河南省南陽(yáng)市內(nèi)鄉(xiāng)縣實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)2025屆高三上學(xué)期學(xué)習(xí)效果檢測(cè)數(shù)學(xué)試題（解析版）

45屆高三學(xué)習(xí)效果檢測(cè)——數(shù)學(xué)試題命題人：審核人：時(shí)長(zhǎng)：120分鐘總分：150分難度系數(shù)0.6第Ⅰ卷（選擇題）一、單選題（每題5分，共8題）1.下列關(guān)系中正確的個(gè)數(shù)為（）①，②，③④A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)【答案】C【解析】【分析】正確理解常用數(shù)集的定義，并正確表達(dá)元素與集合之間的關(guān)系即得.【詳解】對(duì)于①，顯然正確；對(duì)于②，是無(wú)理數(shù)，故②正確；對(duì)于③，是自然數(shù)，故③正確；對(duì)于④，是無(wú)理數(shù)，故④錯(cuò)誤.故正確個(gè)數(shù)為3.故選：C.2.設(shè)集合，，若，則（）．A.2 B.1 C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)包含關(guān)系分和兩種情況討論，運(yùn)算求解即可.【詳解】因?yàn)椋瑒t有：若，解得，此時(shí)，，不符合題意；若，解得，此時(shí)，，符合題意；綜上所述：.故選：B.3.已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t的定義域?yàn)椋ǎ〢. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意求出的定義域，結(jié)合函數(shù)列出相應(yīng)不等式組，即可求得答案.【詳解】由題意可知函數(shù)定義域?yàn)?，即，故，則的定義域?yàn)椋瑒t對(duì)于，需滿足，即的定義域?yàn)?，故選：C4.已知是定義在上的函數(shù)，那么“函數(shù)在上單調(diào)遞增”是“函數(shù)在上的最大值為”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】利用兩者之間的推出關(guān)系可判斷兩者之間的條件關(guān)系.【詳解】若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則在上的最大值為，若在上的最大值為，比如，但在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，故在上的最大值為推不出在上單調(diào)遞增，故“函數(shù)在上單調(diào)遞增”是“在上的最大值為”的充分不必要條件，故選：A.5.已知集合，若集合有15個(gè)真子集，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)真子集的定義，推斷出集合含有4個(gè)元素，即不等式的解集中有且僅有4個(gè)整數(shù)解，由此進(jìn)行分類討論，列式算出實(shí)數(shù)的取值范圍．【詳解】若集合有15個(gè)真子集，則中含有4個(gè)元素，結(jié)合，可知，即，且區(qū)間,中含有4個(gè)整數(shù)，①當(dāng)時(shí)，,的區(qū)間長(zhǎng)度，此時(shí),中不可能含有4個(gè)整數(shù)；②當(dāng)時(shí)，,,，其中含有4、5、6、7共4個(gè)整數(shù)，符合題意；③當(dāng)時(shí)，,的區(qū)間長(zhǎng)度大于3，若,的區(qū)間長(zhǎng)度，即．若是整數(shù)，則區(qū)間,中含有4個(gè)整數(shù)，根據(jù)，可知，，此時(shí),,，其中含有5、6、7、8共4個(gè)整數(shù)，符合題意．若不是整數(shù)，則區(qū)間,中含有5、6、7、8這4個(gè)整數(shù)，則必須且，解得；若時(shí)，,,，其中含有5、6、7、8、9共5個(gè)整數(shù)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，,的區(qū)間長(zhǎng)度，此時(shí),中只能含有6、7、8、9這4個(gè)整數(shù)，故，即，結(jié)合可得．綜上所述，或或，即實(shí)數(shù)的取值范圍是,,．故選：D．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由真子集的個(gè)數(shù)可得，且區(qū)間,中含有4個(gè)整數(shù)，結(jié)合區(qū)間長(zhǎng)度，即可對(duì)討論求解.6.設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用指數(shù)型復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，判斷列式計(jì)算作答.【詳解】函數(shù)在R上單調(diào)遞增，而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則有函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，因此，解得，所以的取值范圍是.故選：D7.