2024年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)壓軸題04幾何綜合（3題型+7類型+解題模板+技巧精講）（解析版）

壓軸題解題模板04幾何綜合目錄TOC\o"1-1"\n\p""\h\z\u題型一線段最值問題①動(dòng)點(diǎn)路徑問題②“胡不歸”問題③“將軍飲馬”問題④“造橋選址”問題題型二：面積平分問題題型三面積最值問題題型解讀：幾何綜合問題在中考中以填空題和解答題的形式出現(xiàn)，考查難度較大.此類問題在中考中多考查面積平分、面積最值和幾何變換的綜合問題，一般要用到特殊三角形、特殊四邊形、相似三角形、圓、銳角三角函數(shù)、勾股定理、圖形變換的性質(zhì)和二次函數(shù)的最值等相關(guān)知識，以及分類討論、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想.此類題型常涉及以下問題：①幾何圖形中的線段最值問題②探究圖形面積的分割問題；③探究圖形面積的最值問題.右圖為幾何綜合問題中各題型的考查熱度.下圖為二次函數(shù)圖象性質(zhì)與幾何問題中各題型的考查熱度.題型一線段最值問題分類：①動(dòng)點(diǎn)路徑問題②“胡不歸”問題③“將軍飲馬”問題④“造橋選址”問題解題模板：①動(dòng)點(diǎn)路徑問題【例1】（山東濟(jì)寧-中考真題）研究立體圖形問題的基本思路是把立體圖形問題轉(zhuǎn)化為平面圖形問題．（1）閱讀材料立體圖形中既不相交也不平行的兩條直線所成的角，就是將直線平移使其相交所成的角．例如，正方體（圖1）．因?yàn)樵谄矫嬷?，，與相交于點(diǎn)A，所以直線與所成的就是既不相交也不平行的兩條直線與所成的角．解決問題如圖1，已知正方體，求既不相交也不平行的兩條直線與所成角的大小．（2）如圖2，M，N是正方體相鄰兩個(gè)面上的點(diǎn)．①下列甲、乙、丙三個(gè)圖形中，只有一個(gè)圖形可以作為圖2的展開圖，這個(gè)圖形是；②在所選正確展開圖中，若點(diǎn)M到，的距離分別是2和5，點(diǎn)N到，的距離分別是4和3，P是上一動(dòng)點(diǎn)，求的最小值．【答案】（1）；（2）①丙；②10【分析】（1）連接，則為等邊三角形，即可求得既不相交也不平行的兩條直線與所成角的大??；（2）①根據(jù)正方體側(cè)面展開圖判斷即可；②根據(jù)對稱關(guān)系作輔助線即可求得的最小值．【詳解】解：（1）連接，∵，與相交與點(diǎn)，即既不相交也不平行的兩條直線與所成角為，根據(jù)正方體性質(zhì)可得：，∴為等邊三角形，∴，即既不相交也不平行的兩條直線與所成角為；（2）①根據(jù)正方體展開圖可以判斷，甲中與原圖形中對應(yīng)點(diǎn)位置不符，乙圖形不能拼成正方體，故答案為丙；②如圖：作M關(guān)于直線AB的對稱點(diǎn)，連接，與交于點(diǎn)P，連接MP，則，過點(diǎn)N作BC垂線，并延長與交于點(diǎn)E，∵點(diǎn)M到的距離是5，點(diǎn)N到的距離是3，∴，∵點(diǎn)M到的距離是2，點(diǎn)N到的距離是4，∴，∴，故最小值為10．【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)、正方體的側(cè)面展開圖、根據(jù)對稱關(guān)系求最短距離、勾股定理等知識點(diǎn)，讀懂題意，明確最小時(shí)的情況是解題的關(guān)鍵．【變式1-1】（山東日照-中考真題）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，以AB為邊在AB上方作正方形ABDE，過點(diǎn)D作DF⊥CB，交CB的延長線于點(diǎn)F，連接BE．（1）求證：△ABC≌△BDF；（2）P，N分別為AC，BE上的動(dòng)點(diǎn)，連接AN，PN，若DF＝5，AC＝9，求AN+PN的最小值．【答案】（1）見解析；（2）14【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得出BD=AB，∠DBA=90°，進(jìn)而得出∠DBF=∠CAB，因?yàn)椤螩=∠DFB=90°．根據(jù)AAS即可證得結(jié)論；（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)AN=DN，如使得AN+PN最小，只需D、N、P在一條直線上，根據(jù)垂線段最短，作DP1⊥AC，交BE于點(diǎn)N1，垂足為P1，則AN+PN的最小值等于DP1=FC=14．【詳解】（1）證明：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，DF⊥CB，∴∠C＝∠DFB＝90°．∵四邊形ABDE是正方形，∴BD＝AB，∠DBA＝90°，∵∠DBF+∠ABC＝90°，∠CAB+∠ABC＝90°，∴∠DBF＝∠CAB，∴△ABC≌△BDF（AAS）；（2）解：∵△ABC≌△BDF，∴DF＝BC＝5，BF＝AC＝9，∴FC＝BF+BC＝9+5＝14．如圖，連接DN，∵BE是正方形頂點(diǎn)A與頂點(diǎn)D的對稱軸，∴AN＝DN．如使得AN+PN最小，只需D、N、P在一條直線上，由于點(diǎn)P、N分別是AC和BE上的動(dòng)點(diǎn)，作DP1⊥AC，交BE于點(diǎn)N1，垂足為P1，所以，AN+PN的最小值等于DP1＝FC＝14．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，軸對稱-最短路線問題，熟練掌握正方形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【變式1-2】（江蘇連云港-中考真題）如圖，四邊形為平行四邊形，延長到點(diǎn)，使，且．(1)求證：四邊形為菱形；(2)若是邊長為2的等邊三角形，點(diǎn)、、分別在線段、、上運(yùn)動(dòng)，求的最小值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）先根據(jù)四邊形為平行四邊形的性質(zhì)和證明四邊形為平行四邊形，再根據(jù)，即可得證；（2）先根據(jù)菱形對稱性得，得到，進(jìn)一步說明的最小值即為菱形的高，再利用三角函數(shù)即可求解．【詳解】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，，∵，∴，又∵點(diǎn)在的延長線上，∴，∴四邊形為平行四邊形，又∵，∴四邊形為菱形．（2）解：如圖，由菱形對稱性得，點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)在上，∴，當(dāng)、、共線時(shí)，，過點(diǎn)作，垂足為，∵，∴的最小值即為平行線間的距離的長，∵是邊長為2的等邊三角形，∴在中，，，，∴，∴的最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查了最值問題，考查了菱形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)等知識，運(yùn)用了轉(zhuǎn)化的思想方法．將最值問題轉(zhuǎn)化為求菱形的高是解答本題的關(guān)鍵．【變式1-3】（2023-四川自貢-中考真題）如圖1，一大一小兩個(gè)等腰直角三角形疊放在一起，，分別是斜邊，的中點(diǎn)，．

(1)將繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，請直接寫出點(diǎn)，距離的最大值和最小值；(2)將繞頂點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)（如圖），求的長．【答案】(1)最大值為，最小值為(2)【分析】（1）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線，得出的值，進(jìn)而根據(jù)題意求得最大值與最小值即可求解；（2）過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求得，進(jìn)而得出，進(jìn)而可得，勾股定理解，即可求解．【詳解】（1）解：依題意，，，當(dāng)在的延長線上時(shí)，的距離最大，最大值為，當(dāng)在線段上時(shí)，的距離最小，最小值為；

（2）解：如圖所示，過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，

∵繞頂點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，∴，∵，∴，∴，∴，∴，在中，，在中，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理是解題的關(guān)鍵．②“胡不歸”問題【例2】（2023-江蘇泰州-三模）如圖，已知中，，E是上的一點(diǎn)，，點(diǎn)D是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，沿折疊，點(diǎn)C與重合，連接．

(1)求證：；(2)若點(diǎn)F是上一點(diǎn)，且，求的最小值．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）折疊，得到，根據(jù)的值，求出的值，進(jìn)而得到，再根據(jù)，即可得證；（2）根據(jù)相似的性質(zhì)得到，得到，得到當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小為的長，過點(diǎn)作于點(diǎn)，易得，求出的長，利用勾股定理求出的長即可．【詳解】（1）解：∵沿折疊，點(diǎn)C與重合，∴，∵，∴，∵，∴，又，∴；（2）∵，∴∴，∴∴當(dāng)點(diǎn)E，點(diǎn)，點(diǎn)F三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值為的長，如圖，過點(diǎn)E作于H，

