河北省2023-2024學(xué)年高三下學(xué)期省級聯(lián)測考試（3月）數(shù)學(xué)試題含答案

2023—2024高三省級聯(lián)測考試數(shù)學(xué)試卷班級__________姓名__________.注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?班級和考號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A.B.C.D.2.已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A.B.C.D.3.將向量繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)得到，則（）A.1B.-1C.2D.-24.已知，則（）A.B.C.D.5.已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為是拋物線上位于第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，過點(diǎn)作的垂線，垂足為，若直線的傾斜角為，則（）A.2B.C.D.36.甲?乙?丙?丁4位同學(xué)報名參加學(xué)校舉辦的數(shù)學(xué)建模?物理探究?英語演講?勞動實(shí)踐四項(xiàng)活動，每人只能報其中一項(xiàng)，則在甲同學(xué)報的活動其他同學(xué)不報的情況下，4位同學(xué)所報活動各不相同的概率為（）A.B.C.D.7.已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，過的直線交雙曲線的右支于兩點(diǎn)，若，且，則雙曲線的離心率為（）A.2B.4C.6D.38.設(shè)，則下列大小關(guān)系正確的是（）A.B.C.D.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知正數(shù)滿足，則下列選項(xiàng)正確的是（）A.B.C.D.10.下列說法正確的是（）A.若數(shù)據(jù)的極差和平均數(shù)相等，則B.數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為10.5C.若，則D.若，隨機(jī)變量，則11.如圖，在棱長為1的正方體中，分別是的中點(diǎn)，為線段上的動點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.存在點(diǎn)，使得直線與直線為異面直線B.存在點(diǎn)，使得C.若為線段的中點(diǎn)，則三棱錐與三棱錐體積相等D.過三點(diǎn)的平面截正方體所得截面面積的最大值為三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，若，則__________.13.已知圓，過點(diǎn)的直線交圓于兩點(diǎn)，且，則滿足上述條件的一條直線的方程為__________.14.已知函數(shù)，若在區(qū)間上有且僅有兩個不相等的實(shí)數(shù)，滿足，則的取值范圍為__________.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.（本小題滿分13分）記的內(nèi)角的對邊分別為，已知.（1）求；（2）若，求的范圍.16.（本小題滿分15分）2020年11月，國務(wù)院辦公廳印發(fā)《新能源汽車產(chǎn)業(yè)發(fā)展規(guī)劃（2021—2035年）》，要求深入實(shí)施發(fā)展新能源汽車國家戰(zhàn)略，推動中國新能源汽車產(chǎn)業(yè)高質(zhì)量可持續(xù)發(fā)展，加快建設(shè)汽車強(qiáng)國.新能源汽車是指采用非常規(guī)的車用燃料作為動力來源（或使用常規(guī)的車用燃料?采用新型車載動力裝置），綜合車輛的動力控制和驅(qū)動方面的先進(jìn)技術(shù)，形成的技術(shù)原理先進(jìn)?具有新技術(shù)?新結(jié)構(gòu)的汽車.為了了解消費(fèi)者對不同種類汽車的購買情況，某車企調(diào)查了近期購車的100位車主的性別與購車種類的情況，得到如下數(shù)據(jù)：單位：人性別購車種類合計新能源汽車傳統(tǒng)燃油汽車男20女50合計30100（1）補(bǔ)全上面的列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，判斷購車種類與性別是否有關(guān)；（2）已知該車企的A型號新能源汽車有紅?白?黑?藍(lán)四種顏色.現(xiàn)有三個家庭各計劃購買一輛A型號新能源汽車，記購買的汽車顏色相同的家庭個數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.附：.0.100.050.0100.0012.7063.8416.63510.82817.（本小題滿分15分）如圖，已知平行六面體的棱長均為.（1）證明：；（2）延長到，使，求直線與平面所成角的正弦值.18.（本小題滿分17分）已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有唯一極值點(diǎn)，其中為自然對數(shù)的底數(shù).（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）證明：在區(qū)間內(nèi)有唯一零點(diǎn).19.（本小題滿分17分）信息熵是信息論之父香農(nóng)（Shannon）定義的一個重要概念，香農(nóng)在1948年發(fā)表的論文《通信的數(shù)學(xué)理論》中指出，任何信息都存在冗余，把信息中排除了冗余后的平均信息量稱為“信息熵”，并給出了計算信息熵的數(shù)學(xué)表達(dá)式：設(shè)隨機(jī)變量所有可能的取值為，且，定義的信息熵.（1）當(dāng)時，計算；（2）若，判斷并證明當(dāng)增大時，的變化趨勢；（3）若，隨機(jī)變量所有可能的取值為，且，證明：.2023—2024高三省級聯(lián)測考試數(shù)學(xué)參考答案題號1234567891011答案AABCBCDCACDCDBCD1.A解析：因?yàn)?，又，所?故選A.[命題意圖]本題考查知識點(diǎn)為集合的運(yùn)算?解不等式，考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).2.A解析：因?yàn)?，所以，所?故選A.[命題意圖]本題考查知識點(diǎn)為復(fù)數(shù)的運(yùn)算?共軛復(fù)數(shù)的概念，考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).3.B解析：因?yàn)?，且，所?故選B.[命題意圖]本題考查知識點(diǎn)為平面向量的線性運(yùn)算，考查了學(xué)生的邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).4.C解析：因?yàn)?，所?故選C.[命題意圖]本題考查知識點(diǎn)為三角函數(shù)公式，考查了學(xué)生的邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).5.B解析：過點(diǎn)作的垂線，垂足為，則，設(shè)，因?yàn)?，所以，所以，所?故選B.[命題意圖]本題考查知識點(diǎn)為拋物線的定義，直線的傾斜角，考查了學(xué)生的邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).6.C解析：設(shè)“甲同學(xué)報的活動其他同學(xué)不報”，“4位同學(xué)所報活動各不相同”，由題得，所以.故選C.[命題意圖]本題考查知識點(diǎn)為條件概率，考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象?邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).7.D解析：因?yàn)?，所以，又，所以，所以，在中，，在中，，因?yàn)?，所以，整理得，故，故離心率.故選D.