2022-2023學(xué)年原創(chuàng)全國(guó)高中數(shù)學(xué)真題模擬訓(xùn)練-數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

2022-2023學(xué)年屆全國(guó)名校真題模擬專題訓(xùn)練03數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納

法

三.解答題(二)

51、(廣東省四校聯(lián)合體第一次聯(lián)考)已知函數(shù)

/(x)在(-1,1)上有意義八：)=-1,且任意的X、ye(-1,1)都有

2

/*)+/(>)=/(■戶).

\+xy

(1)若數(shù)列區(qū)｝滿區(qū)1=<，%求“I”).

(2)求l+,—-)+/(—的值.

511n+3/2+1n+2

解：(1)vl+x^>2|xJ又釬!

1+居2

9Y

1+芯

而向)=，(當(dāng))=/(r^)=)+/區(qū))=2/6).

l+x“l(fā)+xnx?

./UHJ_2

.fM-

.??｛/(￡)｝是以-1為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，甄*“)=-2〃T

(2)由題設(shè),有〃o)+/(o)=/(織)=/(0),榭(o)=o

1+0

又一(7,1)初⑶+f(-x)=/(--)=/(0)=0,

\-x?

得/(-X)=-/0),故知/⑶在上為奇函數(shù).由

11_____1

[=[=伏+1)/+2)=

/+3%+1一(女+])(&+2)-1--i一"r~

1------------------------1-----------------------------

伏+1)(%+2)伏+1)也+2)

L）

得“2LJ=〃占）+/（-占）=/（T7-”1）

于是（2Lp））（）

MEf&b+3Z+1=/42-/〃<+2=-1-/n-+^2-

故1+足）+/（1）???+f（2\）+f（」）=0.

511+3〃+1n+2

52、（廣東省五校2022-2023學(xué)年年高三上期末聯(lián)考）已知數(shù)列應(yīng)｝的

前n項(xiàng)和s“滿足：s〃=V4-i）（a為常數(shù)，且"。、"1）.（I）

a-\

求a｝的通項(xiàng)公式；

（n）設(shè)"二""I,若數(shù)列依｝為等比數(shù)列，求a的值;

an

（m）在滿足條件（n）的情形下，設(shè)容=,數(shù)列｛%的前

i+41-%

n項(xiàng)和為Tn.

求證：T>2n--.

n3

解：（I）-1）,「嗎=4

a—\

當(dāng)〃之2時(shí),a=S-S_=-^—a--

nnnxa-\na-I

4，即⑸｝是等比數(shù)列.???/=。優(yōu)7=優(yōu)；.............

4分

（口）由（I）知，2=—+1嚴(yán)：2a若電｝為等比數(shù)

aa（a-V）

列，

貝!J有片二印%，而偽=3,4=衛(wèi)土2也=宜洋土2,

aa

故（些-3獷+華+2,解得〃二...........................7

aa3

分

再將〃二代入得〃=3"成立，

（in）證明：由（n）知q=（9，所以c.=T—+——工+

31./\/i1/\n+l3+1

1:=1―1+1+.----

3"+1------3fl+,-l---------3"+13rt+l-l

所以C.=2_（^Y-；]）＞2_（：一/），

J十1□—1DD

從而7；=q+C?+???+q>[2-《-9]+[2-（*9]+…[2-4-白]

=2"[（；-"）+（"一/）+.??+（"一擊）]

14分

53、(貴州省貴陽六中、遵義四中2022-2023學(xué)年年高三聯(lián)考)

數(shù)列｛4｝中,4=2,an+[=an+cn(c是常數(shù),〃=1,2,3,…),且卬%，G

成公比不為1的等比數(shù)列。

(I)求。的值；

(H)求應(yīng)｝的通項(xiàng)公式。

(Ill)(理做文不做)由數(shù)列｛4｝中的第L3、9、27..........項(xiàng)構(gòu)成

一個(gè)新的數(shù)列｛b，，求Hm等的值。

解：⑴4=2,a2=2+c,a3=2+3c,因?yàn)閝,出,%成等比數(shù)歹I」，

所以(2+c)2=2(2+3c),解得c=0或c=2.

