2024年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題04 三角形的性質(zhì)與判定 （講練）（解析版）

專題04三角形的性質(zhì)與判定目錄TOC\o"1-3"\n\h\z\u一、考情分析二、知識建構(gòu)考點一三角形的基礎(chǔ)題型01三角形的三邊關(guān)系題型02與三角形有關(guān)線段的綜合問題題型03三角形內(nèi)角和定理與外角和定理綜合問題題型04三角形內(nèi)角和與外角和定理的實際應(yīng)用【好題必刷·強化落實】考點二特殊三角形的性質(zhì)與判定題型01線段垂直平分線的性質(zhì)與判定題型02角平分線的性質(zhì)與判定題型03等腰三角形的性質(zhì)與判定題型04等邊三角形的性質(zhì)與判定題型05直角三角形的性質(zhì)與判定題型06勾股定理、勾股定理逆定理與網(wǎng)格問題題型07與三角形有關(guān)的折疊問題題型08趙爽弦圖題型09利用勾股定理解決實際問題【好題必刷·強化落實】

考點要求命題預(yù)測三角形的基礎(chǔ)三角形的基礎(chǔ)知識是解決后續(xù)很多幾何問題的基礎(chǔ)，所以在中考中考察的幾率比較大.在考察題型上，三角形基礎(chǔ)知識部分多以選擇或者填空題形式，考察其三邊關(guān)系、內(nèi)角和/外角和定理、“三線”基本性質(zhì)等.特殊三角形的性質(zhì)與判定也是考查重點，年年都會考查，最為經(jīng)典的“手拉手”模型就是以等腰三角形為特征總結(jié)的，且等腰三角形單獨出題的可能性還是比較大.直角三角形的出題類型可以是選擇填空題這類小題，也可以是各類解答題，以及融合在綜合壓軸題中，作為問題的幾何背景進行拓展延伸.特殊三角形的性質(zhì)與判定考點一三角形的基礎(chǔ)題型01三角形的三邊關(guān)系三角形三邊關(guān)系定理：三角形的兩邊之和大于第三邊．推論：三角形的兩邊之差小于第三邊．【解題技巧】1）判斷三條已知線段能否組成三角形，只需檢驗最短的兩邊之和大于第三邊，則可說明能組成三角形．2）已知三角形兩邊的長度分別為a，b，求第三邊長度的范圍：|a-b|＜c＜a＋b3）所有通過周長相加減求三角形的邊，求出兩個答案的，要注意檢查每個答案能否組成三角形．1．（2021·湖南婁底·統(tǒng)考中考真題）2,5,m是某三角形三邊的長，則(m?3)2+(m?7)A．2m?10 B．10?2m C．10 D．4【答案】D【分析】先根據(jù)三角形三邊的關(guān)系求出m的取值范圍，再把二次根式進行化解，得出結(jié)論．【詳解】解：∵2,5,m是三角形的三邊，∴5?2<m<5+2，解得：3<m<7，∴(m?3)故選：D．【點睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)及化簡，解題的關(guān)鍵是：先根據(jù)題意求出m的范圍，再對二次根式化簡．2．（2020·甘肅天水·統(tǒng)考中考真題）一個三角形的兩邊長分別為2和5，第三邊長是方程x2?8x+12=0的根，則該三角形的周長為【答案】13【分析】先利用因式分解法解方程x2-8x+12=0，然后根據(jù)三角形的三邊關(guān)系得出第三邊的長，則該三角形的周長可求．【詳解】解：∵x2-8x+12=0，∴x?2x?6∴x1=2，x2=6，∵三角形的兩邊長分別為2和5，第三邊長是方程x2-8x+12=0的根，當(dāng)x=2時，2+2＜5，不符合題意，∴三角形的第三邊長是6，∴該三角形的周長為：2+5+6=13．故答案為：13．【點睛】本題考查了解一元二次方程的因式分解法及三角形的三邊關(guān)系，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及定理是解題的關(guān)鍵．3．（2022·河北·統(tǒng)考中考真題）平面內(nèi)，將長分別為1，5，1，1，d的線段，順次首尾相接組成凸五邊形（如圖），則d可能是（

）A．1 B．2 C．7 D．8【答案】C【分析】如圖（見解析），設(shè)這個凸五邊形為ABCDE，連接AC,CE，并設(shè)AC=a,CE=b，先在△ABC和△CDE中，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理可得4<a<6，0<b<2，從而可得4<a+b<8，2<a?b<6，再在△ACE中，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理可得a?b<d<a+b，從而可得2<d<8，由此即可得出答案．【詳解】解：如圖，設(shè)這個凸五邊形為ABCDE，連接AC,CE，并設(shè)AC=a,CE=b，在△ABC中，5?1<a<1+5，即4<a<6，在△CDE中，1?1<b<1+1，即0<b<2，所以4<a+b<8，2<a?b<6，在△ACE中，a?b<d<a+b，所以2<d<8，觀察四個選項可知，只有選項C符合，故選：C．【點睛】本題考查了三角形的三邊關(guān)系定理，通過作輔助線，構(gòu)造三個三角形是解題關(guān)鍵．4．（2023·河北·中考真題）四邊形ABCD的邊長如圖所示，對角線AC的長度隨四邊形形狀的改變而變化．當(dāng)△ABC為等腰三角形時，對角線AC的長為（

）

A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】利用三角形三邊關(guān)系求得0<AC<4，再利用等腰三角形的定義即可求解．【詳解】解：在△ACD中，AD=CD=2，∴2?2<AC<2+2，即0<AC<4，當(dāng)AC=BC=4時，△ABC為等腰三角形，但不合題意，舍去；若AC=AB=3時，△ABC為等腰三角形，故選：B．【點睛】本題考查了三角形三邊關(guān)系以及等腰三角形的定義，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題．題型02與三角形有關(guān)線段的綜合問題三角形有關(guān)的線段的性質(zhì)：高（AD）中線（AD）角平分線（AD）中位線（DE）∠ADB=∠ADC=90°BD=CDS△ABD=S△ADCC∠BAD=∠DAC=12AD=DBAE=ECDE=121.三角形的高、中線、角平分線是三條線段，由三角形的高可得90°的角，由三角形的中線可得線段之間的關(guān)系，由三角形的角平分線可得角之間的關(guān)系．2.常見三角形的高：3.當(dāng)已知三角形兩邊的中點時，可考慮運用三角形中位線定理，得到相應(yīng)線段的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系.1．（2023·安徽·中考真題）清初數(shù)學(xué)家梅文鼎在著作《平三角舉要》中，對南宋數(shù)學(xué)家秦九韶提出的計算三角形面積的“三斜求積術(shù)”給出了一個完整的證明，證明過程中創(chuàng)造性地設(shè)計直角三角形，得出了一個結(jié)論：如圖，AD是銳角△ABC的高，則BD=12BC+AB2?AC

