(壓軸題)高中數(shù)學(xué)必修四第二章《平面向量》測試卷(有答案解析)(1)-2

一、選擇題1．已知點是的重心，，若則的最小值是（）A． B． C． D．2．過點的直線與函數(shù)的圖象交于，兩點，為坐標原點，則（）A． B． C．10 D．203．已知O為坐標原點，點M的坐標為（2，﹣1），點N的坐標滿足,則的最大值為（）A．2 B．1 C．0 D．－14．已知非零向量滿足，且在方向上的投影與在方向上的投影相等，則等于（）A． B． C． D．5．已知非零向量，夾角為，且，,則等于（）A． B． C． D．6．在矩形ABCD中，||＝6，||＝3.若點M是CD的中點，點N是BC的三等分點，且BN＝BC，則·＝（）A．6 B．4 C．3 D．27．已知是邊長為2的等邊三角形，，分別是、上的兩點，且，，與交于點，則下列說法正確的是（）A． B．C． D．在方向上的投影為8．在中，，，，的垂直平分線交于，則（）A． B． C． D．9．在中，，圓O是的內(nèi)切圓，且與BC切于D點，設(shè)，，則（）A． B．C． D．10．已知向量，若，則與的夾角的余弦值為（）A． B． C． D．11．已知為等邊三角形，則()A． B． C． D．12．在邊長為2的菱形ABCD中，，點E是AB邊上的中點，點F是BC邊上的動點，則的取值范圍是（）A． B． C． D．二、填空題13．如圖，正方形的邊長為2，是以為直徑的半圓弧上一點，則的最大值為______．14．在梯形中，，，，，動點P和Q分別在線段和上，且，，則的最大值為______.15．已知向量，，且，若，均為正數(shù)，則的最小值是__________.16．已知|，點在內(nèi)，且，設(shè)，則等于．17．向量，，在正方形網(wǎng)格（每個小正方形的邊長為1）中的位置如圖所示，若向量與共線，則________．18．已知向量，若與平行，則實數(shù)m等于______.19．如圖，在四邊形中，，，，，若M，N是線段上的動點，且，則的取值范圍為_________．20．已知平面向量，滿足，與的夾角為120°，則的最大值是_______.三、解答題21．在中，，，，D為邊的中點，M為中線的中點.（1）求中線的長；（2）求與的夾角的余弦值.22．已知，，其中.（1）求向量與所成的夾角；（2）若與的模相等，求的值（為非零的常數(shù)）.23．設(shè)，.（1）若，求實數(shù)的值；（2）若，且，與的夾角為，求，的值.24．如圖，在正中，，，分別是、邊上一點，并且，設(shè)，與相交于．（1）試用，表示；（2）求的取值范圍．25．已知是同一平面內(nèi)的三個向量，其中.（1）若，且，求的坐標；（2）若，且，求與的夾角θ的余弦值.26．中，點、、.（1）若為中點，求直線所在直線方程；（2）若在線段上，且，求.【參考答案】***試卷處理標記，請不要刪除一、選擇題1．D解析：D【分析】先根據(jù)重心得到，設(shè)，利用數(shù)量積計算，再利用重要不等式求解的最小值，即得結(jié)果.【詳解】點是的重心，設(shè)D為BC邊上的中點，則，因為設(shè)，則，即，故，即，當且僅當時等號成立，故的最小值是.故選：D.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的解題關(guān)鍵在于通過重心求得向量關(guān)系，利用數(shù)量積得到定值，才能利用重要不等式求最值，突破難點，要注意取條件的成立.2．D解析：D【分析】判斷函數(shù)的圖象關(guān)于點P對稱，得出過點的直線與函數(shù)的圖象交于A，B兩點時，得出A，B兩點關(guān)于點P對稱，則有，再計算的值．【詳解】，∴函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，∴過點的直線與函數(shù)的圖象交于A，B兩點，且A，B兩點關(guān)于點對稱，∴，則．故選D．【點睛】本題主要考查了函數(shù)的對稱性，以及平面向量的數(shù)量積運算問題，是中檔題．3．