2021版數(shù)學(xué)必修 第一冊(cè)人教A版第四章指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)講義2

Chapter4

第四章指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)

4.1指數(shù)

4.1.1"次方根與分?jǐn)?shù)指數(shù)塞

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解〃次方根、〃次根式的概念2能正確運(yùn)用根式運(yùn)算性質(zhì)化簡、求值3學(xué)會(huì)

根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)幕之間的相互轉(zhuǎn)化.

知識(shí)梳理梳理教材夯實(shí)基礎(chǔ)

----------------------------------------------------------------------------------------------------------V------------------------------

知識(shí)點(diǎn)一“次方根、”次根式

1.a的”次方根的定義

一般地，如果x"=a,那么x叫做a的"次方根，其中">1,且"WN”.

2.a的〃次方根的表示

n的奇偶性。的〃次方根的表示符號(hào)a的取值范圍

“為奇數(shù)缶

〃為偶數(shù)10,+8)

3.根式

n

式子也叫做根式，這里W叫做根指數(shù),。叫做被開方數(shù).

知識(shí)點(diǎn)二根式的性質(zhì)

1.赤=O(nWN*,且">1).

2.(%)"=￡((a20,〃WN*,且〃>1).

n

3.亞=“(〃為大于1的奇數(shù)).

__[a,

4.y[a"=\a\=]~(n為大于1的偶數(shù)).

\—a,a<0

知識(shí)點(diǎn)三分?jǐn)?shù)指數(shù)零的意義

巴n

正分?jǐn)?shù)指數(shù)幕

規(guī)定：?！?亞(。>0,m,〃￡N*,且心1)

-坦11

分?jǐn)?shù)指數(shù)幕規(guī)定：a"------m,,且心

負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)基m3H>0,1)

afl亞

0的分?jǐn)?shù)指數(shù)基0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)事等于20的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)基無意義

知識(shí)點(diǎn)四有理數(shù)指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)

整數(shù)指數(shù)基的運(yùn)算性質(zhì)，可以推廣到有理數(shù)指數(shù)累，即：

(1)。'。'=屋+'(4>0,r,sGQ)；

(2)3丁=〃/4>0,r,sCQ)；

(3)3力「=屋勿伍>0,b>0,rGQ).

思考辨析判斷正誤

1.當(dāng)"6N*時(shí)，(干3)"都有意義.(X)

63

2.(-2)4=(-2)2.(X)

3.x)

m

4.分?jǐn)?shù)指數(shù)幕可以理解為［個(gè)a相乘.(X)

|題型探究------------------啟迪思維探究重點(diǎn)

一、〃次方根的概念

例1(1)若81的平方根為“，一8的立方根為b,則a+b=.

答案7或一11

解析81的平方根為-9或9,

即〃=-9或9,

一8的立方根為一2,即〃=—2,

；.a+b=-11或7.

4

(2)若正工有意義，求實(shí)數(shù)x的取值范圍.

4_____

解2有意義,

/.X—220,

???G2,

即尤的取值氾圍是［2,+°°).

反思感悟(1)方根個(gè)數(shù)：正數(shù)的偶次方根有兩個(gè)且互為相反數(shù)，任意實(shí)數(shù)的奇次方根只有一

個(gè).

(2)符號(hào)：根式缶的符號(hào)由根指數(shù)〃的奇偶性及被開方數(shù)a的符號(hào)共同確定.

①當(dāng)”為偶數(shù)，且a20時(shí)，赤為非負(fù)實(shí)數(shù)；

②當(dāng)"為奇數(shù)時(shí)，、。的符號(hào)與a的符號(hào)一致.

跟蹤訓(xùn)練1(1)已知丁=8,則x等于()

777

A.2^2B.V8C.-^8D.±78

答案B

7

解析因?yàn)?為奇數(shù)，8的7次方根只有一個(gè)通.

4

(2)若N2x+5有意義,則x的取值范圍是；

5______

若道不有意義，則X的取值范圍是.

答案

二、利用根式的性質(zhì)化簡或求值

例2化簡:

(1)((3-兀)4；

QN(a-b￥(a>b)；

(3)(A/?—1)2+^/(1—a)2+^(l—a)3.

考點(diǎn)根式的化簡

題點(diǎn)根據(jù)根式的意義進(jìn)行化簡

4________

解(1)^(3—7l)4=|3—711=71—3.

(2)?:a>b,/.yj(a~b)2=\a—h\=a—b.

(3)由題意知a—120,即1.原式=〃-1+|1—a\+1—〃=〃一1~\~a—1+1—a=a—1.

反思感悟(1)"為奇數(shù)時(shí)(缶)"=亞=4,4為任意實(shí)數(shù).

(2)〃為偶數(shù)時(shí),心0,才有意義，且

而a為任意實(shí)數(shù)時(shí)后均有意義，且折=間.

跟蹤訓(xùn)練2化簡:

7

⑴4(—2)7；

4__________

⑵M(3〃-3)4(〃W1)；

34________

(3啦+、(1—”.