【答案】1【分析】根據(jù)公式求得BD，根據(jù)CD=BC?BD，即可求解．【詳解】解：∵AB=7,BC=6，AC=5，∴BD=12∴CD=BC?BD=6?5=1,故答案為：1．【點睛】本題考查了三角形的高的定義，正確的使用公式是解題的關(guān)鍵．2．（2021·江蘇連云港·中考真題）如圖，BE是△ABC的中線，點F在BE上，延長AF交BC于點D．若BF=3FE，則BDDC=【答案】3【分析】連接ED，由BE是△ABC的中線，得到S△ABE=S△BCE，S△AED=S△EDC，由BF=3FE，得到【詳解】解：連接ED∵BE是△ABC的中線，∴S△ABE∵BF=3FE∴設(shè)S△AEF∴∴∴∵∴x+y=4x?4y∴x=∵△ABD與△ADC是等高三角形，∴S故答案為：32【點睛】本題考查三角形的中線、三角形的面積等知識，是重要考點，難度一般，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．3．（2021·黑龍江大慶·中考真題）已知，如圖1，若AD是△ABC中∠BAC的內(nèi)角平分線，通過證明可得ABAC=BDCD，同理，若AE是△ABC中∠BAC的外角平分線，通過探究也有類似的性質(zhì)．請你根據(jù)上述信息，求解如下問題：如圖2，在△ABC中，BD=2,CD=3,AD是△ABC的內(nèi)角平分線，則△ABC的BC【答案】1【分析】根據(jù)題意得到ABAC=23，設(shè)AB＝2k，AC＝3k，在△ABC中，由三邊關(guān)系可求出k的范圍，反向延長中線AE至F，使得【詳解】如圖，反向延長中線AE至F，使得AE=EF，連接CF，∵BD=2,CD=3,AD是△ABC的內(nèi)角平分線，∴可設(shè)AB＝2k，AC＝3k，在△ABC中，BC＝5，∴5k＞5，k＜5，∴1＜k＜5，∵∴△ABE?△FCE∴AB=CF由三角形三邊關(guān)系可知，AC?CF<AF<AC+CF∴k<AF<5k∴∴1故答案為：12【點睛】本題考查角平分線的性質(zhì)、中線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形三邊關(guān)系等知識，是重要考點，難度一般，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．4．（2022·上?！ぶ锌颊骖}）如圖，在△ABC中，∠A=30°，∠B=90°，D為AB中點，E在線段AC上，ADAB=DEBC【答案】12或【分析】由題意可求出DE=12BC，取AC中點E1，連接DE1，則DE1是△ABC的中位線，滿足DE1=12BC，進而可求此時AE1AC=12，然后在AC上取一點E2，使得DE1＝DE2，則D【詳解】解：∵D為AB中點，∴ADAB=DE取AC中點E1，連接DE1，則DE1是△ABC的中位線，此時DE1∥BC，DE∴AE在AC上取一點E2，使得DE1＝DE2，則DE∵∠A=30°，∠B=90°，∴∠C=60°，BC＝12∵DE1∥BC，∴∠DE1E2=60°，∴△DE1E2是等邊三角形，∴DE1＝DE2＝E1E2＝12∴E1E2＝14∵AE∴AE2=綜上，AEAC的值為：12或故答案為：12或1【點睛】本題考查了三角形中位線的性質(zhì)，平行線分線段成比例，等邊三角形的判定和性質(zhì)以及含30°角的直角三角形的性質(zhì)等，根據(jù)DE=15．（2022·吉林·中考真題）下面是王倩同學(xué)的作業(yè)及自主探究筆記，請認(rèn)真閱讀并補充完整．【作業(yè)】如圖①，直線l1∥l2，解：相等．理由如下：設(shè)l1與l2之間的距離為?，則S△ABC∴S△ABC【探究】(1)如圖②，當(dāng)點D在l1，l2之間時，設(shè)點A，D到直線l2的距離分別為?，?證明：∵S△ABC(2)如圖③，當(dāng)點D在l1，l2之間時，連接AD并延長交l2于點M證明：過點A作AE⊥BM，垂足為E，過點D作DF⊥BM，垂足為F，則∠AEM=∠DFM=90°，∴AE∥∴△AEM∽．∴AEDF由【探究】（1）可知S△ABCS∴S△ABC(3)如圖④，當(dāng)點D在l2下方時，連接AD交l2于點E．若點A，E，D所對應(yīng)的刻度值分別為5，1.5，0，S△ABC【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)7【分析】（1）根據(jù)三角形的面積公式可得S△ABC（2）過點A作AE⊥BM，垂足為E，過點D作DF⊥BM，垂足為F，先根據(jù)平行線的判定可得AE∥DF，再根據(jù)相似三角形的判定可證△AEM～△DFM，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得AEDF（3）過點A作AM⊥BC于點M，過點D作DN⊥BC于點N，先根據(jù)相似三角形的判定證出△AME～△DNE，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得AMDN=AEDE=【詳解】（1）證明：∵S△ABC=∴S（2）證明：過點A作AE⊥BM，垂足為E，過點D作DF⊥BM，垂足為F，則∠AEM=∠DFM=90°，∴AE∥DF．∴△AEM～△DFM．∴AE由【探究】（1）可知S△ABC∴S（3）解：過點A作AM⊥BC于點M，過點D作DN⊥BC于點N，則∠AME=∠DNE=90°，∴AM∥DN，∴△AME～△DNE，∴AM∵點A,E,D所對應(yīng)的刻度值分別為5，1.5，0，∴AE=5?1.5=3.5，DE=1.5，∴AM又∵S△ABC=∴S故答案為：73【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定、三角形的面積等知識點，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．題型03三角形內(nèi)角和定理與外角和定理綜合問題三角形的內(nèi)角和定理：三角形三個內(nèi)角和等于180°．推論：直角三角形的兩個銳角互余.三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用：1)在三角形中,已知兩個內(nèi)角的度數(shù),可以求出第三個內(nèi)角的度數(shù)；2)在三角形中,已知三個內(nèi)角的比例關(guān)系,可以求出三個內(nèi)角的度數(shù)；3)在直角三角形中,已知一個銳角的度數(shù),可以求出另一個銳角的度數(shù).三角形的外角和定理：三角形的外角和等于360°．三角形的外角和的性質(zhì)：1）三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和；2）三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角．三角形中角度計算的6種?？寄Ｐ停篈字模型8字模型飛鏢模型老鷹抓小雞模型（一）∠1+∠2=∠A+180°∠A+∠B=∠C+∠D∠C=∠A+∠B+∠D∠A+∠O=∠1+∠2老鷹抓小雞模型（二）雙角平分線模型（一）雙角平分線模型（二）雙角平分線模型（三）∠A+∠O=∠2-∠1∠D=90°+12∠D=90°-12∠E=12∠三角形折疊模型（一）三角形折疊模型（二）三角形折疊模型（三）∠2=2∠C2∠C=∠1+∠2或∠C=12（∠1+∠22∠C=∠2-∠1或∠C=12（∠21．（2019·遼寧鐵嶺·統(tǒng)考中考真題）如圖，在△CEF中，∠E=80°，∠F=50°，AB∥CF，AD∥CE，連接BC，CD，則∠A的度數(shù)是（）A．45° B．50° C．55° D．80°【答案】B【分析】連接AC并延長交EF于點M．由平行線的性質(zhì)得∠3=∠1，∠2=∠4，再由等量代換得∠BAD=∠3+∠4=∠1+∠2=∠FCE，先求出∠FCE即可求出∠A．【詳解】解：連接AC并延長交EF于點M．∵AB∥CF，∴∠3=∠1，∵AD∥CE，∴∠2=∠4，∴∠BAD=∠3+∠4=∠1+∠2=∠FCE，∵∠FCE=180°?∠E?∠F=180°?80°?50°=50°，∴∠BAD=∠FCE=50°，故選B．【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)以及三角形的內(nèi)角和定理，屬于基礎(chǔ)題型．2．（2023·江蘇無錫·中考真題）如圖，△ABC中，∠BAC=55°，將△ABC逆時針旋轉(zhuǎn)α(0°<α<55°),得到△ADE，DE交AC于F．當(dāng)α=40°時，點D恰好落在BC上，此時∠AFE等于（

）

A．80° B．85° C．90° D．95°【答案】B【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)可得∠B=∠ADB=∠ADE，再結(jié)合旋轉(zhuǎn)角α=40°即可求解．【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得：∠BAC=∠DAE=55°，AB=AD，∵α=40°，∴∠DAF=15°，∠B=∠ADB=∠ADE=70°，∴∠AFE=∠DAF+∠ADE=85°，故選：B．【點睛】本題考查了幾何—旋轉(zhuǎn)問題，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是關(guān)鍵．3．（2022·內(nèi)蒙古呼和浩特·中考真題）如圖，△ABC中，∠ACB=90°，將△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得到△EDC，使點B的對應(yīng)點D恰好落在AB邊上，AC、ED交于點F．若∠BCD=α，則∠EFC的度數(shù)是（用含α的代數(shù)式表示）（

）A．90°+12α B．90°?12α【答案】C【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，BC=DC，∠ACE=α，∠A=∠E，則∠B=∠BDC，利用三角形內(nèi)角和可求得∠B，進而可求得∠E，則可求得答案．【詳解】解：∵將△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得到△EDC，且∠BCD=α∴BC=DC，∠ACE=α，∠A=∠E，∴∠B=∠BDC，∴∠B=∠BDC=180°?α∴∠A=∠E=90°?∠B=90°?90°+α∴∠A=∠E=α∴∠EFC=180°?∠ACE?∠E=180°?α?α故選：C．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)變換、三角形內(nèi)角和、等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．4．（2023·四川達州·中考真題）如圖，AE∥CD，AC平分∠BCD，∠2=35°,∠D=60°則∠B=（

