四川省廣元市旺蒼縣2023-2024學(xué)年九年級(jí)下學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

旺蒼縣2024年春九年級(jí)學(xué)業(yè)水平模擬測(cè)試數(shù)學(xué)說明：1．全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．2．本試卷分為第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分，共三個(gè)大題26個(gè)小題．3．考生必須在答題卡上答題，寫在試卷上的答案無效．選擇題必須使用2B鉛筆填涂答案，非選擇題必須使用0.5毫米黑色墨跡簽字筆答題．4．考試結(jié)束，將答題卡和試卷一并交回．第Ⅰ卷選擇題一、選擇題(每小題3分，共30分)下列每小題所給的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是最符合題意的，1.下列右邊的四個(gè)圖形中，不能由圖形在同一平面內(nèi)經(jīng)過旋轉(zhuǎn)得到的是（）A.① B.② C.③ D.④【答案】C【解析】【分析】本題考查了生活中的旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象，解題的關(guān)鍵是掌握把一個(gè)圖形繞著某一點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度的圖形變換．【詳解】解：①由順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，故①正確；②由逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，故②正確③由無法旋轉(zhuǎn)得到，故③錯(cuò)誤；④由順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，故④正確．故選：C．2.下列說法正確的是（）A.“守株待兔”是必然事件B.“概率為0.0001的事件”是不可能事件C.任意擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣20次，正面向上的次數(shù)一定是10次D.“在一個(gè)只裝有5個(gè)紅球的袋中摸出1個(gè)球是紅球”是必然事件【答案】D【解析】【分析】本題考查了事件的分類，正確掌握必然事件，不可能事件及隨機(jī)事件的定義是解題的關(guān)鍵．一定發(fā)生的事件是必然事件，一定不能發(fā)生的事件是不可能事件，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件是隨機(jī)事件，根據(jù)定義逐項(xiàng)判斷，即可解題．【詳解】解：A、“守株待兔”是隨機(jī)事件，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；B、“概率為0.0001的事件”是隨機(jī)事件，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；C、任意擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣20次，正面向上的次數(shù)一定是10次是隨機(jī)事件，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；D、“在一個(gè)只裝有5個(gè)紅球的袋中摸出1個(gè)球是紅球”是必然事件，故本選項(xiàng)正確，符合題意；故選：D．3.如圖，量角器外沿上有三點(diǎn)A，P，Q，它們所表示的讀數(shù)分別是，，，則的大小是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查的是量角器的使用，圓周角定理的應(yīng)用，本題先連接，再求解，再利用圓周角定理可得答案．【詳解】解：如圖所示，連接，依題意，，∴，故選：C．4.將方程配方成的形式，下列配方結(jié)果正確的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先二次項(xiàng)化系數(shù)為1，將常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊，然后方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半，即可求解．【詳解】解：，二次項(xiàng)化系數(shù)為1得：，移項(xiàng)得：，配方得：，整理得：，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了利用配方法解一元二次方程，熟練掌握配方法是解題關(guān)鍵．5.2023年9月23日至10月8日，第19屆亞洲運(yùn)動(dòng)會(huì)在杭州舉行，本屆亞運(yùn)會(huì)的吉祥物是一組名為“江南憶”的機(jī)器人，分別取名“琮琮”“宸宸”和“蓮蓮”，某商戶7月份銷售吉祥物周邊產(chǎn)品10萬個(gè)，9月份銷售萬個(gè)．設(shè)該商戶吉祥物周邊產(chǎn)品銷售量的月平均增長(zhǎng)率為，則可列方程為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】．