考點(diǎn)根式的化簡

題點(diǎn)根據(jù)根式的意義進(jìn)行化簡

解(lA/(-2)7--2.

4_______

⑵：.yl(3a-3y=\3a-3\=3\a-l|=3-3<a.

1,aWl,

(3')\[a^+yj(l—a')4=a+\\—a\='

2a~1,a>\.

三、根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)鬲的互化

例3(1)下列根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的互化正確的是()

A.—5=(-X)5(QO)

61

Bz\/p=y3(><0)

c.%4=^y^(x>0)

_13

D.x3=—ylx(x=^O)

答案C

解析-5=-/。>0)；

611

正=(及『)6=-丁3&<0);

⑵將下列根式化成分?jǐn)?shù)指數(shù)基的形式（其中?>0,b>0）.

3

③（狼）2.gP.

解①?如=〃./=#2；

!1!Z

②原式=層?4%?送=*；

1、21373

(蘇-a2h2=a^h2.

反思感悟根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)寐的互化

(1)根指數(shù)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)的分母，被開方數(shù)(式)的指數(shù)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)的分子.

⑵在具體計(jì)算時(shí)，如果底數(shù)相同，通常會(huì)把根式轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)指數(shù)露的形式，然后利用有理數(shù)

指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)解題.

跟蹤訓(xùn)練3把下列根式表示為分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的形式，把分?jǐn)?shù)指數(shù)幕表示為根式的形式：

(1)(?！?3>6)；(2靛-1)5；

1-

(3)—;(4)(4-。)7.

y[cr

--1

解(l)(a-Z?)4=--------；

q(a-b)3

3________5

(2)A/(X-1)5=(X-1)3；

1二

(3)--a3；

(4)(a-b)7=7(a—b)3.

隨堂演練息礎(chǔ)鞏.固學(xué)以致用

■---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------\------------------------------

1.已知N(a—b)2=a—b,則()

A.a>bB.a》b

C.a<hD.aWb

答案B

2

解析y/(a—h)=\a-h\=a—h9

所以a—所以故選B.

4_____4_______54

2.在6/(—4)2"；(2h/(-4)2n+l,⑤沂，④而中，〃6N",qCR時(shí)各式子有意義的是()

A.①②B.①③

C.@@③④D.①②④

答案B

3.化簡小工的結(jié)果為()

A.—y[aB.—\j—aC.yj~aD."\/a

考點(diǎn)根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的互化

題點(diǎn)根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)幕

答案A

解析顯然

‘_4(_2)-3+(?。_9T=.

19

答案T

解析原式=2-4義

=2+91—；=%

23o

4____

答案yja-i

解析要使原式有意義，則

7(1-a)2.yj(^7)=11一處(a_1)4

3l_4____

=(a—1)-((2-1)"—(a-I)4—yja—l.

-課堂小結(jié)

1.知識(shí)清單：

(1)〃次方根的概念、表示及性質(zhì).

⑵根式的性質(zhì).

(3)根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)森的互化.

2.常見誤區(qū)：

⑴根式中根指數(shù)要求且〃EN*.

n

（2）對(duì)于,，當(dāng)”為偶數(shù)時(shí),心0.

課時(shí)對(duì)點(diǎn)練--------注-重-雙-基-強(qiáng)、-化-落-實(shí)-

X基礎(chǔ)鞏固

1.已知機(jī)i°=2,則相等于（）

101010

A.\[2B.一mC.F）D.士也

考點(diǎn)〃次方根及根式概念

題點(diǎn)”次方根及根式概念

答案D

解析；加°=2,是2的10次方根.

又；10是偶數(shù)，...2的10次方根有兩個(gè)，且互為相反數(shù).

10

二%=±啦.故選D.

_________4_________

2.若2<a<3,化簡d（2—a）2+d（3—a），的結(jié)果是（）

A.5~2aB.2a~5C.1D.-1

考點(diǎn)根式的化簡

題點(diǎn)條件根式的化簡

答案C

解析*.*2<a<3,>'>a—2>0,a—3<0,

_________4_________

yf（2—a）2+yj（3—a）4=\2—a|+|3—a\

—a—2+3—a—1.

3.下列各式既符合分?jǐn)?shù)指數(shù)基的定義，值又相等的是（）

12-

A.（一1日和（―1戶B.0-2和（）2

C.2彳和44D.4株利⑥-3

答案C

12132

解析選項(xiàng)A中，（一邛和（一中均符合分?jǐn)?shù)指數(shù)嘉的定義，但（―甲=g=-1,（-1）6

6

=4（—1>=1,故A不滿足題意；

選項(xiàng)B中，0的負(fù)指數(shù)嘉沒有意義，故B不滿足題意；

選項(xiàng)D中，屋,和&J-雖符合分?jǐn)?shù)指數(shù)嘉的定義，但值不相等，故D不滿足題意；

1141

選項(xiàng)C中，23=6,44=乖=23=啦，滿足題意.

故選C.