∵，，，∴，∵，，∴，∴∴，∴，，∴，∴，∴的最小值．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理．解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定定理，證明三角形相似．【變式2-1】（2023-廣東廣州-二模）如圖①，在四邊形中，，，．

(1)求的度數(shù)；(2)如圖②，為線段的中點(diǎn)，連接，求證：；(3)如圖③，若，線段上有一動(dòng)點(diǎn)，連接，將沿所在直線翻折至的位置，為的對應(yīng)點(diǎn)，連接，，請直接寫出的最小值．【答案】(1)(2)見解析(3)【分析】（1）如圖1中，連接．求出，，可得結(jié)論；（2）如圖2中，連接，延長到，使得，在上取一點(diǎn)，使得，連接．證明，推出，再證明，推出，可得結(jié)論；（3）如圖3中，在上取一點(diǎn)，使得，連接．．證明，推出，推出，推出，由，推出當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，的值最小，進(jìn)而可得結(jié)論．【詳解】（1）解：如圖1中，連接．

，，是等邊三角形，，，，，，，，，；（2）證明：如圖2中，連接，延長到，使得，在上取一點(diǎn)，使得，連接．

，，，，是等邊三角形，，，，，，，，，

四邊形是平行四邊形，，四邊形是菱形，，，，，，，；（3）解：如圖3中，在上取一點(diǎn)，使得，連接，

，，，，點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，設(shè)交圓弧于點(diǎn)，連接．，，，，，，，，，

，，當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，的值最小，，【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問題．【變式2-2】（2023-廣東廣州-二模）如圖，菱形中，，，點(diǎn)、分別為線段、上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，連接，．

(1)求的長；(2)連接，若，求證：；(3)若，試求的最小值．【答案】(1)(2)見解析(3)【分析】（1）證明是等邊三角形，即可求解；（2）延長至，使得，在上取，連接，證明，可得，，證明四邊形是平行四邊形，可得，即可得出，進(jìn)而證明，即可得證；（3）將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，則，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，，此時(shí)取得最小值，為的中點(diǎn)，當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)（或者設(shè)其他點(diǎn)為中點(diǎn)，再證明為中點(diǎn)），過點(diǎn)作于點(diǎn)，勾股定理解直角三角形，即可求解．【詳解】（1）解：∵菱形中，，∴，∵，∴是等邊三角形，又∵，∴；（2）解：如圖所示，延長至，使得，在上取，連接，

在與中，∴∴，∵是等邊三角形，∴，，∴，∴四邊形是平行四邊形，∴，，∴，∵，設(shè)，則在中，，∴，∴∵∴，∴在中，∴，∴，∴；（3）如圖所示，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，

將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，則，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，，此時(shí)取得最小值，∵是等腰直角三角形，∴，∵三點(diǎn)共線∴，∴，∵為的中點(diǎn)，當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，∴，，則，∴，，∵∴，∵∴又，∴，∴，∴當(dāng)是的中點(diǎn)時(shí)，三點(diǎn)共線，過點(diǎn)作于點(diǎn)，∴，，∴，在中，，∵，∴，即的最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，平行四邊形的性質(zhì)與判定，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．【變式2-3】（廣東廣州-中考真題）如圖，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，AB=6，連接BD．(1)求BD的長；(2)點(diǎn)E為線段BD上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B，D重合），點(diǎn)F在邊AD上，且BE=DF，①當(dāng)CE丄AB時(shí)，求四邊形ABEF的面積；②當(dāng)四邊形ABEF的面積取得最小值時(shí)，CE+CF的值是否也最小？如果是，求CE+CF的最小值；如果不是，請說明理由．【答案】(1)；(2)①四邊形ABEF的面積為；②最小值為12【分析】（1）證明△ABC是等邊三角形，可得BO=，即可求解；（2）過點(diǎn)E作AD的垂線，分別交AD和BC于點(diǎn)M，N，根據(jù)菱形的面積可求出MN=，設(shè)BE=，則EN=，從而得到EM=MN-EN=，再由BE=DF，可得DF=，從而得到四邊形ABEF的面積s=S△ABD-S△DEF，①當(dāng)CE⊥AB時(shí)，可得點(diǎn)E是△ABC重心，從而得到BE=CE=BO=，即可求解；②作CH⊥AD于H，可得當(dāng)點(diǎn)E和F分別到達(dá)點(diǎn)O和點(diǎn)H位置時(shí)，CF和CE分別達(dá)到最小值；再由，可得當(dāng)，即BE=時(shí)，s達(dá)到最小值，從而得到此時(shí)點(diǎn)E恰好在點(diǎn)O的位置，而點(diǎn)F也恰好在點(diǎn)H位置，即可求解．【詳解】（1）解∶連接AC，設(shè)AC與BD的交點(diǎn)為O，如圖，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA=OC，AB∥CD，AC平分∠DAB，∵∠BAD=120°，∴∠CAB=60°，∴△ABC是等邊三角形，∴BO=AB?sin60°==，∴BD=2BO=；（2）解：如圖，過點(diǎn)E作AD的垂線，分別交AD和BC于點(diǎn)M，N，∵△ABC是等邊三角形，∴AC=AB=6，由（1）得：BD=；菱形ABCD中，對角線BD平分∠ABC，AB∥CD，BC=AB=6，∴MN⊥BC，∵∠BAD=120°，∴∠ABC=60°，∴∠EBN=30°；∴EN=BE∵，∴MN=，設(shè)BE=，則EN=，∴EM=MN-EN=，∵S菱形ABCD=AD?MN=，∴S△ABD=S菱形ABCD=，∵BE=DF，∴DF=，∴S△DEF=DF?EM==，記四邊形ABEF的面積為s，∴s=S△ABD-S△DEF=-（），∵點(diǎn)E在BD上，且不在端點(diǎn)，∴0<BE<BD，即；①當(dāng)CE⊥AB時(shí)，∵OB⊥AC，∴點(diǎn)E是△ABC重心，∴BE=CE=BO=，此時(shí)=，∴當(dāng)CE⊥AB時(shí)，四邊形ABEF的面積為；②作CH⊥AD于H，如圖，∵CO⊥BD，CH⊥AD，而點(diǎn)E和F分別在BD和AD上，∴當(dāng)點(diǎn)E和F分別到達(dá)點(diǎn)O和點(diǎn)H位置時(shí)，CF和CE分別達(dá)到最小值；在菱形ABCD中，AB∥CD，AD=CD，∵∠BAD=120°，∴∠ADC=60°，∴△ACD是等邊三角形，∴AH=DH=3，∴CH=，∵，∴當(dāng)，即BE=時(shí)，s達(dá)到最小值，∵BE=DF，∴DF=3，此時(shí)點(diǎn)E恰好在點(diǎn)O的位置，而點(diǎn)F也恰好在點(diǎn)H位置，∴當(dāng)四邊形ABEF面積取得最小值時(shí)，CE和CF也恰好同時(shí)達(dá)到最小值，∴CE+CF的值達(dá)到最小，其最小值為CO+CH==12．【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，三角形的重心，解直角三角形等知識，熟練掌握菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，三角形的重心，解直角三角形等知識是解題的關(guān)鍵．③“將軍飲馬”問題【例3】【變式3-1】（23-24九年級上-黑龍江大慶-期中）如圖，以矩形的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，所在的直線為軸，所在的直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系．已知，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，在上取一點(diǎn)，將沿翻折，使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處．

(1)直接寫出點(diǎn)、的坐標(biāo)；(2)連接交于點(diǎn)，求的面積．(3)在軸、軸上是否分別存在點(diǎn)、，使得四邊形的周長最小？如果存在，求出周長的最小值和直線的函數(shù)解析式；如果不存在，請說明理由．【答案】(1)；(2)的面積為(3)在軸、軸上存在點(diǎn)、，使得四邊形的周長最??；四邊形的周長最小為；直線的函數(shù)解析式：【分析】（1）根據(jù)，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，即可得到點(diǎn)的坐標(biāo)；利用折疊性質(zhì)可得，，即可得到點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）利用折疊性質(zhì)可以得到，，從而得到，，利用比例性質(zhì)可以得到，利用同高可以得到，根據(jù)即可求出的面積；（3）如圖，作點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，連接，與軸、軸上交于點(diǎn)、點(diǎn)，此時(shí)的點(diǎn)、使得四邊形的周長最小，利用勾股定理求出，，即可得到四邊形的周長最小值；將點(diǎn)，點(diǎn)，代入，利用待定系數(shù)法即可求出直線的函數(shù)解析式；【詳解】（1）解：∵，，∴點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴點(diǎn)；∵將沿翻折，使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處．∴，，點(diǎn)；（2）∵沿翻折，使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處．∴，∴，，即：，∴，∴，即：∵，∴，∴的面積為；

