2024-2025學(xué)年邵陽市二中高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次月考試卷附答案解析

-2025學(xué)年邵陽市二中高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次月考試卷時間：120分鐘滿分：150分2024.08一?單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.若非空集合A,B滿足，U為全集，則下列集合中表示空集的是（）A.； B.； C.； D.．2.sin40°(tan10°－3)＝A.－ B.－1 C. D.－3.已知函數(shù)的定義域是，則函數(shù)的定義域為（）A.B.C. D.4.下列求導(dǎo)數(shù)計算錯誤的是（）A.B.C. D.5.蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾（J.Napier，1550-1617）發(fā)明的對數(shù)及對數(shù)表（如下表），為當時的天文學(xué)家處理“大數(shù)”的計算大大縮短了時間.即就是任何一個正實數(shù)N可以表示成，則，這樣我們可以知道N的位數(shù).已知正整數(shù)是35位數(shù)，則M的值為（）N234511121314150.300.480.600701.041.081.111.151.18A.3 B.12 C.13 D.146.一家商店使用一架兩臂不等長天平稱黃金．一位顧客到店里購買黃金，售貨員先將的砝碼放在天平左盤中，取出一些黃金放在天平右盤中使天平平衡；再將的砝碼放在天平右盤中，再取出一些黃金放在天平左盤中使天平平衡；最后將兩次稱得的黃金交給顧客．你認為顧客購得的黃金（）附：依據(jù)力矩平衡原理，天平平衡時有，其中、分別左、右盤中物體質(zhì)量，、分別為左右橫梁臂長．A.等于 B.小于 C.大于 D.不確定7.如圖，在中，已知邊上的兩條中線相交于點，求的余弦值．（）A. B. C. D.8.已知直線是曲線的切線，也是曲線的切線，則k的最大值是（）A B. C.2e D.4e二?多選題（本題共三小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求的．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9.已知函數(shù)，則（）A.有一個零點 B.的極小值為C.的對稱中心為 D.直線是曲線的切線10.設(shè)點D是所在平面內(nèi)一點，O是平面上一個定點，則下列說法正確的有（）A.若，則D是BC邊上靠近B的三等分點B.若，（且），則直線AD經(jīng)過垂心C.若，且x，，，則是面積的一半D.若平面內(nèi)一動點P滿足，（且），則動點P的軌跡一定通過的外心11.設(shè)函數(shù)向左平移個單位長度得到函數(shù)，已知在上有且只有5個零點，則下列結(jié)論正確的是（）A.的圖象關(guān)于直線對稱B.在上，方程的根有3個，方程的根有2個C.在上單調(diào)遞增D.的取值范圍是三?填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.出入相補是指一個平面（或立體）圖形被分割成若干部分后面積（或體積）的總和保持不變，我國漢代數(shù)學(xué)家構(gòu)造弦圖，利用出入相補原理證明了勾股定理，我國清代的梅文鼎、李銳、華蘅芳、何夢瑤等都通過出入相補原理創(chuàng)造了不同的面積證法證明了勾股定理.在下面兩個圖中，若，，，圖中兩個陰影三角形的周長分別為，，則的最小值為________.13.某時鐘的秒針端點A到中心點O的距離為，秒針均勻地繞點O旋轉(zhuǎn)，當時間時，點A與鐘面上標12的點B重合，將A，B兩點的距離表示成的函數(shù)，則______其中.14.如圖，在邊長為1的正方形中，為的中點，點在正方形內(nèi)（含邊界），且．①若，則的值是_______；②若向量，則的最小值為________．四?解答題（本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）15.在中，內(nèi)角的對邊分別為a,b,c，且．（1）求的值；（2）若，點是線段上的一點，，，求的值．16.如圖所示，正方形與矩形所在平面互相垂直，，點為的中點.（1）求證：平面；（2）在線段上是否存在點，使二面角的平面角的大小為？若存在，求出的長；若不存在，請說明理由.17.已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為.