2

4.(1；)。—(1—0.5-2)+ej的值為(

)

A.B.TC.jD.1

答案D

47

解析原式=1一(1-22)+(|)2=---

9

3-

5.設(shè)30,將d一表示成分?jǐn)?shù)指數(shù)基的形式,其結(jié)果是（）

\a-y[a^

￡573

A.aaB./C.D.

答案C

_5?_57

=cra=a%

6.若xWO,則|x|~\/P+.J=______.

IR

答案1

解析Tx#。，.,.原式=|.v|—口+呼=1.

7.若山1+山2+6y+9=0,則(f0i9y=

答案T

解析因?yàn)?\/『+2x+1+4十+6y+9=0,

所以4。+1)2+4。+3)2=叮+1|+卜+3|=0,

所以x=-l,y=-3.

所以廿°19>=[(_1)2。19「3=(_1)-3=_1

一@1+70/25的值為.

8/

3

答

案-

2

5313

解析

原式

--十--

2-22-2

9.計(jì)算下列各式的值.

2

3

64平125

(1)1212；(2)—；(3)100004；(4)

<49J27

解(1)11(2,⑶丁品

10.計(jì)算:

4

(1)81X;(2)2^3XX

3

2居+、0.125「1；

(3)

343

⑷4(-8)3+、(小一2)7(2一小)3.

考點(diǎn)根式的化簡

題點(diǎn)根據(jù)根式的意義進(jìn)行化簡

4

217

2x-x-

解(1)原式=%34X332==36.

Ill

(2)原式=2X32X33X36=2X3236=6.

(3)原式=

巖號(hào)+2=3.

(4)原式=-8+S—2|一(2一小)

--8.

g綜合運(yùn)用

4

11.已知二次函數(shù)式工)=加+瓜+0.1的圖象如圖所示，則y(a—6)4的值為()

A.a+bB.—3+8)

C.a-bD.h-a

答案D

解析由題圖知人-1)=〃一Z?+0.1<0,

?'?a—b<0.

12.若代數(shù)式42x—1十52—x有意義,則d4y_4x+]+2{(冗-2)4=

答案3

解析,/、2x—l+斷一》有意義，

(2x~1^0,[x2],

??.即＜2

Z。，U2,

.\y/4x2-4x+l+2yJ(x-2)4

4________

=y/(2x-l)2+2y/(x-2)4

=\2x-\\+2\x~2\=2x-]+2(2-x)=3.

3計(jì)算：#.附+3)+需爵=——.

答案4

1—I—9—4

解析原式=3,(3巾+3)+—j—

=(1一也)(1+也)+5=4.

14.若山—1+4/+、=0,則工=,f019+y2020=

答案12

X—1=0,

解析依題意有，,八得x=i,y=-1,

x+y=0,

.“。19+泮2。=2.

%拓廣探究

15.設(shè)_%若0<〃Wl,則/(〃+!)=.

考點(diǎn)根式的化簡

題點(diǎn)條件根式的化簡

答案

解析于(a+/=#"+*4=/+*—2

因?yàn)?<〃Wl,所以

故/("+?

守的值.

16.已知〃，b是方程f—6x+4=0的兩根，且a>6>0,

解因?yàn)椤?，人是方程A2—6x+4=0的兩根,

a+b=6,

所以

ab=4,

因?yàn)橐?g-[-b-2yfab

a+b-]-2y[ab

6-2^42

-6+2^4-10-

所以，

y[ci+y[h

4.1.2無理數(shù)指數(shù)幕及其運(yùn)算性質(zhì)

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.掌握用有理數(shù)指數(shù)累的運(yùn)算性質(zhì)化簡求值.2.了解無理數(shù)指數(shù)塞的意義.

知識(shí)梳理梳理教材夯實(shí)基礎(chǔ)

--------------------------\-------

知識(shí)點(diǎn)一無理數(shù)指數(shù)幕

一般地，無理數(shù)指數(shù)哥〃(a>0,a為無理數(shù))是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)二有理數(shù)指數(shù)塞的運(yùn)算性質(zhì)同

樣適用于無理數(shù)指數(shù)累.

知識(shí)點(diǎn)二實(shí)數(shù)指數(shù)號(hào)的運(yùn)算性質(zhì)

1.aras^ar+\a>Q,r,sGR).

2.(/)，=貯(a>0,r,sGR).

3.(abY^arbr(a>0,b>0,r￡R).

預(yù)習(xí)小測(cè)自我檢驗(yàn)

1.計(jì)算卜2=

答案也

2.下列等式一定成立的是.(填序號(hào))

①a"-a2=a;②a?=0；

211

③(〃3)2=〃9；④/=板.

答案④

3.若10(T=25,則10"=.

答案5

解析；100，=25,；.(10')2=52,

10''=5,10-*=(10')一|=5-1=/

4.計(jì)算：砂+2-2x(2；j=

答案費(fèi)

O

題型探究探究重點(diǎn)素養(yǎng)提升

一、運(yùn)用指數(shù)幕運(yùn)算公式化簡求值

例1計(jì)算下列各式（式中字母都是正數(shù)）:

⑶迎f

2

解(1)(0.027)^+

=N0.027)2一"^\J^=0.09+1-1=0.09.

