高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)定義及其幾何意義、函數(shù)求導(dǎo)學(xué)案新人教A版選修1

導(dǎo)數(shù)定義及其幾何意義、函數(shù)求導(dǎo)學(xué)案

基礎(chǔ)知識(shí)

1.函數(shù)y=/(x)的導(dǎo)數(shù)為f'{x)=lim

Ax->0

2.導(dǎo)數(shù)r(xo)的幾何意義：_______________________________________________

3.初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式

(1)/(%)=c(c為常數(shù))，則/'(x)=__________,(2)/(%)=NgGQ),則/⑴=

(3)/(x)=sinx,則/'(x)=(4)/(x)=cosx,則/(x)=

(5)/(x)=",貝曠'(x)=(6)/(x)=",則/'(x)=

(7)/(x)=logox(a>0,且aH1),則/'(x)=⑻f(x)=Inx,則/'(x)=

4.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則："(x)士g(x)]'=

"(幻?g(x)T=[磊卜

5.函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù):設(shè)函數(shù)>=人力在區(qū)間(a,b)內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，如果,則丁=/(X)

是這個(gè)區(qū)間內(nèi)；如果在這個(gè)區(qū)間內(nèi),則y=/(處是這個(gè)區(qū)間內(nèi)

6.求單調(diào)區(qū)間的方法：

例題1.若f\x0)=2,則lim竺=

練習(xí):(1)若f'(x0)=2,則lim."。+牛".)=

f(x)-f(x-3h)

(2)若尸(與)=2,則lim00

k->02h

⑶若f'(x0)=2,則lim3/?)=_________

A-?0h

2.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1)y=2e”(2)y=3cosx-4sinx(3)y=『+log2x

cosx

(4)y=Xnex(5)y=.

sinx

3.已知函數(shù)/(x)=J?+%-2

(1)在p0處的切線平行于直線y=4x-1,求Po點(diǎn)的坐標(biāo)

(2)求函數(shù)/(x)在點(diǎn)(1,0)處的切線方程。

(3)若在P處的切線垂直于直線x=3,求此切線方程。

4.下列各圖為導(dǎo)函數(shù)y=/'(x)的圖象，試畫出原函數(shù))，=/(尤)的圖象。

導(dǎo)數(shù)定義及其幾何意義、函數(shù)求導(dǎo)作業(yè)

1.若八%)=一3,則()

h—0h

A.-3B.-6

C.-9D.-12

2.若lim/(/+3Ar)—/(Xo)=i,貝療口。)等于().

A.0B.1C.3D.

3

x2-1

3.函數(shù)丁=1一的導(dǎo)數(shù)是().

4.曲線/(x)=x3+x_2在p。處的切線平行于直線y=4x-1,則p0點(diǎn)的坐標(biāo)為

()

A.(1,0)B.(2,8)

C.(1,0)和(—1,—4)D.(2,8)和(—1,-4)

5.函數(shù)y=4一+」單調(diào)遞增區(qū)間是()

X

A.(0,+oo)B.(-oo,l)C.(―,+oo)D.(l,+oo)

2

6.曲線y=d+x—2在點(diǎn)P。處的切線平行于直線y=4x,則點(diǎn)P。的坐標(biāo)().

A.(0,1)B.(1,0)C.(一1,一4)或(1,0)D.(-1,-4)

7.若函數(shù)/(x)=/+/u+c的圖象的頂點(diǎn)在第四象限，則函數(shù)的圖象是

8.函數(shù)/(x)=++4x+的圖像在x=l處的切線在x軸上的截距為

9.函數(shù)、=/一/的單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為

10.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

einY

(1)y=4sinx-3cosx(2)y-----(3)y=x]nx(4)y=Iogx-ex

x3

IL求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間:

（］）y—2x^+3x~-12x+1(2)y=(X+1)2(X+2)

12.己知曲線y=Y—l與y=l+/在x=x0處的切線互相垂直，求X。的值。

2on屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：基礎(chǔ)知識(shí)歸納

第一部分集合

1.理解集合中元素的意義是解決集合問(wèn)題的關(guān)鍵：元素是函數(shù)關(guān)系中自變量的取值？還

是因變量的取值？還是曲線上的點(diǎn)？…

2.藜形綃令是解集合問(wèn)題的常用方法：解題時(shí)要盡可能地借助數(shù)軸、直角坐標(biāo)系或韋恩

圖等工具，將抽象的代數(shù)問(wèn)題具體化、形象化、直觀化，然后利用數(shù)形結(jié)合的思想方

法解決

3.(1)元素與集合的關(guān)系：xeA<=>xCfjA,xeC^A<^>x^A.

(2)德摩根公式：CtJ(AB)=CuA(3泮;孰9B)=QjACVB.

(3)

AB—A<^>AB=BB=①

=QAB=R

注意：討論的時(shí)候不要遺忘了A=。的情況.