）

A．52° B．50° C．45° D．25°【答案】B【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠1=∠2=35°，再由角平分線確定∠BCD=70°，利用三角形內(nèi)角和定理求解即可．【詳解】解：∵AE∥∴∠1=∠2=35°，∵AC平分∠BCD，∴∠BCD=2∠1=70°，∵∠D=60°，∴∠B=180°?∠BCD?∠D=50°，故選：B．【點睛】題目主要考查平行線的性質(zhì)及角平分線的計算，三角形內(nèi)角和定理，理解題意，綜合運用這些知識點是解題關(guān)鍵．55．（2021·遼寧本溪·中考真題）一副三角板如圖所示擺放，若∠1=80°，則∠2的度數(shù)是（）A．80° B．95° C．100° D．110°【答案】B【分析】由三角形的外角性質(zhì)得到∠3=∠4=35°，再根據(jù)三角形的外角性質(zhì)求解即可．【詳解】解：如圖，∠A=90°-30°=60°，∵∠3=∠1-45°=80°-45°=35°，∴∠3=∠4=35°，∴∠2=∠A+∠4=60°+35°=95°，故選：B．【點睛】本題考查了三角形的外角性質(zhì)，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵．6．（2020·浙江紹興·中考真題）如圖，等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，將BC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)θ（0°＜θ＜90°），得到BP，連結(jié)CP，過點A作AH⊥CP交CP的延長線于點H，連結(jié)AP，則∠PAH的度數(shù)（）A．隨著θ的增大而增大B．隨著θ的增大而減小C．不變D．隨著θ的增大，先增大后減小【答案】C【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得BC＝BP＝BA，由等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可求∠BPC+∠BPA＝135°＝∠CPA，由外角的性質(zhì)可求∠PAH＝135°﹣90°＝45°，即可求解．【詳解】解：∵將BC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)θ（0°＜θ＜90°），得到BP，∴BC＝BP＝BA，∴∠BCP＝∠BPC，∠BPA＝∠BAP，∵∠CBP+∠BCP+∠BPC＝180°，∠ABP+∠BAP+∠BPA＝180°，∠ABP+∠CBP＝90°，∴∠BPC+∠BPA＝135°＝∠CPA，∵∠CPA＝∠AHC+∠PAH＝135°，∴∠PAH＝135°﹣90°＝45°，∴∠PAH的度數(shù)是定值，故選：C．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，靈活運用這些性質(zhì)解決問題是本題的關(guān)鍵．7．（2023·江蘇泰州·中考真題）如圖，△ABC中，AB=AC，∠A=30°，射線CP從射線CA開始繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)α角0°<α<75°，與射線AB相交于點D，將△ACD沿射線CP翻折至△A'CD處，射線CA'與射線AB相交于點E．若△

【答案】22.5°或45°或67.5°【分析】分情況討論，利用折疊的性質(zhì)知∠A=∠A'=30°【詳解】解：由折疊的性質(zhì)知∠A=∠A'=30°當(dāng)A'D=DE時，

由三角形的外角性質(zhì)得∠DEA'=∠A+∠ACD+∠此情況不存在；當(dāng)A'

∠A'=30°由三角形的外角性質(zhì)得75°=30°+2α，解得α=22.5°；當(dāng)EA'=DE

∴∠DEA由三角形的外角性質(zhì)得120°=30°+2α，解得α=45°；當(dāng)A'D=A

∴∠ADC=∠A∴α=∠ACD=180°?30°?82.5°=67.5°；綜上，∠α的度數(shù)為22.5°或45°或67.5°．故答案為：22.5°或45°或67.5°．【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，畫出圖形，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．8．（2022·浙江紹興·中考真題）如圖，在△ABC中，∠ABC=40°，∠ACB=90°，AE平分∠BAC交BC于點E．P是邊BC上的動點（不與B，C重合），連結(jié)AP，將△APC沿AP翻折得△APD，連結(jié)DC，記∠BCD=α．(1)如圖，當(dāng)P與E重合時，求α的度數(shù)．(2)當(dāng)P與E不重合時，記∠BAD=β，探究α與β的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)25°(2)①當(dāng)點P在線段BE上時，2α－β＝50°；②當(dāng)點P在線段CE上時，2α＋β＝50°【分析】（1）由∠B＝40°，∠ACB＝90°，得∠BAC＝50°，根據(jù)AE平分∠BAC，P與E重合，可得∠ACD，從而α＝∠ACB?∠ACD；（2）分兩種情況：①當(dāng)點P在線段BE上時，可得∠ADC＝∠ACD＝90°?α，根據(jù)∠ADC＋∠BAD＝∠B＋∠BCD，即可得2α?β＝50°；②當(dāng)點P在線段CE上時，延長AD交BC于點F，由∠ADC＝∠ACD＝90°?α，∠ADC＝∠AFC＋α＝∠ABC＋∠BAD+α可得90°?α＝40°＋α＋β，即2α＋β＝50°．【詳解】（1）解：∵∠B＝40°，∠ACB＝90°，∴∠BAC＝50°，∵P與E重合，AE平分∠BAC，∴D在AB邊上，AE⊥CD，∴∠ACD＝65°，∴α＝∠ACB－∠ACD＝25°；（2）①如圖1，當(dāng)點P在線段BE上時，∵∠ADC＝∠ACD＝90°－α，∠ADC＋∠BAD＝∠B＋∠BCD，∴90°－α＋β＝40°＋α，∴2α－β＝50°；②如圖2，當(dāng)點P在線段CE上時，延長AD交BC于點F，∵∠ADC＝∠ACD＝90°－α，∠ADC＝∠AFC＋α＝∠ABC＋∠BAD+α＝40°＋α＋β，∴90°－α＝40°＋α＋β，∴2α＋β＝50°．【點睛】本題考查三角形綜合應(yīng)用，涉及軸對稱變換，三角形外角等于不相鄰的兩個內(nèi)角的和的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握軸對稱的性質(zhì)，能熟練運用三角形外角的性質(zhì)．題型04三角形內(nèi)角和與外角和定理的實際應(yīng)用1．（2022·湖北武漢·統(tǒng)考中考真題）如圖，沿AB方向架橋修路，為加快施工進度，在直線AB上湖的另一邊的D處同時施工．取∠ABC=150°，BC=1600m，∠BCD=105°，則C，D兩點的距離是m【答案】800【分析】如圖所示：過點C作CE⊥BD于點E，先求出CE=800m，再根據(jù)勾股定理即可求出CD【詳解】如圖所示：過點C作CE⊥BD于點E，則∠BEC=∠DEC=90°，∵∠ABC=150°，∴∠CBD=30°，∴∠BCE=90°-30°=60°，又∵∠BCD=105°，∴∠CDB=45°，∴∠ECD=45°=∠D，∴CE=DE，∵BC=1600m∴CE=1∴CD2=C故答案為：8002【點睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理、等腰三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)及勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)內(nèi)容并能靈活運用．2．（2022·湖南湘潭·統(tǒng)考中考真題）如圖，一束光沿CD方向，先后經(jīng)過平面鏡OB、OA反射后，沿EF方向射出，已知∠AOB=120°，∠CDB=20°，則∠AEF=．【答案】40°/40度【分析】根據(jù)入射角等于反射角，可得∠CDB=∠EDO,∠DEO=∠AEF，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求得∠OED=40°，進而即可求解．【詳解】解：依題意，∠CDB=∠EDO,∠DEO=∠AEF，∵∠AOB=120°，∠CDB=20°，∴∠CDB=∠EDO=20°，∴∠OED=180?∠ODE?∠AOB=40°，∴∠AEF=∠DEO=40°．故答案為：40°．【點睛】本題考查了軸對稱的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，掌握軸對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2021·河北·統(tǒng)考中考真題）下圖是可調(diào)躺椅示意圖（數(shù)據(jù)如圖），AE與BD的交點為C，且∠A，∠B，∠E保持不變．為了舒適，需調(diào)整∠D的大小，使∠EFD=110°，則圖中∠D應(yīng)（填“增加”或“減少”）度．【答案】減少10【分析】先通過作輔助線利用三角形外角的性質(zhì)得到∠EDF與∠D、∠E、∠DCE之間的關(guān)系，進行計算即可判斷．【詳解】解：∵∠A+∠B=50°+60°=110°，∴∠ACB=180°-110°=70°，∴∠DCE=70°，如圖，連接CF并延長，∴∠DFM=∠D+∠DCF=20°+∠DCF，∠EFM=∠E+∠ECF=30°+∠ECF，∴∠EFD=∠DFM+∠EFM=20°+∠DCF+30°+∠ECF=50°+∠DCE=50°+70°=120°，要使∠EFD=110°，則∠EFD減少了10°，若只調(diào)整∠D的大小，由∠EFD=∠DFM+∠EFM=∠D+∠DCF+∠E+∠ECF=∠D+∠E+∠ECD=∠D+30°+70°=∠D+100°，因此應(yīng)將∠D減少10度；故答案為：①減少；②10．【點睛】本題考查了三角形外角的性質(zhì)，同時涉及到了三角形的內(nèi)角和與對頂角相等的知識；解決本題的關(guān)鍵是理解題意，讀懂圖形，找出圖形中各角之間的關(guān)系以及牢記公式建立等式求出所需的角，本題蘊含了數(shù)形結(jié)合的思想方法．4．（2023·四川自貢·中考真題）第29屆自貢國際恐龍燈會“輝煌新時代”主題燈組上有一幅不完整的正多邊形圖案，小華量得圖中一邊與對角線的夾角∠ACB=15°，算出這個正多邊形的邊數(shù)是（

）

A．9 B．10 C．11 D．12【答案】D【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理以及正多邊形的性質(zhì)，得出∠B=150°，然后可得每一個外角為30°，進而即可求解．【詳解】解：依題意，AB=BC，∠ACB=15°，∴∠BAC=15°∴∠ABC=180°?∠ACB?∠BAC=150°∴這個正多邊形的一個外角為180°?150°=30°，所以這個多邊形的邊數(shù)為36030故選：D．【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，正多邊形的性質(zhì)，正多邊形的外角與邊數(shù)的關(guān)系，熟練掌握正多邊的外角和等于360°是解題的關(guān)鍵．5．（2023·廣東深圳·中考真題）如圖為商場某品牌椅子的側(cè)面圖，∠DEF=120°，DE與地面平行，∠ABD=50°，則∠ACB=（