當(dāng)c=0時(shí),4=〃2=。3，不符合題意舍去，故c=2........理4分(文

6分)

(II)當(dāng)〃22時(shí)，由于=cI=2c,......

〃“一%=(〃-De/所以—[1+2+…+5—1)]°=Dj

又％=2,c=2,故。“=2+〃(〃-1)=〃2-〃+2(〃=2,3,.-).當(dāng)門=1時(shí)，上式

也成立,所以%=-+2(〃=12...)……理8分(文12分)

(III)bn=32n?2-3n-l+2,lim姐=9........理12分

8bn

54、(安徽省合肥市2022-2023學(xué)年年高三年級(jí)第一次質(zhì)檢)已知數(shù)

列｛%｝中,《=1,4,4+]=(；)",(〃￡*)

(1)求證:數(shù)列｛%.｝與a4("￡")都是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列

｛4｝前2〃的和以；

(3錯(cuò)數(shù)歹(]｛q｝前2〃的和為，不等式環(huán)心生"<3(1—妨2”)又寸〃

恒成立，求k的最大值。

解：(I)——=(；)”，.?.吐2分

242

數(shù)列4/…，％，…是以1為首項(xiàng)，；為公比的等比數(shù)列；

數(shù)列出嗎,…9?，…是以g為首項(xiàng),；為公比的等比數(shù)列。

4分

i-(|rhi-dri

(2)T2n=(a]+?3+---+a2/1_1)+(iz2+?4+---+a2w)=^―+-----；

1一一1——

22

=3-3-(-)w9

分

(3)

11164

64Q?%“<3(1—砥)=64[3-3(-r](-r<3-3Z:(-r=2"+學(xué)264+左

2〃+於16當(dāng)且僅當(dāng)〃=3時(shí)取等號(hào)，所以64+E6,即心T8,：，k

的最大值為-48

55、(河北衡水中學(xué)2022-2023學(xué)年年第四次調(diào)考)已知等差

2

數(shù)列｛%｝的公差大于0,且內(nèi)必是方程X-14x+45=0的兩根，數(shù)列

也〃｝的前n項(xiàng)的和為，，且s“=1-.

(1)求數(shù)列)｝，也｝的通項(xiàng)公式;

(2)記C,二%也，求證：cn+I<cn.

解：(I)?.通,as是方程)-144+45=0的兩根,且數(shù)列｛/｝的公差

d>0,

「0=5,比=9,公差公￡1^1=2.

5—3

.,.an=a5+(n-5)d=2n-\........3分

又當(dāng)n=l時(shí)，有bi=Si=l-=|

當(dāng)〃之的有勿=s〃一s“=1依一一"),：.三=%之2).

2%3

.?數(shù)列｛>｝是等比數(shù)列，4=|，夕《

...........6分

(n)由(i)知c.”也=亨1,-=竽￡.....9分

.2(2〃+1)2(2/1-1)8(l-n)

??c“+i--------—=3記《。?

?Y+IVc〃..........................12分

56、(河北省正定中學(xué)高2022-2023學(xué)年屆一模)設(shè)數(shù)列｛的｝的各項(xiàng)都

是正數(shù)，且對(duì)任意/7EM,都有端+姆+4+...+〃：=5；,記S,

為數(shù)列｛的｝的前n項(xiàng)和.

(1)求數(shù)列｛力｝的通項(xiàng)公式；

(2)若2=3"+(-1產(chǎn)％.2冊(cè)(%為非零常數(shù),"WN+)，問是否存

在整數(shù)之，使得對(duì)任意/7EAA,都有bn+l>bn.

解：(1)在已知式中，當(dāng)n=l時(shí)，

?a>0/.ai=i...............................................................1分

當(dāng)"22時(shí)，端+W+a；+…+端=S；①

ai+〃、+?；+.?.+%-1=s3(?)

①-②得，C=S：TT=(S“-S〃T)(S〃+S〃T)

??a>0.?.a；=S“+S,i=2Sn-an

??.ai=l適合上式..............3分.