(4)集合｛%,4,,4｝的子集個(gè)數(shù)共有2"個(gè)；真子集有2"-1個(gè)；非空子集有2"-1

個(gè)；

非空真子集有2"-2個(gè).

4.。是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.

第二部分函數(shù)與導(dǎo)數(shù)

1.映射：注意：①第一個(gè)集合中的元素必須有象；②一對(duì)一或多對(duì)一.

2.函數(shù)值域的求法：①分析法；②配方法；③判別式法；④利用函數(shù)單調(diào)性；⑤換元

法；

⑥利用均值不等式⑦利用數(shù)形結(jié)合或幾何意義(斜率、距

離、

絕對(duì)值的意義等)；⑧利用函數(shù)有界性(相、sinx、cosx等)；⑨平方法；⑩導(dǎo)數(shù)法

3.復(fù)合函數(shù)的有關(guān)問(wèn)題：

(1)復(fù)合函數(shù)定義域求法：

①若f(x)的定義域?yàn)椋踑,b］,則復(fù)合函數(shù)f［g(x)］的定義域由不等式aWg(x)W

b解出

②若f［g(x)］的定義域?yàn)椋踑,b］,求f(x)的定義域，相當(dāng)于x「［a,b］時(shí),求g(x)的

值域.

(2)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判定：

①首先將原函數(shù)y=/［g(x)］分解為基本函數(shù)：內(nèi)函數(shù)〃=g(x)與外函數(shù)y=f(u)

②分別研究?jī)?nèi)、外函數(shù)在各自定義域內(nèi)的單調(diào)性

③根據(jù)“同性則增，異性則減”來(lái)判斷原函數(shù)在其定義域內(nèi)的單調(diào)性.

4.分段函數(shù)：值域(最值)、單調(diào)性、圖象等問(wèn)題，先分段解決，再下結(jié)論。

5.函數(shù)的奇偶性：

⑴函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件

⑵/(X)是奇函數(shù)0/(-%)=-f(x)；f(x)是偶函數(shù)=/(—X)=/(X).

⑶奇函數(shù)/(x)在0處有定義，則/(0)=0

⑷在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)：奇函數(shù)有相同的單調(diào)性，偶函數(shù)有相反的單調(diào)性

⑸若所給函數(shù)的解析式較為復(fù)雜，應(yīng)先等價(jià)變形，再判斷其奇偶性

6.函數(shù)的單調(diào)性：

⑴單調(diào)性的定義：

①/(X)在區(qū)間M上是增函數(shù)OVX],X2G當(dāng)再<為時(shí)有f(再)</U2)；

②/(X)在區(qū)間Af上是減函數(shù)0VX],%2€知,當(dāng)尤1<82時(shí)有/01)>/(%2)；

⑵單調(diào)性的判定：①定義法：一般要將式子/(須)-/*2)化為幾個(gè)因式作積或作商的形式,

以利于判斷符號(hào)；②導(dǎo)數(shù)法(見(jiàn)導(dǎo)數(shù)部分)；③復(fù)合函數(shù)法；④圖像法

注：證明單調(diào)性主要用定義法和導(dǎo)數(shù)法。

7.函數(shù)的周期性：

(1)周期性的定義：對(duì)定義域內(nèi)的任意無(wú)，若有/(x+T)=/(x)(其中T為非零常數(shù))，

則稱函數(shù)/(x)為周期函數(shù)，T為它的一個(gè)周期。所有正周期中最小的稱為函數(shù)的

最小正周期。如沒(méi)有特別說(shuō)明，遇到的周期都指最小正周期。

(2)三角函數(shù)的周期：①y=sinx:T=2乃；②y=cosx:T=2萬(wàn)；

27r

③y=tanx:7="；?y=Asin(cox+^)),y=Acos((wc+(p):T=---；

\co\

⑤y=tanmx:T=

\o)\

⑶與周期有關(guān)的結(jié)論：

f(x+a)=/。一。)或f(x-2a)=f(x)(a>0)=f(x)的周期為2。

8.基本初等函數(shù)的圖像與性質(zhì)：

㈠.⑴指數(shù)函數(shù)：y=ax(a>O.aw1)；⑵對(duì)數(shù)函數(shù)：y=logax(a>0,。w1)；

⑶幕函數(shù)：y=xa(a￡R)；⑷正弦函數(shù)：y=sinx；⑸余弦函數(shù)：y=cosx；

(6)正切函數(shù)：y=tanx；⑺一元二次函數(shù)：ax1+hx+c=O(aWO)；⑻其它常用函

數(shù)：

ka

①正比例函數(shù)：y=2乂攵w0)；②反比例函數(shù)：y=—(左。0)；③函數(shù)y=x+—^a>0)

xx

”.——_巴1

㈡.⑴分?jǐn)?shù)指數(shù)基：an=\an,；an=—(以上。>0,￡N*,且M>1).

(2).①a"=Nolog〃N=b；②log〃(MN)=log“Mflog。N；

MYl

③log“—=log?M-k)g“N；?logb"=—log“b.