根據(jù)“某商戶7月份銷售吉祥物周邊產(chǎn)品10萬個(gè)，9月份銷售萬個(gè)”即可得到一元二次方程．【詳解】解：設(shè)該商戶吉祥物周邊產(chǎn)品銷售量的月平均增長(zhǎng)率為，由題意可得，，故選：A【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程的應(yīng)用，讀懂題意，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．6.對(duì)于反比例函數(shù)，下列說法中錯(cuò)誤的是（）A.圖象與坐標(biāo)軸無交點(diǎn) B.圖象分布在一、三象限C.圖象關(guān)于直線對(duì)稱 D.y隨x的增大而減小【答案】D【解析】【分析】本題考查反比例函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)．根據(jù)題目中的函數(shù)解析式和反比例函數(shù)的性質(zhì)，可以判斷各個(gè)選項(xiàng)中的說法即可判斷．【詳解】解：∵反比例函數(shù)，∴該函數(shù)圖象第一、三象限，故選項(xiàng)B正確；反比例函數(shù)圖象坐標(biāo)軸無交點(diǎn)，故選項(xiàng)A正確；函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故選項(xiàng)C正確；在每個(gè)象限內(nèi)，隨的增大而減小，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；故選：D．7.在2023年中考體育考試前，小康對(duì)自己某次實(shí)心球的訓(xùn)練錄像進(jìn)行了分析，發(fā)現(xiàn)實(shí)心球飛行路線是一條拋物線，若不考慮空氣阻力，實(shí)心球的飛行高度y（單位：米）與飛行的水平距離x（單位：米）之間具有函數(shù)關(guān)系，則小康這次實(shí)心球訓(xùn)練的成績(jī)?yōu)椋ǎ〢.14米 B.12米 C.11米 D.10米【答案】B【解析】【分析】根據(jù)鉛球落地時(shí)，高度，把實(shí)際問題可理解為當(dāng)時(shí)，求x的值即可．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，則，解得（舍去）或．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用中函數(shù)式中變量與函數(shù)表達(dá)的實(shí)際意義，需要結(jié)合題意，取函數(shù)或自變量的特殊值列方程求解是解題關(guān)鍵．8.如圖，矩形的外接圓O與水平地面相切于點(diǎn)A，已知圓O的半徑為4，且．若在沒有滑動(dòng)的情況下，將圓O向右滾動(dòng)，使得O點(diǎn)向右移動(dòng)了，則此時(shí)與地面相切的弧為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】此題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及圓的周長(zhǎng)公式等知識(shí)，得出O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的周數(shù)是解題關(guān)鍵．根據(jù)圓的周長(zhǎng)公式求出圓的周長(zhǎng)以及圓轉(zhuǎn)動(dòng)的周數(shù)，根據(jù)題意分別求出和的長(zhǎng)，比較即可得到答案．【詳解】解：∵圓O半徑為4，∴圓的周長(zhǎng)為：，∵將圓O向右滾動(dòng)，使得O點(diǎn)向右移動(dòng)了，∴，即圓滾動(dòng)8周后，又向右滾動(dòng)了，∵矩形的外接圓O與水平地面相切于A點(diǎn)，，∴，，∴此時(shí)與地面相切的弧為，故選：A．9.如圖，的內(nèi)切圓與相切于點(diǎn)D、E、F，已知，則的長(zhǎng)是（）A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】連接，，，，，．根據(jù)題意可知，且，，，再根據(jù)求出，接下來設(shè)，根據(jù)切線長(zhǎng)定理得出，，，求出，再根據(jù)勾股定理求出，結(jié)合，可知是的垂直平分線，然后根據(jù)求出，進(jìn)而得出答案．本題主要考查了圓內(nèi)切三角形的性質(zhì)，切線的性質(zhì)，勾股定理，線段垂直平分線的判定，切線長(zhǎng)定理等，根據(jù)面積相等求出半徑是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：連接，，，，，．根據(jù)題意可知，且，，，∵∴∴是直角三角形∴∴，即，解得．設(shè)，則，，，得，解得，．在中，，，，是的垂直平分線，．，即，解得，．故選：C．10.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，且．若將此拋物線先向左平移5個(gè)單位，再向下平移n個(gè)單位，所得新拋物線與x軸兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為4，則n的值為（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】B【解析】【分析】本題考查了拋物線與x軸交點(diǎn)問題及拋物線的平移、一元二次方程根于系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．