，

當(dāng)n>2時(shí)a\_x=2Sn-i-an-i(3)

(3)~④得-=2(Sn-Sn-1)-3n+an-l=2an-Sn+Sn-1=3n+Sn

-1

,.,an+an-i>0/.an-an-i=l

.?數(shù)列｛an｝是等差數(shù)列，首項(xiàng)為1,公差為1,可得an=n................5

分

Mn-ann[

(2)-：an=n:.bn=3+(-1)'2-2-=3+(-1)-2.T

n+,n+,wfl,n

bn+]-bn=[3+(-l)U-2]-[3+(-l)-2-2]

=2-3M-32(-l)n-,-2">0

/.(-I)"-1-2<(-)n",

⑤.............................................7分

當(dāng)n=2k-1,4=1,2,3，……時(shí)，⑤式即為行《產(chǎn)2⑥

依題意，⑥式對(duì)k=l,2,3……都成立，，入

<1.........................9分

當(dāng)n=2k,k=l,2,3,…時(shí)，⑤式即為4>-《產(chǎn)|⑦

依題意，⑦式對(duì)k=l,2,3，……都成立,

之>-3.......................................................................11分

2

3

???一二〈/1<1,又；1工0

2

???存在整數(shù)人二-1,使得對(duì)任意neN,都有

bn+l>bn..........................12分

57、已知數(shù)歹的前〃項(xiàng)和為，對(duì)一切正整數(shù)〃，點(diǎn)勺(〃,s,)都在

函數(shù)/3)=/+2］的圖像上，且過點(diǎn)K(〃,S“)的切線的斜率為心.

(1)求數(shù)列｛“”｝的通項(xiàng)公式.

(2)若仇=2%…求數(shù)列的｝的前〃項(xiàng)和r”.

(3)設(shè)。=｛#=兒,〃€V｝,寵=｛小=2%,〃￡M｝,等差數(shù)列｛C“｝的任

一項(xiàng)q,EQCR，其中j是。cR中的最小數(shù)，110<c10<115,

求9｝的通項(xiàng)公式.

解：（1）?.?點(diǎn)匕5，S“）都在函數(shù)f（x）=x2+2x的圖像上，

S“=w2+2n(nwN"),

當(dāng)nN2時(shí),4=S“-S“T=2"L

當(dāng)n=1時(shí)，〃?=H=3滿足上式，所以數(shù)列K}的通項(xiàng)公式為

a?=2n+\.....3分

(2)由/(x)=x2+2x求導(dǎo)可得/(x)=2x+2

過點(diǎn)P〃(〃,S”)的切線的斜率為kn,:.kn=2n+2.

kn

/.bn=2a=4?(2〃+I)?4".

.\Tn=4x3x4'+4x5x42+4x7x4?+…+4x(2〃+1)x4"①

由①x4,得

4Tn=4x3x4?+4x5x4、+4x7x44+…+4x(2〃+l)x4"i②

①-②得：

-3Tn=4[3x4+2x(4?+43+...+4")-(2〃+l)x4"[

4?(1一4"T)

=43x4+2x-(2n+l)x4M+,

1-4

.T=^11.4〃+2—3

?n99................................................

7分

(3)Q={x|x=2n+2,neN,，],R={x\x=4n+2,ne,:.Qr>R=R.

又???qwQcR,其中J是QcH中的最小數(shù)，「.q=6.

,/{ca}是公差是4的倍數(shù)，「.%=46+6QneN*).

110<4w+6<115

，解得m=27.

又?.TlO<Cio<115t

jnwN"

所以Go=114,

設(shè)等差數(shù)列的公差為d,則公音=歹=12,

:.cn=6+（w+1）x12=12/1-6,所以｛qj的通項(xiàng)公式為cn=12〃-6.........

12分

58、（河北省正定中學(xué)2022-2023學(xué)年年高三第五次月考）已知s“是

、，3

數(shù)列｛叫的前〃項(xiàng)和，4=了a2=2,且S〃+]-3s〃+2S,r_[+1=。，其

中n>2,neN”.

（1）求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式為；

S—n

（2）（理科）計(jì)算師二的值.（文科）求s”.