（3）在軸、軸上存在點(diǎn)、，使得四邊形的周長最??；如圖，作點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，連接，與軸、軸上交于點(diǎn)、點(diǎn)，此時(shí)的點(diǎn)、使得四邊形的周長最?。?/p>

由對稱性可知：點(diǎn)，點(diǎn)，，，在中，∵，，∴，∴，又∵，；四邊形的周長最小為：；設(shè)直線的函數(shù)解析式，∵直線經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)，代入得：，解得：直線的函數(shù)解析式：．【點(diǎn)睛】本題考查線段長度與點(diǎn)的坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化，折疊的性質(zhì)，相似三角形判定與性質(zhì)及同高轉(zhuǎn)化面積比，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，線段和最小問題的基本解題思路是利用對稱轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間的距離問題，綜合性較強(qiáng)，熟練掌握折疊性質(zhì)及線段和最小的方法是解決本題的關(guān)鍵．【變式3-2】（天津西青-一模）如圖①，將一個(gè)矩形紙片放置在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)是，點(diǎn)的坐標(biāo)是，點(diǎn)的坐標(biāo)是，點(diǎn)是的中點(diǎn)，在上取一點(diǎn)，將沿翻折，使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處．（1）求點(diǎn)、的坐標(biāo)；（2）如圖②，若點(diǎn)是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)，重合），過點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)的長為，的面積為，請求出關(guān)于的關(guān)系式；（3）如圖③，在軸、軸上是否分別存在點(diǎn)、，使得四邊形的周長最?。咳舸嬖冢埱蟪鏊倪呅沃荛L的最小值及此時(shí)點(diǎn)、的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由【答案】（1）點(diǎn)的坐標(biāo)是，點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）；（3）存在，在軸、軸上分別存在點(diǎn)、，使得四邊形的周長最小，最小值為．【分析】（1）求出CF和AE的長度即可寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）用x表示出PD長度，結(jié)合三角函數(shù)進(jìn)一步表示DH，PH的長度，運(yùn)用三角形面積公式即可求解；（3）作點(diǎn)F關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)F′，點(diǎn)E關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)E′，連接E′F′交y軸于點(diǎn)N，交x軸于點(diǎn)M，此時(shí)四邊形MNFE的周長最小，求出E′和F′的坐標(biāo)直接求線段長度即可．【詳解】解：（1）∵點(diǎn)A的坐標(biāo)是（3，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0，2），∴OA=3，OC=2，根據(jù)矩形OABC知AB=OC=2，BC=OA=3，由折疊知DA=DF=OC=2，∴OD=OA-DA=1，∴點(diǎn)F坐標(biāo)為（1，2），∵點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，∴EA=1，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)是（3，1）；（2）如圖2∵將△BDA沿BD翻折，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)F處，∴BF=AB=2，∴OD=CF=3-2=1，若設(shè)OP的長為x，則，PD=x-1，在Rt△ABD中，AB=2，AD=2，∴∠ADB=45°，在Rt△PDH中，PH=DH=DP×=（x-1），∴S=×DH×PH=×（x-1）×（x-1）=（1＜x＜3）；（3）如圖3作點(diǎn)F關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)F′，點(diǎn)E關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)E′，連接E′F′交y軸于點(diǎn)N，交x軸于點(diǎn)M，此時(shí)四邊形MNFE的周長最小，可求，點(diǎn)F（1，2）關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)F′（-1，2），點(diǎn)E（3，1）關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)E′（3，-1），用兩點(diǎn)法可求直線E′F′的解析式為：y=-，當(dāng)x=0時(shí)，y=，當(dāng)y=0時(shí)，x=，∴N（0，），M（，0），此時(shí)，四邊形MNFE的周長=E′F′+EF=；∴在x軸、y軸上分別存在點(diǎn)M、N，使得四邊形MNFE的周長最小，最小為5+．【點(diǎn)睛】本題是四邊形的綜合問題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式以及利用軸對稱求最短路線和勾股定理等知識，掌握根據(jù)對稱轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間的距離的問題是解題的關(guān)鍵．【變式3-3】（陜西寶雞）問題提出（1）在圖1中作出點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)問題探究（2）如圖2，在中，，，為的中點(diǎn)，為線段上一點(diǎn)，求的最小值.問題解決（3）如圖3，四邊形為小區(qū)綠化區(qū)，，，，，，是以為圓心，為半徑的圓弧.現(xiàn)在規(guī)劃在，邊和邊上分別取一點(diǎn)，，，使得為這一區(qū)域小路，求小路長度的最小值.【答案】（1）見解析；（2）；（3）【分析】（1）根據(jù)對稱性即可作圖；（2）作點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，此時(shí)值最小，連接，根據(jù)圖形的特點(diǎn)及等邊三角形的性質(zhì)即可求解；（3）因?yàn)闉槎ㄖ担约辞蟮淖钚≈担B接，，分別以，所在的直線為對稱軸作點(diǎn)的對稱點(diǎn)，，連接，此時(shí)的值最小，即為長，根據(jù)圖形的特點(diǎn)、等邊三角形的性質(zhì)與勾股定理即可求解．【詳解】解：（1）如圖1所示，點(diǎn)即為所求.（2）如圖2，作點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，此時(shí)值最小，連接.∵，∴.∵垂直平分，∴為等邊三角形.∵點(diǎn)為中點(diǎn)，∴，∴.（3）要求的最小值，因?yàn)闉槎ㄖ担约辞蟮淖钚≈?如圖，連接，，分別以，所在的直線為對稱軸作點(diǎn)的對稱點(diǎn)，，連接，此時(shí)的值最小，即為長.∵，∴，∴為等邊三角形，即.∵，∴，∴的最小值為.當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)值最小，由題知，，，∴，∴．【點(diǎn)睛】此題主要考查軸對稱的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟知對稱性、等邊三角形的性質(zhì)及勾股定理的運(yùn)用．④“造橋選址”問題【例4】（23-全國）有一條以互相平行的直線為岸的河流，其兩側(cè)有村莊和村莊，現(xiàn)在要在河上建一座橋梁（橋與河岸垂直），使兩村莊之間的路程最短，從作圖痕跡上來看，正確的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】根據(jù)軸對稱確定最短路線，即可得到答案．【詳解】解：根據(jù)軸對稱確定最短路線問題，過村莊作河岸的垂線并且等于河的寬度，然后與村莊連接與河岸相交于一點(diǎn)，過點(diǎn)作與相交于點(diǎn)，連接，則即為最短路徑，如圖

所示，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對稱確定最短路線問題，利用的原理為平行四邊形的對邊相等，難度較大．【變式4-1】（湖北黃石）已知，在河的兩岸有A，B兩個(gè)村莊，河寬為4千米，A、B兩村莊的直線距離AB＝10千米，A、B兩村莊到河岸的距離分別為1千米、3千米，計(jì)劃在河上修建一座橋MN垂直于兩岸，M點(diǎn)為靠近A村莊的河岸上一點(diǎn)，則AM+BN的最小值為(

)A．2 B．1+3 C．3+ D．【答案】A【分析】作BB'垂直于河岸，使BB′等于河寬，連接AB′，與靠近A的河岸相交于M，作MN垂直于另一條河岸，則MN∥BB′且MN＝BB′，于是MNBB′為平行四邊形，故MB′＝BN；根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，AB′最短，即AM+BN最短，此時(shí)AM+BN＝AB′．【詳解】解：如圖，作BB'垂直于河岸，使BB′等于河寬，連接AB′，與靠近A的河岸相交于M，作MN垂直于另一條河岸，則MN∥BB′且MN＝BB′，于是MNBB′為平行四邊形，故MB′＝BN．根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，AB′最短，即AM+BN最短．∵AB＝10千米，BC＝1+3+4＝8千米，∴在RT△ABC中，，在RT△AB′C中，B′C＝1+3＝4千米，∴AB′＝千米；故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對稱—最短路徑問題，要利用“兩點(diǎn)之間線段最短”，但許多實(shí)際問題沒這么簡單，需要我們將一些線段進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即用與它相等的線段替代，從而轉(zhuǎn)化成兩點(diǎn)之間線段最短的問題．目前，往往利用對稱性、平行四邊形的相關(guān)知識進(jìn)行轉(zhuǎn)化．【變式4-2】（23-24全國）如圖所示，某條護(hù)城河在處角轉(zhuǎn)彎，河寬相同，從處到達(dá)處，須經(jīng)過兩座橋（橋?qū)挷挥?jì)，橋與河垂直），設(shè)護(hù)城河以及兩座橋都是東西、南北走向的，恰當(dāng)?shù)卦鞓蚩墒沟降穆烦套疃?，請確定兩座橋的位置．

