機械優(yōu)化設計-王榮老師

PAGEPAGE27（一）一維搜索方法1.1題目：1.2最優(yōu)解：1.3采用的算法及其算法的基本思想：首先采用進退法確定函數(shù)極值點所在的搜索區(qū)間[a,b],然后采用牛頓法求出極值。進退法的基本思想：按照一定的規(guī)則試算若干個點，比較其函數(shù)值的大小，直至找到函數(shù)值按“高-低-高”變化的單峰區(qū)間。黃金分割法的基本思想：通過不斷的縮短單峰區(qū)間的長度來搜索極小點的一種有效方法。按（）縮小比較大小確定取舍區(qū)間。程序框圖：進退法和黃金分割法流程圖如下：圖1進退法流程圖圖2黃金分割法程序框圖具體程序如下：共3個M文件，文件名分別為：F.m;JINTUI.m;FGOLDEN.mF.m具體程序：%定義f(x)函數(shù)的表達式f(x)=t^2-10*t+36functiony=F(t)y=t^2-10*t+36;JINTUI.m具體程序：function[t,minF]=FGOLDEN(precision,a0,h)[a,b]=JINTUI(a0,h);A=a;B=b;n=1;while0.618^(n-1)>=precisionC=A+0.312*(B-A);D=A+0.618*(B-A);ifC<DifF(C)<F(D)B=D;elseA=C;endelseifF(C)<F(D)A=C;elseB=D;endendn=n+1;endt=A;minF=F(A);FGOLDEN.m具體程序如下：function[x1,x2]=JINTUI(a0,h)a=a0;b=a0+h;while1ifF(a)<F(b)h=-h;a=a+h;b=a-h;ifF(b)<F(b-h)&F(b)<F(a)break;endelsea=b;b=a+h;ifF(a)<F(b)&F(a)<F(a-h)break;endendendx1=a;x2=b;1.6輸出結果:2.1題目：2.2最優(yōu)解：2.3采用的算法及其算法的基本思想：首先采用進退法確定函數(shù)極值點所在的搜索區(qū)間[a,b],然后采用牛頓法求出極值。進退法的基本思想：按照一定的規(guī)則試算若干個點，比較其函數(shù)值的大小，直至找到函數(shù)值按“高-低-高”變化的單峰區(qū)間。黃金分割法的基本思想：通過不斷的縮短單峰區(qū)間的長度來搜索極小點的一種有效方法。按（）縮小比較大小確定取舍區(qū)間。2.4程序框圖：進退法和黃金分割法流程圖如下：圖1進退法流程圖圖2黃金分割法程序框圖2.5具體程序如下：共3個M文件，文件名分別為：F12.m;JINTUI12.m;FGOLDEN12.mF12.m具體程序：%定義f(x)函數(shù)的表達式f(x)=t^4-5*t^3+4*t^2-6*t+60functiony12=F12(t)y12=t^4-5*(t^3)+4*(t^2)-6*t+60;JINTUI12.m具體程序如下：%用進退法找到合適的初始區(qū)間function[x1,x2]=JINTUI12(a0,h)a=a0;b=a0+h;while1ifF12(a)<F12(b)h=-h;a=a+h;b=a-h;ifF12(b)<F12(b-h)&F12(b)<F12(a)break;endelsea=b;b=a+h;ifF12(a)<F12(b)&F12(a)<F12(a-h)break;endendendx1=a;x2=b;FGOLDEN12具體程序如下：%定義黃金分割法函數(shù)模塊function[t,minF12]=FGOLDEN12(precision,a0,h)%初始區(qū)間[a,b],精度precision,為區(qū)間的多少分之一%a0為初始區(qū)間，h為步長[a,b]=JINTUI12(a0,h);A=a;B=b;n=1;while0.618^(n-1)>=precisionC=A+0.312*(B-A);D=A+0.618*(B-A);%以上黃金分割法賦值ifC<DifF12(C)<F12(D)B=D;elseA=C;end%判斷1,取區(qū)間AD，將D點值賦給B或是取區(qū)間CBelseifF12(C)<F12(D)A=C;elseB=D;endend%判斷2n=n+1;%循環(huán)加1endt=A;minF12=F12(A);2.6計算運行結果如下：3.1題目：3.2最優(yōu)解：3.3采用的算法及其算法的基本思想：首先采用進退法確定函數(shù)極值點所在的搜索區(qū)間[a,b],然后采用牛頓法求出極值。進退法的基本思想：按照一定的規(guī)則試算若干個點，比較其函數(shù)值的大小，直至找到函數(shù)值按“高-低-高”變化的單峰區(qū)間。黃金分割法的基本思想：通過不斷的縮短單峰區(qū)間的長度來搜索極小點的一種有效方法。按（）縮小比較大小確定取舍區(qū)間。