解:①???SM-3S”+2S,i+l=0nS“z-S”=2（S”-Si）-l

=>an+t=2afl-l（n>2）----------2分

又4=5,%=2也滿足上式,二.%=2a“-l（〃wN*）n4+1-1=2（々〃-1）

（neNK）

??數(shù)列k.-i）是公比為2,首項(xiàng)為4-1=；的等比數(shù)列

-------------4分

-1=1x2-=r-2

----------------6分

②S“=4+生+...+q=QT+1）+（2°+1）+（2+1）+...+（2‘T+1）

②S“=4+出+—+%

=（2-1+1）+（20+1）+（2'+1）+...+（2—+1）

=（2-1+2°+2'+...2M-2）+n=^^-+n---------------（9分）

1」

于是lim"=lim嘉工=癡"=2-----------------（12分）

ani2"-'+21.

2T

59、(河南省開封市2022-2023學(xué)年屆高三年級(jí)第一次質(zhì)量檢)

1

函數(shù)/⑺對(duì)任意xWR都有f(x)+f(l-x)=-

(1)求/(：)和/(3+八巴當(dāng)伽￡N)的值；

2nn

(2)數(shù)列伍〃}滿足心=f(o)+fd)+/(2)+…+/(上當(dāng)+/⑴,求數(shù)列(〃〃}

nnn

的通項(xiàng)公式。

(3)令a=7一,7；=廳+醫(yī)+睨+…+■S“=32-”試比較Tn與

4凡-1n

Sn的大小。

解：(1)令x=g的嗎)=；

令x=1版山+/(I--)=卜/(-)+/(—)

nnn2nn

(2)=/(0)+/(I)+-..+/(—)+/(I)

nn

又為=/(1)+/(—)+-??+/(-)+/(0),兩式相加

nn

1n—\

2a=[/(O)+/(I)]+[/(-)+/(—)]+?--+[/(1)+/(O)]

nnn

_n±\_

~~2~

anN*)

〃n+l故數(shù)列1是等差數(shù)列

⑶“〃=/7,

4?！?1n

T“=b；+…+b；=16(1+：+]+…+4

2jn

<16[1+---+----+…+-------)

1x22x3n(n-1)

=16[1+(1-1)+(1_1)+...+(_L__1)]

=16（2--）

n

XSn

60、已知數(shù)列｛%｝中4=3嗎=5,其前n項(xiàng)和為滿足

S,f2=2Si2〃T5N3)?

(1)試求數(shù)列｛叫的通項(xiàng)公式.

(2)令2=上二,7；是數(shù)列色｝的前n項(xiàng)和，證明：7；,<1.

4乜用6

(3)證明:對(duì)任意的帆/0,1,均存在%wM,使得(2)中的

k6)

Tn＞加成立.

解：（1）由S.+S.2=2SM+2"T5N3）得S“—SN=S“_「S〃_2+2"T（〃N3）

???4=S”-，T，..q=a"T+2"T（〃N3）,即41az=2"|（九N3）

又%-q=5-3=2（〃N2）,「.凡-〃“T=2"T（〃22）

4=（4-4"）+（4T-（-2）+???+（七-4）+4

=2小+2〃-2+2"3+…+7+3=2"-2""+3=2”+1

1-2

故數(shù)列上｝的通項(xiàng)公式為q=2〃+1................(4分)

2〃一|_}_（_i______

（2）?.也=

一（2'+1）（2向+1）一512"+1-2向+J

(3)證明：由(2)可知小出一七

若q>〃，，則得U--一二〕>如化簡(jiǎn)得上處>—

“2（32n+l+lJ132M+,+l

1,aa

八八w+,

v/nG（O,-）/.1-6/71>0,.-.2>-------l.-.n>log2（-------1）-1

61-6m1-6〃t

當(dāng)log,（------1）-1<1,即0<〃2<，時(shí)，取〃o=l即可..........

l-6/zz15

（10分）

當(dāng)log2（----1）—1>1,艮口即—W〃?<一時(shí)，則

l-6/w156

記log2（—7——1）-1的整數(shù)部分為S,取%=s+l即可，

1一6〃？

綜上可知，對(duì)任意的好（0,3均存在%￡但使得時(shí)（2）中的

成立（12分）

61、（黑龍江省哈爾濱九中2022-2023學(xué)年年第三次模擬考

試）已知/（幻=-、門工數(shù)列｛”的前n項(xiàng)和為S”，點(diǎn)得@,-'）在

vr《山

曲線y=F（X）上N"）且％=1,4.>0.