【答案】見解析【分析】由于含有固定線段“橋”，需要將點(diǎn)向下平移至點(diǎn)，點(diǎn)向右平移至點(diǎn)，構(gòu)造平行四邊形進(jìn)行求解即可．【詳解】解：如圖所示，

，將點(diǎn)向下平移至點(diǎn)，使的長等于河寬，將點(diǎn)向右平移至點(diǎn)，使的長等于河寬；連接，與河岸相交于點(diǎn)，；過點(diǎn)作于點(diǎn)D，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則，即為兩橋的位置．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對稱—最短路徑問題，由于有固定的長度的線段，常用的方法通過平移，構(gòu)造平行四邊形，將問題轉(zhuǎn)化為平行四邊形的問題解答．【變式4-3】已知，在河的兩岸有A，B兩個(gè)村莊，河寬為1千米，A、B兩村莊的直線距離AB＝10千米，A、B兩村莊到河岸的距離分別為1千米、3千米，計(jì)劃在河上修建一座橋MN垂直于兩岸，M點(diǎn)為靠近A村莊的河岸上一點(diǎn)，求AM＋BN的最小值．【答案】．【分析】作BB'垂直于河岸，使BB′等于河寬，連接AB′，與靠近A的河岸相交于M，作MN垂直于另一條河岸，則MN∥BB′且MN＝BB′，于是MNBB′為平行四邊形，故MB′＝BN；根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，AB′最短，即AM＋BN最短，此時(shí)AM＋BN＝AB′．【詳解】作BB`垂直于河岸，使BB`等于河寬，連接AB`，與靠近A的河岸相交于M，作MN垂直于另一條河岸，則MN∥BB`且MN＝BB`，于是MNBB`為平行四邊形，故MB`＝BN，當(dāng)AM＋MB′＝AB時(shí)，AM＋BN最小，∵AB＝10，BC＝1＋3＋1＝5，∴在Rt△ABC中，，在Rt△AB`C中，B`C＝5－1＝4千米，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對稱－－－最短路徑問題，要利用“兩點(diǎn)之間線段最短”，但許多實(shí)際問題沒這么簡單，需要我們將一些線段進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即用與它相等的線段替代，從而轉(zhuǎn)化成兩點(diǎn)之間線段最短的問題．目前，往往利用對稱性、平行四邊形的相關(guān)知識進(jìn)行轉(zhuǎn)化．題型二：面積平分問題解題模板：技巧精講1：利用中線平分圖形面積的方法2.利用對稱性平分圖形面積的方法【例5】（三角形或規(guī)則圖形）（2023-湖南益陽-中考真題）如圖，在中，，，點(diǎn)D在邊上，將線段繞點(diǎn)D按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到，線段交于點(diǎn)E，作于點(diǎn)F，與線段交于點(diǎn)G，連接．

(1)求證：；(2)求證：；(3)若，，當(dāng)平分四邊形的面積時(shí)，求的長．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，再根據(jù)，可得，即可；（2）根據(jù)，可得點(diǎn)B，C，G，F(xiàn)四點(diǎn)共圓，從而得到，，從而得到，進(jìn)而得到，可證明，即可；（3）連接，根據(jù)，，可得，，，設(shè)，則可得，，，，，，再由平分四邊形的面積，可得，從而得到關(guān)于x的方程，即可求解．【詳解】（1）證明：∵線段繞點(diǎn)D按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到，∴，∴，∵，即，∴，∵，∴，在和中，∵，，∴；（2）證明：∵，∴點(diǎn)B，C，G，F(xiàn)四點(diǎn)共圓，∴，，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，即；（3）解：如圖，連接，

∵，∴，，∵，，∴，∴，，∴，設(shè)，則，∴，，，∴，∴，，∵平分四邊形的面積，∴，∴，即，解得：（負(fù)值舍去），∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理等知識，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式5-1】（2023-江蘇鹽城-二模）（1）【問題探究】如圖①，點(diǎn)B，C分別在上，米，米，米，米，米．①探究與是否相似并說明理由；②求的長．（2）【問題解決】如圖②，四邊形規(guī)劃為園林綠化區(qū)，對角線將整個(gè)四邊形分成面積相等的兩部分，已知米，四邊形的面積為平方米，為了更好地美化環(huán)境，政府計(jì)劃在邊上分別確定點(diǎn)E，F(xiàn)，在邊上確定點(diǎn)P，Q，使四邊形為矩形，在矩形內(nèi)種植花卉，在四邊形剩余區(qū)域種植草坪，為了方便市民觀賞，計(jì)劃在之間修一條小路，并使得最短，根據(jù)設(shè)計(jì)要求，求出的最小值，并求出當(dāng)最小時(shí)，花卉種植區(qū)域的面積．

【答案】（1）①，理由見解析；②26米；（2），平方米．【分析】（1）①通過兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，證明出；②利用相似三角形的性質(zhì)即可求出的長；（2）作交于點(diǎn)G，通過三角形的面積求出的長，然后通過得到，用含有n的式子將需要的量表示出來，放在中，通過勾股定理得到一個(gè)二次函數(shù)解析式，利用二次函數(shù)圖像和性質(zhì)求出最值即可．【詳解】解：（1）①，理由如下：∵米，米，米，米，∴，又∵，∴，②∵，∴，∴米．（2）如圖所示，作交于點(diǎn)G，∵平方米，∴平方米，∴米，∵四邊形為矩形，

∴，∴，∴，設(shè)，則，即，，在中，由勾股定理得，∴，∵，∴當(dāng)時(shí)，最小，最小為，即最小為，此時(shí)，，∴，∴最小值為，此時(shí)花卉種植區(qū)域的面積為平方米．

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)等知識點(diǎn)，解題的關(guān)鍵在于能夠合理的添加輔助線，構(gòu)造相似三角形，要求能夠熟練運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)以及二次函數(shù)性質(zhì).【變式5-2】（2023-陜西西安-二模）【問題探究】（1）如圖1，已知，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，連接，則（填“”“”或“”）（2）如圖2，在梯形中，，請過點(diǎn)A作一條直線平分梯形的面積，點(diǎn)P是與的交點(diǎn)，并說明理由；【問題解決】（3）如圖3是某公園的一塊空地，由和四邊形組成，，，米，，，公園管理人員現(xiàn)準(zhǔn)備過點(diǎn)A修一條筆直的小路（小路面積忽略不計(jì)），將這塊空地分成面積相等的兩部分（點(diǎn)M在邊上），分別種植兩種不同的花卉，請?jiān)趫D中確定點(diǎn)M的位置，并計(jì)算小路的長．（結(jié)果保留根號）

【答案】（1）=；（2）圖、理由見解析；（3）圖見解析，AM長度為米【分析】（1）根據(jù)中點(diǎn)的定義得出，則和等底同高，推出；（2）在上取點(diǎn)K，使，作的中點(diǎn)P，則直線即為所求；設(shè)直線，之間的距離為h，則，，推出，即可求證；（3）過E作于T，過A作于P，交于Q，易得四邊形，四邊形都是矩形，是等腰直角三角形．求出（米），（米）；米，米；米，則（平方米），由等腰直角三角形和矩形的對稱性可知：（平方米）；在中，，即，求出米，進(jìn)而得出（平方米），則（平方米）；即可求出（平方米），（平方米），根據(jù)三角形面積公式求出，即可求解．【詳解】解：（1）∵點(diǎn)D是的中點(diǎn)，∴，∴和等底同高，∴；故答案為：=；（2）如圖：

在上取點(diǎn)K，使，作的中點(diǎn)P，則直線即為所求；理由如下：設(shè)直線，之間的距離為h，∴，，∵，P為中點(diǎn)，∴，∴；（3）過E作于T，過A作于P，交于Q，如圖：