）

A．70° B．65° C．60° D．50°【答案】A【分析】根據(jù)平行得到∠ABD=∠EDC=50°，再利用外角的性質(zhì)和對頂角相等，進行求解即可．【詳解】解：由題意，得：DE∥AB，∴∠ABD=∠EDC=50°，∵∠DEF=∠EDC+∠DCE=120°，∴∠DCE=70°，∴∠ACB=∠DCE=70°；故選A．【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，對頂角．熟練掌握相關(guān)性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．三角形的概念：由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所構(gòu)成的圖形叫做三角形.三角形的表示：用符號“Δ”表示，頂點是A、B、C的三角形記作“ΔABC”，讀作“三角形ABC”.三角形的分類：1）三角形按邊分類：三角形三邊都不相等的三角形2）三角形按角分類：三角形直角三角形三角形的穩(wěn)定性:三角形三條邊的長度確定之后，三角形的形狀就唯一確定了.1.三角形的表示方法中“Δ”代表“三角形”,后邊的字母為三角形的三個頂點,字母的順序可以自由安排.即?ABC,?ACB等均為同一個三角形.2.等腰三角形中至少有兩邊相等,而等邊三角形中三邊都相等,所以等邊三角形是特殊的等腰三角形.3.四邊形及多邊形不具有穩(wěn)定性，要使多邊形具有穩(wěn)定性，方法是將多邊形分成多個三角形，這樣多邊形就具有穩(wěn)定性了.一、單選題1．（2022·河北保定·?？家荒＃┠苡萌切蔚姆€(wěn)定性解釋的生活現(xiàn)象是（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】根據(jù)各圖所用到的直線、線段有關(guān)知識，即可一一判定【詳解】解：A、利用的是“兩點確定一條直線”，故該選項不符合題意；B、利用的是“兩點之間線段最短”，故該選項不符合題意；C、窗戶的支架是三角形，利用的是“三角形的穩(wěn)定性”，故該選項符合題意；D、利用的是“垂線段最短”，故該選項不符合題意；故選：C【點睛】本題考查了兩點確定一條直線、兩點之間線段最短、三角形的穩(wěn)定性、垂線段最短的應(yīng)用，結(jié)合題意和圖形準(zhǔn)確確定所用到的知識是解決本題的關(guān)鍵．2．（2023·河北滄州·?？寄M預(yù)測）在△ABC中，AC=7，BC=4，M是AB上的一點，若△ACM的周長比△BCM的周長大3，根據(jù)下列尺規(guī)作圖痕跡可以得到符合條件的CM的是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】計算求得AM=BM，根據(jù)四個選項即作出判斷．【詳解】解：∵AC=7，BC=4，∴AC?BC=3，∵△ACM的周長比△BCM的周長大3，∴AC+CM+AM?BC?BM?CM=3，即AM?BM=0，∴當(dāng)AM=BM時，△ACM的周長比△BCM的周長大3，觀察四個選項，只有選項B符合題意，故選：D．【點睛】本題考查了作圖-復(fù)雜作圖：解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．3．（2023·河北滄州·模擬預(yù)測）如圖，已知△ABC中，根據(jù)尺規(guī)作圖痕跡及圖上數(shù)據(jù)，則線段BC的長可能為（

）

A．1 B．2 C．7 D．10【答案】C【分析】由題意可得：MN是AC的垂直平分線，可得AC=6，然后根據(jù)三角形的三邊關(guān)系即可得到BC的范圍，即可求解.【詳解】解：如圖，由題意可得：MN是AC的垂直平分線，∴AC=2AD=6，∵6?4<BC<6+4，即2<BC<10，∴線段BC的長可能為7；故選：C.

【點睛】本題考查了線段垂直平分線的尺規(guī)作圖和三角形的三邊關(guān)系，正確理解題意是關(guān)鍵.4．（2021·山西呂梁·統(tǒng)考二模）在探究證明“三角形的內(nèi)角和是180°”時，綜合實踐小組的同學(xué)作了如下四種輔助線，其中不能證明“三角形內(nèi)角和是180°”的是（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】根據(jù)“直角三角形兩銳角互余”是由三角形內(nèi)角和定理推導(dǎo)的判斷即可．【詳解】解：∵“直角三角形兩銳角互余”是由三角形內(nèi)角和定理推導(dǎo)的即，作CD⊥AB后，利用直角三角形兩銳角互余得到三角形內(nèi)角和是180°的證明方法不正確，故選：C．【點睛】本題主要考查三角形內(nèi)角和定理，要證明三角形的內(nèi)角和等于180°即三角形三個內(nèi)角的和是平角，就要作輔助線，使得三角形的三個內(nèi)角的和轉(zhuǎn)化成組成平角的三個角之和．5．（2022·河北邢臺·統(tǒng)考二模）老師布置的作業(yè)中有這么一道題：如圖，在△ABC中，D為BC的中點，若AC=3，AD=4．則AB的長不可能是（

）A．5

B．7

C．8

D．9甲同學(xué)認(rèn)為AB，AC，AD這條三邊不在同一個三角形中，無法解答，老師給的題目有錯誤．乙同學(xué)認(rèn)為可以從中點D出發(fā)，構(gòu)造輔助線，利用全等的知識解決．丙同學(xué)認(rèn)為沒必要借助全等三角形的知識，只需構(gòu)造一個特殊四邊形，就可以解決關(guān)于三位同學(xué)的思考過程，你認(rèn)為正確的是…（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．乙和丙【答案】D【分析】如圖1所示，延長AD到E使得AD=ED=4，利用倍長中線模型證明△ABD≌△ECD得到AB=EC，再用三角形三邊的關(guān)系即可判斷乙同學(xué)的說法；如圖2所示，取AB中點F，連接DF，則DF是△ABC的中位線，AB=2AF，再用三角形三邊的關(guān)系即可判斷丙同學(xué)的說法．【詳解】解：如圖1所示，延長AD到E使得AD=ED=4，∵D是BC的中點，∴BD=CD，在△ABD和△ECD中，AD=ED∠ADB∴△ABD≌△ECD（SAS），∴AB=EC，∵AE?AC<EC<AE+AC，∴5<EC<11，即5<AB<11，如圖2所示，取AB中點F，連接DF，∵D、F分別為BC、AB的中點，∴DF是△ABC的中位線，AB=2AF，∴DF=1∵AD?DF<AF<AD+DF，∴52∴5<AB<11，∴甲說法錯誤，乙和丙說法正確，故選：D．【點睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定、三角形中位線定理、三角形三邊的關(guān)系，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．6．如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高，BE平分∠ABC交AC邊于E，∠BAC=60°，∠ABE=26°，則∠DAC的大小是（）A．20° B．22° C．24° D．26°【答案】B【分析】根據(jù)角平分線的定義可得∠ABC=2∠ABE，再根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠BAD，然后根據(jù)∠DAC=∠BAC?∠BAD計算即可得解．【詳解】解：∵BE平分∠ABC，∴∠ABC=2∠ABE=2×26°=52°，∵AD是BC邊上的高，∴∠BAD=90°?∠ABC=90°?52°=38°，∴∠DAC=∠BAC?∠BAD=60°?38°=22°．故選：B．【點睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，準(zhǔn)確識圖理清圖中各角度之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．7．（2023·山東德州·統(tǒng)考二模）已知a，b，c是三角形的三條邊，則c?a?b+c+b?a的化簡結(jié)果為（A．0 B．2a+2b C．2b D．2a+2b?2c【答案】C【分析】根據(jù)三角形三邊的關(guān)系得到c?a?b<0，【詳解】解：∵a，b，c是三角形的三條邊，∴a+b>c，∴c?a?b<0，∴c?a?b=?=a+b?c+c+b?a=2b，故選：C．【點睛】本題主要考查了三角形三邊的關(guān)系，化簡絕對值和合并同類項，熟知三角形中任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊是解題的關(guān)鍵．8．（2021·江蘇南京·統(tǒng)考二模）百度百科這樣定義凹四邊形：把四邊形的某邊向兩方延長，其他各邊有不在延長所得直線的同一旁，這樣的四邊形叫做凹四邊形．關(guān)于凹四邊形ABCD（如圖），以下結(jié)論：①∠BCD=∠A+∠B+∠D；②若AB=AD,BC=CD，則AC⊥BD；③若∠BCD=2∠A，則BC=CD；④存在凹四邊形ABCD，有AB=CD,AD=BC．其中所有正確結(jié)論的序號是（