72

(XT

⑵原式=2叵?亦

班

（32/2AT3

=2亍=2?=2&.

\7

32

（3）原式=---:—+1=1+1=2.

543

a6

反思感悟一般地，進(jìn)行指數(shù)賽運(yùn)算時(shí)，可將系數(shù)、同類字母歸在一起,分別計(jì)算；化負(fù)指

數(shù)為正指數(shù)，化小數(shù)為分?jǐn)?shù)進(jìn)行運(yùn)算，便于進(jìn)行乘除、乘方、開方運(yùn)算,可以達(dá)到化繁為簡

的目的.

跟蹤訓(xùn)練1計(jì)算下列各式的值（式中字母都是正數(shù)）：

⑴（Jx（一加8O25x/+（/x?。?；

Q)2R?+(4y[i函?3小\

_r_nt?<iVfiV

解(1)原式=8(l)x13jxl+(23)4x24+23X32

\7\7

3￡

=2+2“二+22X33=112.

2/_L_1、3

(2)原式=2標(biāo)e4a6b63Z?2

i2I1(3

i^-6,^6.3bi

2

二、分?jǐn)?shù)指數(shù)幕運(yùn)算的綜合應(yīng)用

例2(1)已知d"=4,a"=3,求/E的值;

(2)己知。鼻+。一5=3,求下列各式的值.

3_3

①a+G；②/+〃一2；③

1."I

解(1而不""2"尸=

⑵①：a2+a2=3,：.a2+a2=9,

V7

即。+2+〃-=9,1=7.

②???〃+/1=7,

.?.(a+dTy=49,即/+2+。-2=49.

.\a2+a'2=47.

33

③。2+。2

=/+Q5(q—1+小)

\7

=3X(7-1)=18.

延伸探究

在本例(2)的條件下,求〃2—晨2的值.

解設(shè)y=/一“-2,兩邊平方，

得產(chǎn)="+。-4-2=32+。-2)2-4=472—4=2205.

所以y=±21小，即a2-a2—±2l-\[5.

反思感悟條件求值問題的解法

(1)求解此類問題應(yīng)注意分析已知條件，通過將已知條件中的式子變形(如平方、因式分解等),

尋找已知式和待求式的關(guān)系，可考慮使用整體代換法.

(2)利用整體代換法解決分?jǐn)?shù)指數(shù)暴的計(jì)算問題，常常運(yùn)用完全平方公式及其變形公式.

1I

戶—點(diǎn)

跟蹤訓(xùn)練2已知x+y=12,孫=9且x<y,求一j-彳的值.

盧+J

(21Y

1?--a

-—八

解~T

x2+y2x2+y2x2-y2

=(x+y)-2(孫>①

x—y

；x+y=12,孫=9,②

.?.(x-y)2=(x+y)2-4孫=122—4X9=108.

又.'.x-y——6^3.@

\_

X/ma->512-2x926

將②③代入①，得1~彳=------.

!!*上3

隨堂演練基礎(chǔ)鞏固學(xué)以致用

--------------------N--------------------

______3

1.化筒[而分■了的結(jié)果為()

A.5B.小C.一小D.-5

答案B

3

____娘「2下1

解析rV(-5)24=(-5)3=52=75.

/_2\(5\

2.計(jì)算2a~3b§?(一3〃一培)：4。一4?！斓?)

\7\7

A.—B.*C.京D.g廬

答案A

解析原式=-6a"：

4a7小

4

3.若10。=10、,=折，則1。2廠)，=

答案I

(-'V4_12j

解析10標(biāo)->'=(10')2+]伊=[38J^^=34+34=§.

4.設(shè)a,￡是方程5*+10x+l=0的兩個(gè)根，則2%2"=，(2?/=

1

答

案-

4

解析由根與系數(shù)的關(guān)系得a+4=-2,琬=々

1，

則2a.2夕=2。+￡=2-2=不(2阱=2磔=25.

."------71

5.化簡而?/n4(/n>0)=.

答案1

nn3nn3

——---7t—+-71

解析原式=m2.機(jī)4.根4-m244=機(jī)0=].

■課堂小結(jié)

1.知識(shí)清單：

(1)有理數(shù)指數(shù)幕的性質(zhì).

(2)無理數(shù)指數(shù)篇的性質(zhì).

2.方法歸納：根式的運(yùn)算可先轉(zhuǎn)化為霖的運(yùn)算，最后再將結(jié)果轉(zhuǎn)化為根式.

3.常見誤區(qū)：在運(yùn)用分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)化簡時(shí)，其結(jié)果不能同時(shí)含有根式和分?jǐn)?shù)指數(shù),

也不能既含有分母又含有負(fù)指數(shù).