函數(shù)，若對(duì)任意，都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用函數(shù)單調(diào)性的變形式即可判斷函數(shù)單調(diào)性，然后根據(jù)分段函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】因?yàn)閷?duì)任意，都有成立，可得在上是單調(diào)遞減的，則，解得.故選：A8.已知且，若集合，且﹐則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】求出集合M，再由給定條件，對(duì)集合N分類討論，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)最小值求解作答.【詳解】依題意，，，令，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，而，則，使得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，因此，，當(dāng)時(shí)，若，，則恒成立，，滿足，于是當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即不等式對(duì)成立，，由得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，于是得，即，變形得，解得，從而得當(dāng)時(shí)，恒成立，，滿足，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是或.故選：D【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及函數(shù)不等式恒成立問(wèn)題，可以利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的最值，借助函數(shù)最值轉(zhuǎn)化解決問(wèn)題.二、多選題（每題6分，共3題）9.某?！拔逡惶飶竭\(yùn)動(dòng)會(huì)”上，共有12名同學(xué)參加100米、400米、1500米三個(gè)項(xiàng)目，其中有8人參加“100米比賽”，有7人參加“400米比賽”，有5人參加“1500米比賽”，“100米和400米”都參加的有4人，“100米和1500米”都參加的有3人，“400米和1500米”都參加的有3人，則下列說(shuō)法正確的是（）A.三項(xiàng)比賽都參加的有2人 B.只參加100米比賽的有3人C.只參加400米比賽的有3人 D.只參加1500米比賽的有1人【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)總?cè)藬?shù)和各個(gè)項(xiàng)目的人數(shù)，可求出三項(xiàng)比賽都參加的人數(shù)，從而可判定各選項(xiàng).【詳解】根據(jù)題意，設(shè){是參加100米的同學(xué)}，{是參加400米的同學(xué)}，{是參加1500米的同學(xué)}，則且則，所以三項(xiàng)比賽都參加的有2人，只參加100米比賽的有3人，只參加400米比賽的有2人，只參加1500米比賽的有1人.故選：ABD10.關(guān)于x的不等式的解集中恰有3個(gè)整數(shù)，則a的值可以為（）A.﹣2 B.1 C.﹣1 D.【答案】CD【解析】【分析】分類討論a的符號(hào)解不等式，結(jié)合題意分析解集中恰有3個(gè)整數(shù)為：或，分別列式求解【詳解】當(dāng)時(shí)，則，即，解集中必有無(wú)數(shù)個(gè)整數(shù)，不合題意，即不成立當(dāng)時(shí)，令，則∴原不等式解集為，且由題意可得：若，則，解得a=-1若，則，解得即a=-1或當(dāng)時(shí)，開(kāi)口向上∴原不等式解集中必有無(wú)數(shù)個(gè)整數(shù)，不合題意，則不成立綜上所述：a=-1或故選：CD.11.已知a>0，b>0，且a+b=1，則（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)，結(jié)合基本不等式及二次函數(shù)知識(shí)進(jìn)行求解.【詳解】對(duì)于A，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故A正確；對(duì)于B，，所以，故B正確；對(duì)于C，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故C不正確；對(duì)于D，因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故D正確；故選：ABD【點(diǎn)睛】本題主要考查不等式的性質(zhì)，綜合了基本不等式，指數(shù)函數(shù)及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題（每題5分，共3題）12.若函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t實(shí)數(shù)的范圍為_(kāi)_______．【答案】【解析】【分析】由已知可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不等式對(duì)任意的恒成立，滿足方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，求解即可.【詳解】由題意，知不等式對(duì)任意的恒成立，所以方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，所以，解得，所以實(shí)數(shù)取值范圍是.