）A．①② B．①②③ C．①②④ D．①③④【答案】A【分析】根據(jù)凹四邊形的定義及相關(guān)知識，逐項加以甄別即可．【詳解】解：①如圖1，連接AC并延長到點E．∵∠BCE=∠BAC+∠B，∠DCE=∠DAC+∠D，∴∠BCE+∠DCE=∠BAC+∠B+∠DAC+∠D．即∠BCD=∠BAD+∠B+∠D．所以結(jié)論①正確；②如圖2，連接BD，作直線AC．∵AB=AD，∴點A在線段BD的垂直平分線上．∵CB=CD，∴點C在線段BD的垂直平分線上．∴點A和點C都在線段BD的垂直平分線上．∴直線AC是線段BD的垂直平分線．∴AC⊥BD．所以結(jié)論②正確；③如圖③，由①可知，∠BCD=∠A+∠B+∠D，當(dāng)∠BCD=2∠A時，有2∠A=∠A+∠B+∠D，∴∠A=∠B+∠D．因再無其它已知條件證得BC=CD，所以結(jié)論③錯誤；④如圖④，假設(shè)存在凹四邊形ABCD，連接AC．當(dāng)AB=CD，AD=BC時，∵AC=CA，∴ΔABC?ΔCDA∴∠1=∠4，∠3=∠2．∴AB∥CD，BC∥DA．∴四邊形ABCD是平行四邊形．∵平行四邊形是凸四邊形，這與“四邊形ABCD是凹四邊形”的假設(shè)相矛盾．∴不存在凹四邊形ABCD，使得AB=CD，AD=BC．所以結(jié)論④錯誤．故選：A【點睛】本題考查了對新定義的理解、三角形的外角性質(zhì)、線段的垂直平分線的判定、反證法等知識點，綜合運用上述的知識點，對每個結(jié)論加以推理證明是解題的關(guān)鍵．二、填空題9．（2023·河北衡水·二模）如圖，在△ABC中，點D在BC邊上，沿AD將△ABC折疊，使點C與BC邊上的點C'重合，展開后得到折痕a

（1）折痕a是△ABC的；（填“角平分線”“中線”或“高”）（2）若∠BAC'=15°，則∠C比∠B的度數(shù)大【答案】高15【分析】（1）由折疊的性質(zhì)結(jié)合三角形角平分線，中線，高的定義即可判斷；（2）由折疊的性質(zhì)結(jié)合三角形外角的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）由折疊的性質(zhì)可知AD⊥BC，∠CAD=∠C'AD∴折痕a是△ABC的高．故答案為：高；（2）∵由折疊的性質(zhì)可知∠C=∠AC'D∴∠C?∠B=∠AC故答案為：15．【點睛】本題考查折疊的性質(zhì)，三角形角平分線，中線，高的定義，三角形外角的性質(zhì)．熟練掌握上述知識點是解題關(guān)鍵．10．（2022·河北邢臺·校考三模）如圖，AB，BC，CD是某正多邊形相鄰的三條邊，延長AB，DC交于點P，∠P=120°．

（1）∠PBC的度數(shù)為；（2）該多邊形為正邊形．【答案】30°/30度十二【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和是180°，得出∠PBC+∠PCB=60°，再根據(jù)∠PBC=∠PCB，即可得出∠PBC的度數(shù)；（2）根據(jù)多邊形的外角和為360°，再除以一個外角的度數(shù)，即可得出多邊形的邊數(shù)．【詳解】解：（1）∵∠P=120°，∴∠PBC+∠PCB=60°，∵∠PBC=∠PCB，∴∠PBC=30°．故答案為：30°；（2）360÷30=12（邊），答：該多邊形為正十二邊形．故答案為：十二．【點睛】此題考查了多邊形的內(nèi)角與外角，解題的關(guān)鍵是掌握多邊形的外角和為360°和多邊形的內(nèi)角和公式．三、解答題11．（2023·廣東東莞·東莞市東莞中學(xué)初中部?？既＃┮阎切蔚膬蛇呴L分別是1、2，第三邊為整數(shù)且為不等式組2x?1【答案】5【分析】分別解不等式，得出整數(shù)解，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系即可求解．【詳解】解：2解不等式①得x<3．解不等式②得x≥0∴0≤x<3∴不等式的整數(shù)解為0、1、2∵2?1<x<2+1∴x取2∴三角形周長為1+2+2=5．【點睛】本題考查了解一元一次不等式組，三角形的三邊關(guān)系，正確的求得不等式的整數(shù)解是解題的關(guān)鍵．12．（2022·陜西渭南·統(tǒng)考三模）如圖，已知△ABC，∠A＝100°，∠C＝30°，請用尺規(guī)作圖法在AC上求作一點D，使得∠ABD＝25°．（保留作圖痕跡，不寫作法）【答案】作圖見解析【分析】因為∠A＝100°，∠C＝30°，所以∠B＝50°，若使得∠ABD＝25°，則作∠B的角平分線即可．【詳解】解：∵∠A＝100°，∠C＝30°，∴∠B＝50°，若使得∠ABD＝25°，則作∠B的角平分線即可．作圖如下：【點睛】本題考查作角平分線，解題的關(guān)鍵是分析題意知道作∠B的角平分線，掌握作角平分線的方法．13．（2023·北京石景山·統(tǒng)考二模）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠ACB=2α，BD平分∠ABC交AC于點E，點F是ED上一點且∠EAF=α．(1)求∠AFB的大?。ㄓ煤恋氖阶颖硎荆?；(2)連接FC，用等式表示線段FC與FA的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】(1)2α(2)FA=FC，證明見解析【分析】（1）先根據(jù)等邊對等角得到∠ABC=∠ACB=2α，再由角平分線的定義得到∠CBE=α，則由三角形外角的性質(zhì)得到∠AEB=3α，進而利用三角形外角的性質(zhì)得到∠AFB=∠AEB?∠EAF=2α；（2）如圖所示，在BD上取一點G，使得AG=AF，連接AG，則∠AGF=∠AFG=2α，利用三角形外角的性質(zhì)證明∠BAG=∠ABG=α，則BG=AG，進一步證明△ABG≌△ACF，得到CF=BG=AG，即可證明FA=FC．【詳解】（1）解：∵AB=AC，∠ACB=2α，∴∠ABC=∠ACB=2α，∵BD平分∠ABC，∴∠CBE=∠ABE=1∴∠AEB=∠ACB+∠CBE=3α，∵∠EAF=α，∴∠AFB=∠AEB?∠EAF=2α；（2）解：FA=FC，證明如下：如圖所示，在BD上取一點G，使得AG=AF，連接AG，∴∠AGF=∠AFG=2α，∴∠BAG=∠AGF?∠ABF=α，∴∠BAG=∠ABG=α，∴BG=AG，在△ABG和△ACF中，AB=AC∠BAG=∠CAF=α∴△ABG≌△ACFSAS∴CF=BG=AG，又∵AG=AF，∴FA=FC．【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，三角形外角的性質(zhì)，角平分線的定義等等，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．14．（2023·江西上饒·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在下列10×10的正方形網(wǎng)格中，△ABC的頂點A，B，C均在格點上，請僅用無刻度直尺按下列要求作圖（保留作圖痕跡）．(1)在圖1中，在AB邊上找一點P，連接PC，使S△APC(2)在圖2中，在邊AB上找一點Q，連接QC，使S△AQC【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）找到格點D,E，使得四邊形ADBE是矩形，連接DE，交BA于點P，連接CP，則線段CP即為所求；（2）找到格點F,G使得AF=2,BG=5，連接FG交BA于點Q，連接CQ，線段CQ即為所求．【詳解】（1）解：如圖所示，線段CP即為所求；∵四邊形ADBE是矩形，∴AP=PB，S（2）解：如圖所示，CQ即為所求，∵AF∴△AFQ∽△BGQ∴AQBQ=AF∴S△AQC【點睛】本題考查了無刻度直尺作圖，三角形中位線的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．考點二特殊三角形的性質(zhì)與判定題型01線段垂直平分線的性質(zhì)與判定垂直平分線的概念：經(jīng)過線段的中點并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線（或線段的中垂線）.性質(zhì)：線段的垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等.判定：到一條線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上.對于含有垂直平分線的題目，首先考慮將垂直平分線上的點與線段兩端點連接起來．1．（2022·湖北宜昌·統(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，分別以點B和點C為圓心，大于12BC長為半徑畫弧，兩弧相交于點M，N．作直線MN，交AC于點D，交BC于點E，連接BD．若AB=7，AC=12，BC=6，則△ABD的周長為（A．25 B．22 C．19 D．18【答案】C【分析】由垂直平分線的性質(zhì)可得BD＝CD，由△ABD的周長＝AB＋AD＋BD＝AB＋AD＋CD＝AB＋AC得到答案．【詳解】解：由作圖的過程可知，DE是BC的垂直平分線，∴BD＝CD，∵AB=7，AC=12，∴△ABD的周長＝AB＋AD＋BD＝AB＋AD＋CD＝AB＋AC＝19．故選：C【點睛】此題考查了線段垂直平分線的作圖、線段垂直平分線的性質(zhì)、三角形的周長等知識，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2022·吉林長春·統(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，根據(jù)尺規(guī)作圖痕跡，下列說法不一定正確的是（