課時(shí)對(duì)點(diǎn)練注重雙基強(qiáng)化落實(shí)

----------------N---------------

g基礎(chǔ)鞏固

1.下列等式能夠成立的是()

|7=n1m#0)

B.,^/(Z：3j5=(-3)3

C.yjx3+yi=(x+y)4(x，0,y20)

D.V7^=3^

答案D

解析因?yàn)?7=扁=""鼠7,所以A錯(cuò)；

12____121

因?yàn)?一3)4=迎=33w(-3)3,所以B錯(cuò)；

4_____1_3

因?yàn)閊^+9二川+')4#(x+y)4,所以C錯(cuò);

因?yàn)?\/訴=m=3*,所以D正確.

(2/斗(》"+1

2.計(jì)算一直3一(〃GN*)的結(jié)果為()

4-o

C.2"j"+6D.0L7

答案D

2為共2.2-2〃-1?1/1\

解析原式=(22)〃.Q3)—2=22，廠6=2,2"=㈤2"7?

解析原式=(3?3戶+(42/-(2-『-⑹廣

=9+4>-4-(|y2=9+1-4-1

=9-6=3.

2.Q

4.若々>0,且優(yōu)=3,ay=5,則a2等于()

A.9+^5B.yC.9^5D.6小

答案C

2，+上、1「l

解析a2=(a02-(av)2=32-52=9y[5.

5.設(shè)。-2—。--2=m，則a2+1等于()

A.nr—2B.2~nr

C.ZT?2+2D.m2

考點(diǎn)有理數(shù)指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)

題點(diǎn)附加條件的幕的求值

答案C

(i_1Y

解析將派一機(jī)兩邊平方，得a2-a2=nv,

即2+〃-1=m2,所以a+q-i=M+2,

.2_i_1

即a+~=nr+2,所以區(qū)1~=nr+2.

6.設(shè)a,￡為方程2?+3x+l=0的兩個(gè)根，則Q}+#=

答案8

3

解析由根與系數(shù)的關(guān)系得a+￡=一宗

答案1

42

H上2^-222應(yīng)2加

解析原式=——=-豆=詼=1

8H(23)T

8.設(shè)/=/二制^乂)，/;>0),且a+b=6,則m=

答案16

解析因?yàn)椤?=力4=皿〃>0,Z?>0),

所以a=b2.

由a+b=6得h2-\~h—6=0,

解得b=2或。=一3(舍去).

所以m=24=16.

9.化簡下列各式（式中字母都是正數(shù)）:

(_3\8

(1)m^n*；

\7

_22?\_

(2)(-3/戶)(4a3護(hù))式一2/涼)；

1￡￡|

(3)(―+》)(x"-")(5+山).

/1_3V1_32

解(1)m^n=(m")8(幾")8=*"-3=等

\/

!」+_!.一I，」

(2)原式=[_3x4+(_2)]qZ24/y333=6a%°=6.

i_i_

(3)原式=[(/)2—(/)2](5+J)

=(N_y2)g+W

=?_J)(正+6

=(5)2—(立)2

=x-y.

10.計(jì)算:

(1)7^3-3^/24-6郊；

(2)0.0081々-3X(J)0]1義81-o.25+(^3|yl-10X00273

考點(diǎn)根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)基的互化

題點(diǎn)根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)塞的四則混合運(yùn)算

\_\__21I1二1

解⑴原式=7X3^—3X3§X2-6X3-5+(3X35)4=3§—6*3一§+3§

]__2

=2義V-2X3X33

1?

=2X33-2X33=0.

⑵原式=[偌)「_(3X1)rX13」+(|)115-10X(0.33)3

=島)"義6+步—10X0.3=學(xué)—93=0.

力綜合運(yùn)用

11.若100"=5,10"=2,貝1」24+人等于()

A.50B.12C.20D.1

答案D

解析；100"=5,

.,.102fl+z>=102a-l0*=5X2=10,

：.2a+h=\,故選D.

12.若a>l,b>0,ab+a~b—2y[2,則a"一。一"等于(

A.乖B.2或一2

C.-2D.2

答案D

解析a>\,b>0,.,.ab>\,.*.a

.,.iz-fc€(0,l),.,.ah-a"h>0,

'：ab+a~b=2\[2,沙+/&=6,

(ah—ah)2—a2h+a~2b—2=4,

=2.故選D.

13.若2*=8日|,9v=3廠匕則x+y=.

答案27

解析,；2，=8Ml=(23))'+1=23>'+3,

；.x=3y+3,①

又...夕=3廠9=(32/=32>，，

：.x-9=2y,(2)

x=21,

由①②得，

尸6,

；.x+y=27.

2

14.化簡心區(qū)二口①4

（a>0,比>0）的值為.

a5,亞

考點(diǎn)根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)基的互化

題點(diǎn)根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)基的乘除運(yùn)算

15

答案a亦

2

2|i、~3

解析原式=百匕a一戶

a屋加Ibd)

212

京.京_獷L_一l_i、3

ira

戶而7

2

2+1133Y5

=a32A23.a2bl

7

7J

=心楨份

Z-1i-1

a6b6

15

土拓廣探究

43

15.設(shè)〃=6，b=y/l2fc=#,則小b,c的大小關(guān)系是（）

A.a>h>cB.h>c>a

C.b>a>cD.a<b<c

答案D

4\_3

aA/24(23X3)42^x3^

解析

b31?1

V12(22X3)525X35

又a>0,b>0,:

3111

b逅(22X3)323X33

=r='^r

(2X3)222x32

又/?>0,c>0,:?b<c,

綜上有4<*C,故選D.