設(shè)兩根為，根據(jù)得到，由題意得出當(dāng)時(shí)，拋物線上兩點(diǎn)之間距離為4，得，解方程求出即可．【詳解】解：拋物線，當(dāng)時(shí)，設(shè)兩根為，則，，，，，此拋物線先向左平移5個(gè)單位，再向下平移n個(gè)單位，所得新拋物線與x軸兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為4，即當(dāng)時(shí)，拋物線上兩點(diǎn)之間距離為4，設(shè)兩根為，則，，，，，，解得：．故選：B．第Ⅱ卷非選擇題二、填空題：(本大題共6個(gè)小題，每小題4分，共24分)把正確答案直接寫在答題卡相應(yīng)的橫線上．11.在一個(gè)不透明的袋子中有50個(gè)除顏色外均相同的小球，通過多次摸球試驗(yàn)后，發(fā)現(xiàn)摸到白球的頻率約為，估計(jì)袋中白球有______個(gè)．【答案】【解析】【分析】用袋中球的總個(gè)數(shù)乘以摸到白球的頻率，據(jù)此可得．【詳解】解：估計(jì)袋中白球有個(gè)，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題主要考查了利用頻率估計(jì)概率，本題利用了用大量試驗(yàn)得到的頻率可以估計(jì)事件的概率．關(guān)鍵是根據(jù)白球的頻率得到相應(yīng)的等量關(guān)系．12.一元二次方程的根是_________．【答案】【解析】【分析】本題考查的是一元二次方程的解法，直接利用開平方法解方程即可．【詳解】解：∵，∴或，解得：，故答案為：13.如圖，為半圓的直徑，且，半圓繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)的位置，則圖中的陰影部分的面積為______．【答案】【解析】【分析】本題主要考查了扇形的面積的計(jì)算，根據(jù)“陰影部分的面積=扇形的面積+以為直徑的半圓的面積-以為直徑的半圓的面積=扇形的面積”即可求解．【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，故答案為：．14.在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱所得新拋物線的解析式為_________．【答案】【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，熟練掌握利用頂點(diǎn)坐標(biāo)求拋物線解析式是解題的關(guān)鍵．先求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，再利用關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征得到點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)-1,1，然后再利用頂點(diǎn)式寫出對(duì)稱后的拋物線解析式．【詳解】解：，拋物線的頂點(diǎn)為，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為-1,1，拋物線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱所得新拋物線的解析式為，故答案為：．15.如圖，A（a，b）、B（－a，－b）是反比例的數(shù)的圖象上的兩點(diǎn)，分別過點(diǎn)A、B作y軸的平行線，與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)C、D，若四邊形ACBD的面積是8，則m、n之間的關(guān)系是________．【答案】【解析】【分析】連接，，根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)可得點(diǎn)在線段上，且，由點(diǎn)是反比例函數(shù)的圖象上的點(diǎn)，可得，由軸，可得點(diǎn)的坐標(biāo)為，進(jìn)而可得的長(zhǎng)，從而可以判斷四邊形是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，然后根據(jù)三角形的面積公式可得，整理得：．【詳解】解：連接，，如圖，、關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且是反比例函數(shù)的圖象上的兩點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且，是反比例函數(shù)的圖象上的點(diǎn)，，∥y軸，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，同理可得，，四邊形是平行四邊形，，，，整理得：．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義、反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、平行四邊形的判定與性質(zhì)、三角形面積等知識(shí)，屬于?？