A解析：A【分析】根據(jù)題意可得，＝2x﹣y，令Z＝2x﹣y，做出不等式組所表示的平面區(qū)域，做直線l0：2x﹣y＝0，然后把直線l0向可行域內(nèi)平移，結(jié)合圖象可判斷取得最大值時的位置．【詳解】根據(jù)題意可得，＝2x﹣y，令Z＝2x﹣y做出不等式組所表示的平面區(qū)域，如圖所示的△ABC陰影部分：做直線l0：2x﹣y＝0，然后把直線l0向可行域內(nèi)平移，到點A時Z最大，而由可得A（1，0），此時Zmax＝2．故選：A．【點睛】本題主要考查了利用線性規(guī)劃求解最優(yōu)解及目標函數(shù)的最大值，解題的關(guān)鍵是正確作出不等式組所表示的平面區(qū)域，并能判斷出取得最大值時的最優(yōu)解的位置．利用線性規(guī)劃求最值的步驟：(1)在平面直角坐標系內(nèi)作出可行域．(2)考慮目標函數(shù)的幾何意義，將目標函數(shù)進行變形．常見的類型有截距型（型）、斜率型（型）和距離型（型）．(3)確定最優(yōu)解：根據(jù)目標函數(shù)的類型，并結(jié)合可行域確定最優(yōu)解．(4)求最值：將最優(yōu)解代入目標函數(shù)即可求出最大值或最小值。4．B解析：B【解析】因為在方向上的投影與在方向上的投影相等，設(shè)這兩個向量的夾角為，則，又由且，所以，故選B.5．A解析：A【分析】根據(jù)數(shù)量積的運算，兩邊平方即可求解.【詳解】,,，夾角為,,,解得：，故選：A【點睛】本題主要考查了向量數(shù)量積的運算性質(zhì)，數(shù)量積的定義，屬于中檔題.6．C解析：C【分析】根據(jù)向量的運算法則，求得，，再結(jié)合向量的數(shù)量積的運算公式，即可求解.【詳解】由題意，作出圖形，如圖所示：由圖及題意，根據(jù)向量的運算法則，可得，，所以.故選C．【點睛】本題主要考查了向量的運算法則，以及平面向量的數(shù)量積的運算，其中解答中熟練應(yīng)用向量的運算法則和向量的數(shù)量積的運算公式是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與運算能力.7．D解析：D【分析】利用，判斷出A錯誤；由結(jié)合平面向量的基本定理，判斷出選項B錯誤；以為原點，，分別為軸，軸正方向建立平面直角坐標系，寫出各點坐標，計算出的值，判斷出選項C錯誤；利用投影的定義計算出D正確．【詳解】由題為中點，則，，所以選項A錯誤；由平面向量線性運算得，所以選項B錯誤；以為原點，，分別為軸，軸正方向建立平面直角坐標系，如圖所示，，，，，，設(shè)，，，，，所以，，解：，，所以選項C錯誤；，，在方向上的投影為，故選：D．【點睛】本題考查平面向量數(shù)量積的應(yīng)用，考查平面向量基本定理，考查投影的定義，考查平面向量的坐標表示，屬于中檔題．8．C解析：C【分析】由的垂直平分線交于，且可得為等腰直角三角形，且，；進而由可求出的長，從而求出的值.【詳解】解：因為的垂直平分線交于、，所以為等腰直角三角形，，，在中，，，，所以，所以，，所以.故選：C.【點睛】本題主要考查平面向量的數(shù)量積，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題型.9．B解析：B【分析】由題得三角形是直角三角形，設(shè)，設(shè)求出，再利用平面向量的線性運算求解.【詳解】因為，所以是直角三角形，設(shè)如圖，設(shè)由題得，所以.故選：B【點睛】本題主要考查平面向量的線性運算，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.10．A解析：A【分析】根據(jù)向量平行，由平面向量的坐標運算列方程求出k的值，再利用平面向量夾角公式求解即可.【詳解】因為且，所以，，，故選：A.【點睛】本題主要考查向量平行的性質(zhì)，考查了平面向量數(shù)量積的坐標表示以及向量夾角公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.11．