九年級(jí)數(shù)學(xué)北師大版（上冊(cè)）回顧與思考

回顧與思考1北師版九年級(jí)上冊(cè)復(fù)習(xí)回顧特殊四邊形的關(guān)系平行四邊形矩形菱形正方形有一個(gè)角是直角有一個(gè)角是直角且鄰邊相等鄰邊相等鄰邊相等有一個(gè)角是直角幾種特殊四邊形的性質(zhì)：邊角對(duì)角線對(duì)稱性矩形菱形正方形平行且相等四個(gè)角都是直角互相平分且相等中心對(duì)稱圖形軸對(duì)稱圖形平行且四邊相等平行且四邊相等對(duì)角相等鄰角互補(bǔ)四個(gè)角都是直角互相垂直平分互相垂直平分且相等中心對(duì)稱圖形軸對(duì)稱圖形中心對(duì)稱圖形軸對(duì)稱圖形幾種特殊四邊形的常用判定方法：判定方法矩形菱形正方形1.定義：有一角是直角的平行四邊形2.三個(gè)角是直角的四邊形3.對(duì)角線相等的平行四邊形1.定義：一組鄰邊相等的平行四邊形2.四條邊都相等的四邊形

3.對(duì)角線互相垂直的平行四邊形1.定義：一組鄰邊相等且有一個(gè)角是直角的平行四邊形2.有一組鄰邊相等的矩形3.有一個(gè)角是直角的菱形一個(gè)菱形的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)分別為4cm和8cm，求它的邊長(zhǎng).【選自教材P26復(fù)習(xí)題第1題】鞏固練習(xí)，深化提高2.如圖，若四邊形ABCD

的對(duì)角線AC與BD

相交于點(diǎn)О，

且OA=OB=OC=OD=AB，則四邊形ABCD是

正方形嗎？【選自教材P26復(fù)習(xí)題第2題】是正方形3.如果一個(gè)四邊形是軸對(duì)稱圖形，而且有兩條互相垂直的

對(duì)稱軸，那么這個(gè)四邊形一定是菱形嗎？為什么？【選自教材P26復(fù)習(xí)題第3題】不一定，因?yàn)楣~形也符合條件．4.一個(gè)菱形的周長(zhǎng)是200cm，一條對(duì)角線長(zhǎng)60cm，求:（1）另一條對(duì)角線的長(zhǎng)度；（2）菱形的面積.【選自教材P26復(fù)習(xí)題第4題】（1）80cm（2）2400cm25.證明：如果四邊形兩條對(duì)角線互相垂直且相等，那么

以它的四邊中點(diǎn)為頂點(diǎn)可組成一個(gè)正方形.【選自教材P26復(fù)習(xí)題第5題】證明:如圖，

四邊形ABCD

中，E，F(xiàn)，G，H

分別為

AB，BC，CD

，AD

中點(diǎn)，BD，AC

交于點(diǎn)O，則HE

BD

FG，HG

AC

EF．又∵∠COB

＝∠1＝90°＝∠HEF，∴四邊形EFGH

為正方形．=∥=∥=∥=∥6.如圖，四邊形ABCD

是一個(gè)正方形，E是BC

延長(zhǎng)線上

一點(diǎn)，且AC=EC，求∠DAE

的度數(shù).【選自教材P26復(fù)習(xí)題第6題】解:由題意，可知AC＝EC，∠CAE＝∠AEC．又∵∠CAE＋∠AEC＝45°，∴∠CAE＝22.5°，∴∠DAE＝22.5.°7.（1）如果一個(gè)菱形繞對(duì)角線的交點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90°后，

所得圖形與原來的圖形重合，那么這個(gè)菱形是正

方形嗎？為什么？解:（1）是正方形．因?yàn)槔@對(duì)角線交點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90°，所得圖形與原圖形重合，說明菱形兩條對(duì)角線相等，所以這個(gè)菱形是正方形.【選自教材P26復(fù)習(xí)題第7題】7.（2）如果一個(gè)四邊形繞對(duì)角線的交點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90°后，

所得圖形與原來的圖形重合，那么這個(gè)四邊形是正

方形嗎？為什么？【選自教材P26復(fù)習(xí)題第7題】（2）是正方形．因?yàn)槔@對(duì)角線交點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90°，所得圖形與原圖形重合，說明四個(gè)角相等，均為90°，且四條邊相等，所以這個(gè)四邊形是正方形．8.已知:如圖，AD是△ABC的角平分線，過點(diǎn)D分別

作AC和AB的平行線，交AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F.求證:四邊形AEDF是菱形.【選自教材P27復(fù)習(xí)題第8題】證明:∵AD為∠BAC

的平分線，∴∠DAC＝∠DAB．又∵DF∥AB，DE∥AC，∴四邊形AEDF

為平行四邊形，∠DAC＝∠EDA

，∠FDA

＝∠EAD

，∴∠FDA

＝∠DAF＝∠EAD

＝∠EDA,即AF＝FD

，AE＝ED

．又∵四邊形AEDF

為平行四邊形,∴四邊形AEDF

是菱形．9.已知:△ABC的兩條高分別為BE，CF，點(diǎn)M為BC的

中點(diǎn).求證:ME=MF.【選自教材P27復(fù)習(xí)題第9題】證明:如圖．∵△FBC

為直角三角形，△EBC

為直角三角形．M

點(diǎn)為BC

中點(diǎn)，∴MF＝BC＝EM

．10.已知正方形的對(duì)角線的長(zhǎng)為l，求這個(gè)正方形的

周長(zhǎng)和面積.【選自教材P27復(fù)習(xí)題第10題】這個(gè)正方形的周長(zhǎng)為l；面積為.11.已知:如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC

