高二數(shù)學(xué)證明線面平行

用空間向量證(解)立體幾何題之

(五)-----證明線面平行

用空間向量證(解)立體幾何題是現(xiàn)階段的熱門話題。它可以把一些復(fù)雜的證明或計(jì)算題用“程序化”的計(jì)算來給出解答。

前段時(shí)間我們研究了用空間向量求角(包括線線角、線面角和面面角)、求距離(包括線線距離、點(diǎn)面距離、線面距離和面面距離)和證明垂直(包括線線垂直、線面垂直和面面垂直)。

用空間向量證明“平行”，包括線面平行和面面平行?！麲AEDCBFHMN例1.如圖：ABCD與ABEF是正方形，CB⊥平面ABEF，H、G分別是AC、BF上的點(diǎn)，且AH=GF.求證：HG∥平面CBE.MH∥AB,NG∥ABMH∥NGAH=FGCH=BGCH:CA=BG:BFMH=NGGAEDCBFHPPH∥CB,PG∥BE平面HPG∥平面CBE

HG∥平面CBE

GAEDCBFHozy證明：由已知得：AB、BC、BE兩兩垂直，故可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系o-xyz.x設(shè)正方形邊長為1,AH=FG=a,則H(0,1-a,a)、G(1-a,1-a,0),故,而平面CBE的法向量為(0,1,0),故,而平面CBE故HG∥平面CBERDBCAA1QPNMD1C1B1例2.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，P、Q分別是A1B1和BC上的動(dòng)點(diǎn)，且A1P=BQ，M是AB1的中點(diǎn)，N是PQ的中點(diǎn).求證：MN∥平面AC.M是中點(diǎn)，N是中點(diǎn)MN∥RQMN∥平面ACDBCAA1QPNMD1C1B1作PP1⊥AB于P1，作MM1⊥AB于M1，連結(jié)QP1，作NN1⊥QP1于N1，連結(jié)M1N1N1M1P1NN1∥PP1MM1∥AA1又NN1、MM1均等于邊長的一半故MM1N1N是平行四邊形，故MN∥M1N1MN∥平面ACDBCAA1QPNMD1C1B1zyxo證明：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系o-xyz設(shè)正方形邊長為2，又設(shè)A1P=BQ=2x則P(2，2x，2)、Q(2-2x，2，0)故N(2-x,1+x,1),而M(2,1,1)所以向量(-x,x,0)，又平面AC的法向量為(0,0,1)，∴∴又M不在平面AC內(nèi)，所以MN∥平面ACDCBAD1C1B1A1例3.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，求證：平面A1BD∥平面CB1D1平行四邊形A1BCD1

A1B∥D1C平行四邊形DBB1D1

B1D1∥BD于是平面A1BD∥平面CB1D1DCBAD1C1B1A1ozyx證明：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系o-xyz設(shè)正方形邊長為1，則向量設(shè)平面BDA1的法向量為則有x+z=0x+y=0令x=1,則得方程組的解為x=1y=-1z=-1故平面BDA1的法向量為同理可得平面CB1D1的法向量為則顯然有即得兩平面BDA1和CB1D1的法向量平行所以平面BDA1∥CB1D1

通過本例的練習(xí)，同學(xué)們要進(jìn)一步掌握平面法向量的求法：即用平面內(nèi)的兩個(gè)相交向量與假設(shè)的法向量求數(shù)量積等于0，利用解方程組的方法求出平面法向量(在解的過程中可令其中一個(gè)未知數(shù)為某個(gè)數(shù))。※例1、2與例3在利用法向量時(shí)有何不同？DCBAD1C1B1A1FGHE例4.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H分別是A1B1、B1C1、C1D1、D1A1的中點(diǎn).求證：平面AEH∥平面BDGFAD∥GF，AD=GF又EH∥B1D1，GF∥B1D1EH∥GF平行四邊形ADGEAE∥DG故得平面AEH∥平面BDGFDCBAD1C1B1A1HGFEozyx略證：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系o-xyz則求得平面AEF的法向量為求得平面BDGH的法向量為顯然有故平面AEH∥平面BDGF小結(jié)：

