝AB·sinA＝2.1×sin54°≈1.701(m)，∴CD＝BC－BD＝1.701－0.9＝0.801≈0.8(m)．類型2母子三角形2．(重慶中考)如圖，小王在長江邊某眺望臺D處，測得江面上的漁船A的俯角為40°，若DE＝3米，CE＝2米，CE平行于江面AB，迎水坡BC的坡度i＝1∶0.75，坡長BC＝10米，則此時AB的長約為(參考數(shù)據(jù)：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84)(A)A．5.1米B．6.3米C．7.1米D．9.2米3．(長沙中考)為了維護國家主權(quán)和海洋權(quán)力，海監(jiān)部門對我國領(lǐng)海實現(xiàn)了常態(tài)化巡航管理．如圖，正在執(zhí)行巡航任務(wù)的海監(jiān)船以每小時50海里的速度向正東方航行，在A處測得燈塔P在北偏東60°方向上，接著航行1小時到達(dá)B處，此時測得燈塔P在北偏東30°方向上．(1)求∠APB的度數(shù)；(2)已知在燈塔P的四周25海里內(nèi)有暗礁，問海監(jiān)船接著向正東方向航行是否平安？解：(1)在△APB中，∠PAB＝30°，∠ABP＝120°，∴∠APB＝180°－30°－120°＝30°.(2)過點P作PH⊥AB于點H.在Rt△APH中，∠PAH＝30°，AH＝eq\r(3)PH.在Rt△BPH中，∠PBH＝60°，BH＝eq\f(\r(3),3)PH.∴AB＝AH－BH＝eq\f(2\r(3),3)PH＝50.∴PH＝25eq\r(3)＞25.∴海監(jiān)船接著向正東方向航行仍舊平安．類型3背靠背三角形4．(天津中考)如圖，一艘海輪位于燈塔P的北偏東64°方向，距離燈塔120海里的A處，它沿正南方向航行一段時間后，到達(dá)位于燈塔P的南偏東45°方向上的B處，求BP和BA的長．(結(jié)果取整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05，eq\r(2)取1.414)解：過點P作PC⊥AB，垂足為C.由題意可知，∠A＝64°，∠B＝45°，PA＝120.在Rt△APC中，sinA＝eq\f(PC,PA)，cosA＝eq\f(AC,PA)，∴PC＝PA·sinA＝120×sin64°.AC＝PA·cosA＝120×cos64°.在Rt△BPC中，sinB＝eq\f(PC,BP)，tanB＝eq\f(PC,BC)，∴BP＝eq\f(PC,sinB)＝eq\f(120×sin64°,sin45°)≈eq\f(120×0.90,\f(\r(2),2))≈153.BC＝eq\f(PC,tanB)＝eq\f(PC,tan45°)＝PC＝120×sin64°.∴BA＝BC＋AC＝120×sin64°＋120×cos64°≈120×0.90＋120×0.44≈161.答：BP的長約為153海里，BA的長約為161海里．5．(宜賓中考)如圖，某市對位于筆直馬路AC上兩個小區(qū)A，B的供水路途進行優(yōu)化改造．供水站M在筆直馬路AD上，測得供水站M在小區(qū)A的南偏東60°方向，在小區(qū)B的西南方向，小區(qū)A，B之間距離為300(eq\r(3)＋1)米．求供水站M分別到小區(qū)A，B的距離．(結(jié)果可保留根號)解：作ME⊥AB，垂足為E.設(shè)ME＝x米．在Rt△AME中，∠MAE＝90°－60°＝30°，∴AM＝2ME＝2x,AE＝eq\f(ME,tan30°)＝eq\r(3)x.在Rt△BME中，∠MBE＝90°－45°＝45°，∴ME＝EB＝x，MB＝eq\r(2)x.∵AE＋BE＝AB＝300(eq\r(3)＋1)，即eq\r(3)x＋x＝300(eq\r(3)＋1)，解得x＝300.∴AM＝2ME＝2x＝600，MB＝eq\r(2)x＝300eq\r(2).答：供水站M到小區(qū)A，B的距離分別是600米、300eq\r(2)米．6．(德州中考)如圖所示，某馬路檢測中心在一事故多發(fā)地帶安裝了一個測速儀，檢測點設(shè)在距離馬路10m的A處，測得一輛汽車從B處行駛到C處所用的時間為0.9秒．已知∠B＝30°，∠C＝45°.(1)求B，C之間的距離；(保留根號)(2)假如此地限速為80km/h，那么這輛汽車是否超速？請說明理由．(參考數(shù)據(jù)：eq\r(3)≈1.7，eq\r(2)≈1，4)解：(1)過點A作AD⊥BC于點D，則AD＝10m.∵在Rt△ACD中，∠C＝45°，∴CD＝AD＝10m.在Rt△ABD中，tanB＝eq\f(AD,BD)，∵∠B＝30°，∴eq\f(\r(3),3)＝eq\f(10,BD).∴BD＝10eq\r(3)m.∴BC＝BD＋DC＝(10eq\r(3)＋10)m.答：B，C之間的距離是(10eq\r(3)＋10)m.(2)這輛汽車超速，理由如下：由(1)知BC＝(10eq\r(3)＋10)m≈27m.∴汽車速度為eq\f(27,0.9)＝30(m/s)＝108km/h.∵108＞80，∴這輛汽車超速．類型4與梯形有關(guān)的解直角三角形7．如圖，梯形ABCD是攔水壩的橫斷面圖，斜面坡度i＝1∶eq\r(3)是指坡面的鉛直高度DE與水平寬度CE的比，∠B＝60°，AB＝6，AD＝4，求攔水壩的橫斷面ABCD的面積．(結(jié)果保留小數(shù)點后一位．參考數(shù)據(jù)：eq\r(3)≈1.732，eq\r(2)≈1.414)解：過點A作AF⊥BC，垂足為點F.在Rt△ABF中，∠B＝60°，AB＝6，∴AF＝AB·sinB＝6×sin60°＝3eq\r(3)，BF＝AB·cosB＝6×cos60°＝3.∵AD∥BC，AF⊥BC，DE⊥BC，∴四邊形AFED是矩形．∴DE＝AF＝3eq\r(3)，F(xiàn)E＝AD＝4.在Rt△CDE中，i＝eq\f(ED,EC)＝eq\f(1,\r(3))，∴EC＝e