）A．AF=BF B．AE=C．∠DBF+∠DFB=90° D．∠BAF=∠EBC【答案】B【分析】根據(jù)尺規(guī)作圖痕跡，可得DF垂直平分AB，BE是∠ABC的角平分線，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)和角平分線的定義，直角三角形兩銳角互余，等邊對等角的性質(zhì)進行判斷即可．【詳解】根據(jù)尺規(guī)作圖痕跡，可得DF垂直平分AB，BE是∠ABC的角平分線，∴AF=BF,∠BDF=90°,∠ABF=∠CBE，∴∠ABF=∠BAF,∠DBF+∠DFB=90°，∴∠BAF=∠EBC，綜上，正確的是A、C、D選項，故選：B．【點睛】本題考查了垂直平分線和角平分線的作圖，垂直平分線的性質(zhì)，角平分線的定義，直角三角形兩銳角互余，等邊對等角的性質(zhì)，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵．3．（2020·江西·統(tǒng)考中考真題）如圖，AC平分∠DCB，CB=CD，DA的延長線交BC于點E，若∠EAC=49°，則∠BAE的度數(shù)為【答案】82°.【分析】如圖，連接BD，延長CA與BD交于點F,利用等腰三角形的三線合一證明CF是BD的垂直平分線，從而得到AB=AD,再次利用等腰三角形的性質(zhì)得到：∠DAF=∠BAF,從而可得答案．【詳解】解：如圖，連接BD，延長CA與BD交于點F,∵AC平分∠DCB，CB=CD，∴CF⊥BD,DF=BF,∴CF是BD的垂直平分線，∴AB=AD,∴∠DAF=∠BAF,∵∠EAC=49°,∴∠DAF=∠BAF=∠EAC=49°,∴∠BAE=180°?49°?49°=82°,故答案為：82°.【點睛】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)，掌握等腰三角形的三線合一是解題的關(guān)鍵．4．（2020·湖南·中考真題）已知D是Rt△ABC斜邊AB的中點，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，過點D作Rt△DEF使∠DEF＝90°，∠DFE＝30°，連接CE并延長CE到P，使EP＝CE，連接BE，F(xiàn)P，BP，設(shè)BC與DE交于M，PB與EF交于N．（1）如圖1，當(dāng)D，B，F(xiàn)共線時，求證：①EB＝EP；②∠EFP＝30°；（2）如圖2，當(dāng)D，B，F(xiàn)不共線時，連接BF，求證：∠BFD+∠EFP＝30°．【答案】（1）①見解析②30°（2）見解析【分析】（1）①本題主要考查通過角度計算求證平行，繼而證明△CBP是直角三角形，根據(jù)直角三角形斜邊中線可得結(jié)論．②本題以上一問結(jié)論為解題依據(jù)，考查平行線以及垂直平分線的應(yīng)用，根據(jù)同位角相等可得BC∥EF，由平行線的性質(zhì)得BP⊥EF，可得EF是線段BP的垂直平分線，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得∠PFE＝∠BFE＝30°．（2）本題主要考查輔助線的做法以及垂直平分線性質(zhì)的應(yīng)用，需要延長DE到Q，使EQ＝DE，連接CD，PQ，F(xiàn)Q，證明△QEP≌△DEC（SAS），則PQ＝DC＝DB，由QE＝DE，∠DEF＝90°，知EF是DQ的垂直平分線，證明△FQP≌△FDB（SAS），再由EF是DQ的垂直平分線，可得結(jié)論．【詳解】證明（1）①∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°∴∠A＝90°﹣30°＝60°同理∠EDF＝60°∴∠A＝∠EDF＝60°∴AC∥DE∴∠DMB＝∠ACB＝90°∵D是Rt△ABC斜邊AB的中點，AC∥DM∴BM即M是BC的中點∵EP＝CE，即E是PC的中點∴ED∥BP∴∠CBP＝∠DMB＝90°∴△CBP是直角三角形∴BE＝12PC＝②∵∠ABC＝∠DFE＝30°∴BC∥EF由①知：∠CBP＝90°∴BP⊥EF∵EB＝EP∴EF是線段BP的垂直平分線∴PF＝BF∴∠PFE＝∠BFE＝30°（2）如圖2，延長DE到Q，使EQ＝DE，連接CD，PQ，F(xiàn)Q∵EC＝EP，∠DEC＝∠QEP∴△QEP≌△DEC（SAS）則PQ＝DC＝DB∵QE＝DE，∠DEF＝90°∴EF是DQ的垂直平分線∴QF＝DF∵CD＝AD∴∠CDA＝∠A＝60°∴∠CDB＝120°∴∠FDB＝120°﹣∠FDC＝120°﹣（60°+∠EDC）＝60°﹣∠EDC＝60°﹣∠EQP＝∠FQP∴△FQP≌△FDB（SAS）∴∠QFP＝∠BFD∵EF是DQ的垂直平分線∴∠QFE＝∠EFD＝30°∴∠QFP+∠EFP＝30°∴∠BFD+∠EFP＝30°【點睛】本題考點較多，涉及平行與角等的互推，垂直平分線的應(yīng)用，全等的證明，特殊角度的利用，難度主要在于輔助線的構(gòu)造，該類型題目必須多做專題訓(xùn)練以培養(yǎng)題感．題型02角平分線的性質(zhì)與判定角平分線的性質(zhì)定理：角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等．角平分線的判定定理：角的內(nèi)部，與角的兩邊的距離相等的點在這個角的平分線上．性質(zhì)中的“距離”是指“點到角兩邊所在直線的距離”,因此在應(yīng)用時必須含有“垂直”這個條件,否則不能得到線段相等.1．（2023·江蘇揚州·統(tǒng)考中考真題）如圖，△ABC中，∠A=90°,AB=8,AC=15，以點B為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交BA、BC于點M、N，再分別以點M、N為圓心，大于12MN的長為半徑畫弧，兩弧交于點E，作射線BE交AC于點D，則線段AD的長為

【答案】24【分析】利用角平分線的性質(zhì)構(gòu)造輔助線，將△ABC的面積分解成△ABD的面積和△BCD面積和，轉(zhuǎn)化成以AD為未知數(shù)的方程求出AD．【詳解】如圖：過點D作DF⊥BC于點F，

∴∠BFD=∠CFD=90°，由題意得：BD平分∠ABC，∵∠A=90°，∴AD=DF,BC=A∴S△ABC∵S△ABC∴12∴12∴AD=24故答案為：245【點睛】本題考查了勾股定理、角平分線的性質(zhì)、直角三角形面積，重點掌握勾股定理的運用，直角三角形的面積轉(zhuǎn)換是解題的關(guān)鍵．2．（2022·四川南充·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°,∠BAC的平分線交BC于點D，DE//AB，交AC于點E，DF⊥AB于點F，DE=5,DF=3，則下列結(jié)論錯誤的是（

A．BF=1 B．DC=3 C．AE=5 D．AC=9【答案】A【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到CD=DF=3，故B正確；根據(jù)平行線的性質(zhì)及角平分線得到AE=DE=5，故C正確；由此判斷D正確；再證明△BDF∽△DEC，求出BF，故A錯誤．【詳解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°,∠BAC的平分線交BC于點D，DF⊥AB∴CD=DF=3，故B正確；∵DE=5，∴CE=4，∵DE//AB，∴∠ADE=∠DAF，∵∠CAD=∠BAD，∴∠CAD=∠ADE，∴AE=DE=5，故C正確；∴AC=AE+CE=9，故D正確；∵∠B=∠CDE，∠BFD=∠C=90°，∴△BDF∽△DEC，

∴CEDF∴BF=DF?CD故選：A．【點睛】此題考查了角平分線的性質(zhì)定理，平行線的性質(zhì)，等邊對等角證明角相等，相似三角形的判定及性質(zhì)，熟記各知識點并綜合應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．3（2022·江蘇無錫·中考真題）如圖，AB是圓O的直徑，弦AD平分∠BAC，過點D的切線交AC于點E，∠EAD＝25°，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A．AE⊥DE B．AE//OD C．DE=OD D．∠BOD=50°【答案】C【分析】過點D作DF⊥AB于點F，根據(jù)切線的性質(zhì)得到OD⊥DE，證明OD∥AE，根據(jù)平行線的性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)逐一判斷即可．【詳解】解：∵DE是⊙O的切線，∴OD⊥DE，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∵AD平分∠BAC，∴∠OAD=∠EAD，∴∠EAD=∠ODA，∴OD∥AE，∴AE⊥DE．故選項A、B都正確；∵∠OAD=∠EAD=∠ODA=25°，∠EAD=25°，∴∠BOD=∠OAD+∠ODA=50°，故選項D正確；∵AD平分∠BAC，AE⊥DE，DF⊥AB，∴DE=DF<OD，故選項C不正確；故選：C．【點睛】本題考查的是切線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)定理，平行線的性質(zhì)，掌握圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑是解題的關(guān)鍵．4．（2021·廣東深圳·中考真題）如圖，已知∠BAC=60°，AD是角平分線且AD=10，作AD的垂直平分線交AC于點F，作DE⊥AC，則△DEF周長為．【答案】5+5【分析】知道∠BAC=60°和AD是角平分線，就可以求出∠DAE=30°，AD的垂直平分線交AC于點F可以得到AF=FD，在直角三角形中30°所對的邊等于斜邊的一半，再求出DE，得到C△DEF【詳解】解：∵AD的垂直平分線交AC于點F，∴DF=AF（垂直平分線上的點到線段兩端點距離相等）∴C△DEF∵∠BAC=60°，AD是角平分線∴∠DAE=30°∵AD=10∴DE=5，AE=53∴C【點睛】此題考查角平分線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)的綜合題，掌握運用三者的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（2023·甘肅蘭州·中考真題）綜合與實踐問題探究：（1）如圖1是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得所著的《幾何原本》第1卷命題9：“平分一個已知角．”即：作一個已知角的平分線，如圖2是歐幾里得在《幾何原本》中給出的角平分線作圖法：在OA和OB上分別取點C和D，使得OC=OD，連接CD，以CD為邊作等邊三角形CDE，則OE就是∠AOB的平分線．