（1）求數(shù)列｛?！保耐?xiàng)公式；

（2）數(shù)列｛a｝的前n項(xiàng)和為且7；滿足與=4+16〃2-8〃-3,設(shè)定

an%.1

仇的值使得數(shù)列色｝是等差數(shù)列；

（3）求證：Sn>—A/4?!+1-l,nwN".

二數(shù)列｛上｝是等差數(shù)列，首項(xiàng)公差d=4

.?二=1+4(〃-1)

..-a2=----1---

〃n4〃-3

??4>o

1

-an=(ne/V*)..............(4分)

(2)由an=J，珥=16/_8〃—3

得(4〃-3)7；+1=(4/14-1)7；+(4/2-3)(4〃+1)

?，+iT”_]

4/1+14/1-3

T

n7]+/?-1

4〃一3

「?7；=(4〃-3)(7；+〃-1)

若也｝為等差數(shù)列，則刀-1=0,1=1即d=1

「也=8〃-7nwN*

⑶/"

2二2

2,4〃一344rl-3+J4〃+1

_J4〃+1-J4〃-3

2

??Sn=al+a2H-----Fan>—(V5—1)+(V9—V5)

+…+(J4〃+1—j4〃-3'i=—J4〃-1-1

2

>—V4n+1=1neN*............12分

2

62、(黑龍江省哈爾濱三中2022-2023學(xué)年年高三上期末)已知二次

函數(shù)=?+法的圖象過點(diǎn)(-4n,0)且((o)-2〃,N*)

(1)求/⑶的解析式；

(2)若數(shù)歹滿足」一=/'('■),且q=4,求數(shù)列｛勺｝的通項(xiàng)公式；

%4

(3)對(duì)于(2)中的數(shù)列&｝，求證5幾不<2.

*=1

答案：(1)f(x)=~^+2nx,(x￡N*)

(2)?！?—

(”乎

(3)略

63、(本題滿分12分)(黑龍江省哈爾濱三中2022-2023學(xué)年年高

三上期末)已知a=(cosgx),l卜=(/(x),2singx))a〃Z?,數(shù)列

⑸｝滿足q=g,%=/(4)5￡N*)

(1)證明：

(2)證明：%+「?%>—；

(3)設(shè)r,是數(shù)列⑷｝的前n項(xiàng)和，判斷。與〃-3的大小，并說明理

由。

答案：(1)略

(2)略

(3)Tc>n-3

64、(黑龍江省哈師大附中2022-2023學(xué)年屆高三上期末)已知

數(shù)列同｝的前n項(xiàng)和為Sn,并且滿足ai=2rnan+i=Sn+n(n+1).

(1)求數(shù)歹」｛〃〃｝的通項(xiàng)公式凡；

(2)設(shè)7；為數(shù)列｛墨｝的前〃項(xiàng)和，求卻

解：(1)nan^-(??-\)an=an+2n,an^-an=2(n>2)

ax=2,a2=.?1+2,a2—aK=2,所以｛〃“｝等差〃〃=2〃

/xa2nn23n

(2o)—n=—=^zr，7；,=1+-+—+--+—

112n-\n

/二5+乒+…+kF

/=2—(〃+2心7；=4-翳

乙乙J

65、(黑龍江省哈師大附中2022-2023學(xué)年屆高三上期末)已知二

31

次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的圖象頂點(diǎn)坐標(biāo)是g，-N,且f(3)=2

(1)求丫=f(x)的表達(dá)式,并求出f⑴,f⑵的值；

(2)數(shù)歹U&｝,也),若對(duì)任意的實(shí)數(shù)

x都滿足g(x)?/(%)=+b〃+,其中g(shù)(x)是定義在實(shí)

數(shù)集R上的一個(gè)函數(shù)，求數(shù)列｛為｝,｛"｝的通項(xiàng)公式；

22

(3)設(shè)圓C“:(x-an)+(y-bn)=若圓c〃與圓卜切，億｝是各項(xiàng)都

是正數(shù)的等比數(shù)列，設(shè)S”是前〃個(gè)圓的面積之和，求lim%.