（1）若在不是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；（2）若在恒成立，求實數(shù)的最小整數(shù)值.18.已知函數(shù)（1）當時，求的單調(diào)增區(qū)間；（2）若，使，求實數(shù)a的取值范圍．19.如果數(shù)列滿足：且則稱為n階“歸化”數(shù)列.（1）若某3階“歸化”數(shù)列是等差數(shù)列，且單調(diào)遞增，寫出該數(shù)列的各項；（2）若某11階“歸化”數(shù)列是等差數(shù)列，求該數(shù)列的通項公式；（3）若為n階“歸化”數(shù)列，求證【答案解析】1.D【分析】根據(jù)圖，對各個選項逐一分析，即可求得正確答案.【詳解】根據(jù)可以看出對A，；對B，；對C，；對D，.故選：D2.B【分析】利用三角函數(shù)的切化弦及化一公式、誘導(dǎo)公式化簡即可求解．【詳解】解：故選B.【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)的切化弦及化一公式、誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用．3.A【分析】由函數(shù)定義域的概念及復(fù)合函數(shù)定義域的求解方法運算求解即可.【詳解】因為函數(shù)的定義域是，所以，所以，所以函數(shù)的定義域為，所以要使函數(shù)有意義，則有，解得，所以函數(shù)的定義域為.故選：A.4.B【分析】利用導(dǎo)數(shù)的運算法則及簡單復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則計算即可．【詳解】解：A．，正確，不符合題意；B．，錯誤，符合題意；C．，正確，不符合題意；D．，正確，不符合題意．故選：B．5.C【分析】根據(jù)所給條件列出不等式，結(jié)合對數(shù)的運算即可求解.【詳解】由題意可知,兩邊同時取對數(shù)可得，所以，故，則，由表中數(shù)據(jù)可知,故選：C6.C【分析】設(shè)天平左臂長，右臂長，且，根據(jù)已知條件求出、的表達式，利用基本不等式比較與的大小關(guān)系，即可得出結(jié)論.【詳解】設(shè)天平左臂長，右臂長，且，設(shè)天平右盤有克黃金，天平左盤有克黃金，所以，所以，，則．故選：C．7.B【分析】先求三角形中線，的長度，根據(jù)三角形重心的性質(zhì)求得，，在中，利用余弦定理求的余弦，即為所求結(jié)果.【詳解】因，，.因為.由為的重心，所以，.在中，由余弦定理，得：.故選：B【點睛】關(guān)鍵點點睛：熟悉三角形重心得性質(zhì)是解決問題得關(guān)鍵.8.B【分析】設(shè)切點分別為和，則，根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為有解，設(shè)，求得，得出函數(shù)的單調(diào)性和極小值，結(jié)合，即可求解.【詳解】因為是和的公切線，設(shè)切點分別為和，則，由，可得，則又由，可得，且，則，所以，可得，即，顯然同號，不妨設(shè)，設(shè)，（其中），可得，令，可得，當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增，要使得有解，則需要，即即，解得，所以，即的最大值為.故選：B.【點睛】方法技巧：對于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點的情況，進行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．9.ABD【分析】對于A，由函數(shù)求導(dǎo)后，由導(dǎo)數(shù)的正負可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再結(jié)合零點存在性定理分析判斷，對于B，由選項A的得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間分析判斷，對于C，令，可判斷的圖象關(guān)于原點對稱，從而可判斷出的對稱中心，對于D，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義分析判斷即可.【詳解】對于A，由，得，令，得；令，得或，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，所以當時，，當時，存在唯一零點，故函數(shù)在上只有一個零點，故A正確；對于B，由選項A可知，函數(shù)的極小值為，故B正確；對于C，令，定義域為，則，所以函數(shù)為奇函數(shù)，對稱中心為，將函數(shù)圖象向下平移1個長度單位，得函數(shù)的圖象，所以的對稱中心為，故C錯誤；對于D，由選項A知，，令，又，所以切線方程為，即，所以直線是曲線在點處的切線，故D正確，故選：ABD.