請寫出OE平分∠AOB的依據(jù)：____________；類比遷移：（2）小明根據(jù)以上信息研究發(fā)現(xiàn)：△CDE不一定必須是等邊三角形，只需CE=DE即可．他查閱資料：我國古代已經(jīng)用角尺平分任意角．做法如下：如圖3，在∠AOB的邊OA，OB上分別取OM=ON，移動角尺，使角尺兩邊相同刻度分別與點M，N重合，則過角尺頂點C的射線OC是∠AOB的平分線，請說明此做法的理由；拓展實踐：（3）小明將研究應(yīng)用于實踐．如圖4，校園的兩條小路AB和AC，匯聚形成了一個岔路口A，現(xiàn)在學(xué)校要在兩條小路之間安裝一盞路燈E，使得路燈照亮兩條小路（兩條小路一樣亮），并且路燈E到岔路口A的距離和休息椅D到岔路口A的距離相等．試問路燈應(yīng)該安裝在哪個位置？請用不帶刻度的直尺和圓規(guī)在對應(yīng)的示意圖5中作出路燈E的位置．（保留作圖痕跡，不寫作法）

【答案】（1）SSS；（2）證明見解析；（3）作圖見解析；【分析】（1）先證明△OCE≌△ODESSS，可得∠AOE=∠BOE（2）先證明△OCM≌△OCNSSS，可得∠AOC=∠BOC，可得OC是∠AOB（3）先作∠BAC的角平分線，再在角平分線上截取AE=AD即可．【詳解】解：（1）∵OC=OD，CE=DE，DE=DE，∴△OCE≌△ODESSS∴∠AOE=∠BOE，∴OE是∠AOB的角平分線；故答案為：SSS（2）∵OM=ON，CM=CN，OC=OC，∴△OCM≌△OCNSSS∴∠AOC=∠BOC，∴OC是∠AOB的角平分線；（3）如圖，點E即為所求作的點；

．【點睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的定義與角平分線的性質(zhì)，作已知角的角平分線，理解題意，熟練的作角的平分線是解本題的關(guān)鍵．題型03等腰三角形的性質(zhì)與判定等腰三角形性質(zhì)：1）等腰三角形的兩個底角相等（簡稱“等邊對等角”）.2）等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合.（簡稱“三線合一”）.等腰三角形的判定：如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（簡稱“等角對等邊”）.1.等腰三角形的邊有腰、底之分,角有頂角、底角之分,若題目中的邊沒有明確是底還是腰,角沒有明是頂角還是底角，需要分類討論.2.頂角是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形，且它的兩個底角都為45°.3.等腰三角形是軸對稱圖形，它有1條或3條對稱軸．4.等腰三角形的底角只能為銳角，不能為鈍角（或直角），但頂角可為鈍角（或直角）．5.等腰三角形的三邊關(guān)系：設(shè)腰長為a，底邊長為b，則b26.等腰三角形的三角關(guān)系：設(shè)頂角為頂角為∠A，底角為∠B、∠C，則∠A=180°-2∠B，∠B=∠C=1807.底角為頂角的2倍的等腰三角形非常特殊，其底角平分線將原等腰三角形分成兩個等腰三角形．（即頂角36°，底角72°）.8.等腰三角形的判定定理是證明兩條線段相等的重要依據(jù)，是把三角形中的角的相等關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的相等關(guān)系的重要依據(jù)．1．（2023·山東泰安·統(tǒng)考中考真題）如圖，△ABC是等腰三角形，AB=AC，∠A=36°．以點B為圓心，任意長為半徑作弧，交AB于點F，交BC于點G，分別以點F和點G為圓心，大于12FG的長為半徑作弧，兩弧相交于點H，作射線BH交AC于點D；分別以點B和點D為圓心，大于12BD的長為半徑作弧，兩孤相交于M、N兩點，作直線MN交AB于點E，連接DE．下列四個結(jié)論：①∠AED=∠ABC；②BC=AE；③ED=1

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)等腰三角形兩底角相等與∠A=36°，得到∠ABC=∠C=72°，根據(jù)角平分線定義得到∠ABD=∠CBD=36°，根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)得到EB=ED，得到∠EBD=∠EDB，推出∠EDB=∠CBD，得到DE∥BC，推出∠AED=∠ABC，①正確；根據(jù)等角對等邊得到AD=AE，AD=BD，根據(jù)三角形外角性質(zhì)得到∠BDC=72°=∠C，得到BC=BD，推出BC=AE，②正確；根據(jù)△AED∽△ABC，得到EDBC=ADAC=ADAD+DC，推出ED=5?1【詳解】∵△ABC中，AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠C=1由作圖知，BD平分∠ABC，MN垂直平分BD，∴∠ABD=∠CBD=12∠ABC=36°∴∠EBD=∠EDB，∴∠EDB=∠CBD，∴DE∥BC，∴∠AED=∠ABC，①正確；∠ADE=∠C，∴∠AED=∠ADE，∴AD=AE，∵∠A=∠ABD，∴AD=BD，∵∠BDC=∠A+∠ABD=72°，∴∠BDC=∠C，∴BC=BD，∴BC=AE，②正確；設(shè)ED=x，BC=a，則AD=a，BE=x，∴CD=BE=x，∵△AED∽△ABC，∴EDBC∴xa∴x2∵x>0，∴x=5即ED=5當(dāng)AC=2時，CD=2?AD，∵CD=5∴5?1∴AD=5∴正確的有①②④，共3個．故選：C．【點睛】本題主要考查了等腰三角形，相似三角形，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握等腰三角形判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的定義和線段垂直平分線的性質(zhì)．2．（2022·江西·統(tǒng)考中考真題）已知點A在反比例函數(shù)y=12x(x>0)的圖象上，點B在x軸正半軸上，若△OAB為等腰三角形，且腰長為5，則AB【答案】5或25或【分析】因為等腰三角形的腰不確定，所以分三種情況分別計算即可．【詳解】解：①當(dāng)AO=AB時，AB=5；②當(dāng)AB=BO時，AB=5；③當(dāng)OA=OB時，則OB=5，B（5，0），設(shè)A（a，12a）（a∵OA=5，∴a2解得：a1=3，∴A（3，4）或（4，3），∴AB=(3?5)2+42=2綜上所述，AB的長為5或25或10故答案為：5或25或10【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，考查分類討論的思想，當(dāng)時，求出點的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．3．（2023·北京·統(tǒng)考中考真題）在△ABC中、∠B=∠C=α0°<α<45°，AM⊥BC于點M，D是線段MC上的動點（不與點M，C重合），將線段DM繞點D順時針旋轉(zhuǎn)2α得到線段DE

(1)如圖1，當(dāng)點E在線段AC上時，求證：D是MC的中點；(2)如圖2，若在線段BM上存在點F（不與點B，M重合）滿足DF=DC，連接AE，EF，直接寫出∠AEF的大小，并證明．【答案】(1)見解析(2)∠AEF=90°，證明見解析【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得DM=DE，∠MDE=2α，利用三角形外角的性質(zhì)求出∠DEC=α=∠C，可得DE=DC，等量代換得到DM=DC即可；（2）延長FE到H使FE=EH，連接CH，AH，可得DE是△FCH的中位線，然后求出∠B=∠ACH，設(shè)DM=DE=m，CD=n，求出BF=2m=CH，證明△ABF?△ACHSAS，得到AF=AH，再根據(jù)等腰三角形三線合一證明AE⊥FH【詳解】（1）證明：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：DM=DE，∠MDE=2α，∵∠C=α，∴∠DEC=∠MDE?∠C=α，∴∠C=∠DEC，∴DE=DC，∴DM=DC，即D是MC的中點；（2）∠AEF=90°；證明：如圖2，延長FE到H使FE=EH，連接CH，AH，∵DF=DC，∴DE是△FCH的中位線，∴DE∥CH，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：DM=DE，∠MDE=2α，∴∠FCH=2α，∵∠B=∠C=α，∴∠ACH=α，△ABC是等腰三角形，∴∠B=∠ACH，AB=AC，設(shè)DM=DE=m，CD=n，則CH=2m，CM=m+n，∴DF=CD=n，∴FM=DF?DM=n?m，∵AM⊥BC，∴BM=CM=m+n，∴BF=BM?FM=m+n?n?m∴CH=BF，在△ABF和△ACH中，AB=AC∠B=∠ACH∴△ABF?△ACHSAS∴AF=AH，∵FE=EH，∴AE⊥FH，即∠AEF=90°．