Nm

⑶.對(duì)數(shù)的換底公式：log,,N=幽且.對(duì)數(shù)恒等式：。啕'=N.

log,”a

9.二次函數(shù)：

⑴解析式：①一般式：fM=ax2+bx+c；②頂點(diǎn)式：f(x)=a(x-h)2+k,(h,k)為

頂點(diǎn)；

③零點(diǎn)式：f(x)=a(x-x,)(x-x2)(aWO).

⑵二次函數(shù)問(wèn)題解決需考慮的因素：

①開(kāi)口方向；②對(duì)稱軸；③端點(diǎn)值；④與坐標(biāo)軸交點(diǎn)；⑤判別式；⑥兩根符號(hào)。

二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象的對(duì)稱軸方程是x=-2,頂點(diǎn)坐標(biāo)是

2a

(2Aac-b2\

[2a'4a-)

10.函數(shù)圖象：

⑴圖象作法：①描點(diǎn)法(特別注意三角函數(shù)的五點(diǎn)作圖)②圖象變換法③導(dǎo)數(shù)法

⑵圖象變換：

①平移變換：i)y=/(x)T>y=/(x±a),(a>0)-----左"+”右“一”；

ii)y=/(x)fy=/(x)±NOl>0)----上“+”下“一”；

②對(duì)稱變換：i)y=.f(x)3^y=—.f(—x)；ii)^=/(x)y--/(%)；

in)y=/(x)—^^=/(一幻；iv)y=/(x)^^~>x=/(y)；

③翻折變換：

i)y=/(x)fy=/(|x|)----(去左翻右)y軸右不動(dòng)，右向左翻(/(處在y左側(cè)圖

象去掉)；

ii)y='/?(%)-y=|/(x)|----(留上翻下)x軸上不動(dòng)，下向上翻(.f(x)|在x下面

無(wú)圖象)；

11.函數(shù)圖象(曲線)對(duì)稱性的證明：

(1)證明函數(shù)y=/(x)圖像的對(duì)稱性，即證明圖像上任意點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱中心(對(duì)稱軸)

的對(duì)稱點(diǎn)仍在圖像上：

(2)證明函數(shù)y=/(x)與y=g(x)圖象的對(duì)稱性，即證明y=/(x)圖象上任意點(diǎn)關(guān)

于對(duì)稱中心(對(duì)稱軸)的對(duì)稱點(diǎn)在y=g(x)的圖象上，反之亦然。

注:①曲線C:f(x,y)=O關(guān)于原點(diǎn)(0,0)的對(duì)稱曲線C2方程為:f(-x,-y)=0;

曲線G:f(x,y)=0關(guān)于直線x=0的對(duì)稱曲線C2方程為：f(-x,y)=0;

曲線G:f(x,y)=0關(guān)于直線y=0的對(duì)稱曲線C2方程為：f(x,-y)=0;

曲線G：f(x,y)=0關(guān)于直線y=x的對(duì)稱曲線C2方程為：f(y,x)=0

②f(a+x)=f(b—x)(x￡R)Oy=f(x)圖像關(guān)于直線x=巴士上■對(duì)稱；

2

特別地：f(a+x)=f(a—x)(x€R)Oy=f(x)圖像關(guān)于直線x=a對(duì)稱.

③y=/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(名與對(duì)稱O/(a+x)+/(?-x)=2b.

特別地：y=/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,0)對(duì)稱o.y(a+x)=-/(a—x).

④函數(shù)y=/(x—a)與函數(shù)y=/(a—x)的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱；

函數(shù)y=/(a+x)與函數(shù)y=/(a—x)的圖象關(guān)于直線x=0對(duì)稱。

12.函數(shù)零點(diǎn)的求法：

⑴直接法(求/(無(wú))=0的根)；⑵圖象法；⑶二分法.

(4)零點(diǎn)定理：若y=f(x)在［a,若上滿足f(a)?f(b)<0,則y=f(x)在(a,b)內(nèi)至少有

一個(gè)零點(diǎn)。

13.導(dǎo)數(shù)：4

⑴導(dǎo)數(shù)定義：f(x)在點(diǎn)X。處的導(dǎo)數(shù)記作y'k』=/(X。)=則。""^一"4)

⑵常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：①C=0；②(x")'=〃x"T；③(sinx)'=cosx；

@(cosx)=-sinx；⑤(a*)'=a*Ina；@(er)=ex；⑦(log“x)'=-----；

xlna

⑧(Inx)=-o

x

⑶導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則:(U±v)'=u'±v';(uv)'=u'v+uv';(—)'

VV

⑷(理科)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：乂=X.<；

⑸導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用：

①利用導(dǎo)數(shù)求切線：注意：i)所給點(diǎn)是切點(diǎn)嗎？ii)所求的是“在”還是“過(guò)”該點(diǎn)

的切線？

②利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性：i)尸(x)>0n/(x)是增函數(shù)；ii)/(x)<0=/(x)