B解析：B【分析】判斷兩向量夾角容易出錯，是，而不是【詳解】由圖發(fā)現(xiàn)的夾角不是而是其補角，【點睛】本題考查的是兩向量夾角的定義，屬于易錯題，該類型題建議學(xué)生多畫畫圖.12．D解析：D【分析】把用表示，由三點共線把用表示，然后計算數(shù)量積，利用函數(shù)的知識得取值范圍．【詳解】∵菱形ABCD邊長為2，，，∴，，∵E是AB邊上的中點，∴，點F是BC邊上，設(shè)（），則，，∵，∴．故選：D.【點睛】本題考查平面向量的數(shù)量積，解題關(guān)鍵是對動點引入?yún)?shù)：（），這樣所求數(shù)量積就可表示為的函數(shù)，從而得到范圍．本題考查了向量共線的條件，屬于中檔題．二、填空題13．6【分析】先建立平面直角坐標系再表示出點的坐標接著表示出最后求求得最大值即可【詳解】解：以點為原點以方向為軸正方向以方向為軸正方向建立平面直角坐標系如圖則由圖可知以為直徑的圓的方程為：參數(shù)方向：因為解析：6【分析】先建立平面直角坐標系，再表示出點的坐標，接著表示出，，最后求求得最大值即可.【詳解】解：以點為原點，以方向為軸正方向，以方向為軸正方向，建立平面直角坐標系，如圖，則，由圖可知以為直徑的圓的方程為：，參數(shù)方向：，因為是以為直徑的半圓弧上一點，所以，（），所以，，則，當時，取得最大值.故答案為：6【點睛】本題考查平面向量數(shù)量積的坐標表示，是基礎(chǔ)題14．【分析】由題可知據(jù)平面向量的混合運算法則可化簡得到；設(shè)函數(shù)由對勾函數(shù)的性質(zhì)推出在上的單調(diào)性求出最大值即可得解【詳解】根據(jù)題意作出如下所示圖形：∵∴又P和Q分別在線段和上∴解得設(shè)函數(shù)由對勾函數(shù)的性質(zhì)可解析：【分析】由題可知，，據(jù)平面向量的混合運算法則可化簡得到；設(shè)函數(shù)，，由對勾函數(shù)的性質(zhì)推出在上的單調(diào)性，求出最大值即可得解.【詳解】根據(jù)題意，作出如下所示圖形：∵，，∴，又P和Q分別在線段和上，∴，解得..設(shè)函數(shù)，，由對勾函數(shù)的性質(zhì)可知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∵，，∴，即的最大值為.故答案為：.【點睛】本題考查平面向量的應(yīng)用，考查數(shù)量積的定義，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，屬于中檔題．15．9【分析】根據(jù)可得然后根據(jù)利用基本不等式可求出最小值【詳解】解：向量且又均為正數(shù)當且僅當即時取等號的最小值為故答案為：【點睛】本題考查了向量垂直和利用基本不等式求最值考查了方程思想和轉(zhuǎn)化思想屬于中檔題解析：9【分析】根據(jù)，可得，然后根據(jù)利用基本不等式可求出最小值．【詳解】解：向量，，且，，又，均為正數(shù)，，當且僅當，即時取等號，的最小值為．故答案為：．【點睛】本題考查了向量垂直和利用基本不等式求最值，考查了方程思想和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．16．【詳解】方法一：①又②③將②③代入①得：所以點在內(nèi)所以方法二：以直線OAOB分別為軸建立直角坐標系則設(shè)又得即解得故答案為：3解析：【詳解】方法一：,①又,②,③將②③代入①得：，所以，點在內(nèi)，所以.方法二：以直線OA,OB分別為軸建立直角坐標系，則,設(shè)，又，得，即，解得.故答案為：3.17．【分析】建立平面直角坐標系從而得到的坐標這樣即可得出的坐標根據(jù)與共線可求出從而求出的坐標即得解【詳解】建立如圖所示平面直角坐標系則：；與共線故答案為：【點睛】本題考查了平面向量線性運算和共線的坐標表解析：【分析】建立平面直角坐標系，從而得到的坐標，這樣即可得出的坐標，根據(jù)與共線，可求出，從而求出的坐標，即得解.