3.4程序框圖：進退法和黃金分割法流程圖如下：圖3.1進退法流程圖圖3.2黃金分割法程序框圖3.5具體程序如下：共3個M文件，文件名分別為：F13.m;JINTUI13.m;FGOLDEN13.mF13.m:%定義f(x)函數(shù)的表達式f(x)=(t+1)(t-2)^2functiony13=F13(t)y13=t^3-3*t^2+4;JINTUI13.m:%用進退法找到合適的初始區(qū)間function[x1,x2]=JINTUI13(a0,h)a=a0;b=a0+h;while1ifF13(a)<F13(b)h=-h;a=a+h;b=a-h;ifF13(b)<F13(b-h)&F13(b)<F13(a)break;endelsea=b;b=a+h;ifF13(a)<F13(b)&F13(a)<F13(a-h)break;endendendx1=a;x2=b;FGOLDEN13.m%定義黃金分割法函數(shù)模塊function[t,minF13]=FGOLDEN13(precision,a0,h)%初始區(qū)間[a,b],精度precision,為區(qū)間的多少分之一%a0為初始區(qū)間，h為步長[a,b]=JINTUI13(a0,h);A=a;B=b;n=1;while0.618^(n-1)>=precisionC=A+0.312*(B-A);D=A+0.618*(B-A);%以上黃金分割法賦值ifC<DifF13(C)<F13(D)B=D;elseA=C;end%判斷1,取區(qū)間AD，將D點值賦給B或是取區(qū)間CBelseifF13(C)<F13(D)A=C;elseB=D;endend%判斷2n=n+1;%循環(huán)加1endt=A;minF13=F13(2);3.6計算運行結果如下：二無約束優(yōu)化問題1.1題目：1.2最優(yōu)解：1.3采用的算法及其算法的基本思想：將f(x)在x(k)點作泰勒展開，取二次函數(shù)式Φ(x)作為近似函數(shù),以Φ(x)的極小值點作為f(x)的近似極小值點。求二次函數(shù)的極值1.4程序框圖：牛頓法程圖如下：程序：共一個main21.m文件:main21.m具體程序如下：clc;clearall;symsx1x2tpmaxnprecision;%定義變量f21=4*x1^2+x2^2-40*x1-12*x2+136;%定義函數(shù)fx1=diff(f21,x1);%對f求x1偏導求的一階導數(shù);diff(函數(shù),n),求的n階導數(shù)(n是具體整數(shù));%diff(函數(shù),變量名),求對的偏導數(shù);diff(函數(shù),變量名,n)fx2=diff(f21,x2);%對f求x2偏導p=0;g=1;disp('用梯度法求二元二次目標函數(shù)f(X)=4*x1^2+x2^2-40*x1-12*x2+136的最優(yōu)解');fori=1:5%fori=1:5if(p==0)%if(p==0)x1=input('Pleaseentertheinitialstartingpointx1：');x2=input('Pleaseentertheinitialstartingpointx2：');maxn=input('Pleaseenterthemaxmumnumberofinterationsmaxn：');precision=input('Pleaseentertheminimumofthesearchingdirectionprecision：');g=input('Outputtheresultofeachinteration,ifyouwantEnter1,ornot：');fora=1:maxn%fora=1：2：8，則每次取值為1，3，5，7.其中2是步長%但步長為1時可省略即原式為forn=1:1:100f0=subs(f21);%subs(函數(shù)名)將函數(shù)里的變量用已知量代換對f中的變量帶入已知量f1=subs(fx1);%subs(函數(shù)名)將函數(shù)里的變量用已知量代換對fx1中的變量帶入已知量f2=subs(fx2);%subs(函數(shù)名)將函數(shù)里的變量用已知量代換對fx2中的變量帶入已知量if(double(sqrt(f1^2+f2^2))<=precision)%計算梯度模值進行比較%以下為輸出函數(shù)disp('*************************************************************************');disp('Theresult：');disp('Thetotalnumberofinterationsa:');disp('Thevalueofextremumx1：');vpa(x1,5)%vpa函數(shù)來實現(xiàn)數(shù)值精確到小數(shù)點后某一位vpa會根據(jù)精度要求去掉末尾的數(shù)位%或者補0vpa(x1,7)%vpa的結果是符號數(shù)值，可以用于初等運算，不可用于關系運算以小數(shù)形式表示disp('Thevalueofextremumx2：');vpa(x2,5)disp('Thefunctionofextremumvalue：');vpa(f0)p=1;break;elseFF=F21(x1-t*f1,x2-t*f2);%最優(yōu)解為tFFt=diff(FF,t);tt=solve(FFt,'t');%solve命令主要是用來求解代數(shù)方程（即多項式）的解即求解滿足此中默認FFt=0;x1=x1-tt*f1;x2=x2-tt*f2;if(g==1)disp('Thenumberofinterationsa：');disp('Thevalueofx1：');x1=vpa(x1,5)%vpa函數(shù)來實現(xiàn)數(shù)值精確到小數(shù)點后某一位vpa會根據(jù)精度要求