與BD相交

于點(diǎn)O，過點(diǎn)C

作BD

的平行線，過點(diǎn)D

作AC

的平

行線，兩線相交于點(diǎn)P.求證:四邊形CODP

是菱形.【選自教材P27復(fù)習(xí)題第11題】證明:∵DP∥AC，PC∥BD,∴四邊形OCPD為平行四邊形，OC＝PD

，PC＝OD

．又∵四邊形ABCD

為矩形，∴AC＝BD

，則OC＝PD

＝AC＝BD

＝OD

＝PC．∴四邊形CODP

是菱形．12.已知:如圖，在矩形ABCD

中，對(duì)角線AC與BD

相交于

點(diǎn)O，點(diǎn)M，P，N，Q

分別在AO，BO，CO，DO

上，

且AM=BP=CN=DQ.求證:四邊形MPNQ

是矩形.【選自教材P27復(fù)習(xí)題第12題】證明:在矩形ABCD

中，AM

＝BP＝CN＝DQ．∴OM

＝OQ＝ON＝OP

．易證△MOQ≌△PON

．∴MQ＝PN

，∠MQP

＝∠NPQ，∴MQ∥PN

，∴四邊形MQNP

為矩形．13.已知:如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是

△ABC的角平分線，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分別為

E，F(xiàn).求證:四邊形CEDF是正方形.【選自教材P27復(fù)習(xí)題第13題】證明:由題意，知∠FCE＝90°＝∠CED＝∠CFD＝∠FDE．∴四邊形CEDF

為矩形．又∵CD

是△ACB的角平分線，∴∠DCE＝∠FCD

＝45°＝∠EDC，即DE＝EC，∴四邊形CEDF

是正方形．14.如圖，在矩形ABCD中，AB=20cm.動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AB邊以4cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C開始沿CD邊以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng).點(diǎn)P和點(diǎn)Q同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng).設(shè)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts，則當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形APQD是矩形？【選自教材P27復(fù)習(xí)題第14題】解:根據(jù)題意,四邊形APQD

是矩形時(shí)，DQ

＝AP

，DQ

＝20－t，AP

＝4t，令DQ＝AP，即20－t＝4t，解得t＝4(s)．∴當(dāng)t

為4s時(shí)，四邊形APQD

是矩形．幾何畫板.GSP15.如圖，把一張矩形紙片沿對(duì)角線折疊，重合部分

是什么圖形？試說明理由.【選自教材P28復(fù)習(xí)題第15題】解:重合部分是等腰三角形．由題意知，四邊形ABCD

為矩形,∴∠ADB＝∠CBD

＝∠EBD,即FB

＝FD

．故重合部分是等腰三角形．幾何畫板.GSP16.如圖，把兩個(gè)全等的矩形ABCD

和矩形CEFG

拼成

如圖所示的圖案，求∠ACF，∠AFC

的度數(shù).【選自教材P28復(fù)習(xí)題第16題】解:由題意，可得∠FCE＝∠ACD

，∠GCF＝∠BCA

，∴∠ACF＝90°．又∵AC＝CF，∴∠AFC＝45°17.小穎在商店里看到一塊漂亮的方紗巾，非常想買，但當(dāng)她拿起來時(shí)，又感覺紗巾不太方．商店老板看她猶豫的樣子，馬上過來將紗巾沿對(duì)角線對(duì)折，讓小穎檢驗(yàn)（如圖）.小穎還是有些疑惑，老板又將紗巾沿另一條對(duì)角線對(duì)折，讓小穎檢驗(yàn)，小穎發(fā)現(xiàn)這兩次對(duì)折后兩個(gè)對(duì)角都能對(duì)齊，終于下決心買下這塊紗巾.你認(rèn)為小穎買的這塊紗巾一定是正方形嗎？你認(rèn)為用什么方法可以檢驗(yàn)紗巾是不是正方形？【選自教材P28復(fù)習(xí)題第17題】小穎買的這塊紗巾不一定是正方形.18.已知：如圖，平行四邊形ABCD各角的平分線分別相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H求證：四邊形EFGH是矩形.【選自教材P28復(fù)習(xí)題第18題】證明:延長(zhǎng)AH，交CD

于點(diǎn)M

，延長(zhǎng)BH

，交CD于點(diǎn)N

．由題意，知∠BAM

＝∠DAB

＝∠DMA

＝∠DCF，∴EH∥FG．同理，可證HG∥EF，即四邊形EFGH

為平行四邊形．又∵∠DAB＋∠ABC

＝180°，∴∠HAB＋∠ABH

＝×180°＝90°,即∠AHB＝90°，∴四邊形EFGH

為矩形．MN19.你能通過剪切和拼接下列圖形得到一個(gè)矩形嗎？在這些剪拼的過程中，剪下的圖形是經(jīng)過怎樣的運(yùn)動(dòng)最后拼接

在一起的？【選自教材P28復(fù)習(xí)題第19題】（1）平行四邊形；（2）