【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查導(dǎo)數(shù)的綜合問題，考查利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點問題，考查導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)極問題，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，解題的關(guān)鍵是對函數(shù)求導(dǎo)，然后由導(dǎo)數(shù)的正負求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再分析判斷，考查計算能力，屬于較難題.10.ABC【分析】對于A，化簡等式成，即可判斷；對于B，將等式兩邊與作點乘，化簡得出結(jié)果為0即可判斷；對于C，利用平面向量基本定理推出三點共線，結(jié)合圖形和共線向量即得結(jié)論；對于D，化簡向量等式，利用單位向量作出即得菱形，推得，即得結(jié)論.【詳解】對于A，由可得，，即得，故點D是BC邊上靠近B的三等分點，故A正確；對于B，因，則，即，故直線AD經(jīng)過的垂心，即B正確；對于C，因，，則，設(shè)，則，因，故三點共線，如圖1所示，，故的邊上的高是的邊上的高的一半，故是面積的一半，即C正確；對于D，由可得，，如圖2，取，則有，以為兩鄰邊作，易知是菱形，故平分，且故得，，故動點的軌跡為的平分線，即動點P的軌跡一定通過的內(nèi)心，故D錯誤.故選：ABC.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題主要考查平面向量的線性運算和數(shù)量積的應(yīng)用，屬于難題.對于向量等式，要結(jié)合圖形，和選項的啟發(fā)，有時從構(gòu)造平面向量基本定理的條件入手；有時通過與其他向量的點乘為0判斷線線垂直；有時通過兩單位向量的和作平行四邊形，推得菱形.11.CD【分析】根據(jù)函數(shù)的零點的個數(shù)，求出參數(shù)的范圍，再判斷函數(shù)的單調(diào)性、對稱性和方程根的個數(shù).【詳解】由題意，，由題意，不一定是函數(shù)的對稱軸，所以A錯誤；當時，得，故；，所以D正確.因為，則的根分別可由或或求出，共有3個根；當時，的根分別可由或求出，共2個根；當時，的根分別可由或或求出，共3個根；所以B錯誤；當時，得，由，得，所以，此時在上單調(diào)遞增，所以C正確.故選：CD.【點睛】本題重點考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，難度較大，做題時注意利用整體法判斷：即通過將作為整體，借助的圖象和性質(zhì)來進行判斷.12.【分析】根據(jù)圖形中的相似關(guān)系先表示出，然后利用基本不等式求解出最小值.【詳解】如圖1，易知，且，所以，所以；如圖2，易知，且，所以，所以，所以,又因為，所以，當且僅當時取等號，所以，所以最小值為，故答案為：.13.,【分析】可以求出，從而由余弦定理可以得到，由余弦的二倍角公式即可化簡得.【詳解】如圖，；在中，由余弦定理得，由，知，故答案為：．14.①.##0.5②.##0.5【分析】①由題知是邊長為1的等邊三角形，進而根據(jù)向量數(shù)量積求解即可；②考慮到該題為高一題目，不能使用導(dǎo)數(shù)，故提供了另一種解法，法二僅供參考.法一：結(jié)合圖像，作，連接PF，設(shè)，利用三點共線可得，又三點共線，故可得，因此只需要考慮值最大的情況即可得到的最小值.法二：由題知點的軌跡為以為圓心，為半徑的圓在正方體內(nèi)的圓弧部分，進而建立直角坐標系，設(shè)點,再利用向量坐標運算得，進而構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)最值即可得答案.【詳解】解：①因為，，所以是邊長為1的等邊三角形，所以②法一：如圖，作，連接PF，設(shè)，由于共線，不妨設(shè)，又故，又由于共線，所以，故，結(jié)合圖像可知，當兩點重合時，交于處，此時值最大，易知，故，故..法二：因為，所以點的軌跡為以為圓心，為半徑的圓在正方體內(nèi)的圓弧部分，所以以點為坐標原點，如圖建立坐標系，因為正方體的邊長為，所以設(shè)點，，所以由得，所以，解得，所以，令，所以因為，所以，所以區(qū)間恒成立，所以函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，所以，所以的最小值為.