去掉末尾的數(shù)位或者補0vpa(x1,5)%vpa的結果是符號數(shù)值，可以用于初等運算，不可用于關系運算以小數(shù)形式表示disp('Thevalueofx2：');x2=vpa(x2,5);disp('Thevalueoffunctionf0：');f0=vpa(f0,5)disp('*************************************************************************');endend%對if進行結束end%對for進行結束if(p==0)disp('PLEASETRYAGAIN');end%if(p==0)end%if(p==0)頭一個end%fori=1:5計算輸出結果：2.1題目：2.2最優(yōu)解：2.3采用的算法及其算法的基本思想：將f(x)在x(k)點作泰勒展開，取二次函數(shù)式Φ(x)作為近似函數(shù),以Φ(x)的極小值點作為f(x)的近似極小值點。求二次函數(shù)的極值2.4程序框圖：(牛頓法程圖如下)2.5具體程序：Main22具體程序如下：%用牛頓法求目標函數(shù)f(x)=(x1^2+x2-11)^2+(x1+x2^2-7)^2的最優(yōu)解clc;symsx1x2precision;f=(x1^2+x2-11)^2+(x1+x2^2-7)^2;v=[x1x2];df=jacobian(f,v);df=df.';H=jacobian(df,v);disp('**********************************************************');disp('用牛頓法求目標函數(shù)f(x)=(x1^2+x2-11)^2+(x1+x2^2-7)^2的最優(yōu)解');disp('**********************************************************');disp('請輸入初始位置點以及精度要求');fprintf('\n');x1=input('選取的初始點坐標點x1:');x2=input('選取的初始點坐標點x2:');precision=input('計算所要求迭代精度為:');x0=[x1,x2]';g0=subs(df,v,x0);H0=subs(H,v,x0);H0=inv(H0);k=0;s=-H0*g0;while(subs(sqrt(s(1,1)^2+s(2,1)^2))>precision)s=-H0*g0;x0=x0+s;g0=subs(df,v,x0);H0=subs(H,v,x0);H0=inv(H0);k=k+1;enddisp('');disp('計算結果如下：');fprintf('迭代的總次數(shù)：\nk=%d\n',k);fprintf('最優(yōu)點坐標:\nx1=%3.4f\n',x0(1));fprintf('最優(yōu)點坐標:\nx2=%3.4f\n',x0(2))f=subs(f,v,x0);fprintf('函數(shù)的極值：\nf=%3.4f\n',f);disp('*************************************************');disp('*************************************************');2.6計算和輸出結果：3.1題目：3.2最優(yōu)解：3.3采用的算法及其算法的基本思想：將f(x)在x(k)點作泰勒展開，取二次函數(shù)式Φ(x)作為近似函數(shù),以Φ(x)的極小值點作為f(x)的近似極小值點。求二次函數(shù)的極值3.4程序框圖：3.5程序：共一個M文件：main23.m：%用牛頓法求目標函數(shù)f(x)=(x1^2+10*x2)^2+5*(x3-x4^2)^2+(x2-2*x3)^2+10*(x1-x4)^4最優(yōu)解clc;symsx1x2x3x4precision;f=(x1^2+10*x2)^2+5*(x3-x4^2)^2+(x2-2*x3)^2+10*(x1-x4)^4;%目標函數(shù)v=[x1x2x3x4];%變量向量df=jacobian(f,v);%梯度df=df.';%非共軛轉置H=jacobian(df,v);%海森矩陣disp('************************************************************************');disp('用牛頓法求目標函數(shù)f(x)=(x1^2+10*x2)^2+5*(x3-x4^2)^2+(x2-2*x3)^2+10*(x1-x4)^4的最優(yōu)解');disp('***********************************************************************');disp('請輸入初始位置點以及精度要求');fprintf('\n');x1=input('選取的初始點坐標點x1:');x2=input('選取的初始點坐標點x2:');x3=input('選取的初始點坐標點x3:');x4=input('選取的初始點坐標點x4:');precision=input('計算所要求迭代精度要求:');x0=[x1,x2,x3,x4]';g0=subs(df,v,x0);H0=subs(H,v,x0);H0=inv(H0);%海森矩陣的逆k=0;s=-H0*g0;while(subs(sqrt(s(1,1)^2+s(2,1)^2)+s(3,1)^2+s(4,1)^2)>precision)s=-H0*g0;x0=x0+s;g0=subs(df,v,x0);%求梯度的值H0=subs(H,v,x0);%求海森矩陣的值H0=inv(H0);k=k+1;enddisp('');disp('計算結果如下：');fprintf('迭代的總次數(shù)：\nk=%d\n',k);fprintf('最優(yōu)點坐標:\nx1=%3.4f\n',x0(1));fprintf('最優(yōu)點坐標:\nx2=%3.4f\n',x0(2));fprintf('最優(yōu)點坐標:\nx3=%3.4f\n',x0(3));fprintf('最優(yōu)點坐標:\nx4=%3.4f\n',x0(4));f=subs(f,v,x0);fprintf('函數(shù)的極值：\nf=%3.4f\n',f);disp('*************************************************');disp('*************************************************');3.6計算結果如下：三約束優(yōu)化問題1.1題目：1.2最優(yōu)解：1.3采用的算法及其算法的基本思想：采用的為外點法來進行計算。其基本思想：外點法是從可行域的外部構造一個點序列去逼近原約束問題的最優(yōu)解。構造函數(shù)進行計算。1.4程序框圖：1.5程序：共2個M文件，分別為：main31.m和fdd31.m.main31.m具體如下：%用外點法求多維有約束目標函數(shù)f(x)=(x1-2)^2+(x2-1)^2極值clc;k=0;M=1;c=10;symsx1x2precision1precision2a1av=[x1x2];%變量向量f=(x1-2)^2+(x2-1)^2;%目標函數(shù)g1=-x1^2-x2;g2=x1+x2-2;disp('****************************************************');disp('用外點法求多維有約束目標函數(shù)f(x)=(x1-2)^2+(x2-1)^2極值');disp('****************************************************');disp('請輸入初始位置點以及精度要求');fprintf('\n');a1=input('選取的初始點坐標點a1:');a2=input('選取的初始點坐標點a2:');precision1=input('計算所要求迭代精度要求precision1:');precision2=input('計算所要求迭代精度要求precision2:');X0=[a1,a2]';while(k<100)q=f+M*((g1)^2+(g2)^2);X1=fdd31(q,x1,x2,X0);norm=subs(sqrt((X1(1)-X0(1))^2+(X1(2)-X0(2))^2));ff0=subs(subs(q,v,X0));ff1=subs(subs(q,v,X1));if(norm<=precision1)&(abs((ff0-ff1)/ff0)<=precision2)break;endX0=X1;M=c*M;k=k+1;enddisp('');disp('計算結果如下：');fprintf('迭代的總次數(shù)：\nk=%d\n',k);fprintf('最優(yōu)點坐標:\nx1=%3.4f\n',X0(1));fprintf('最優(yōu)點坐標:\nx2=%3.4f\n',X0(2));f=subs(f,v,X0);fprintf('函數(shù)的極值：\nf=%3.4f\n',f);disp('********************************************************************');disp('********************************************************************');fdd31.m具體如下：functionsc=fdd31(f,x1,x2,X0)symsv;v=[x1,x2];%變量向量df=jacobian(f,v);%梯度df=df.';G=jacobian(df,v);%海森矩陣eps=0.000001;%精度g1=subs(df,v,X0);G1=subs(G,v,X0);G1=inv(G1);%海森矩陣的逆k=0;s=-G1*g1;s1=subs(sqrt(s(1)^2+s(2)^2));%求初始梯度值while(s1>eps)s=-G1*g1;X0=X0+s;g1=subs(df,v,X0);%求梯度的值G1=subs(G,v,X0);%求海森矩陣的值G1=inv(G1);s1=subs(sqrt(s(1)^2+s(2)^2));k=k+1;end;sc=X0;1.6運算結果：2.1題目：2.2最優(yōu)解：2.3采用的算法及其算法的基本思想：采用的為外點法來進行計算。其基本思想：外點法是從可行域的外部構造一個點序列去逼近原約束問題的最優(yōu)解。構造函數(shù)進行計算。