【點睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，三角形中位線定理以及全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，作出合適的輔助線，構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．4．（2022·新疆·中考真題）如圖，在ΔABC巾，∠ABC=30°，AB=AC，點O為BC的中點，點D是線段OC上的動點（點D不與點O，C重合），將△ACD沿AD折疊得到Δ

(1)當(dāng)AE⊥BC時，∠AEB=___________°；(2)探究∠AEB與∠CAD之間的數(shù)量關(guān)系，并給出證明；(3)設(shè)AC=4，△ACD的面積為x，以AD為邊長的正方形的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式．【答案】(1)60(2)∠AEB=30°+∠CAD(3)y=【分析】（1）首先由折疊的性質(zhì)可得AC=AE=AB，再由等腰三角形的性質(zhì)可求解；（2）首先由折疊的性質(zhì)可得AE=AC，∠CAD=∠EAD，再由等腰三角形的性質(zhì)可得AC=AE=AB，∠ABE=∠AEB，最后根據(jù)角度關(guān)系即可求解；（3）首先由等腰直角三角形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)可求AO的長，由勾股定理可求OD的長，最后根據(jù)面積和差關(guān)系可求解．【詳解】（1）∵∠ABC=30°，AB=AC，AE⊥BC，∴∠BAE=60°，∵將ΔACD沿AD折疊得到Δ∴AC=AE，∴AB=AE，∴△ABE是等邊三角形，∴∠AEB=60°，故答案為：60；（2）∠AEB=30°+∠CAD，理由如下：∵將ΔACD沿AD折疊得到Δ∴AE=AC，∠CAD=∠EAD，∵∠ABC=30°，AB=AC，∴∠BAC=120°，∴∠BAE=120°?2∠CAD，∵AB=AE=AC，∴∠AEB=180°?(120°?2∠CAD)（3）如圖，連接OA，∵AB=AC，點O是BC的中點，∴OA⊥BC，∵∠ABC=∠ACB=30°，AC=4，∴AO=2，OC=23∵OD∴OD=?∵S∴x=1∴y=(2

【點睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)性質(zhì)并能夠靈活運用．5．（2022·安徽·中考真題）已知四邊形ABCD中，BC＝CD．連接BD，過點C作BD的垂線交AB于點E，連接DE．(1)如圖1，若DE∥BC，求證：四邊形(2)如圖2，連接AC，設(shè)BD，AC相交于點F，DE垂直平分線段AC．（ⅰ）求∠CED的大?。唬áⅲ┤鬉F＝AE，求證：BE＝CF．【答案】(1)見解析(2)（ⅰ）∠CED=60°；（ⅱ）見解析【分析】（1）先根據(jù)DC=BC，CE⊥BD，得出DO=BO，再根據(jù)“AAS”證明ΔODE≌ΔOBC，得出DE=BC，得出四邊形BCDE（2）（ⅰ）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)和等腰三角形三線合一，證明∠BEG=∠DEO=∠BEO，再根據(jù)∠BEG+∠DEO+∠BEO=180°，即可得出∠CED=180°（ⅱ）連接EF，根據(jù)已知條件和等腰三角形的性質(zhì)，算出∠GEF=15°，得出∠OEF=45°，證明OE=OF，再證明ΔBOE≌【詳解】（1）證明：∵DC=BC，CE⊥BD，∴DO=BO，∵DE∥BC，∴∠ODE=∠OBC，∠OED=∠OCB，∴ΔODE≌ΔOBC∴DE=BC，∴四邊形BCDE為平行四邊形，∵CE⊥BD，∴四邊形BCDE為菱形．（2）（?。└鶕?jù)解析（1）可知，BO=DO，∴CE垂直平分BD，∴BE=DE，∵BO=DO，∴∠BEO=∠DEO，∵DE垂直平分AC，∴AE=CE，∵EG⊥AC，∴∠AEG=∠DEO，∴∠AEG=∠DEO=∠BEO，∵∠AEG+∠DEO+∠BEO=180°，∴∠CED=180°（ⅱ）連接EF，∵EG⊥AC，∴∠EGF=90°，∴∠EFA=90°?∠GEF，∵∠AEF=180°?∠BEF=180°?∠BEC?∠CEF=180°?∠BEC?=180°?60°?60°+∠GEF=60°+∠GEF∵AE=AF，∴∠AEF=∠AFE，∴90°?∠GEF=60°+∠GEF，∴∠GEF=15°，∴∠OEF=∠CEG?∠GEF=60°?15°=45°，∵CE⊥BD，∴∠EOF=∠EOB=90°，∴∠OFE=90°?∠OEF=45°，

∴∠OEF=∠OFE，∴OE=OF，∵AE=CE，∴∠EAC=∠ECA，∵∠EAC+∠ECA=∠CEB=60°，∴∠ECA=30°，∵∠EBO=90°?∠OEB=30°，∴∠OCF=∠OBE=30°，∵∠BOE=∠COF=90°，∴ΔBOE≌ΔCOF∴BE=CF．【點睛】本題主要考查了垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，菱形的判定，直角三角形的性質(zhì)，作出輔助線，得出∠GEF=15°，得出OE=OF，是解題的關(guān)鍵．題型04等邊三角形的性質(zhì)與判定等邊三角形的性質(zhì)：1）等邊三角形的三條邊相等.2）三個內(nèi)角都相等，并且每個內(nèi)角都是60°.等邊三角形的判定：1）三邊相等或三個內(nèi)角都相等的三角形是等邊三角形.2）有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形.1.等邊三角形具有等腰三角形的一切性質(zhì).2.等邊三角形是軸對稱圖形，它有三條對稱軸．3．等邊三角形的內(nèi)心、外心、重心和垂心重合．4.在等腰三角形中，只要有一個角是60°，無論這個角是頂角還是底角，這個三角形就是等邊三角形．5.等腰(等邊)三角形頂角平分線平分底邊并且垂直于底邊，即等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高重合．6.等邊三角形面積的求解方法：S正三角形=31．（2022·貴州貴陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知∠ABC=60°，點D為BA邊上一點，BD=10，點O為線段BD的中點，以點O為圓心，線段OB長為半徑作弧，交BC于點E，連接DE，則BE的長是（

）A．5 B．52 C．53 【答案】A【分析】根據(jù)同圓半徑相等可得△OBE為等腰三角形，又因為∠ABC=60°，可得△OBE為等邊三角形，即可求得BE的長．【詳解】連接OE，如圖所示：∵BD=10，點O為線段BD的中點，∴OB=OD=5，∵以點O為圓心，線段OB長為半徑作弧，交BC于點E，∴OE=OB=OD=5，∴∠ABC=∠OEB=60°,∴△OBE為等邊三角形，即BE=OE=OB=5，故選：A．【點睛】本題考查了同圓半徑相等，一個角為60°的等腰三角形，解題的關(guān)鍵是判斷出△OBE為等邊三角形．2．（2022·吉林長春·統(tǒng)考中考真題）跳棋是一項傳統(tǒng)的智力游戲．如圖是一副跳棋棋盤的示意圖，它可以看作是由全等的等邊三角形ABC和等邊三角形DEF組合而成，它們重疊部分的圖形為正六邊形．若AB=27厘米，則這個正六邊形的周長為厘米．【答案】54【分析】設(shè)AB交EF、FD與點N、M，AC交EF、ED于點G、H，BC交FD、ED于點O、P，再證明△FMN、△ANG、△BMO、△DOP、△CPH、△EGH是等邊三角形即可求解．【詳解】設(shè)AB交EF、FD與點N、M，AC交EF、ED于點G、H，BC交FD、ED于點O、P，如圖，∵六邊形MNGHPO是正六邊形，∴∠GNM=∠NMO=120°，∴∠FNM=∠FMN=60°，∴△FMN是等邊三角形，同理可證明△ANG、△BMO、△DOP、△CPH、△EGH是等邊三角形，∴MO=BM，NG=AN，OP=PD，GH=HE，∴NG+MN+MO=AN+MN+BM=AB，GH+PH+OP=HE+PH+PD=DE，∵等邊△ABC≌等邊△DEF，∴AB=DE，∵AB=27cm，∴DE=27cm，∴正六邊形MNGHPO的周長為：NG+MN+MO+GH+PH+OP=AB+DE=54cm，故答案為：54．【點睛】本題考查了正六邊的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)以及等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識，掌握正六邊的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．3．（2022