為減函數(shù);iii)((x)三0=/(x)為常數(shù)；

③利用導(dǎo)數(shù)求極值：i)求導(dǎo)數(shù)/'(X)；ii)求方程/'(x)=0的根；iii)列表得極值。

④利用導(dǎo)數(shù)求最大值與最小值：i)求極值；ii)求區(qū)間端點(diǎn)值(如果有)；iii)比

較得最值。

第三部分三角函數(shù)、三角恒等變換與解三角形

1.⑴角度制與弧度制的互化："弧度=180°,1°=二弧度，1弧度=（圖）°之57°18'

1807i

⑵弧長(zhǎng)公式：l=GR；扇形面積公式：S=-IR=-0R*2?*

22

2.三角函數(shù)定義:角a終邊上任一點(diǎn)（非原點(diǎn)）P（x,y）,設(shè)|OP|=r則:

sina=—,cosa=—,tana=—

rrx

3.三角函數(shù)符號(hào)規(guī)律：一全正，二正弦，三正切，四余弦；（簡(jiǎn)記為“全stc”）

4.誘導(dǎo)公式記憶規(guī)律：“奇變偶不變，符號(hào)看象限”

jl

5.（Dy=Asin（劭;+e）對(duì)稱軸：令/工+夕=左乃+,,得人=???;對(duì)稱中心：

一,0)(keZ);

CO

k兀—①

⑵丁=Acos@r+0）對(duì)稱軸：令①x+①=k7i,得1=....-；對(duì)稱中心:

CD

,71

左乃十-----(p

」一,0)(&eZ)；

CO

2乃

⑶周期公式:①函數(shù)y=Asin(ox+o)&y=Acos(<wx+0)的周期T=L(A、3、cp

囪

為常數(shù),

且AW0).②函數(shù)y=Atan(&￥+。)的周期7二2(A、3、。為常數(shù)，且AWO）.

網(wǎng)

6.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系：sin2x+cos2x=l;-S^nX-=tanx

cosx

7.三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及對(duì)稱性:

TTTT

6y=sinx的單調(diào)遞增區(qū)間為2k兀一一,2k兀+—ZEZ,單調(diào)遞減區(qū)間為

22

7T1T3乃TT

2k兀+—,2卜兀+二—keZ,對(duì)稱軸為x=k7T+—(kGZ),對(duì)稱中心為

222

(fc^-,0)(iteZ).

(2)y=cosx的單調(diào)遞增區(qū)間為[2k7r-7v,2k7r]k^Z,單調(diào)遞減區(qū)間為

[2匕r,2k兀+"快￡Z,

對(duì)稱軸為尤=&萬(wàn)（攵￡Z）,對(duì)稱中心為（匕T+1,（））（左WZ）.

⑶y=tanx的單調(diào)遞增區(qū)間為［人萬(wàn)一］kwZ,對(duì)稱中心為

，可（左eZ）.

8.兩角和與差的正弦、余弦、正切公式：

①sin(a±/?)=sinacos0±cosasin〃；cos(a±/?)=cosacosJ3sinasmp；

/,c、tana±tan13

tan(a±')=-----------.

1tanatan(3

②sin(a+B)sin(a-7?)=sin2a-sin2(3；cos(a+0)cos(a-0)=cos2a—sin2尸.

@asina+bcosa-\Ja2+b2sin（cr4-（p）（其中，輔助角0所在象限由點(diǎn)（。/）所在的象

限

決定，tan^=—).

a

9.二倍角公式：①sin2a=2sintzcosc.(sina±cosa)2=l±2sinacosa=l±sin2a

②cos2c=cos2a-sin2<z=2cos2e-l=l-2sin2c(升基公式).

21+cos2a.21-cos2a/收短八一、

cosa=---------,sina=---------(降帚公式).

22

10.正、余弦定理:

⑴正弦定理：一烏一=—2—=-^=2R（2R是AABC外接圓直徑）

sinAsin5sinC

注：①Q(mào)：〃：c=sinA:sin8:sinC；②。=2RsinA)=2Rsin氏c=2RsinC；

abca+b+c

③----=-----=-----=------------------O

sinAsinBsinCsinA+sin5+sinC

,2.22

⑵余弦定理：a2=h2+c2-2Z?ccosA等三個(gè)；cosA-+C---幺等三個(gè)。

2bc

11.幾個(gè)公式:⑴三角形面積公式：①5=；"“=；。飽=；。4(%、%,、區(qū)分別表示

a^b、c邊上的高)；@S=—absmC=—bcsinA=-easinB.?