碱}型，熟練掌握反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．16.如圖，的半徑是4，點(diǎn)A是圓上一個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，且，，垂足為點(diǎn)，連接，則的最小值是____________．【答案】【解析】【分析】設(shè)交于，連接、、，過作于，連接，由題意易證明是等邊三角形，即得出，，從而由勾股定理可求出．再根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)可知，最后利用三角形三邊關(guān)系即可求解．【詳解】解：設(shè)交于，連接、、，過作于，連接，，，，是等邊三角形，，，由勾股定理得：．，．，，在中，，，最小值是，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)和三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用．圓的基本性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題關(guān)鍵．三、解答題(本大題共10個(gè)小題，共96分)要求寫出必要的解答步驟或證明過程．17.計(jì)算：．【答案】【解析】【分析】首先計(jì)算零指數(shù)冪，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，算術(shù)平方根，絕對(duì)值，然后計(jì)算加減．【詳解】．【點(diǎn)睛】此題考查了零指數(shù)冪，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，算術(shù)平方根，絕對(duì)值，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上運(yùn)算法則．18.先化簡(jiǎn)，再求值：其中【答案】【解析】【分析】本題主要考查了分式的化簡(jiǎn)求值，原式先因式分解，括號(hào)中兩項(xiàng)通分并利用同分母分式的減法法則計(jì)算，同時(shí)利用除法法則變形，約分得到最簡(jiǎn)結(jié)果，把值代入計(jì)算即可求出值．【詳解】解：原式，當(dāng)時(shí)，原式．19.小明和小亮學(xué)習(xí)了“勾股定理”之后，為了測(cè)量風(fēng)箏的垂直高度，他們進(jìn)行了如下操作：①測(cè)得水平距離的長(zhǎng)為15米；②根據(jù)手中剩余線的長(zhǎng)度計(jì)算出風(fēng)箏線的長(zhǎng)為25米；③牽線放風(fēng)箏的小明的身高為1.6米．（1）求風(fēng)箏的垂直高度；（2）如果小明想風(fēng)箏沿方向下降12米，則他應(yīng)該往回收線多少米？【答案】（1）米（2）8米【解析】【分析】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用．（1）利用勾股定理求出，然后加上即可．（2）利用勾股定理求出，然后用即可．【小問1詳解】解：由勾股定理得，（米），（米）；【小問2詳解】如下圖，由勾股定理得，（米），（米），他應(yīng)該往回收線8米．20.已知在7×7的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，在下列正方形網(wǎng)格中用無刻度的直尺按要求作圖：（1）如圖1，與交于點(diǎn)M；①找格點(diǎn)E，使；②直接寫出的度數(shù)．（2）如圖2，點(diǎn)A、B、C均在格點(diǎn)上，依照（1）中方法在上作點(diǎn)M，使．【答案】（1）①見解析②（2）見解析【解析】【分析】（1）①根據(jù)格點(diǎn)特點(diǎn)把向上平移1格即可；②先證明為等腰直角三角形，再利用平行線的性質(zhì)可得答案；（2）如圖2中，取格點(diǎn)，連接，把向左邊平移2格得到線段，再以為底邊構(gòu)造等腰直角三角形，記與的交點(diǎn)為，即為所求．【小問1詳解】解∶①如圖1中，直線即為所求；②∵，，∴，，∴，，∵，∴；【小問2詳解】解：如圖2中，取格點(diǎn)，連接，把向左邊平移2格得到線段，再以為底邊構(gòu)造等腰直角三角形，記與的交點(diǎn)為，即為所求．理由：同理可得：，，而，∴．【點(diǎn)睛】本題考查的是平移的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，勾股定理與勾股定理的逆定理的應(yīng)用，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，熟練的利用網(wǎng)格特點(diǎn)作圖是解本題的關(guān)鍵．21.某學(xué)校在假期開展了“陽光閱讀”活動(dòng)，為了解學(xué)生的閱讀情況，隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)行閱讀量的調(diào)查，閱讀量分為四個(gè)類別∶A．1~2本，B．3~4本，C．5~6本，D．6本以上，將調(diào)查結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，繪制出如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖．請(qǐng)根據(jù)圖中提供的信息解答下列問題：（1）本次調(diào)查的學(xué)生共有人；在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，B所對(duì)應(yīng)的扇形的圓心角的度數(shù)是（2）請(qǐng)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；（3）某班有4名同學(xué)（分別記為甲、乙、丙、丁，其中甲為小明）閱讀量為D類別，現(xiàn)從這4人中隨機(jī)選取兩人參加比賽，請(qǐng)利用列表法或畫樹狀圖法，求小明被選中的概率．【答案】（1）50，（2）見解析（3）【解析】【分析】此題考查了扇形統(tǒng)計(jì)圖和條形統(tǒng)計(jì)圖的信息關(guān)聯(lián)，樹狀圖或列表法求概等知識(shí)．（1）用C的人數(shù)除以對(duì)應(yīng)的百分比即可得到本題調(diào)查的學(xué)生人數(shù)，再用乘以B的占比即可得到B所對(duì)應(yīng)的扇形的圓心角的度數(shù)；（2）求出A類別人數(shù)，據(jù)此補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖即可；（3）列出表格，利用符合要求的情況數(shù)除以總的情況數(shù)即可得到答案．【小問1詳解】解∶本題調(diào)查的學(xué)生人數(shù)為(人)，B所對(duì)應(yīng)的扇形的圓心角的度數(shù)是故答案為：50，；【小問2詳解】A類別人數(shù)：(人)，補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖如圖所示；【小問3詳解】根據(jù)題意，列表如下：甲乙丙丁甲(乙，甲)(丙，甲)(丁，甲)乙(甲，乙)(丙，乙)(丁，乙)丙(甲，丙)(乙，丙)(丁，丙)丁(甲，丁)(乙，丁)(丙，丁)?由表格可知：共有12種等可能出現(xiàn)的結(jié)果，其中小明(甲)被選中的有6種，所以小明被選中的概率為22.如圖，正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．（1）求反比例函數(shù)的表達(dá)式及點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）根據(jù)圖象直接寫出不等式的解集；（3）點(diǎn)是軸上一點(diǎn)，連接、，當(dāng)是直角三角形且以為直角邊時(shí)，直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】（1）；（2）或（3）或【解析】【分析】本題是一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合題．主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)，利用坐標(biāo)求坐標(biāo)系中的線段的長(zhǎng)度，以及運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想解決函數(shù)與不等式關(guān)系的相關(guān)問題，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)正比例函數(shù)的表達(dá)式求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再將點(diǎn)坐標(biāo)代入反比例函數(shù)表達(dá)式求出的值，即可得出反比例函數(shù)的表達(dá)式；根據(jù)與關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，點(diǎn)橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)分別與點(diǎn)橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；（2）根據(jù)圖象分析，不等式即的解集即為一次函數(shù)圖象位于反比例函數(shù)圖象上方所對(duì)應(yīng)的的取值范圍；（3）設(shè)，根據(jù)勾股定理表示出，，，進(jìn)而根據(jù)勾股定理列出方程，解方程即可求解．【小問1詳解】解：當(dāng)時(shí)，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)在反比例函數(shù)圖象上，，，反比例函數(shù)的表達(dá)式為：，又點(diǎn)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為；【小問2詳解】觀察函數(shù)圖象，可知：當(dāng)或時(shí)，正比例函數(shù)的圖象在反比例函數(shù)的圖象上方，不等式的解集為或；【小問3詳解】點(diǎn)的坐標(biāo)為或．設(shè)，，，，，，當(dāng)是直角三角形且以為直角邊時(shí)，則當(dāng)邊為斜邊時(shí)，，即，解得：；當(dāng)邊為斜邊時(shí)，，即，解得：，故點(diǎn)的坐標(biāo)為：或23.如圖，在中，，以AB為直徑的與邊交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，的反向延長(zhǎng)線交于點(diǎn)．