2.4程序框圖：1。.5程序：2.5程序共2個M文件，分別為：main32.m和fdd32.m.Main32.m具體程序：%用外點法求多維有約束目標函數(shù)第二大題第二小題f(x)=(x2^3*((x1-3)^2-9))/(27*sqrt(3))極值clc;k=0;M=1;c=8;symsx1x2precision1precision2a1av=[x1x2];%變量向量f=(x2^3*((x1-3)^2-9))/(27*sqrt(3));%目標函數(shù)g1=x2-x1/sqrt(3);g2=-x1+x2/sqrt(3);g3=x1+x2/sqrt(3)-6;g4=-x1;g5=-x2;h1=x1^2+x2^2+x3^2-25;h2=8*x1+14*x2+7*x3-56;disp('*******************************************************************');disp('用外點法求多維有約束目標函數(shù)f(x)=(x2^3*((x1-3)^2-9))/(27*sqrt(3))極值');disp('*******************************************************************');disp('請輸入初始位置點以及精度要求');fprintf('\n');a1=input('選取的初始點坐標點a1:');a2=input('選取的初始點坐標點a2:');precision1=input('計算所要求迭代精度要求precision1:');precision2=input('計算所要求迭代精度要求precision2:');X0=[a1,a2]';while(k<100)q=f+M*((g1)^2+(g2)^2+(g3)^2+(g4)^2+(g5)^2);X1=fdd32(q,x1,x2,X0);norm=subs(sqrt((X1(1)-X0(1))^2+(X1(2)-X0(2))^2));ff0=subs(subs(q,v,X0));ff1=subs(subs(q,v,X1));if(norm<=precision1)&(abs((ff0-ff1)/ff0)<=precision2)break;endX0=X1;M=c*M;k=k+1;enddisp('');disp('計算結果如下：');fprintf('迭代的總次數(shù)：\nk=%d\n',k);fprintf('最優(yōu)點坐標:\nx1=%3.4f\n',X0(1));fprintf('最優(yōu)點坐標:\nx2=%3.4f\n',X0(2));f=subs(f,v,X0);fprintf('函數(shù)的極值：\nf=%3.4f\n',f);disp('********************************************************************');disp('********************************************************************');fdd32.m的程序具體為：functionsc=fdd32(f,x1,x2,X0)symsv;v=[x1,x2];%變量向量df=jacobian(f,v);%梯度df=df.';%非共軛轉置G=jacobian(df,v);%海森矩陣eps=0.000001;%精度g1=subs(df,v,X0);G1=subs(G,v,X0);G1=inv(G1);%海森矩陣的逆k=0;s=-G1*g1;s1=subs(sqrt(s(1)^2+s(2)^2));%求初始梯度值while(s1>eps)s=-G1*g1;X0=X0+s;g1=subs(df,v,X0);%求梯度的值G1=subs(G,v,X0);%求海森矩陣的值G1=inv(G1);s1=subs(sqrt(s(1)^2+s(2)^2));k=k+1;end;sc=X0;2.6運算結果如下：3.1題目：3.2最優(yōu)解：3.3采用的算法及其算法的基本思想：采用的為外點法來進行計算。其基本思想：外點法是從可行域的外部構造一個點序列去逼近原約束問題的最優(yōu)解。構造函數(shù)進行計算。3.4程序框圖：3.5程序共2個M文件，分別為：main33.m和fdd33.m.main33.m具體程序：%用外點法求多維有約束目標函數(shù)f(x)=1000-x1^2-2*x2^2-x3^2-x1*x2-x1*x3極值clc;k=0;M=1;c=8;symsx1x2x3precision1precision2a1av=[x1x2x3];f=1000-x1^2-2*x2^2-x3^2-x1*x2-x1*x3;g1=-x1;g2=-x2;g3=-x3;h1=x1^2+x2^2+x3^2-25;h2=8*x1+14*x2+7*x3-56;disp('********************************************************************');disp('用外點法求多維有約束目標函數(shù)f(x)=1000-x1^2-2*x2^2-x3^2-x1*x2-x1*x3極值');disp('********************************************************************');disp('請輸入初始位置點以及精度要求:');fprintf('\n'