河南省南陽市鄧州市城區(qū)第五初級中學(xué) 2023-2024學(xué)年九年級下學(xué)期開學(xué)尖子生數(shù)學(xué)試題（原卷版）

2023-2024學(xué)年第二學(xué)期河南省南陽市鄧州市城區(qū)第五初級中學(xué)開學(xué)尖子生九年級數(shù)學(xué)試卷一．選擇題（共10小題，每小題3分，共30分）1.如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，，．若的半徑為5，則的長為（）A. B. C. D.2.如圖，關(guān)于的函數(shù)的圖象與軸有且僅有三個(gè)交點(diǎn)，分別是，對此，小華認(rèn)為：①當(dāng)時(shí)，；②當(dāng)時(shí)，有最小值；③點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，符合要求的點(diǎn)只有1個(gè)；④將函數(shù)的圖象向右平移1個(gè)或3個(gè)單位長度經(jīng)過原點(diǎn).其中正確的結(jié)論有（）A.4個(gè) B.3個(gè) C.2個(gè) D.1個(gè)3.如圖，有一張矩形紙片．先對折矩形，使與重合，得到折痕，把紙片展平．再一次折疊紙片，使點(diǎn)落在上，并使折痕經(jīng)過點(diǎn)，得到折痕﹐同時(shí)得到線段，．觀察所得的線段，若，則（）A. B. C. D.4.如圖，在中，，，以點(diǎn)為圓心，以為半徑作弧交于點(diǎn)，再分別以，為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)，作射線交于點(diǎn)，連接．以下結(jié)論不正確的是（）A. B.C. D.5.定義：在平面直角坐標(biāo)系中，對于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)滿足時(shí)，稱點(diǎn)是點(diǎn)的“倍增點(diǎn)”，已知點(diǎn)，有下列結(jié)論：①點(diǎn)，都是點(diǎn)的“倍增點(diǎn)”；②若直線上的點(diǎn)A是點(diǎn)的“倍增點(diǎn)”，則點(diǎn)的坐標(biāo)為；③拋物線上存在兩個(gè)點(diǎn)是點(diǎn)的“倍增點(diǎn)”；④若點(diǎn)是點(diǎn)的“倍增點(diǎn)”，則的最小值是．其中，正確結(jié)論個(gè)數(shù)是（）A.1 B.2 C.3 D.46.如圖，在四邊形中，，以為圓心，為半徑的弧恰好與相切，切點(diǎn)為．若，則的值是（）A. B. C. D.7.已知點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在拋物線上，若且，則的取值范圍是（）A. B.C D.8.如圖1，點(diǎn)P從等邊三角形的頂點(diǎn)A出發(fā)，沿直線運(yùn)動(dòng)到三角形內(nèi)部一點(diǎn)，再從該點(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng)到頂點(diǎn)B．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為x，，圖2是點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)y隨x變化的關(guān)系圖象，則等邊三角形的邊長為（）A.6 B.3 C. D.9.如圖，點(diǎn)A、B、C在同一條線上，點(diǎn)B在點(diǎn)A，C之間，點(diǎn)D，E在直線AC同側(cè)，，，，連接DE，設(shè)，，，給出下面三個(gè)結(jié)論：①；②；③；上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號是（）A.①② B.①③ C.②③ D.①②③10.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象分別與軸、軸交于兩點(diǎn)，且與反比例函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象交于點(diǎn)．若點(diǎn)坐標(biāo)為，則的值是（）．A. B. C. D.二．填空題（共5小題，每小題3分，共15分）11.“神舟”十四號載人飛行任務(wù)是中國空間站建造階段的首次載人飛行任務(wù)，也是空間站在軌建造以來情況最復(fù)雜、技術(shù)難度最高、航天員乘組工作量最大的一次載人飛行任務(wù)．如圖，當(dāng)“神舟”十四號運(yùn)行到地球表面P點(diǎn)的正上方的F點(diǎn)處時(shí)，從點(diǎn)F能直接看到的地球表面最遠(yuǎn)的點(diǎn)記為Q點(diǎn)，已知，，則圓心角所對的弧長約為_____km（結(jié)果保留）．12.如圖，在中，，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到位置，其中點(diǎn)與點(diǎn)對應(yīng)，點(diǎn)與點(diǎn)對應(yīng)．