4->00尸

解：(1)f(x)=a(x-^)2

3i

因9(3)=2,所以。(3-耳)2-7=2n〃=1

/(X)=(X-^)2-4=X2-3A+2A/(l)=0,/(2)=0

24

M+,

(2)令x=1n〃“+b〃-1=0,x=2=>2an+bn+2=0,

b=2

(3)(a向-%尸+一用-a)2=(2*2-2向尸+(2””一2同尸=22*3

2n+32n+5

G+1+/=22,4+2+5+1=22g=2,.*.Sn=7TT；

?二S“=1億2+4+…+乙2)=町2[]+/+/+…+/(〃T)]

]+/+…+產(chǎn)14

lim=lim江?=71----=一乃

66、(黑龍江省哈師大附中2022-2023學(xué)年屆高三上期末)已知數(shù)列

｛an｝滿足31=5,32=5,an+i=加+6an-i(n之2且nWN)

(1)求出所有使數(shù)列他向+而/成等比數(shù)列的4值，并說明理由；

(2)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

(3)求證：—+—+eA^*).

2

解：(1)〃“+]+Aafl=(1+2)[^ZJ+-^—an_l],—^—=A^>2+2-6=0,=>2=3B￡2

1+A1+4

(2)a?=3f,-(-2)fl

(3)當(dāng)〃=24時(shí)，

證明_L+J_=-----!-----3314

+32-2”a\ik

-a.321+221322+工22K3-2

2

4-32A---22A

24

o31

3打_%以+，2?匕”3

22

=2?“'一62?”)>0(732A7”791、

>----->1)

2622a12124

1444491

當(dāng)〃=2A時(shí),1+H--<--1---1--1--<---=—

a9819?982

%。2n

當(dāng)〃=2火+1時(shí),」-+」_1111

+…+-<-+…+--<—

a\a2an“I2

67、（湖北省八校高2022-2023學(xué)年第二次聯(lián)考）已矢啜冽｛叫，低｝

滿足4=2?〃=1+的”+1也=4-1,也｝白編1〃項(xiàng)和為工工=§2”-S”.

（I）求數(shù)列也｝的通項(xiàng)公式；

（n）求證：&】＞7；；

（?。┣笞C：當(dāng)心2時(shí)，s戶筌.

解（1）由仇=%-1得%=4+1代入2q=l+%%得2（4+1）=1+（々+1）（%+1）,

整理，得2%+加=0,從而有p!--1=1,=%-1=2-1=1,

如"

.??［；］是首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列，.』=〃，即

b=-

nn

(2)?s〃=i+i3,1

=----------1------------1-???+—

n+\〃+2In

n+,〃+2〃+32n2n+l2〃+2

1

"1=-------+--------------->--------+-=---0----,--(-?-.-?-2-〃-+lv2〃+2)

2n+\2n+2n+\2n+22n+2〃+l

(8

分）

22-S.,+5^,+S1

(3):〃i：.Sr=Sr2U-S2?.2+--+S2-Sl=T2nt+T2H2+---+T2+Tl+S1.

由(2)知&2…"，...7；=如=1,7>5，

7,I

S?.=J+小+…+4+7；+s2(〃_1)7；+7；+￡=-(n-l)+-+l

7〃+ll

12

...........(14分)

68、(湖北省三校聯(lián)合體高2022-2023學(xué)年屆2月測(cè)試)已知數(shù)列｛叫

的首項(xiàng)4=1，22=3,前〃項(xiàng)和為S”，且S.+KS八S“7分別是直線/上的

點(diǎn)A、B、C的橫坐標(biāo)，點(diǎn)B分無所成的比為％i1，設(shè)々=1

%

。+1=1。82（?！?1）+4。

⑴判斷數(shù)列｛/+】｝是否為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論；

■“-I

A〃+1〃

⑵設(shè)C”=——，證明：fG<1。

4*y

⑴由題意得建二架a―3分

a

,*n+\+1=2(4+1)