利用向量的有關(guān)知識(shí)解決一些立體幾何的問題，是近年來很“時(shí)髦”的話題，其原因是它把有關(guān)的“證明”轉(zhuǎn)化為“程序化的計(jì)算”。本課時(shí)講的內(nèi)容是立體幾何中的證明“線面平行”的一些例子，結(jié)合我們以前講述立體幾何的其他問題(如：證明垂直、求角、求距離等)，大家從中可以進(jìn)一步看出基中一些解題的“套路”。

利用向量解題的關(guān)鍵是建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系及寫出有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)。DCBAD1C1B1A1PFE作業(yè)：1.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E、F分別是A1D1

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BB1的中點(diǎn)，問:在邊CC1上是否存在一點(diǎn)P，使AC∥平面EFP？若存在，求出P的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由。NMPDCBA2.在四棱錐P-ABCD中，底ABCD是正方形，且PA=PB=PC=PD=AB=BC=CD=DA,M、N分別是PA、BD上的動(dòng)點(diǎn)，且PM:MA=BN:ND。問：直線MN與平面PBC有什么關(guān)系？請(qǐng)證明你的結(jié)論.再見九州娛樂網(wǎng)www.jiuzhouyule.me九州娛樂網(wǎng)uyd31vau板，每掛車上各放著一把大鐵鍬和四只大木桶。大個(gè)子和小胖子把平車推到淋灰池子旁邊，把所有的木桶全部搬下來擺放好，又各自抄起一把鐵鍬。大個(gè)子問中年男人：“頭兒，挖哪個(gè)池子里的？”中年男人沒有說話，而是走過去從他們手里拿過大鐵鍬來，將兩把鐵鍬相互刮蹭敲打一番后又遞給他們拿著。接著，又挨著個(gè)兒將八只大木桶一個(gè)一個(gè)地拍打拍打，又提起來倒過去磕打磕打以后重新擺放好。做完這些之后，中年男人這才問耿老爹：“這位大哥，你想要哪個(gè)池子里的？”耿老爹說：“就順序從邊上的這個(gè)池子挖吧?！薄昂脟D！”中年男人答應(yīng)一聲，又認(rèn)真吩咐大個(gè)子和小胖子：“裝滿當(dāng)，裝結(jié)實(shí)啊，注意不要鏟上邊邊角角的雜物！”八只大木桶裝得滿滿當(dāng)當(dāng)?shù)牧?。耿老爹按照中年男人說的數(shù)目交了錢，又問這些大木桶的押金幾何，中年男人說：“你剛才交的，已經(jīng)都包含在里邊了，押金是一兩銀子。什么時(shí)候還回來木桶，就如數(shù)退還。您稍等一下，我去開個(gè)收據(jù)?！鞭D(zhuǎn)頭又吩咐大個(gè)子年輕后生：“你去，把那個(gè)最大的攪拌盆刮蹭干凈了拿過來！”說完，進(jìn)屋里開收據(jù)去了。少頃，中年男人又出來了。除了手里捏著收據(jù)之外，他臂彎里還抱來一把泥葉子、一個(gè)泥托子、一把小鏟子、一根長短、粗細(xì)適度的，光光滑滑的木棍和一包用牛皮紙包著的什么東西。耿老爹和耿正見了，趕快上前接過他臂彎里抱著的東西。他騰開手以后，先把收據(jù)遞給耿老爹，說：“這個(gè)收據(jù)請(qǐng)收好了?！比缓?，他又指著那些東西說：“這些個(gè)家伙什兒你們也拿去用吧，用完了和八只木桶一塊兒還回來就行了！”沒等耿老爹道謝，他又指著那把泥葉子說“這把泥葉子很好用！還有，這是一包上好的榆皮毛拉絮，送你們了。把這個(gè)和在石灰膏里充分?jǐn)嚢?，打成的石灰泥特別有韌勁兒，上的墻面既光滑又結(jié)實(shí)耐磨！”耿老爹喜出望外，連聲道謝！耿正兄妹三人各自拿起一件家伙什兒，小青捧起那包榆皮毛拉絮，都等在一邊看著中年男人指揮兩個(gè)助手裝車。耿老爹和中年男人，應(yīng)該說是淋灰池子的頭兒，分別把兩掛平車架起來，大個(gè)子和小胖子把八大桶石灰膏和攪拌盆裝到車上，再用兩根粗實(shí)的麻繩將兩輛車上的大桶簡單綁系一番，然后從