故答案：.13.已知定義在R上的偶函數(shù)滿足當(dāng)時(shí)，則________．【答案】1【解析】【分析】先由偶函數(shù)，推出，再根據(jù)分段函數(shù)的不同區(qū)間依次求得，.【詳解】因是在R上的偶函數(shù)，則，故.故答案為：1.14.如果幾個(gè)函數(shù)的定義域相同、值域也相同，但解析式不同，稱這幾個(gè)函數(shù)為“同域函數(shù)”．函數(shù)的值域?yàn)?，則與y是“同域函數(shù)”的一個(gè)解析式為_(kāi)__________________________．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根據(jù)題意，先求出的定義域，再寫出跟其相同定義域、值域的函數(shù)即可.【詳解】因?yàn)?，所以，解得，所以函?shù)的定義域?yàn)椋钟深}意可知的值域?yàn)椋c之定義域、值域相同的函數(shù)，如，，等等．故答案為：（答案不唯一）.四、解答題（第15題13分，第16和17題每題15分，第18和19題每題17分）15.已知集合，集合.（1）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍（2）若，求實(shí)數(shù)的值【答案】（1）（2）2【解析】【分析】（1）利用判別式計(jì)算即可；（2）直接代入1計(jì)算即可.【小問(wèn)1詳解】若，則，即實(shí)數(shù)的取值范圍為；【小問(wèn)2詳解】若，則即實(shí)數(shù)值為2.16.（1）已知，求；（2）已知為二次函數(shù)，且，求；（3）已知函數(shù)對(duì)于任意的x都有，求．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】【分析】（1）利用換元法或配湊法求解即可；（2）利用待定系數(shù)法，令，然后結(jié)合已知條件化簡(jiǎn)列方程組可求出，從而可求出；（3）將已知等式中的用替換，得到另一個(gè)式子，與已知等式聯(lián)立可求出.【詳解】（1）方法一（換元法）：令，則，，所以，所以的解析式為．方法二（配湊法）：．因?yàn)椋缘慕馕鍪綖椋?）設(shè)，則，所以，解得，所以．（3），令，得，于是得到關(guān)于與的方程組，解得．17.已知函數(shù)，圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且.（1）求的值；（2）用定義法證明函數(shù)y=f(x)【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)條件得到方程組，可求出答案；（2），且，變形判斷符號(hào)可得結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】由題意得，解得【小問(wèn)2詳解】由（1）可知，，且，，因，所以，又，所以，所以，即，所以，所以函數(shù)y=fx在區(qū)間18.設(shè)數(shù)集A由實(shí)數(shù)構(gòu)成，且滿足：若（且），則.（1）若，則A中至少還有幾個(gè)元素？（2）集合A是否為雙元素集合？請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）若A中元素個(gè)數(shù)不超過(guò)，所有元素的和為，且A中有一個(gè)元素的平方等于所有元素的積，求集合A中的元素.【答案】（1）兩個(gè)；（2）不是，理由見(jiàn)解析；（3）.【解析】【分析】（1）利用給定的定義，依次計(jì)算即得.（2）由，求得A中其它元素，再判斷不相等即可.（3）由（2）中信息，可得，再結(jié)合已知列出方程求解即得.【小問(wèn)1詳解】由，得，則，因此所以A中至少還有兩個(gè)元素為，.【小問(wèn)2詳解】不是雙元素集合．理由如下：由，得，則，而且，，即，，于是，由，得，則，因此集合A中至少有個(gè)元素，所以集合A不是雙元素集合．【小問(wèn)3詳解】由（2）知A中有三個(gè)元素為、、（且），且，依題意，A中除上述3個(gè)元素外，還有其它元素，設(shè)A中有一個(gè)元素為，則，，且，于是A中的元素為，且集合A中所有元素之積為，由A中有一個(gè)元素的平方等于所有元素的積，設(shè)或，解得或．此時(shí)，，，依題意，，整理得，即，解得或或，所以集合A中的元素為.19.已知函數(shù)且.（1）求的解析式;（2）已知的定義域?yàn)?（ⅰ）求的定義域；（ⅱ）若方程有唯一實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）（ⅰ）；（ⅱ），或.【解析】【分析】（1）利用換元法以及，即可求解的解析式；（2）（?。┙獠坏仁剑纯傻贸龅亩x域；（ⅱ）結(jié)合函數(shù)的解析式將方程化為，利用換元法得出，討論的值，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】令，則，所以，因?yàn)椋?，所以；【小?wèn)2詳解】（?。┮?yàn)榈亩x域?yàn)椋?，解得，所以的定義域?yàn)?（ⅱ）因?yàn)?，所以，化?jiǎn)得，

令，則在有唯一實(shí)數(shù)根，令，當(dāng)時(shí)，令，則，所以，得符合題意，所以；當(dāng)時(shí)，，所以只需，解得，因?yàn)椋源藭r(shí)無(wú)解；當(dāng)時(shí)，，即，或，，符合