（1）求證∶是的切線；（2）若圓的半徑為，，求的長(zhǎng)．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】本題考查切線的判定，勾股定理，矩形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是綜合運(yùn)用知識(shí)解題．（）連接，根據(jù)已知條件得到，即可得到結(jié)論；（）過作于，構(gòu)建矩形，設(shè)，則有，，在中，利用勾股定理，得到進(jìn)而可求得．【小問1詳解】證明∶∵，∴，∵，∴，∴，∴．∵，∴，∵是的半徑，∴是的切線；【小問2詳解】解∶如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則∴四邊形是矩形，∴，，設(shè)，則，∵，∴，在中，由勾股定理知∶即解得，(不合題意，舍去)，∴，∵，∴∴．24.某公司抓住“一帶一路”的機(jī)遇不斷創(chuàng)新發(fā)展，生產(chǎn)銷售某產(chǎn)品，該產(chǎn)品銷售量y（萬件）與售價(jià)x（元/件）之間的函數(shù)關(guān)系式為：．（1）當(dāng)銷售總額為120萬元時(shí)，求每件售價(jià)多少元；（2）若總成本P（萬元）與銷售量y（萬件）之間存在如圖所示的變化趨勢(shì)，當(dāng)時(shí)可看成一條線段，當(dāng)時(shí)可看成拋物線，問售價(jià)為多少元時(shí)，總利潤(rùn)最大，最大值是多少？【答案】（1）每件售價(jià)10元或12元（2）售價(jià)為16元時(shí)，總利潤(rùn)最大，最大值是46萬元【解析】【分析】（1）根據(jù)銷售總額=單價(jià)×銷售量，列出方程求解即可；（2）用待定系數(shù)法求出當(dāng)時(shí)，P關(guān)于y的函數(shù)解析式為，設(shè)利潤(rùn)為W，根據(jù)，進(jìn)行分類討論：①當(dāng)時(shí)，②當(dāng)時(shí)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可解答．【小問1詳解】解：根據(jù)題意可得：，整理得：，解得：，答：每件售價(jià)10元或12元；【小問2詳解】解：設(shè)當(dāng)時(shí)，P關(guān)于y的函數(shù)解析式為，將代入得：，解得：，∴當(dāng)時(shí)，P關(guān)于y函數(shù)解析式為，設(shè)利潤(rùn)為W，，①當(dāng)時(shí)，，∵，∴當(dāng)時(shí)，，符合題意，∴當(dāng)時(shí)，W有最大值46；②當(dāng)時(shí)，∵，∴，∵，∴當(dāng)時(shí)，W隨y的增大而減小，∴當(dāng)時(shí)，，綜上：售價(jià)為16元時(shí)，總利潤(rùn)最大，最大值是46萬元．25.如圖1，將兩個(gè)完全相同的三角形紙片ABC和DEC重合放置，其中，，．（1）操作發(fā)現(xiàn)∶如圖2，固定，使繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)D恰好落在邊上時(shí)，填空∶①線段與的位置關(guān)系是；②設(shè)的面積為，的面積為，則與的數(shù)量關(guān)系是．（2）猜想論證∶當(dāng)繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到如圖3所示的位置時(shí)，小明猜想（1）中與的數(shù)量關(guān)系仍然成立，請(qǐng)你證明小明的猜想．（3）拓展探究已知，點(diǎn)D是角平分線上一點(diǎn)，，交于點(diǎn)E（如圖4），若在射線上存在點(diǎn)F，使，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)．【答案】（1）①②（2）見解析（3）存在；或【解析】【分析】（1）①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)結(jié)合、的大小可得是等邊三角形，從而可得；②根據(jù)等邊三角形性質(zhì)和角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半可得，從而可得即；（2）過點(diǎn)D作于M，過點(diǎn)A作與N，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)易證，可得，結(jié)合，即可證得；（3）作交于F．延長(zhǎng)交于H，可得四邊形是平行四邊形，從而可得，結(jié)合角平分線性質(zhì)和，可得四邊形是菱形，再根據(jù)勾股定理可求得菱形邊長(zhǎng)，得出第一種情況，根據(jù)圖形可知點(diǎn)F的情況存在兩種，結(jié)合平行線的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)即可求得另一種情況下的長(zhǎng)．【小問1詳解】解：①如圖2中，由旋轉(zhuǎn)可知：是等邊三角形，，，，，，，②，，，，，；故答案為：，；【小問2詳解】解：如圖3中，過點(diǎn)D作于M，過點(diǎn)A作與N．是由繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)得到，，，，，，在和