222

SAOAB=1^\OA\\OB\)2-(OAOB)2

⑵內(nèi)切圓半徑r=2sA:外接圓直徑2R=/_=」_=_=；

a+b+csinAsin8sinC

第四部分立體幾何

1.三視圖與直觀圖：⑴畫三視圖要求：正視圖與俯視圖長(zhǎng)對(duì)正；正視圖與側(cè)視圖高平齊;

側(cè)視圖與俯視圖寬相等。⑵斜二測(cè)畫法畫水平放置幾何體的直觀圖的要領(lǐng)。

2.表（側(cè)）面積與體積公式：

⑴柱體：①表面積：S=SE2s底；②側(cè)面積：SM2MI；③體積：V=S底h

⑵錐體：①表面積：S=SM+S底；②側(cè)面積：Sffl=7irl；③體積：V=—SIKh：

3

⑶臺(tái)體：①表面積：S=S?I+S上底+S下成;②側(cè)面積：S（?=》（r+rj/;③體積：V=1

(S+Vsy+S')h；

r4二

⑷球體：①表面積:S=4成②體積：V二—成'

3

3.位置關(guān)系的證明（主要方法）：

⑴直線與直線平行:①公理4；②線面平行的性質(zhì)定理；③面面平行的性質(zhì)定理。

⑵直線與平面平行:①線面平行的判定定理；②面面平行=線面平行。

⑶平面與平面平行:①面面平行的判定定理及推論；②垂直于同一直線的兩平面平行。

⑷直線與平面垂直:①直線與平面垂直的判定定理；②面面垂直的性質(zhì)定理。

⑸平面與平面垂直:①定義一一兩平面所成二面角為直角；②面面垂直的判定定理。

注：以上理科還可用向量法。

4.求角：（步驟-----I.找或作角；U.求角）

⑴異面直線所成角的求法：

①平移法：平移直線，構(gòu)造三角形；②用向量法

⑵直線與平面所成的角：

①直接法（利用線面角定義）；②用向量法

5.結(jié)論：

⑴棱錐的平行截面的性質(zhì)如果棱錐被平行于底面的平面所截，那么所得的截面與底面相似，

截面面積與底面面積的比等于頂點(diǎn)到截面距離與棱錐高的平方比（對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊對(duì)

應(yīng)成比例的多邊形是相似多邊形，相似多邊形面積的比等于對(duì)應(yīng)邊的比的平方）；相應(yīng)小

棱錐與小棱錐的側(cè)面積的比等于頂點(diǎn)到截面距離與棱錐高的平方比.

⑵長(zhǎng)方體從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱長(zhǎng)分別為a,b,c,則體對(duì)角線長(zhǎng)為必定H

全面積為2ab+2bc+2ca,體積V=abc。

⑶正方體的棱長(zhǎng)為a,則體對(duì)角線長(zhǎng)為任，全面積為6a2,體積V=/。

⑷球與長(zhǎng)方體的組合體：長(zhǎng)方體的外接球的直徑是長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng).

球與正方體的組合體:正方體的內(nèi)切球的直徑是正方體的棱長(zhǎng)，正方體的棱切球的直徑

是正方體的面對(duì)角線長(zhǎng)，正方體的外接球的直徑是正方體的體對(duì)角線長(zhǎng).

⑷正四面體的性質(zhì)：設(shè)棱長(zhǎng)為4,則正四面體的：

①高：/?=――a；②對(duì)棱間距離：———a；③內(nèi)切球半徑：——a；④外接球半徑：——a。

32124

第五部分直線與圓

1.斜率公式：%=三二』?，其中《（花,必）、8（%,必）?

x2-%,

直線的方向向量v=（a,人），則直線的斜率為攵=2（。工0）.

a

2.直線方程的五種形式：

（D點(diǎn)斜式：y-y^Kx-xJ（直線/過(guò)點(diǎn)6（X1,y）,且斜率為％）.

（2）斜截式：丁=奴+人（》為直線/在丁軸上的截距）.

⑶兩點(diǎn)式：—~~江?=x］（q（x，x）、P,（x2,y2）x,#x2,y產(chǎn)治）?

%一X/一玉

（4）截距式：H+上=1（其中。、b分別為直線在x軸、y軸上的截距，且。力0,。工0）.

ab

（5）一般式：瓜+8），+。=0（其中人、8不同時(shí)為0）.

3.兩條直線的位置關(guān)系：

（1）若4:y=Z]X+4,4：y=k2彳+%，則：

①/[〃4=K=k2,々工匕2；②4_L/,O=—1?

（2）若4:Ax+^y+G=。，4：A2x+B2y+C2=0,貝!]：

①/J/、o4與一人2g=0且AG—A2?！?0；②6J-4oA4+4&=0.

4.求解線性規(guī)劃問(wèn)題的步驟是：

（1）列約束條件；（2）作可行域，寫目標(biāo)函數(shù)；（3）確定目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解。

5.兩個(gè)公式:

⑴點(diǎn)P（Xo.yo）到直線Ax+By+C=0的距離：,\^+By0+C\.