理由如下：∵，，，，∴四邊形，四邊形都是矩形，∵米，，∴是等腰直角三角形．∴（米），（米）；∵，∴米，米；∴米，∴（平方米），由等腰直角三角形和矩形的對稱性可知：（平方米）；在中，，即，∴米，∴（平方米），∴（平方米）；∵將這塊空地分成面積相等的兩部分，∴（平方米），∴（平方米），∴，解得，∴，．∴M到C的距離為米，長度為米．【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了四邊形的面積，三角形的面積，解直角三角形等知識，解題關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考?？碱}型．【變式5-3】（2023-陜西西安-三模）問題提出：(1)如圖1，是的中線，則有___________填“”、“”或“”)．問題探究：(2)如圖2，點(diǎn)是矩形內(nèi)一點(diǎn)，，，點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，、分別位于、軸正半軸，，，是否存在直線經(jīng)過點(diǎn)且將矩形分成面積相等的兩部分，若存在，請求出直線l的解析式：如不存在，請說明理由．問題解決：(3)如圖3，長方形是西安某學(xué)校在疫情期間為學(xué)生核酸檢測圍成的一個(gè)工作區(qū)域，頂點(diǎn)，在坐標(biāo)軸上，記為坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)，，原有的一個(gè)出入口在邊上，且米．為使工作高效有序，現(xiàn)計(jì)劃在邊，，上依次再設(shè)出入口，，，沿，拉兩道警戒線將工作區(qū)域分成面積相等的四部分．請問，是否存在滿足上述條件的點(diǎn)，，，如存在，請求出點(diǎn)的坐標(biāo)及的函數(shù)表達(dá)式，如不存在，請說明理由．【答案】(1)；(2)；(3)；【分析】（1）根據(jù)等底同高的三角形面積相等，即可求解；（2）連接、交于點(diǎn)，過、作直線則直線即為所求，由待定系數(shù)法求出直線的解析式即可；（3）根據(jù)矩形的性質(zhì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，即可解決問題．【詳解】解：（1）是的中線，根據(jù)等底同高的三角形面積相等，則，故答案為：；（2）連接、交于點(diǎn)，如下圖所示：四邊形是矩形，，，，，，，，，過、作直線則直線即為所求，設(shè)直線的解析式為由題意得解得：∴直線l的解析式為；（3）如下圖，在上取，連接，則，，取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，則是的中位線，米，米，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，由于長方形被分成四塊面積相等的部分，每塊面積為：平方米，又平方米，在點(diǎn)N的下方取一點(diǎn)，使平方米，由得：米，米，點(diǎn)坐標(biāo)為，，連接并延長交于，則、、、為所求作的點(diǎn)，設(shè)的解析式為：則，，解得：，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)綜合題，三角形中線的性質(zhì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，矩形的性質(zhì)，面積的等分線，解題關(guān)鍵是利用面積確定點(diǎn)G的位置．【典例6】（如圖，長方形各頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、、、，長方形各頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、、、．平移長方形得到長方形，且點(diǎn)的坐標(biāo)為．

(1)畫出長方形．(2)如果長方形沿的方向平移，至與重合停止，設(shè)平移過程中平移的距離為，長方形與長方形重疊的面積為S，請直接寫出平移過程中S的最大值______；此時(shí)d的取值范圍為______．(3)畫出一條直線把原圖長方形與長方形組成的復(fù)合圖形分成面積相等的兩部分．【答案】(1)見解析(2)4；(3)見解析【分析】（1）通過點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)，明確長方形平移的方式，從而可畫出長方形．（2）通過分析可知當(dāng)長方形完全在長方形中時(shí)，面積取到最大值，即可求出最大和的取值范圍．（3）先求出復(fù)合圖形的總面積，設(shè)直線與的交點(diǎn)為，通過面積求出的長度，從而可畫出直線．【詳解】（1）解：由題意知，長方形向右平移了四個(gè)單位長度，向上平移了四個(gè)單位長度得到長方形，作圖如下：

．（2）由題意知，，，當(dāng)長方形完全在長方形中時(shí)，重合面積最大，為；當(dāng)時(shí)，長方形完全進(jìn)入長方形；當(dāng)時(shí)，長方形開始離開長方形，所以當(dāng)時(shí)，取最大值為4．故答案為：4；．（3）由題意知，，，則復(fù)合圖形的面積為，所以復(fù)合圖形面積的一半為8，設(shè)過點(diǎn)且平分復(fù)合圖形面積的直線為，則與的交點(diǎn)在線段上，設(shè)為，，即，解得，由于，所以，即點(diǎn)是最靠近點(diǎn)的線段的一個(gè)五等分點(diǎn)，則畫圖如下：

【點(diǎn)睛】本題主要考查了圖象的平移．解題的關(guān)鍵是明確平移的方式．另外，應(yīng)區(qū)別開平移點(diǎn)和平移圖形的規(guī)律．【變式6-1】【問題提出】（1）如圖①，點(diǎn)D為的邊的中點(diǎn)，連接，若的面積為3，則的面積為_______；【問題探究】（2）如圖②，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在第一象限，連接，作軸于點(diǎn)B，若，，過點(diǎn)B的直線l將分成面積相等的兩部分，求直線l的函數(shù)表達(dá)式；【問題解決】（3）如圖③，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形是某市將要籌建的高新技術(shù)開發(fā)區(qū)用地示意圖，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，為了方便駐區(qū)單位，計(jì)劃過點(diǎn)O修一條筆直的道路（路寬不計(jì)），并且使直線將四邊形分成面積相等的兩部分，記直線與所在直線的交點(diǎn)為D，再過點(diǎn)A修一條筆直的道路（路寬不計(jì)），并且使直線將分成面積相等的兩部分，你認(rèn)為直線和是否存在？若存在，請求出直線和的函數(shù)表達(dá)式；若不存在，請說明理由．【答案】（1）6；（2）；（3）存在，直線的函數(shù)表達(dá)式為，直線的函數(shù)表達(dá)式為【分析】（1）利用三角形同高等底面積相等即可得解；（2）利用勾股理得出，進(jìn)而得出，，，利用三角形同高等底面積相等得出，代入的函數(shù)表達(dá)式可得出，利用待定系數(shù)法即可得出直線l的函數(shù)表達(dá)式；（3）過點(diǎn)A作軸于點(diǎn)M，過點(diǎn)B作軸于點(diǎn)H，先證出，利用三角形面積相等得出直線的函數(shù)表達(dá)式為，由直線經(jīng)過的中點(diǎn)E，可證出，從而得出，再利用待定系數(shù)法即可得出直線的函數(shù)表達(dá)式．【詳解】（1）解：設(shè)中，邊上的高為h，∵點(diǎn)D為的邊的中點(diǎn)，∴，∴，∵，∴，故答案為：6；（2）解：∵軸于點(diǎn)B，∴，∵，即，∴，∴，，．設(shè)直線l與的交點(diǎn)為C，如圖②，則，即，∴．由可得到直線的函數(shù)表達(dá)式為，在中，令，得，∴；設(shè)直線l的函數(shù)表達(dá)式為．將點(diǎn)代入，得解得；∴直線l的函數(shù)表達(dá)式為；（3）解：過點(diǎn)A作軸于點(diǎn)M，過點(diǎn)B作軸于點(diǎn)H，延長交于點(diǎn)N，如圖③．∵，∴，，，，，∴，，，∴，．∵，，，∴，∴，∴直線經(jīng)過點(diǎn)B，且點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，∴直線的函數(shù)表達(dá)式為，∵直線將的面積分為相等的兩部分，∴由（1）可知，直線經(jīng)過的中點(diǎn)E，連接，則，∴，∴，在中，令，得，∴，設(shè)直線的函數(shù)表達(dá)式為，將點(diǎn)代入，得解得；∴直線的函數(shù)表達(dá)式為．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，求一次函數(shù)解析式，勾股定理，三角形中點(diǎn)的性質(zhì)等知識點(diǎn)，熟練掌握其性質(zhì)的綜合應(yīng)用是解決此題的關(guān)鍵．【變式6-2】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)、分別在軸上、軸上，，，若點(diǎn)的坐標(biāo)為，，且．

(1)求點(diǎn)、、的坐標(biāo)；(2)若動(dòng)點(diǎn)P從原點(diǎn)出發(fā)沿軸正半軸以每秒個(gè)單位長度的速度向右運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒，求為何值時(shí)，直線把四邊形分成面積為：的兩部分；(3)在(2)的條件下，當(dāng)直線把四邊形分成面積相等的兩部分時(shí)，在軸上找一點(diǎn)，連接，使三角形的面積與四邊形的面積相等，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)，，，(2)或(3)或【分析】（1）由根式的非負(fù)性可求，的值，即可求解；（2）由梯形面積公式可求四邊形的面積，由三角形的面積公式可求的長，即可求的值；（3）由三角形面積公式可求的長，即可求點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】（1）解：∵∴，解得，，∴，如圖所示，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，