?.?數(shù)列｛見+1｝是以q+l=2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)

列。.........6分

n

[貝」勺1+1=2”「?an=2-l()]

⑵由勺=2”-1及%=log2(an+1)+"得%="+〃

/.............................................8

”2

分

如「I

則c=4-=-----T----二」------!_............10分

“(2〃-1)(2向一1)2n-l2n+,-1

高<112分

69、（湖北省鄂州市2022-2023學(xué)年年高考模擬）已知函數(shù)尸1一—二

x+2

的圖象按向量用=（2,1）平移后便得到函數(shù)個(gè)）的圖象，數(shù)列｛叫滿

足勺*(%)(n>2,nlN*).

（I）若4《，數(shù)列他｝滿足“一，求證：數(shù)列⑥是等差數(shù)列;

5an-\

（n）若q=|,數(shù)列0｝中是否存在最大項(xiàng)與最小項(xiàng)，若存在，

求出最大項(xiàng)與最小項(xiàng)，若不存在，說明理由；

(ni)若1<4<2,試證明：\<an+l<an<2.

解：/(x)=l--^-+1=2-1則…?（皿前*）.

x-2+2x

一一俞*）???數(shù)列電｝是等差數(shù)列.

（n）由（I）知，數(shù)列（包｝是等差數(shù)列，首項(xiàng)4=七=一"公差

ai-12

為1,則其通項(xiàng)公式+=，

由勿=」7得。“=1+!=1+」7，故q=1+不二?

七一1"〃」2〃一7

2

構(gòu)造函數(shù)y=l+/則y=-＜。.函數(shù)丫=1+在區(qū)間

「2x-7（J2x-7）22x-7

（一8三）,上為減函數(shù).

22

.?.當(dāng)時(shí)，尸1+三＜1,且在（-舊）上遞減，故當(dāng)〃=3時(shí)，2取最

22x-72

小值&=-1；當(dāng)工二時(shí)，,且在《日)上遞減，故當(dāng)〃=4

2lx-12

時(shí)/“取最大值"=3.故存在.

(m)先用數(shù)學(xué)歸納法證明1<q,<2,再證明％<4.

①當(dāng)時(shí)，1<q<2成立，

②假設(shè)"二Z時(shí)命題成立,即1</<2,

則當(dāng)n=k+1時(shí),^<—<i,%+產(chǎn)2,貝！h<%]<2,故當(dāng)n

2《ak2

=Xr+l時(shí)也成立.

綜合①②有,命題對(duì)任意/?iN*時(shí)成立，即i</<2.下證-<凡.

?'f=2」_q=2_(4+-!-)<2_21，=0,?綜上所述：

為4V%

【總結(jié)點(diǎn)評(píng)】本題集數(shù)列、向量、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式于一體，

充分展示了《考試大綱》〃構(gòu)造有一定深度和廣度的數(shù)學(xué)問題，

要注重問題的多樣化，體現(xiàn)思維的發(fā)散性〃的題目，這需要我們

加強(qiáng)這一方面的訓(xùn)練，需要從多層次、多角度去思考問題.

70、(湖北省黃岡市麻城博達(dá)學(xué)校2022-2023學(xué)年屆三月綜合測(cè)試)

把正奇數(shù)數(shù)列｛2〃-1｝中的數(shù)按上小下大、左小右大的原則排成如下三

角形數(shù)表：

1

35

7911

設(shè)因是位于這個(gè)三角形數(shù)表中從上往下數(shù)第，行，從左往右數(shù)第J

個(gè)數(shù)。

(I)若4皿=2007,求的值；

(n)已知函數(shù)/(/)的反函數(shù)尸(x)=8”V(x>0)為,若記三角形數(shù)表

中從上往下數(shù)第〃行各數(shù)的和為2,求數(shù)列{“〃)}的前〃項(xiàng)和S.。

解：(I),.三角形數(shù)表中前團(tuán)行共有1+2+3+...+吁皿羅個(gè)數(shù)，

???第加行最后一個(gè)數(shù)應(yīng)當(dāng)是所給奇數(shù)列中第皿產(chǎn)項(xiàng)，即

2?^^一1=療+機(jī)