【詳解】建立如圖所示平面直角坐標系，則：；與共線故答案為：【點睛】本題考查了平面向量線性運算和共線的坐標表示，考查了學(xué)生概念理解，數(shù)形結(jié)合，數(shù)學(xué)運算的能力，屬于中檔題.18．【分析】由向量坐標的數(shù)乘及加減法運算求出與然后利用向量共線的坐標表示列式求解【詳解】解：由向量和所以由與平行所以解得故答案為：【點睛】本題考查了平行向量與共線向量考查了平面向量的坐標運算屬于基礎(chǔ)題解析：【分析】由向量坐標的數(shù)乘及加減法運算求出與，然后利用向量共線的坐標表示列式求解．【詳解】解：由向量和，所以，，由與平行，所以．解得．故答案為：．【點睛】本題考查了平行向量與共線向量，考查了平面向量的坐標運算，屬于基礎(chǔ)題．19．【分析】首先以點為原點建立空間直角坐標系利用向量的坐標表示再求取值范圍【詳解】如圖建立平面直角坐標系當時取得最小值當時取得最大值所以的取值范圍為故答案為：【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是利用坐標法解解析：【分析】首先以點為原點，建立空間直角坐標系，利用向量的坐標表示，再求取值范圍.【詳解】如圖，建立平面直角坐標系，，，，，，，，，當時，取得最小值，當時，取得最大值，所以的取值范圍為故答案為：【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是利用坐標法解決數(shù)量積的范圍問題.20．【分析】設(shè)設(shè)則有聯(lián)立四個方程令整理得到從方程有根判別式大于等于零求得結(jié)果【詳解】設(shè)由題意可知則由與夾角為所以①且②③④因為聯(lián)立①②③④令即整理得將其看作關(guān)于的方程若方程有解則有整理得解得因為所以的最解析：【分析】設(shè)設(shè)，，則有，，，，聯(lián)立四個方程，令，整理得到，從方程有根，判別式大于等于零求得結(jié)果.【詳解】設(shè)，，由題意可知，則由與夾角為，所以，①且，②，③，④因為，聯(lián)立①②③④，，令，即，，整理得，將其看作關(guān)于的方程，若方程有解，則有，整理得，解得，因為，所以的最大值是，故答案為：.【點睛】思路點睛：該題考查的是有關(guān)向量的問題，解題思路如下：（1）根據(jù)向量數(shù)量積的定義式求得兩向量的數(shù)量積；（2）根據(jù)向量數(shù)量積運算法則求得其結(jié)果；（3）利用向量的平方與向量模的平方相等，得到等量關(guān)系式；（4）聯(lián)立，從方程有根，判別式大于等于零，得到不等關(guān)系式，求得結(jié)果.三、解答題21．（1）；（2）.【分析】（1）由于，進而根據(jù)向量的模的計算求解即可；（2）由于，，進而根據(jù)向量數(shù)量積得，故.【詳解】解:（1）由已知，，又，所以，所以.（2）由（1）知，，所以，從而.，所以.解法2：（1）以點A為原點，為x軸，過點A且垂直于的直線為y軸建系，則，，，因為D為邊的中點，所以，，所以.（2）因為M為中線的中點，由（1）知，，所以，所以，，所以.【點睛】本題考查向量的數(shù)量積運算，向量夾角的計算，考查運算求解能力與化歸轉(zhuǎn)化思想，是中檔題.本題解題的關(guān)鍵在于向量表示中線向量，進而根據(jù)向量模的計算公式計算.22．（1）；（2）.【分析】（1）先求出，利用數(shù)量積運算法則可求得，從而證得結(jié)論；（2）利用向量坐標運算求得和，利用模長相等可求得，根據(jù)角的范圍可確定最終取值.【詳解】（1）由已知得：，則：，因此：，因此，向量與所成的夾角為；（2）由，，可得，，，，，整理可得：，即：，，，即，，因此：，即：.【點睛】本題主要考查了向量的數(shù)量積運算，根據(jù)向量模長相等關(guān)系求解參數(shù)值的問題；關(guān)鍵是能夠熟練掌握向量的坐標運算，屬于中檔題.23．（1）；（2），或，.【分析】（1）根據(jù)向量垂直的坐標運算即可求解；（2）由模的向量坐標運算及夾角的向量坐標運算聯(lián)立方程即可求解.【詳解】