∵，，∴，，∴，，∴，，；（2）∵∴四邊形的面積為：，∵直線把四邊形分成面積為：的兩部分，∴或∵動(dòng)點(diǎn)P從原點(diǎn)出發(fā)沿軸正半軸以每秒個(gè)單位長度的速度向右運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒，∴∴或，解得：或（3）解：∵當(dāng)直線把四邊形分成面積相等的兩部分∴∴，∴，即，設(shè)，則∴即解得：或∴或【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了根式的非負(fù)性，梯形的面積公式，三角形的面積公式，求出點(diǎn)坐標(biāo)是本題的關(guān)鍵．【變式6-3】如圖，在四邊形中，，，，，，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)D開始沿邊向點(diǎn)C以每秒的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿向點(diǎn)A以每秒的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)D、B同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．(1)當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形為平行四邊形？(2)當(dāng)t為何值時(shí)，將四邊形的面積分成相等的兩部分？【答案】(1)當(dāng)秒時(shí)，四邊形是平行四邊形；(2)當(dāng)為何值時(shí)，將四邊形的面積分成相等的兩部分．【分析】（1）根據(jù)，構(gòu)建方程求解即可；（2）先計(jì)算得出梯形的面積，再列式計(jì)算即可求解．【詳解】（1）解：由題意得，，則，，∵，∴當(dāng)時(shí)，四邊形是平行四邊形，則有，解得，當(dāng)秒時(shí)，四邊形是平行四邊形；（2）解：∵，，，，∴梯形的面積為，∵，，，由題意得，解得，當(dāng)為何值時(shí)，將四邊形的面積分成相等的兩部分．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的判定和性質(zhì)，梯形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題．題型三面積最值問題技巧精講：解題模板：【例7】（2023-山東濰坊-中考真題）工匠師傅準(zhǔn)備從六邊形的鐵皮中，裁出一塊矩形鐵皮制作工件，如圖所示．經(jīng)測量，，與之間的距離為2米，米，米，，．，，是工匠師傅畫出的裁剪虛線．當(dāng)?shù)拈L度為多少時(shí)，矩形鐵皮的面積最大，最大面積是多少？

【答案】當(dāng)?shù)拈L度為米時(shí)，矩形鐵皮的面積最大，最大面積是平方米【分析】連接，分別交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，先判斷出四邊形是矩形，從而可得，再判斷出四邊形和四邊形都是矩形，從而可得米，，然后設(shè)矩形的面積為平方米，米，則米，米，利用矩形的面積公式可得關(guān)于的二次函數(shù)，最后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可得．【詳解】解：如圖，連接，分別交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，

，，米，四邊形是平行四邊形，又，四邊形是矩形，，，，，四邊形是矩形，，四邊形和四邊形都是矩形，米，，和都是等腰直角三角形，，，設(shè)矩形的面積為平方米，米，則米，米，米，米，，又，與之間的距離為2米，米，，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大；當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小，則當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為，答：當(dāng)?shù)拈L度為米時(shí)，矩形鐵皮的面積最大，最大面積是平方米．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的幾何應(yīng)用、矩形的判定與性質(zhì)等知識點(diǎn)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【變式7-1】（2023-山東濱州-中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形的一邊在軸正半軸上，頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)是邊上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作交邊于點(diǎn)，作交邊于點(diǎn)，連接．設(shè)的面積為．

(1)求關(guān)于的函數(shù)解析式；(2)當(dāng)取何值時(shí)，的值最大？請求出最大值．【答案】(1)(2)當(dāng)時(shí)，的最大值為【分析】（1）過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，證明是等邊三角形，可得，進(jìn)而證明，得出，根據(jù)三角形面積公式即可求解；（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）解：如圖所示，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，

∵頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴，，∴，∴∵四邊形是菱形，∴，,，∴是等邊三角形，∴，∵，∴,∴∴是等邊三角形，∴∵，∴，∴∵，，則，∴∴∴∴∴（2）解：∵∵，∴當(dāng)時(shí)，的值最大，最大值為．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形，特殊角的三角函數(shù)值，二次函數(shù)的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．【變式7-2】（2023-遼寧阜新-中考真題）如圖，在正方形中，線段繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到處，旋轉(zhuǎn)角為，點(diǎn)F在直線上，且，連接．

(1)如圖1，當(dāng)時(shí)，①求的大小（用含的式子表示）．②求證：．(2)如圖2，取線段的中點(diǎn)G，連接，已知，請直接寫出在線段旋轉(zhuǎn)過程中（）面積的最大值．【答案】(1)①；②見解析；(2)面積的最大值為．【分析】（1）①利用等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理計(jì)算得到，據(jù)此求解即可；②連接，計(jì)算得到，利用證明，推出是等腰直角三角形，據(jù)此即可證明；（2）過點(diǎn)G作的垂直，交直線于點(diǎn)H，連接相交于點(diǎn)O，連接，利用直角三角形的性質(zhì)推出點(diǎn)G在以點(diǎn)O為圓心，為半徑的一段弧上，得到當(dāng)點(diǎn)在同一直線上時(shí)，有最大值，則面積的最大值，據(jù)此求解即可．【詳解】（1）解：①∵四邊形是正方形，∴，，由題意得，，∴，∴，∵，∴，∴，∴；②連接，

∵，∴，∵，∴，∴，，∵，∴，∴是等腰直角三角形，∴；（2）解：過點(diǎn)G作的垂線，交直線于點(diǎn)H，連接相交于點(diǎn)O，連接，

由（1）得是等腰直角三角形，又點(diǎn)G為斜邊的中點(diǎn)，∴，即，∵四邊形是正方形，∴，∴，∴點(diǎn)G在以點(diǎn)O為圓心，為半徑的一段弧上，當(dāng)點(diǎn)在同一直線上時(shí)，有最大值，則面積的最大值，∴，∴面積的最大值為．【點(diǎn)睛】本題考查的是正方形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理，掌握相關(guān)的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．【變式7-3】（2023-湖北武漢-模擬預(yù)測）問題提出如圖（1），在中，，,連接，探究．

問題探究（1）先將問題特殊化．如圖（2），當(dāng)時(shí)，求的值．（2）再探究一般情形．如圖（1），當(dāng)時(shí)，求的值；問題拓展如圖（3），在中，，，P是內(nèi)一點(diǎn)，，交于F，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求的值．【答案】問題探究（1）當(dāng)時(shí)的值為；（2）的值為；問題拓展（3）當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)的值為【分析】（1）通過證明，可得，即可求解；（2）通過證明，可得，即可求解；（3）由題意可得當(dāng)時(shí)，的面積最大，先證明，由相似三角形的性質(zhì)可求解．【詳解】（1）∵，∴，∵，∴；∴，∴，又∵，∴，∴，∵，∴，∴；（2）∵，∴，∵，∴，∵，∴；∴，∴，又∵，∴，∴；（3）∵，∴點(diǎn)P在以點(diǎn)D為圓心，1為半徑的圓上，∵，∴點(diǎn)E在以為直徑的圓上，∴當(dāng)時(shí)，的面積最大，如圖，

∵，，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴點(diǎn)A，點(diǎn)E，點(diǎn)D，點(diǎn)C四點(diǎn)共圓，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題是相似形綜合題，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，等腰直角三角形的性質(zhì)，圓的有關(guān)知識，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．一、解答題1．在矩形中，，，點(diǎn)在邊上，將射線繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，交延長線于點(diǎn)，以線段，為鄰邊作矩形．

(1)如圖1，連接，求的度數(shù)和的值；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)在射線上時(shí)，求線段的長；(3)如圖3，當(dāng)時(shí)，在平面內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)，滿足，連接，，求的最小值．【答案】(1)，；(2)；(3)．【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得出，，，進(jìn)而根據(jù)正切函數(shù)得出，可求出，由矩形和矩形可得，，求出，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得出答案；（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)，由矩形和矩形可得，，，證明，進(jìn)而得出，設(shè)，則，根據(jù)，得出，求出，進(jìn)而可得出答案；（3）連接，先證明是等邊三角形，，得出，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，與重合，得到，進(jìn)而求出，，，得出，可得當(dāng)點(diǎn)，，三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，此時(shí)為．【詳解】（1）解：∵矩形中，，，∴，，，∴，∴，由矩形和矩形可得，，∴，即，∴，∴；（2）解：如答案圖1，過點(diǎn)作于點(diǎn)，由矩形和矩形可得，，，∴，，∴，∴，，∴，，∴，∴，設(shè)，則，∴，∵，∴，解得，∴；（3）解：如答案圖2，連接，∵矩形中，，，∴，，∵，∴，，∴，∴是等邊三角形，，∴，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，與重合，得到，∴，，，∴，∴當(dāng)點(diǎn)，，三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，此時(shí)為．

【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)，三角函數(shù)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．2．如圖，在中，，點(diǎn)在邊上，連接，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，．