故答案為：；..【點睛】本題考查向量坐標運算，數(shù)量積運算，導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)最值，考查運算求解能力，是難題；本題第二空解題的關(guān)鍵在于靈活利用向量共線的性質(zhì)與結(jié)論，將轉(zhuǎn)化為，進而考慮特殊位置點即可；而法二，將利用了導(dǎo)數(shù)的知識，根據(jù)題意設(shè)點，進而利用坐標運算得，再結(jié)合函數(shù)性質(zhì)求解最值即可.15.（1）（2）【分析】（1）由正弦定理及三角恒等變換即可求解；（2）由的面積比值得（角平分線定理），設(shè)，則，，，再通過余弦定理列式即可求解.【小問1詳解】因為，由正弦定理得，所以.即,由正弦定理得，又、，則或（舍去）．所以.【小問2詳解】因為，設(shè)中邊上的高為，所以，所以，設(shè)，由，，,所以，則，，,在中，由余弦定理得，設(shè)的中點為，連接，如圖所示，由,則，在中，，所以，解得或（舍去），所以.16.（1）證明見解析（2）存在，【解析】【分析】（1）由面面垂直的性質(zhì)得平面，以為坐標原點，所在直線分別為軸、軸、軸，建立空間直角坐標系，求出平面的法向量、，利用可得答案；（2）假設(shè)在線段上存在點，設(shè)，求出平面、平面的一個法向量，由二面角的向量求法可得答案.【小問1詳解】平面平面，平面平面，平面平面，則以為坐標原點，所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則.，設(shè)平面的法向量為n1=x1令，解得：，又，即，又平面平面；【小問2詳解】假設(shè)在線段上存在點，使二面角的大小為.設(shè)，則.設(shè)平面的一個法向量為，則，令，解得：，又平面的一個法向量為，，即，解得：或（舍去），此時，在線段上存在點，使二面角的平面角的大小為，此時.17.（1）（2）【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)題意可知f'x在（2）法一：采用分離參數(shù)法，將原不等式變?yōu)榧礊樵?,+∞恒成立，構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求其最小值，即可求得答案；法二：求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，求得函數(shù)最小值，結(jié)合解不等式即可求得答案.【小問1詳解】；因為在1,+∞不是單調(diào)函數(shù)，所以f'x在因為恒成立，令，則在1,+∞有變號零點；因為，所以在1,+∞單調(diào)遞增，因為，當?shù)闹第吔裏o限大時，趨近于正無限大，a為待定的參數(shù)，故趨近于正無限大，故只需，即，所以實數(shù)的取值范圍是.【小問2詳解】（法一）令，因為在1,+∞恒成立，所以φx在1,+所以，所以在1,+∞恒成立，即為在1,+∞恒成立，令，則，令，則在1,+∞恒成立，所以?x在1,+因為；所以?x有唯一零點，且當時，?x>0，即，所以在單調(diào)遞增；當x∈x0,+∞時，?x<0，即所以；所以實數(shù)的最小整數(shù)值為.（法二）由（1）得，當時，在1,+∞上單調(diào)遞增，所以成立.當時，存在，使得當時，f'x<0，當x∈x所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；所以，令得；解之得.綜上，，所以實數(shù)的最小整數(shù)值為.【點睛】方法點睛：解決不等式恒成立問題，常用方法有：（1）將原不等式變形整理，分離參數(shù)，繼而構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)的最值問題解決；（2）直接構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)數(shù)，求解函數(shù)的最值，使得最小值恒大于(或大于等于)0或恒小于（或小于等于）0，解不等式即可.18.（1）單調(diào)遞增區(qū)間為和（2）【分析】（1）根據(jù)已知及分段函數(shù)，函數(shù)的單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間的計算，求出的單調(diào)增區(qū)間；（2）根據(jù)已知及二次函數(shù)的性質(zhì)求最值，結(jié)合不等式和絕對值不等式的計算求出實數(shù)a的取值范圍．【小問1詳解】當時，，時，單調(diào)遞增，時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為和，【小問2詳解】，使所