如果圖中陰影部分的面積為4.5，那么的正切值是__________．13.如圖，在中，，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，將沿折疊得到，連接．若于點(diǎn)F，，則的長為_________．14.矩形中，M為對角線的中點(diǎn)，點(diǎn)N在邊上，且．當(dāng)以點(diǎn)D，M，N為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時(shí)，的長為______．15.如圖，二次函數(shù)的圖象與正比例函數(shù)的圖象相交于A，B兩點(diǎn)，已知點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為2，二次函數(shù)圖象的對稱軸是直線．下列結(jié)論：①；②；③關(guān)于x的方程的兩根為，；④．其中正確的是______．（只填寫序號）三．解答題（共8小題，滿分75分）16.在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)和，與過點(diǎn)且平行于x軸的線交于點(diǎn)C．（1）求該函數(shù)的解析式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）當(dāng)時(shí)，對于x的每一個(gè)值，函數(shù)的值大于函數(shù)的值且小于4，直接寫出n的值．17.如圖，在中，，是的中點(diǎn)，與相切于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，，是的直徑，弦的延長線交于點(diǎn)，且．（1）求證：是的切線；（2）若，，求的長．18.如圖，是菱形的對角線．（1）尺規(guī)作圖：將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點(diǎn)為D（保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）在（1）所作的圖中，連接，；①求證：；②若，求的值．19.在平面直角坐標(biāo)系中，，是拋物線上任意兩點(diǎn)，設(shè)拋物線的對稱軸為．（1）若對于，有，求的值；（2）若對于，，都有，求的取值范圍．20.在中、，于點(diǎn)M，D是線段上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)M，C重合），將線段繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在線段上時(shí)，求證：D是的中點(diǎn)；（2）如圖2，若在線段上存在點(diǎn)F（不與點(diǎn)B，M重合）滿足，連接，，直接寫出的大小，并證明．21.某工廠計(jì)劃從現(xiàn)在開始，在每個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)生產(chǎn)并銷售完某型號設(shè)備，該設(shè)備的生產(chǎn)成本為萬元/件．設(shè)第個(gè)生產(chǎn)周期設(shè)備的售價(jià)為萬元/件，售價(jià)與之間的函數(shù)解析式是，其中是正整數(shù)．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．（1）求，的值；（2）設(shè)第個(gè)生產(chǎn)周期生產(chǎn)并銷售完設(shè)備數(shù)量為件，且y與x滿足關(guān)系式．當(dāng)時(shí)，工廠第幾個(gè)生產(chǎn)周期獲得的利潤最大?最大的利潤是多少萬元?當(dāng)時(shí)，若有且只有個(gè)生產(chǎn)周期的利潤不小于萬元，求實(shí)數(shù)的取值范圍．22.蔬菜大棚是一種具有出色的保溫性能的框架覆膜結(jié)構(gòu)，它出現(xiàn)使得人們可以吃到反季節(jié)蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹結(jié)構(gòu)或者鋼結(jié)構(gòu)的骨架，上面覆上一層或多層保溫塑料膜，這樣就形成了一個(gè)溫室空間．如圖1，某個(gè)溫室大棚的橫截面可以看作矩形和拋物線構(gòu)成，其中，，取中點(diǎn)，過點(diǎn)作線段的垂直平分線交拋物線于點(diǎn)，若以點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線為軸，為軸建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系．請回答下列問題：（1）如圖2，拋物線的頂點(diǎn)，求拋物線的解析式；（2）如圖3，為了保證蔬菜大棚的通風(fēng)性，該大棚要安裝兩個(gè)正方形孔的排氣裝置，，若，求兩個(gè)正方形裝置的間距的長；（3）如圖4，在某一時(shí)刻，太陽光線透過點(diǎn)恰好照射到點(diǎn)，此時(shí)大棚截面的陰影為，求的長．23.問題提出