(1)求證：；(2)若時(shí)，求的長；(3)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試探究的值是否存在最小值，如果存在，求出這個(gè)最小值；如果不存在，請說明理由．【答案】(1)見解析(2)(3)存在，【分析】（1）由即可證明；（2）證明（），勾股定理得到，在中，勾股定理即可求解；（3）證明，即可求解．【詳解】（1）解：由題意，可知，，．．即．．（2）在中，，．．，，．．．在中，．（3）由（2）可知，．當(dāng)最小時(shí)，有的值最小，此時(shí)．為等腰直角三角形，．．即的最小值為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圖形的幾何變換，涉及到等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．3．某數(shù)學(xué)小組在一次數(shù)學(xué)探究活動(dòng)過程中，經(jīng)歷了如下過程：問題提出：如圖，正方形中，，為對角線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以為直角頂點(diǎn)，向右作等腰直角．(1)操作發(fā)現(xiàn)：的最小值為_______，最大值為_______；(2)數(shù)學(xué)思考：求證：點(diǎn)在射線上；(3)拓展應(yīng)用：當(dāng)時(shí)，求的長．【答案】(1)8，(2)見解析(3)當(dāng)時(shí)，【分析】（1）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到對角線的中點(diǎn)時(shí)，值最??；當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A或點(diǎn)C時(shí)，最大．（2）分點(diǎn)P在線段與兩種情況討論，連接，只需證明，利用三點(diǎn)構(gòu)成的平角為時(shí)處在同一條直線上即可證明．（3），利用即可求解．【詳解】（1）如圖2，由于點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到與垂直時(shí)，根據(jù)“垂線段最短”可知最短，則最短，此時(shí)與對角線重合，與重合，∴．由于點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A或點(diǎn)C時(shí)，斜線段最長，因此最長，此時(shí)：，則；（2）連接，連接交于點(diǎn)，則是等腰直角三角形．①如圖2，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，

∵，∴．∵，∴，∴．∴．∴點(diǎn)在線段的延長線上．②如圖3，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，

同理．∴．∴．∵點(diǎn)在線段上．綜上所述，點(diǎn)在射線上上．（3）如圖2，設(shè)，∵正方形邊長為8，∴，∵，∴，即，解得，∴當(dāng)時(shí)，．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等相關(guān)知識點(diǎn)，解題的關(guān)鍵靈活運(yùn)用這些知識點(diǎn)．4．如圖，正方形是邊長為4米的一塊板材．操作一：現(xiàn)需從中裁出一個(gè)等腰直角模具，點(diǎn)P在邊上，Q在正方形的內(nèi)部或邊上．(1)如圖，若，米，是否能裁出符合條件的？若能，確定Q的位置；若不能，請說明理由．

(2)如圖，連接，在對角線上取點(diǎn)Q，連接，過點(diǎn)Q作交邊于P，連接，得到．請證明符合裁剪要求．

操作二：經(jīng)探究，操作一的模具大小至多為正方形面積的一半，現(xiàn)修改模具形狀為四邊形，并按面積要求進(jìn)行裁剪．即在正方形中重新裁出的一個(gè)四邊形模具，點(diǎn)P、Q分別在邊上．(3)如圖，若需裁出的四邊形面積為10平方米，請?zhí)骄磕＞咚倪呅沃荛L的最小值．

【答案】(1)不能，理由見解析(2)見解析(3)【分析】（1）利用正方形的性質(zhì)結(jié)合全等三角形進(jìn)行判斷即可；（2）過點(diǎn)Q作于點(diǎn)M，延長交于點(diǎn)N，證明，即可推出，由此得到結(jié)論；（3）延長至點(diǎn)E，使，證得，得到，根據(jù)面積求出，設(shè)，則，利用勾股定理求出的值，利用函數(shù)的性質(zhì)得到當(dāng)時(shí)，最小，故也最小，勾股定理求出，即可求出四邊形周長的最小值．【詳解】（1）解：不能裁出符合條件的，∵，∴，∵四邊形是正方形，∴，∴，∴，又∵，∴與不全等，故，故不是等腰直角三角形，∴不能裁出符合條件的；

（2）如圖，過點(diǎn)Q作于點(diǎn)M，延長交于點(diǎn)N，

∵，∴，∴四邊形是矩形，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴是等腰直角三角形；

（3）如圖，延長至點(diǎn)E，使，

∵，∴，∴，∵，∴，解得，設(shè)，則，∴，，∴，∴當(dāng)時(shí)，最小，故也最小，∴，∴四邊形周長的最小值．【點(diǎn)睛】此題考查了正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，綜合掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．5．問題提出

（1）如圖1，已知點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn)，分別過點(diǎn)作，，連接.若，，，則的最小值為；問題解決（2）如圖2，某公園規(guī)劃修建一塊形如四邊形的牡丹園，其中，，，，，的內(nèi)心處修建一個(gè)圓形噴水池，公園的入口是的中點(diǎn)，是一條觀賞小道，其余部分種植牡丹，現(xiàn)需要在邊上取點(diǎn)，上找點(diǎn)，修建道路為了節(jié)省成本，需要使修建的道路最短，即的值最小，是否存在這樣的點(diǎn)，使得的值最??？若存在，請求出其最小值；若不存在，請說明理由.【答案】（1）；（2）；【分析】（1）根據(jù)矩形的判定與性質(zhì)得到，，再利用“兩點(diǎn)之間，線段最短”及勾股定理即可解答；（2）根據(jù)矩形的判定與性質(zhì)得到，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)及勾股定理解答．【詳解】解：（1）過作交的延長線于點(diǎn)，∴，∵，，∴，∴四邊形是矩形，∵，，，∴，，∴當(dāng)點(diǎn)在同一直線上時(shí)，由“兩點(diǎn)之間，線段最短”可得：的最小值為的長度，∴在中，，∴，∴的最小值為，故答案為；

（2）如圖所示，作點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，∴，∵，∴，∵，，∴，∵在中，，，∴是等邊三角形，延長交于點(diǎn)，∵為為內(nèi)心，∴為的高，∵，∴四邊形是矩形，∴，∴（），∵為的內(nèi)心，∴為的重心，外心，∴，∴，∵兩點(diǎn)之間，線段最短，∴當(dāng)點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，有最小值，∴有最小值，∴，∵，∴，∴，∴有最小值為；

【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)，矩形的判定與性質(zhì)，兩點(diǎn)之間，線段最短，根據(jù)題意畫出圖形是解題的關(guān)鍵．6．如圖，在中，是邊上的中線，點(diǎn)E是的中點(diǎn)．過點(diǎn)A作交的延長線于點(diǎn)F，連接．

(1)求證：；(2)若，試判斷四邊形的形狀，并證明你的結(jié)論；(3)在（2）的情況下，如果，點(diǎn)M在線段上移動(dòng)，當(dāng)有最小值時(shí)，求的長度．【答案】(1)見解析(2)菱形，見解析(3)【分析】（1）由平行線的性質(zhì)可得，再由點(diǎn)E是的中點(diǎn)及對頂角相等即可證明結(jié)論；（2）由（1）可得，可得，由平行四邊形的判定可得四邊形是平行四邊形，由直角三角形斜邊中線的性質(zhì)即可判定四邊形為菱形；（3）連接交于M，有最小值，則點(diǎn)M即為所求；由題意可得四邊形是正方形；在線段上任取一點(diǎn)，連接，，，則，由由可得，即可求得的長度．【詳解】（1）證明：∵，∴，∵點(diǎn)E是的中點(diǎn)，∴，在和中，，∴；（2）證明：四邊形是菱形．∵，∴，∵，∴又，∴四邊形是平行四邊形，∵是邊上的中線，∴，∴四邊形是菱形；（3）解：連接交于M，有最小值，則點(diǎn)M即為所求，理由如下：∵，四邊形是菱形，∴四邊形是正方形，點(diǎn)D與點(diǎn)F關(guān)于直線對稱，∴，∴，，在線段上任取一點(diǎn)，連接，，，則，∴有最小值為的長．∵，∴，∴，∴，∴即當(dāng)有最小值時(shí)，的長度為

【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定，正方形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，勾股定理，兩點(diǎn)間線段最短等知識，涉及的知識點(diǎn)較多，靈活運(yùn)用是關(guān)鍵．7．如圖1，已知和均為等腰直角三角形，，，，點(diǎn)D在線段上，點(diǎn)F為中點(diǎn)，點(diǎn)M為中點(diǎn)，點(diǎn)N為中點(diǎn)．