以+前

⑵兩條平行線Ax+By+G=0與Ax+By+C2=0的距離d=曰一01

2

VA+B2

6.圓的方程：

⑴標(biāo)準(zhǔn)方程:①（x—a）2+（y—與2=72；（^x2+y2=r2。

⑵一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F^0（￡>2+-4F>0）

注：Ax'+Bxy+Cy'+Dx+Ey+F=O表示圓OA=C#0且B=0且D?+E2—4AF>0

7.圓的方程的求法：⑴待定系數(shù)法；⑵幾何法。

8.點(diǎn)、直線與圓的位置關(guān)系：（主要掌握幾何法）

⑴點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：（d表示點(diǎn)到圓心的距離）

點(diǎn)在圓上；②d<Ro點(diǎn)在圓內(nèi)；③點(diǎn)在圓外。

⑵直線與圓的位置關(guān)系：（d表示圓心到直線的距離）

①6/二足。相切；②相交；③d>Ro相離。

⑶圓與圓的位置關(guān)系：（d表示圓心距，表示兩圓半徑，且R>r）

①d>R+ro相離；②"二k+廣。外切；③R-r<d<R+ro相交；

④d=R-ro內(nèi)切；⑤0<4<R-ro內(nèi)含。

9.直線與圓相交所得弦長(zhǎng)|AB|=242一個(gè)

第六部分圓錐曲線

1.定義：⑴橢圓：I+IME|=2a,（2a>WK|）；

⑵雙曲線：||MFJ-1MF2||=2a,（2a<|F,F2|）；⑶拋物線：IMF|=d

2.結(jié)論：⑴直線與圓錐曲線相交的弦長(zhǎng)公式:若弦端點(diǎn)為A（當(dāng)，弘）,8（乙,y2），則

|陰=-々A+（y-%）），或恒耳=卜-引川+公,或

網(wǎng)=|M卜?*.

注：①拋物線：|A同=XI+X2+P；②通徑（最短弦）：i）橢圓、雙曲線：---；ii）

a

拋物線：2P.

⑵過(guò)兩點(diǎn)的橢圓、雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程可設(shè)為：mx2+ny2=1（加,〃同時(shí)大于0時(shí)表示

橢圓；

mn<0時(shí)表示雙曲線）；當(dāng)點(diǎn)P與橢圓短軸頂點(diǎn)重合時(shí)有PF2最大;

⑶雙曲線中的結(jié)論：

2■>2）

①雙曲線匚_2L=1（a>0,b>0）的漸近線：二一上=0；

a2b2a2b2

②共漸進(jìn)線y=±2x的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程可設(shè)為三一匚二以力為參數(shù)，/LA0）；

aa2b2

③雙曲線為等軸雙曲線oe=叵。漸近線互相垂直；

⑷焦點(diǎn)三角形問(wèn)題求解：利用圓錐曲線定義和余弦定理聯(lián)立求解。

3.直線與圓錐曲線問(wèn)題解法：

⑴直接法（通法）：聯(lián)立直線與圓錐曲線方程，構(gòu)造一元二次方程求解。

注意以下問(wèn)題:①聯(lián)立的關(guān)于“x”還是關(guān)于“y”的一元二次方程？②直線斜率不

存在時(shí)

考慮了嗎？③判別式驗(yàn)證了嗎？

⑵設(shè)而不求（點(diǎn)差法——代點(diǎn)作差法）：--------處理弦中點(diǎn)問(wèn)題

X

步驟如下：①設(shè)點(diǎn)A（x”外）、B（2,y2）；②作差得的8=/■二=……；③解決問(wèn)題。

4.求軌跡的常用方法：（1）定義法：利用圓錐曲線的定義；（2）直接法（列等式）;

（3）代入法（又稱相關(guān)點(diǎn)法或坐標(biāo)轉(zhuǎn)移法）；⑷待定系數(shù)法；（5）消參法；（6）交軌

法；（7）幾何法。

第七部分平面向量

1.平面上兩點(diǎn)間的距離公式：4t,8=J（%2-％）2+（%-y）2，其中A（X］，M）,B（x2,y2）.

2.向量的平行與垂直：設(shè)Z=（x”x）,3=（9,%），且貝人

①<^b-Xa0工1%一9％=0；

②（a0）<^>a?^=0oXjX2+=0.

3.a?b=,albcos<a,b>=Xjx2+yiy2；

注:①|(zhì)a|cos〈a,b>叫做a在b方向上的投影；|b|cos<a,b>叫做b在a方向上的投影；

②a?b的幾何意義：8?1）等于|3|與b|在a方向上的投影bcos〈a,b>的乘積。

a-b

4.cos<a,b>=———；

5.三點(diǎn)共線的充要條件：P,A,B三點(diǎn)共線oOP=xQA+yOBlLx+y=l。

第八部分?jǐn)?shù)列

1.定義：

⑴等差數(shù)列{ajo^n+i-4=d3為常數(shù)〃eN*)oa“一。"_|=d(n>2)

2

o2a?=a?+i+%(n>2,neN*)an=kn+b<^Sn=An+Bn

⑵等比數(shù)列{qjo=q(q*0)oa/=an4-an+{(n>2,neN*)

a

n

2.等差、等比數(shù)列性質(zhì)：

等差數(shù)列等比數(shù)列

通項(xiàng)公式an=a1+(〃一l)d

1.q=1時(shí)，Sn=nal;

nia+a“)〃(〃一1)