求1工+1=+荔2+^的值.

16.已知a=3,

14

解

-T+1IY+a

11-a^1+。5

=______2______上4

(1y口于1T+a

1+/1-/1+標(biāo)

、當(dāng)+擊

1—〃1+晨

4.2指數(shù)函數(shù)

4.2.1指數(shù)函數(shù)的概念

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解指數(shù)函數(shù)的概念，了解對(duì)底數(shù)的限制條件的合理性2了解指數(shù)增長型和指

數(shù)衰減型在實(shí)際問題中的應(yīng)用.

知識(shí)梳理梳理教材夯實(shí)基礎(chǔ)

--------------------------1-------

知識(shí)點(diǎn)一指數(shù)函數(shù)的定義

一般地，函數(shù)y="(a>0,且叫做指數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是R.

思考為什么底數(shù)應(yīng)滿足。>0且。￥1?

答案①當(dāng)“W0時(shí)，/可能無意義；②當(dāng)a>0時(shí)，x可以取任何實(shí)數(shù)；③當(dāng)。=1時(shí)，〃=1

(xGR),無研究價(jià)值.因此規(guī)定y=o"，中。>0,且“#1.

知識(shí)點(diǎn)二兩類指數(shù)模型

1.y=h”k>0),當(dāng)年L時(shí)為指數(shù)增長型函數(shù)模型.

2.y=kaXk>0),當(dāng)0<。<1時(shí)為指數(shù)衰減型函數(shù)模型.

■思考辨析判斷正誤

1.y=『(x>0)是指數(shù)函數(shù).(X)

2.y=〃+2(a>o且是指數(shù)函數(shù).(x)

3.y=G>是指數(shù)衰減型函數(shù)模型.(V)

4.若兀0=〃為指數(shù)函數(shù)，則a>l.(X)

題型探究探究重點(diǎn)素養(yǎng)提升

--------------------------\--------

一、指數(shù)函數(shù)的概念

例1(1)下列函數(shù)中是指數(shù)函數(shù)的是.(填序號(hào))

①y=2.(何；②y=2Li；③尸⑨；④尸3:；⑤尸聲.

(2)若函數(shù)y=(42—34+3)"是指數(shù)函數(shù)，則實(shí)數(shù)a—.

答案⑴③(2)2

解析(1)①中指數(shù)式(小尸的系數(shù)不為1,故不是指數(shù)函數(shù)；②中y=2「i,指數(shù)位置不是x,

故不是指數(shù)函數(shù)；④中指數(shù)不是x,故不是指數(shù)函數(shù)；⑤中指數(shù)為常數(shù)且底數(shù)不是唯一確定

的值，故不是指數(shù)函數(shù)，故填③.

(a2—3a+3=1,

(2)由丫=(層—3。+3>爐是指數(shù)函數(shù)，可得八=,解得a=2.

出>0且a#I,

反思感悟判斷一個(gè)函數(shù)是否為指數(shù)函數(shù)的方法

(1)底數(shù)的值是否符合要求：

(2)〃'前的系數(shù)是否為1;

(3)指數(shù)是否符合要求.

跟蹤訓(xùn)練1(1)若函數(shù)y=〃(2—。尸是指數(shù)函數(shù)，則()

A.a=1或-1B.a=1

C.〃=-1D.a>0且

答案C

解析因?yàn)楹瘮?shù)>=層(2—。尸是指數(shù)函數(shù)，

產(chǎn)=1,

所以｛2—a>0,解得〃=—1.

[2—a#l,

(2)若函數(shù)y=(2。一3尸是指數(shù)函數(shù)，則實(shí)數(shù)?的取值范圍是

答案(|,2)U(2,+8)

3

2a—3>0,-

解析由題意知2

2a—3#1,

二、求指數(shù)函數(shù)的解析式、函數(shù)值

例2⑴已知函數(shù),是指數(shù)函數(shù)，且/(一號(hào)=奈則<3)=.

答案125

解析設(shè)/(x)=〃(a>0,且aWl),

由/(T)=雪得

所以。=5,即/)=5、所以13)=53=125.

(2)已知函數(shù)y=?r),x￡R,且10)=3,42=:，…，〃《N*,求函數(shù)y

八uj乙.八1)乙八九U乙

=兀0的一個(gè)解析式.

解當(dāng)X增加1時(shí)函數(shù)值都以3的衰減率衰減，

函數(shù)K0為指數(shù)衰減型，

分-0)，

又式0)=3,；.A=3,

.?孫)=3&

反思感悟解決此類問題的關(guān)鍵是觀察出函數(shù)是指數(shù)增長型還是指數(shù)衰減型，然后用待定系

數(shù)法設(shè)出函數(shù)解析式，再代入已知條件求解.