[命題意圖]本題考查知識點(diǎn)為雙曲線的離心率，考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象?邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).8.C解析：令，則，令.當(dāng)時，單調(diào)遞增，，所以存在，使得，且當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增.又，所以存在，使得，且當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減.又，所以當(dāng)時，，即.當(dāng)時，則，即.令，所以，當(dāng)時，則，即，故.故選C.[命題意圖]本題考查知識點(diǎn)為利用導(dǎo)數(shù)比較大小，考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象?邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).9.ACD解析：對于，由題可得，即，故A正確；對于，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故B不正確；對于C，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故C正確；對于D，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故D正確.故選ACD.[命題意圖]本題考查知識點(diǎn)為基本不等式，考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象?邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).10.CD解析：對于，當(dāng)時，，解得，當(dāng)時，，解得，當(dāng)時，，無解，故A不正確；對于，由于，所以數(shù)據(jù)，16的第80百分位數(shù)為12，故B不正確；對于C，，則，故C正確；對于D，若，則，所以隨機(jī)變量的期望，故D正確.故選CD.[命題意圖]本題考查知識點(diǎn)為數(shù)據(jù)的平均數(shù)?極差?百分位數(shù)以及正態(tài)分布?二項(xiàng)分布的計算，考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象?邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).11.BCD解析：對于，如圖，連接，由正方體的性質(zhì)知，，所以四點(diǎn)共面，平面，故不正確；對于B，如圖，設(shè)的中點(diǎn)為，連接，若為的中點(diǎn)，則平面，又平面，所以，在中，，所以，故，又平面，所以平面，又平面，所以，故B正確；對于C，如圖，取的中點(diǎn)，連接，設(shè)，連接，則幾何體為斜三棱柱，從而，又，故C正確；對于D，如圖，因?yàn)檎襟w中心對稱（類比為球體，看作弦），故過的截面經(jīng)過正方體的對稱中心時所得截面面積最大，此時截面交棱于中點(diǎn)，也為中點(diǎn)，取的中點(diǎn)的中點(diǎn)的中點(diǎn)，連接，所以過三點(diǎn)的平面截正方體所得截面面積最大時，截面形狀為正六邊形，面積為，故D正確.故選BCD.[命題意圖]本題考查知識點(diǎn)為立體幾何中線面位置關(guān)系，截面面積?錐體體積計算，考查了學(xué)生的直觀想象?數(shù)學(xué)抽象?邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).12.8解析：由題意得，解得.[命題意圖]本題考查知識點(diǎn)為等差數(shù)列的定義，考查了學(xué)生的邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).13.（或）解析：由題意得圓心，半徑，故點(diǎn)在圓外，設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，由，得，即，即，解得，當(dāng)直線的斜率不存在時，即，此時，符合題意；當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，則，解得，故直線的方程為.綜上，直線的方程為或.[命題意圖]本題考查知識點(diǎn)為直線與圓的位置關(guān)系，考查了學(xué)生的邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).14.解析：，令，因?yàn)?，所以，所以，解得，故的取值范圍?[命題意圖]本題考查知識點(diǎn)為三角函數(shù)圖象的性質(zhì)，考查了學(xué)生的直觀想象?謾輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).15.解：（1）由正弦定理得，，因?yàn)椋?，所以，則，因?yàn)椋?，所以，所?（2）因?yàn)?，則，因?yàn)?所以.因?yàn)?所以.所以，所以.[命題意圖]本題考查知識點(diǎn)為解三角形中的求角和取值范圍問題，考查了學(xué)生的邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).16.解：（1）單位：人性別購車種類合計新能源汽車傳統(tǒng)燃油汽車男202040女501060合計7030100零假設(shè)：購車種類與性別無關(guān)，，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立，即購車種類與性別有關(guān)，此推斷犯錯誤的概率不大于0.001.（2）由題得的可能取值為，，所以的分布列為023因此，.[命題意圖]本題考查知識點(diǎn)為獨(dú)立性檢驗(yàn)?離散型隨機(jī)變量的分布列及期望，考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象?邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).17.解：（1）證明：如圖，連接，與交于點(diǎn)，連接，由題意可得，在平行六面體中，，所以，因?yàn)槭堑冗吶切?，所以，又因?yàn)?，所以平?因?yàn)槠矫?，所?（2）過點(diǎn)作，垂足為，由（1）可知，平面.因?yàn)槠矫?，所?因?yàn)?，所以平面，因?yàn)槿忮F為正四面體，所以為的重心，則.以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，過點(diǎn)垂直于底面的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則，則，因?yàn)椋?，所以，所以，設(shè)平面的法向量為，則所以令，則，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.[命題意圖]本題考查知識點(diǎn)為立體幾何中的線面關(guān)系和利用空間向量解決空間角，考查了學(xué)生的直觀想象?邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).18.解：（1），當(dāng)時，，①當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，沒有極值點(diǎn)，不合題意；②當(dāng)時，與在上分別單調(diào)遞增，顯然在上單調(diào)遞增，因?yàn)椋?，得，此時在內(nèi)有唯一零點(diǎn)，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以在內(nèi)有唯一極小值點(diǎn)，符合題意.綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.（2）證明：由（1）知，所以當(dāng)時，，所以當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，，則，又因?yàn)?，所以在?nèi)有唯一零點(diǎn)