前n項(xiàng)和S=---]!-----=na+-------a2〃Hl時(shí)，S“=4(1為)

n〃2},2

i-q

.一

1

性質(zhì)①*&?)+(n-m)d,①an=aid'-"；

②m+n=p+q時(shí)affl+an=ap+a<1②m+n=p+q時(shí)aman=aPaq

③SQS2k—Sk,S3k—52k,*',MP③Sk,S?k-、卜,S3k-S2k，…成GP

④4，4+m，4+2,”，…成AP,"=那④4M&+卅，氏+2/H，…成GP，q=q

3.常見(jiàn)數(shù)列通項(xiàng)的求法：

⑴定義法（利用AP,GP的定義）；⑵累加法（a,川一%=%型）；⑶公式法：{S,（n=D

S,-Sn-i（n22）

⑷累乘法（也=c“型）；⑸待定系數(shù)法（。,用=左4,+匕型）轉(zhuǎn)化為

%

?n+i+x=k（a“+X）

（6）間接法（例如：an_,-a,,=4a?a?_i^-———=4）;（7）（理科）數(shù)學(xué)歸納

a“

法。

4.前〃項(xiàng)和的求法：⑴分組求和法；⑵錯(cuò)位相減法；⑶裂項(xiàng)法。

5.等差數(shù)列前n項(xiàng)和最值的求法：

(l)s,最大值-°J或5"最小值~°八

；⑵利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)。

第九部分不等式

1.均值不等式：4ab<>0)

注意：①一正二定三相等；②變形：ab<(^-)2<—+/?(a,beR).

22

2.極值定理：已知都是正數(shù)，則有：

(1)如果積沖是定值p,那么當(dāng)x=y時(shí)和x+y有最小值2y[p；

(2)如果和x+y是定值s,那么當(dāng)x=y時(shí)積孫有最大值,$2.

4

3.解一元二次不等式a?+法+。>0(或<0)：若?！?,則對(duì)于解集不是全集或空集時(shí),對(duì)

應(yīng)的

%-%<

解集為“大兩邊，小中間”.如：當(dāng)當(dāng)<*2,(^-XlX2)0<=>^l<X<X2;

(X-X]Xx-12)>0OX>々或^<$.

4.含有絕對(duì)值的不等式：當(dāng)a>0時(shí)，有：①兇ca?0一。<》<。；

②國(guó)>aof>/。*>。或xv—a.

5.分式不等式：

(1)g(i>0o/(x)-g(x)>0；(2)<0o/(x)?g(x)<。；

，(x)7(x)-g(x)>0/(x)f(x)-g(x)<0

(3)g(3>0<=><(4)g(3<0<=><

、g(x)，0a々HO

6.指數(shù)不等式與對(duì)數(shù)不等式

/(x)>0

(1)當(dāng)。>1時(shí)，a"")>a8(x)=f(x)>g(x)；log,/(x)>log"g(x)<=>,g(x)>0

/(x)>g(x)

(2)當(dāng)0<avl時(shí)，a"*>as(x)<=>/(x)<g(x)；

/(x)>0

logJ(X)>log?g(x)o-g(x)>0

/(x)<g(x)

3.不等式的性質(zhì)：

(l)a>b<=>b<a；(2)a>b,b>c=>a>c；(S)a>b<=>a+c>b+c；a>b,c>d

=>a+c>b+di(i)a>b,c>0=>ac>bd；a>b,c<0=>ac<bc；

47>Z?>0,c>d>0

ac>bd;(5)a>/?>0=>a">bn>0(〃eN*);(6)a>/;>0=>\[a>&(〃sN*)

第十部分復(fù)數(shù)

1.概念：

⑴z=a+bi￡R<z>b=0(a,bGR)Oz=z<=>z?20；出2=2+也是虛數(shù)=b#

0(a,b￡R)；

⑶z二a+bi是純虛數(shù)Oa=0且b#0(a,bGR)<z>z+z=0(z20)<=>z2<0；

⑷a+bi=c+di<=>a=c且c=d(a,b,c,d￡R)；

2.復(fù)數(shù)的代數(shù)形式及其運(yùn)算：設(shè)z尸a+bi,z2=c+di(a,b,c,deR),貝ij：

(1)zi±Z2二(a+b)±(c+d)i；(2)zi.Z2=(a+bi)?(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i；

⑶五/”萬(wàn))(匚山)=ac+bdbc-ad0)；

222z

z2(c+di)(c—力)c+dc+d

3.幾個(gè)重要的結(jié)論：

①(i±，)2=±2i；②

1-z1+i

4n4n+l4n+24n+3M

③i性質(zhì)：T=4；z=l,z=i,i=-l,z=-z；,心+產(chǎn)M+i+/+3=0;

zIzI

4.模的性質(zhì)：(l)|Z1z2|=|z,||z2I；⑵|」|=E；⑶|z"|=|zI".