跟蹤訓(xùn)練2已知函數(shù)兀0=〃+儀a>0,且經(jīng)過點(diǎn)(-1,5),(0,4),則五一2)的值為

答案7

1

a~]+b=5,

解析由已知得，解得J2

a0+b=4,

、b=3,

所以述x)=C)"+3，

所以2)=?-2+3=4+3=7.

三、指數(shù)增長型和指數(shù)衰減型函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

例3甲、乙兩城市現(xiàn)有人口總數(shù)都為100萬人，甲城市人口的年自然增長率為1.2%,乙城

市每年增長人口1.3萬.試解答下面的問題：

(1)寫出兩城市的人口總數(shù)y(萬人)與年份x(年)的函數(shù)關(guān)系式；

⑵計(jì)算10年、20年、30年后兩城市的人口總數(shù)(精確到0.1萬人)；

⑶對(duì)兩城市人口增長情況作出分析.

參考數(shù)據(jù)：(1+1.2%嚴(yán)入1.127,(1+1.2%嚴(yán)心1.269,(1+1.2%)30Al.430.

解(1)1年后甲城市人口總數(shù)為

100+100X1.2%=100X(1+1.2%)；

2年后甲城市人口總數(shù)為

y早=1OOX(1+1.2%)+1OOX(1+1.2%)X1.2%=1OOX(1+1.2%)2；

3年后甲城市人口總數(shù)為

yf=100*(1+1.2%)3；

x年后甲城市人口總數(shù)為y單=100X(1+1.2%)，.

x年后乙城市人口總數(shù)為yz=100+1.3x.

(2)10年、20年、30年后，甲、乙兩城市人口總數(shù)(單位：萬人)如表所示.

10年后20年后30年后

甲112.7126.9143.0

乙113126139

（3）甲、乙兩城市人口都逐年增長，而甲城市人口增長的速度快些，呈指數(shù)增長型，乙城市人

口增長緩慢，呈線性增長.從中可以體會(huì)到，不同的函數(shù)增長模型，增長變化存在很大差異.

反思感悟解決有關(guān)增長率問題的關(guān)鍵和措施

（1）解決這類問題的關(guān)鍵是理解增長（衰減）率的意義：增長（衰減）率是所研究的對(duì)象在“單位時(shí)

間”內(nèi)比它在“前單位時(shí)間”內(nèi)的增長（衰減）率，切記并不總是只和開始單位時(shí)間內(nèi)的比較.

（2）具體分析問題時(shí)，應(yīng)嚴(yán)格計(jì)算并寫出前3?4個(gè)單位時(shí)間的具體值，通過觀察、歸納出規(guī)

律后，再概括為數(shù)學(xué)問題，最后求解數(shù)學(xué)問題即可.

（3）在實(shí)際問題中，有關(guān)人口增長、銀行復(fù)利、細(xì)胞分裂等增長率問題常可以用指數(shù)函數(shù)模型

表示，通常可以表示為），=N（l+p興其中N為基礎(chǔ)數(shù)，p為增長率，x為時(shí)間）的形式.

跟蹤訓(xùn)練3中國共產(chǎn)黨第十八屆中央委員會(huì)第五次全體會(huì)議認(rèn)為，到2020年全面建成小康

社會(huì)，是我們黨確定的“兩個(gè)一百年”奮斗目標(biāo)的第一個(gè)百年奮斗目標(biāo).全會(huì)提出了全面建

成小康社會(huì)新的目標(biāo)要求：經(jīng)濟(jì)保持中高速增長，在提高發(fā)展平衡性、包容性、可持續(xù)性的

基礎(chǔ)上，到2020年國內(nèi)生產(chǎn)總值和城鄉(xiāng)居民人均收入比2010年翻一番，產(chǎn)業(yè)邁向中高端水

平，消費(fèi)對(duì)經(jīng)濟(jì)增長貢獻(xiàn)明顯加大，戶籍人口城鎮(zhèn)化率加快提高.

設(shè)從2011年起，城鄉(xiāng)居民人均收入每一年比上一年都增長p%.下面給出了依據(jù)“到2020年

城鄉(xiāng)居民人均收入比2010年翻一番”列出的關(guān)于p的四個(gè)關(guān)系式：

①（l+p%）X10=2；

②（1+p%嚴(yán)=2；

③]0。+。％）=2；

④l+10Xp%=2.

其中正確的是（）

A.①B.②C.③D.@

答案B

解析已知從2011年起，城鄉(xiāng)居民人均收入每一年比上一年都增長p%.

則由到2020年城鄉(xiāng)居民人均收入比2010年翻一番，可得：（l+p%）i°=2；

正確的關(guān)系式為②.

隨堂演練----------基-礎(chǔ)-鞏-固學(xué)、-以-致-用-

1.下列函數(shù)：

①y=2?3"；②③y=3"；④y=/.