(1)如圖1，______，和之間的數(shù)量關(guān)系是______；(2)如圖2，繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)G為中點(diǎn)，求證：四邊形為正方形；(3)如圖3，若，，在將繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)過程中，直線，交于點(diǎn)H，直接寫出面積的最小值．【答案】(1)(2)見解析(3)4【分析】（1）連接，延長交于點(diǎn)G，證明，得出，，推出，即，則，根據(jù)三角形的中位線定理得，，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，則，即可得出結(jié)論；（2）連接，相交于點(diǎn)H，交于點(diǎn)P，通過證，得出，，根據(jù)三角形的中位線定理得出，則四邊形為菱形，用和（1）相同的方法證明，即可求證四邊形為正方形；（3）根據(jù)題意可得點(diǎn)D在以點(diǎn)C為圓心，長為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)與直線相切時(shí)，面積最小，通過證明四邊形為正方形，得出，，求出，最后根據(jù)，即可求解．【詳解】（1）解：連接，延長交于點(diǎn)G，∵和均為等腰直角三角形，∴，∴，∴，，∵，∴，即，∴，∵點(diǎn)F為中點(diǎn)，點(diǎn)M為中點(diǎn)，點(diǎn)N為中點(diǎn)，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴為等腰直角三角形，∴，故答案為：；

（2）證明：連接，相交于點(diǎn)H，交于點(diǎn)P，∵和均為等腰直角三角形，∴，∴，即，∴，∴，，∵點(diǎn)F為中點(diǎn)，點(diǎn)M為中點(diǎn)，點(diǎn)N為中點(diǎn)，點(diǎn)G為中點(diǎn)，∴，，∴，則四邊形為菱形，∵，∴，即，∴，∵，∴，∴，∴，∴四邊形為正方形；

（3）解：根據(jù)題意可得：點(diǎn)D在以點(diǎn)C為圓心，長為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，令點(diǎn)H到直線距離為h，∴，∵由圖可知，當(dāng)與直線相切時(shí)，最小，則h最小，∴當(dāng)與直線相切時(shí)，面積最小，由（2）可知，，，∴，∵與直線相切，∴，∵，，，∴四邊形為矩形，∴四邊形為正方形，則，，∵，為等腰直角三角形，∴，∵，∴，∴，，∴．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形的中位線定理，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確畫出輔助線，構(gòu)造全等三角形，靈活運(yùn)用三角形的中位線定理．8．綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以“正方形的折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動(dòng)．(1)操作判斷操作：如圖1，點(diǎn)E是邊長為12的正方形紙片的邊所在的射線上一動(dòng)點(diǎn)，將正方形沿著折疊，點(diǎn)D落在點(diǎn)F處，把紙片展平，射線DF交射線于點(diǎn)P．判斷：根據(jù)以上操作，圖1中與的數(shù)量關(guān)系：______．(2)遷移探究在（1）條件下，若點(diǎn)E是的中點(diǎn)，如圖2，延長交于點(diǎn)Q，點(diǎn)Q的位置是否確定？如果確定，求出線段的長度，如果不確定，說明理由；(3)拓展應(yīng)用在（1）條件下，如圖3，，交于點(diǎn)G，取的中點(diǎn)H，連接，求的最小值．【答案】(1)(2)點(diǎn)的位置確定，，理由見解析(3)的最小值為【分析】（1）如圖，設(shè)，交于點(diǎn)，由軸對稱性質(zhì)可得：，，再結(jié)合正方形的性質(zhì)可證明，從而得出，進(jìn)而得出；（2）連接，由折疊可知，由題意可知，進(jìn)而可得可證明，從而，設(shè)，則，在中，根據(jù)勾股定理可得，進(jìn)一步得出結(jié)果；（3）取的中點(diǎn)，再取的中點(diǎn)，連接，，，依次求得，，，可得，當(dāng)、、共線時(shí)，的最小值為．【詳解】（1）解：如圖，設(shè)，交于點(diǎn)，

由軸對稱性質(zhì)可得：，，∴，∴，∵四邊形是正方形，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，故答案為：；（2）點(diǎn)的位置確定，，理由如下：

連接，由折疊可知：，，，∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，∴，∵，，∴，∴，設(shè)，則，在中，，，，∴，∴，∴；（3）取的中點(diǎn)，再取的中點(diǎn)，連接，，，

∵，∴，∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，則是的中位線，∴，∵，，，∴，∵，∴當(dāng)、、共線時(shí)，的最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對稱的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理，三角形三邊的關(guān)系等知識，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造三角形的中位線．9．問題背景

(1)如圖1，四邊形中，，交于點(diǎn)E，其中，求證：．(2)嘗試應(yīng)用：如圖2，中，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)，是上兩點(diǎn)，交于點(diǎn)，若，，求的值．(3)遷移拓展：如圖3，中，，，點(diǎn)是上一點(diǎn)，，直接寫出線段長度的最小值．【答案】(1)見解析(2)(3)【分析】（1）根據(jù)得到成比例線段，然后結(jié)合夾角相等得出結(jié)論；（2）作于點(diǎn)，根據(jù)題意得為等腰直角三角形，結(jié)合題干數(shù)據(jù)通過設(shè)邊長表示各邊長度，并證得，即可得出所求兩條線段的長度，從而得出結(jié)論；（3）作的外接圓，過點(diǎn)作（點(diǎn)在上方），并取，結(jié)合題意證明，從而確定，再確定當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，由此計(jì)算即可．【詳解】（1）證：∵，∴，∵，∴；（2）解：如圖所示，作于點(diǎn)，由題意，為等腰直角三角形，，則為等腰直角三角形，∵，∴設(shè)，則，，，∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，設(shè)，則，，∵，，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，解得：，∴，∴；

（3）解：如圖所示，作的外接圓，連接、、，∵，，∴，過點(diǎn)作（點(diǎn)在上方），并取，連接，

∵，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，∴當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，此時(shí)，最小值為，∴線段長度的最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的綜合應(yīng)用，熟練運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)以及勾股定理是解題關(guān)鍵．10．已知拋物線：，且過點(diǎn)．(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式及其頂點(diǎn)坐標(biāo)A；(2)若拋物線G上兩點(diǎn)，滿足：對于，時(shí)，均有成立，求出的取值范圍；(3)直線：經(jīng)過，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，求最小值．【答案】(1)，(2)(3)【分析】（1）將點(diǎn)代入拋物線的關(guān)系式求得的值，即可得到拋物線的解析式，根據(jù)對稱軸即可求得頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）根據(jù)拋物線的性質(zhì)可得故拋物線開口向下，當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小，即可求得；（3）先求出點(diǎn)坐標(biāo)；過點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的平行線，過點(diǎn)作，與直線的交點(diǎn)為．求得直線與與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)銳角三角函數(shù)求得，即可得到，，推得當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求得的最小值．【詳解】（1）∵拋物線：，經(jīng)過點(diǎn)．將代入，得解得．∴拋物線的解析式為：．對稱軸為，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)．（2）由（1）可得拋物線解析式為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，故拋物線開口向下，當(dāng)時(shí)，隨的增大而減?。?dāng)，時(shí)，均有成立，故，即．∴解得：．（3）∵經(jīng)過，故將代入得．解得：．∴．如圖：過點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的平行線，過點(diǎn)作，與直線的交點(diǎn)為．將代入得，解得．∴直線與軸的交點(diǎn)為，∵，∴，∴，∴，∴，∴，即，∴，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小．∴，∴，∴最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，求一次函數(shù)的解析式，銳角三角函數(shù)等，能夠利用三角函數(shù)將轉(zhuǎn)化為是解題的關(guān)鍵．11．問題發(fā)現(xiàn)．（1）如圖①，已知菱形，，點(diǎn)M，N分別在，上，若四邊形的面積是菱形面積的，求的度數(shù)；問題解決：（2）如圖②，四邊形ABCD是一塊板材，其中，，，，，工人師傅想用這塊板材裁剪出一塊四邊形的部件，使得O是的中點(diǎn)，點(diǎn)M，N分別在，上，并要求四邊形部件的面積是四邊形板材面積的，求裁剪長度的最小值．

【答案】（1）（2）【分析】（1）連接，作，，根據(jù)菱形的性質(zhì)和可得和是等邊三角形，推得，，，根據(jù)四邊形的面積是菱形面積的可得，推得，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)可得，即可求得；（2）過點(diǎn)分別作于點(diǎn)，于點(diǎn)，連接，根據(jù)矩形的判定可得四邊形為矩形，根據(jù)平行線分線段成比例定理可得，推得，根據(jù)梯形中位線定理可得，根據(jù)正方形的判定可得矩形為正方形，根據(jù)勾股定理可得，根據(jù)四邊形部件的面積是四邊形板材面積的，推得，；過點(diǎn)作，取一點(diǎn)使，連接，，作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)可得，根據(jù)等角對等邊可得，根據(jù)勾股定理可得，推得，，，，根據(jù)勾股定理可得，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得，即可求得．【詳解】（1）連接，作于E，于F，如圖：

∵四邊形是菱形，且，∴和是等邊三角形，∴，，又∵，，∴∵四邊形的面積是菱形面積的，即，故，∴，即∴∴，∴，∵，∴，（2）過點(diǎn)分別作于點(diǎn)，