Z

z2I2I

5.實(shí)系數(shù)一元二次方程G2+笈+。=0的解：

—b+J—4〃/、

v

①若△=6—4ac>0,則x12=---——；②若△=〃—4ac=0,則

③若△=〃-4ac<0,它在實(shí)數(shù)集R內(nèi)沒(méi)有實(shí)數(shù)根；在復(fù)數(shù)集C內(nèi)有且僅有兩個(gè)共扼復(fù)

數(shù)

根1=——0%一…

2a

第十一部分概率

1.事件的關(guān)系：

⑴事件B包含事件A：事件A發(fā)生，事件B一定發(fā)生，記作Aq3；

⑵事件A與事件B相等：若則事件A與B相等，記作A=B；

⑶并（和）事件：某事件發(fā)生，當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生或B發(fā)生，記作或A+3）；

⑷并（積）事件：某事件發(fā)生，當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生且B發(fā)生，記作Ac5（或AB）；

⑸事件A與事件B互斥：若Ac3為不可能事件（AcB=。），則事件A與互斥;

⑹對(duì)立事件：AcB為不可能事件，ADB為必然事件，則A與B互為對(duì)立事件。

2.概率公式：

⑴互斥事件（有一個(gè)發(fā)生）概率公式：P（A+B）=P（A）+P⑻;

=A包含的基本事件的個(gè)數(shù)

⑵古典概型:（~"基本事件的總數(shù)

構(gòu)成事件A的區(qū)域長(zhǎng)度（面積或體積等）

⑶幾何概型：P（A）=

試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度（面積或體積等）

第十二部分統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例

1.抽樣方法：

⑴簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣：一般地，設(shè)一個(gè)總體的個(gè)數(shù)為N,通過(guò)逐個(gè)不放回的方法從中抽取一個(gè)容

量

為n的樣本，且每個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)相等，就稱這種抽樣為簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣。

注：①每個(gè)個(gè)體被抽到的概率為2;

N

②常用的簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法有：抽簽法；隨機(jī)數(shù)表法。

⑵系統(tǒng)抽樣：當(dāng)總體個(gè)數(shù)較多時(shí)，可將總體均衡的分成幾個(gè)部分，然后按照預(yù)先制定的規(guī)則，

從

每一個(gè)部分抽取一個(gè)個(gè)體，得到所需樣本，這種抽樣方法叫系統(tǒng)抽樣。

注：步驟：①編號(hào)；②分段；③在第一段采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法確定起始的個(gè)體編號(hào)；④

按預(yù)

先制定的規(guī)則抽取樣本。

⑶分層抽樣：當(dāng)已知總體有差異比較明顯的幾部分組成時(shí)，為使樣本更充分的反映總體的情

況，

將總體分成幾部分，然后按照各部分占總體的比例進(jìn)行抽樣，這種抽樣叫分層抽樣。

注：每個(gè)部分所抽取的樣本個(gè)體數(shù)=該部分個(gè)體數(shù)

N

注：以上三種抽樣的共同特點(diǎn)是：在抽樣過(guò)程中每個(gè)個(gè)體被抽取的概率相等

2.頻率分布直方圖與莖葉圖：⑴用直方圖反映樣本的頻率分布規(guī)律的直方圖稱為頻率

分布直方圖。⑵當(dāng)數(shù)據(jù)是兩位有效數(shù)字時(shí)，用中間的數(shù)字表示十位數(shù)，即第一個(gè)有效

數(shù)字，兩邊的數(shù)字表示個(gè)位數(shù)，即第二個(gè)有效數(shù)字，它的中間部分像植物的莖，兩邊

像植物莖上長(zhǎng)出來(lái)的葉子，這種表示數(shù)據(jù)的圖叫做莖葉圖。

3.總體特征數(shù)的估計(jì)：

⑴樣本平均數(shù)元=工（%+小+…+立；

n〃仁

2222

⑵樣本方差52=—［（jq-x）+（x2-J）+???+（x?-x）l=-y（x,.-x）；

⑶樣本標(biāo)準(zhǔn)差s二出守+（/一君2+…+（1一魯（7_元）2

3.相關(guān)系數(shù)（判定兩個(gè)變量線性相關(guān)性）：

，i〃

丁=j=l_/=!

In〃/〃〃

?。?-幻這（兇-刃2X：-￡）這V2-檸）

V/=1i=lVi=li=l

注：⑴r>0時(shí)，變量％,y正相關(guān)；r<0時(shí)，變量負(fù)相關(guān)；⑵當(dāng)|川越接近于1,

兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)；當(dāng)|川越接近于0時(shí)，兩個(gè)變量之間幾乎不存在線性相

關(guān)關(guān)系。

4.回歸直線方程

h=---------------------=----------------

y=a+bxy其中〈V1(—\2<2—2

ZQ—X)-一心