其中，指數(shù)函數(shù)的個(gè)數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

答案B

解析①中，3,的系數(shù)是2,故①不是指數(shù)函數(shù)；

②中，y=3#i的指數(shù)是x+1,不是自變量x,故②不是指數(shù)函數(shù)；

③中，），=3。3*的系數(shù)是1,指數(shù)是自變量x,且只有3,一項(xiàng)，故③是指數(shù)函數(shù);

④中，y=V中底數(shù)為自變量，指數(shù)為常數(shù)，故④不是指數(shù)函數(shù).

所以只有③是指數(shù)函數(shù).故選B.

2.若函數(shù)y=（川一〃?一1>”是指數(shù)函數(shù)，則m等于（）

A.一1或2B.-1

C.2D.1

答案C

解得，”=2（舍機(jī)=-1）,故選C.

3.如表給出函數(shù)值了隨自變量x變化的一組數(shù)據(jù)，由此可判斷它最可能的函數(shù)模型為（）

A.一次函數(shù)模型B.二次函數(shù)模型

C.指數(shù)函數(shù)模型D.累函數(shù)模型

答案C

解析觀察數(shù)據(jù)可得y=4+

4.某種細(xì)胞分裂時(shí)，由1個(gè)分裂成2個(gè)，2個(gè)分裂成4個(gè)，…，現(xiàn)有2個(gè)這樣的細(xì)胞，分裂

x次后得到細(xì)胞的個(gè)數(shù)y與x的函數(shù)關(guān)系式是（）

A.y=2xB.y=2A'-1

C.y=2'D.y=2"i

答案D

解析分裂一次后由2個(gè)變成2X2=2?（個(gè)），分裂兩次后變成4X2=23（個(gè)），…，分裂x次后

變成y=2-i（個(gè)）.

5.貝x）為指數(shù)函數(shù)，若兀v）過點(diǎn)（-2,4）,則用（-1））=.

答案|

解析設(shè)式幻=出（〃>0且〃W1）,

所以八-2）=4,2=4,解得。=；,

-課堂小結(jié)

1.知識(shí)清單：

（1）指數(shù)函數(shù)的定義.

（2）指數(shù)增長型和指數(shù)衰減型函數(shù)模型.

2.方法歸納：待定系數(shù)法.

3.常見誤區(qū)：易忽視底數(shù)。的限制條件：。＞0且“#1.

課時(shí)對(duì)點(diǎn)練注重雙基強(qiáng)化落實(shí)

----------------------N--------------------

基礎(chǔ)鞏固

i.下列函數(shù)中，指數(shù)函數(shù)的個(gè)數(shù)為（）

①尸似一|；

②y=a，（a＞0,且。燈）；

③y=1r；

A.0B.1C.3D.4

答案B

解析由指數(shù)函數(shù)的定義可判定，只有②正確.

2.若函數(shù)人勸=（｝“一3）/是指數(shù)函數(shù)，則的值為（）

A.2B.-2C.-2^2D.2吸

答案D

解析因?yàn)楹瘮?shù)人x）是指數(shù)函數(shù)，

所以5—3=1,所以a=8,

所以_/U）=8。fQ）=82=2吸.

3.下列函數(shù)關(guān)系中，可以看作是指數(shù)型函數(shù)丫=依"6&。＞0且aWl）的模型的是（）

A.豎直向上發(fā)射的信號(hào)彈，從發(fā)射開始到信號(hào)彈到達(dá)最高點(diǎn)，信號(hào)彈的高度與時(shí)間的關(guān)系（不

計(jì)空氣阻力）

B.我國人口年自然增長率為1%時(shí)，我國人口總數(shù)與年份的關(guān)系

C.如果某人rs內(nèi)騎車行進(jìn)了1km,那么此人騎車的平均速度。與時(shí)間r的函數(shù)關(guān)系

D.信件的郵資與其重量間的函數(shù)關(guān)系

答案B

解析A中的函數(shù)模型是二次函數(shù)；

B中的函數(shù)模型是指數(shù)型函數(shù)；

C中的函數(shù)模型是反比例函數(shù)；

D中的函數(shù)模型是一次函數(shù).故選B.

4.據(jù)報(bào)道，某淡水湖的湖水在50年內(nèi)減少了10%,若每年以相同的衰減率呈指數(shù)衰減，按

此規(guī)律,設(shè)2019年的湖水量為從2019年起,經(jīng)過x年后湖水量y與x的函數(shù)關(guān)系為()

X

A.尸0.9石

X

B.>=(1-0.何而

X

C.y=O.95Ow

D.>'=(l-0.150v)m

答案C

解析方法一設(shè)每年的衰減率為q%,

則(q%嚴(yán)=0.9,

1

所以4%=0.9石，

X

所以x年后的湖水量y=0.9而m.

方法二設(shè)每年的衰減率為q%,

1

則(1-4%嚴(yán)=。9,所以g%=l—0.9而,

1X

所以—(1-0.9而)r=0.9而m.

5.下列函數(shù)圖象中，有可能表示指數(shù)函數(shù)的是()

ABCD