2

因此，使得〃=2007的/〃是不等式加+6-1N2007的最小正整數(shù)解。

由m2+m—}>2007得m2+m—2008>0,

小二"標(biāo)四>一"匹=44。,…。

22

第45行第一個(gè)數(shù)是4+44-1+2=1981

,...W=2007-1981+1=14

2

(n)???廣(幻=8N3。>0),.?.〃刈=6}V^(x>0)o

???第〃行最后一個(gè)數(shù)是〃2十〃—1,且有〃個(gè)數(shù)，若〃2十〃_］將看成第〃行

第一個(gè)數(shù)，則第〃行各數(shù)成公差為-2的等差數(shù)列，故

2=〃W+〃―1)+(一2嚴(yán)30=〃3。.*./(/??)=麻=〃(夕。

故S?4+2^J+3^J+,,,,{H。用錯(cuò)位相減法可求得

/］、〃

Sn=2-(n+2)-。

71、(湖北省黃岡市2007年秋季高三年級(jí)期末考試)已知各項(xiàng)均為正

數(shù)的數(shù)列｛滿足-q+必”-2a：=0(〃￡N")且&+2是％、4的等差中項(xiàng)

(1)求數(shù)列以｝的通項(xiàng)公式明；

(2)若“=々〃log1/,、=〃+%+……+b,求使“+〃?2"X>50成立的正

2n

整數(shù)〃的最小值。

解：(1)??F3?4-2〃；=0,.?.(%+4)(%-2%)=0,

???數(shù)列｛叫的各項(xiàng)均為正數(shù)，.?.(一+凡)>0,.?4+「2%)=0,

即—=2q(〃EN*)數(shù)列｛風(fēng))是以2為公比的等比數(shù)列。

v?3+2是。2嗎的等差中項(xiàng)，???%+。4=2%+4

/.2%+8。]=8q+4,/.%=2,

..數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為4=2〃

(2)由(1)及勿=%Mog[a,得a=-〃?2",(6分)

2n

???sn=b,+b2+……力=_2_2.22_3.23_4.24----〃.2〃①

234

2JW=-2-2?2-3?2----向②

②-①得,=2+2?+23+24+…=(1一〃)?2向一2

要使%+〃?2向>50成立，只需2向-2>50成立，gP2n+I>52,n>5

.』+九位向>50成立的正整數(shù)n的最小值為5。(12分)

72、(湖北省荊門市2022-2023學(xué)年屆上期末)已知?！?,且-1,

數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和為s.，它滿足條件=l=i—L數(shù)列｛么｝中，

s“a

用=21g，。

(1)求數(shù)歹U依｝的前〃項(xiàng)和7.；

(2)若對(duì)一切〃￡乂都有包<%,求〃的取值范圍。

解：(1)=

5”aa-1

當(dāng)〃=1時(shí)，al=Sl=^-^-=a......2分

a-\

出”>>?口升〃ss一a(an1-1),,

芻〃22時(shí)，a〃=S「S“T----------:-----------------:-=〃，

a-ia-\

n

an-a(neN")...............4分

此時(shí)勿=a"lga"=an-\^an-n-an\ga,

23n

TR="+b?+.......bn=(a+2a+3a+........+na)-\ga.....6分

2

設(shè)un=a+2a+3/+........+,

n1

/.(1-a)un=a+a?+/+.......+a_加產(chǎn)1=—-------na^

a-\

也向a(優(yōu)-1),產(chǎn)田。”一1)一

。一訴’1口力一百四骸8分

nn+{

(2)由"<bn+l<=>na1ga<(n+\)aIga可得

1°當(dāng)a>l時(shí)，由lga>0可得〃,v—<l(neA/*),?>l,

n+\〃+l

??.a>，-對(duì)一切〃eM都成立，.二此時(shí)的解為a>\.......10分

〃+1

2°當(dāng)0<〃<1時(shí)，由IgavO可得n>(n+l)a,a<—,

〃+1

，—>—(nG?V*),O<a<l,0<a</—對(duì)一切都成立,

n+12n+\

???此時(shí)的解為

0<a<—.