河南省南陽市內(nèi)鄉(xiāng)縣實驗高級中學2025屆高三上學期學習效果檢測數(shù)學試題（解析版）

45屆高三學習效果檢測——數(shù)學試題命題人：審核人：時長：120分鐘總分：150分難度系數(shù)0.6第Ⅰ卷（選擇題）一、單選題（每題5分，共8題）1.下列關(guān)系中正確的個數(shù)為（）①，②，③④A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【答案】C【解析】【分析】正確理解常用數(shù)集的定義，并正確表達元素與集合之間的關(guān)系即得.【詳解】對于①，顯然正確；對于②，是無理數(shù)，故②正確；對于③，是自然數(shù)，故③正確；對于④，是無理數(shù)，故④錯誤.故正確個數(shù)為3.故選：C.2.設(shè)集合，，若，則（）．A.2 B.1 C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)包含關(guān)系分和兩種情況討論，運算求解即可.【詳解】因為，則有：若，解得，此時，，不符合題意；若，解得，此時，，符合題意；綜上所述：.故選：B.3.已知函數(shù)的定義域為，則的定義域為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意求出的定義域，結(jié)合函數(shù)列出相應不等式組，即可求得答案.【詳解】由題意可知函數(shù)定義域為，即，故，則的定義域為，則對于，需滿足，即的定義域為，故選：C4.已知是定義在上的函數(shù)，那么“函數(shù)在上單調(diào)遞增”是“函數(shù)在上的最大值為”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】利用兩者之間的推出關(guān)系可判斷兩者之間的條件關(guān)系.【詳解】若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則在上的最大值為，若在上的最大值為，比如，但在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，故在上的最大值為推不出在上單調(diào)遞增，故“函數(shù)在上單調(diào)遞增”是“在上的最大值為”的充分不必要條件，故選：A.5.已知集合，若集合有15個真子集，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)真子集的定義，推斷出集合含有4個元素，即不等式的解集中有且僅有4個整數(shù)解，由此進行分類討論，列式算出實數(shù)的取值范圍．【詳解】若集合有15個真子集，則中含有4個元素，結(jié)合，可知，即，且區(qū)間,中含有4個整數(shù)，①當時，,的區(qū)間長度，此時,中不可能含有4個整數(shù)；②當時，,,，其中含有4、5、6、7共4個整數(shù)，符合題意；③當時，,的區(qū)間長度大于3，若,的區(qū)間長度，即．若是整數(shù)，則區(qū)間,中含有4個整數(shù)，根據(jù)，可知，，此時,,，其中含有5、6、7、8共4個整數(shù)，符合題意．若不是整數(shù)，則區(qū)間,中含有5、6、7、8這4個整數(shù)，則必須且，解得；若時，,,，其中含有5、6、7、8、9共5個整數(shù)，不符合題意；當時，,的區(qū)間長度，此時,中只能含有6、7、8、9這4個整數(shù)，故，即，結(jié)合可得．綜上所述，或或，即實數(shù)的取值范圍是,,．故選：D．【點睛】關(guān)鍵點點睛：由真子集的個數(shù)可得，且區(qū)間,中含有4個整數(shù)，結(jié)合區(qū)間長度，即可對討論求解.6.設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用指數(shù)型復合函數(shù)單調(diào)性，判斷列式計算作答.【詳解】函數(shù)在R上單調(diào)遞增，而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則有函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，因此，解得，所以的取值范圍是.故選：D7.函數(shù)，若對任意，都有成立，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用函數(shù)單調(diào)性的變形式即可判斷函數(shù)單調(diào)性，然后根據(jù)分段函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】因為對任意，都有成立，可得在上是單調(diào)遞減的，則，解得.故選：A8.已知且，若集合，且﹐則實數(shù)a的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】求出集合M，再由給定條件，對集合N分類討論，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)探討函數(shù)最小值求解作答.【詳解】依題意，，，令，當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，而，則，使得，當時，，當時，，此時，因此，，當時，若，，則恒成立，，滿足，于是當時，，當且僅當，即不等式對成立，，由得，當時，，當時，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，于是得，即，變形得，解得，從而得當時，恒成立，，滿足，所以實數(shù)a的取值范圍是或.故選：D【點睛】思路點睛：涉及函數(shù)不等式恒成立問題，可以利用導數(shù)探討函數(shù)的最值，借助函數(shù)最值轉(zhuǎn)化解決問題.二、多選題（每題6分，共3題）9.某?！拔逡惶飶竭\動會”上，共有12名同學參加100米、400米、1500米三個項目，其中有8人參加“100米比賽”，有7人參加“400米比賽”，有5人參加“1500米比賽”，“100米和400米”都參加的有4人，“100米和1500米”都參加的有3人，“400米和1500米”都參加的有3人，則下列說法正確的是（）A.三項比賽都參加的有2人 B.只參加100米比賽的有3人C.只參加400米比賽的有3人 D.只參加1500米比賽的有1人【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)總?cè)藬?shù)和各個項目的人數(shù)，可求出三項比賽都參加的人數(shù)，從而可判定各選項.【詳解】根據(jù)題意，設(shè){是參加100米的同學}，{是參加400米的同學}，{是參加1500米的同學}，則且則，所以三項比賽都參加的有2人，只參加100米比賽的有3人，只參加400米比賽的有2人，只參加1500米比賽的有1人.故選：ABD10.關(guān)于x的不等式的解集中恰有3個整數(shù)，則a的值可以為（）A.﹣2 B.1 C.﹣1 D.【答案】CD【解析】【分析】分類討論a的符號解不等式，結(jié)合題意分析解集中恰有3個整數(shù)為：或，分別列式求解【詳解】當時，則，即，解集中必有無數(shù)個整數(shù)，不合題意，即不成立當時，令，則∴原不等式解集為，且由題意可得：若，則，解得a=-1若，則，解得即a=-1或當時，開口向上∴原不等式解集中必有無數(shù)個整數(shù)，不合題意，則不成立綜上所述：a=-1或故選：CD.11.已知a>0，b>0，且a+b=1，則（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)，結(jié)合基本不等式及二次函數(shù)知識進行求解.【詳解】對于A，，當且僅當時，等號成立，故A正確；對于B，，所以，故B正確；對于C，，當且僅當時，等號成立，故C不正確；對于D，因為，所以，當且僅當時，等號成立，故D正確；故選：ABD【點睛】本題主要考查不等式的性質(zhì)，綜合了基本不等式，指數(shù)函數(shù)及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，側(cè)重考查數(shù)學運算的核心素養(yǎng).第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題（每題5分，共3題）12.若函數(shù)的定義域為，則實數(shù)的范圍為________．【答案】【解析】【分析】由已知可將問題轉(zhuǎn)化為不等式對任意的恒成立，滿足方程沒有實數(shù)根，求解即可.【詳解】由題意，知不等式對任意的恒成立，所以方程沒有實數(shù)根，所以，解得，所以實數(shù)取值范圍是.故答案：.13.已知定義在R上的偶函數(shù)滿足當時，則________．【答案】1【解析】【分析】先由偶函數(shù)，推出，再根據(jù)分段函數(shù)的不同區(qū)間依次求得，.【詳解】因是在R上的偶函數(shù)，則，故.故答案為：1.14.如果幾個函數(shù)的定義域相同、值域也相同，但解析式不同，稱這幾個函數(shù)為“同域函數(shù)”．函數(shù)的值域為，則與y是“同域函數(shù)”的一個解析式為___________________________．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根據(jù)題意，先求出的定義域，再寫出跟其相同定義域、值域的函數(shù)即可.【詳解】因為，所以，解得，所以函數(shù)的定義域為．又由題意可知的值域為，與之定義域、值域相同的函數(shù)，如，，等等．故答案為：（答案不唯一）.四、解答題（第15題13分，第16和17題每題15分，第18和19題每題17分）15.已知集合，集合.（1）若，求實數(shù)的取值范圍（2）若，求實數(shù)的值【答案】（1）（2）2【解析】【分析】（1）利用判別式計算即可；（2）直接代入1計算即可.【小問1詳解】若，則，即實數(shù)的取值范圍為；【小問2詳解】若，則即實數(shù)值為2.16.（1）已知，求；（2）已知為二次函數(shù)，且，求；（3）已知函數(shù)對于任意的x都有，求．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】【分析】（1）利用換元法或配湊法求解即可；（2）利用待定系數(shù)法，令，然后結(jié)合已知條件化簡列方程組可求出，從而可求出；（3）將已知等式中的用替換，得到另一個式子，與已知等式聯(lián)立可求出.【詳解】（1）方法一（換元法）：令，則，，所以，所以的解析式為．方法二（配湊法）：．因為，所以的解析式為．（2）設(shè)，則，所以，解得，所以．（3），令，得，于是得到關(guān)于與的方程組，解得．17.已知函數(shù)，圖象經(jīng)過點，且.（1）求的值；（2）用定義法證明函數(shù)y=f(x)【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)條件得到方程組，可求出答案；（2），且，變形判斷符號可得結(jié)論.【小問1詳解】由題意得，解得【小問2詳解】由（1）可知，，且，，因，所以，又，所以，所以，即，所以，所以函數(shù)y=fx在區(qū)間18.設(shè)數(shù)集A由實數(shù)構(gòu)成，且滿足：若（且），則.（1）若，則A中至少還有幾個元素？（2）集合A是否為雙元素集合？請說明理由；（3）若A中元素個數(shù)不超過，所有元素的和為，且A中有一個元素的平方等于所有元素的積，求集合A中的元素.【答案】（1）兩個；（2）不是，理由見解析；（3）.【解析】【分析】（1）利用給定的定義，依次計算即得.（2）由，求得A中其它元素，再判斷不相等即可.（3）由（2）中信息，可得，再結(jié)合已知列出方程求解即得.【小問1詳解】由，得，則，因此所以A中至少還有兩個元素為，.【小問2詳解】不是雙元素集合．理由如下：由，得，則，而且，，即，，于是，由，得，則，因此集合A中至少有個元素，所以集合A不是雙元素集合．【小問3詳解】由（2）知A中有三個元素為、、（且），且，依題意，A中除上述3個元素外，還有其它元素，設(shè)A中有一個元素為，則，，且，于是A中的元素為，且集合A中所有元素之積為，由A中有一個元素的平方等于所有元素的積，設(shè)或，解得或．此時，，，依題意，，整理得，即，解得或或，所以集合A中的元素為.19.已知函數(shù)且.（1）求的解析式;（2）已知的定義域為.（?。┣蟮亩x域；（ⅱ）若方程有唯一實根，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）（?。?；（ⅱ），或.【解析】【分析】（1）利用換元法以及，即可求解的解析式；（2）（?。┙獠坏仁?，即可得出的定義域；（ⅱ）結(jié)合函數(shù)的解析式將方程化為，利用換元法得出，討論的值，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出實數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】令，則，所以，因為，所以，所以；【小問2詳解】（ⅰ）因為的定義域為，所以，解得，所以的定義域為.（ⅱ）因為，所以，化簡得，

令，則在有唯一實數(shù)根，令，當時，令，則，所以，得符合題意，所以；當時，，所以只需，解得，因為，所以此時無解；當時，，即，或，，符合