福建省漳州市華安縣第一中學2025屆高三上學期開學模擬考試數(shù)學試題（解析版）

2024-2025學年度開學模擬考試高三數(shù)學試卷一、單選題1.設集合，，若，則a的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先解一元二次不等式再根據(jù)集合間的關系求參．【詳解】，；由可以推出，所以，a的取值范圍是．故選：A.2.若復數(shù)的實部與虛部相等，則實數(shù)m的值為（）A. B. C.1 D.3【答案】D【解析】【分析】根據(jù)復數(shù)的除法運算，求得的實部和虛部，解方程即可求得答案.【詳解】由題意可得，故，解得，故選：D3.已知，且，則（）A.0.2 B.0.3 C.0.7 D.0.8【答案】B【解析】【分析】由正態(tài)曲線的對稱性可求出，即可求出.【詳解】根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性，由，得，再由總體密度曲線，數(shù)形結合知：.故選：B．4.若，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)的單調性比較大?。驹斀狻坑?，則，又，且，所以．故選：A．5.橢圓的短軸長是2，長軸是短軸的2倍，那么橢圓的右焦點到直線的距離是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)短軸長及長軸長,結合橢圓中可求得.即可求得橢圓的右焦點到直線的距離.【詳解】橢圓的短軸長是2,長軸是短軸的2倍則,解得因為,可得所以右焦點坐標為,直線方程為所以右焦點到直線的距離為故選:D【點睛】本題考查了橢圓的定義域幾何性質的簡單應用,屬于基礎題.6.已知函數(shù)在處取得最值，且在上恰有兩個極值點，則（）A.4 B.10 C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意求出與的關系式，根據(jù)的范圍求出的范圍，當時同理即可求解.【詳解】由題意可知，，，解得，，當時，由x∈0,π由題意，得，解得，所以不存在，當時，由x∈0,得，由題意，得，解得，所以.故選：C.7.已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0，若一過焦點F的斜率的直線與雙曲線交于A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設直線方程為，聯(lián)立雙曲線方程得，由韋達定理得，再根據(jù)條件得，聯(lián)立方程即可得出結果.【詳解】假設F為右焦點，根據(jù)題意，設直線方程為，，由，消得到，易知，由韋達定理得，又因為，所以，得到，將代入，得到，將代入，得到，又，所以，得到，故選：A.8.，為函數(shù)的兩個零點，其中，則下列說法錯誤的是（）A. B.C.的最小值為4 D.的最小值為4【答案】C【解析】【分析】由零點的定義可知，直線與函數(shù)的圖象有兩個公共點，其橫坐標為，，結合的性質可得，再借助對勾函數(shù)的性質和基本不等式逐項判斷即可得出答案.【詳解】函數(shù)的定義域為0,+∞，且，由，得，因此直線與函數(shù)的圖象有兩個公共點，其橫坐標為，，比1大還是小對的圖象沒有影響，可令，而當時，遞減，當時，遞增，于是，對于A，由，得，即，A正確；對于B，，而函數(shù)在1,+∞上單調遞增，因此，B正確；對于C，，函數(shù)在1,+∞上單調遞增，因此，C錯誤；對于D，，當且僅當時取等號，D正確.故選：C．【點睛】關鍵點睛：本題的關鍵點在于將題意轉化為直線與函數(shù)的圖象有兩個公共點，其橫坐標為，，結合的性質可得，再借助對勾函數(shù)的性質和基本不等式逐項判斷即可得出答案.二、多選題9.設是首項為，公差為的等差數(shù)列；是首項為，公比為的等比數(shù)列．已知數(shù)列的前項和，，則（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)分組求和，利用等差數(shù)列、等比數(shù)列求和公式用、、、表示出，再結合，由系數(shù)對應相等分別求出、、、，選出答案.【詳解】當時，，不合題意；當時，，，，，，，，所以，故選：BC．10.已知內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，外接圓半徑為R．若，且，則（）A. B.面積的最大值為C. D.邊上的高的最大值為【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用正弦定理邊化角求出，再結合三角形面積公式、余弦定理逐項計算判斷得解.【詳解】在中，由及正弦定理，得，而，則，由余弦定理得，而，解得，對于A，，A正確；對于B，顯然，當且僅當時取等號，，B錯誤；對于C，，C錯誤；對于D，令邊上的高為，則，解得，D正確.故選：AD11.如圖，在棱長為2的正方體中，E為的中點，若一點P在底面內（包括邊界）移動，且滿足，則（）A.與平面的夾角的正弦值為 B.點到的距離為C.線段的長度的最大值為 D.與的數(shù)量積的范圍是【答案】ABD【解析】【分析】建系，標點，設，根據(jù)向量垂直可得.對于A：利用空間向量求線面夾角；對于B：利用空間向量求點到線的距離；對于C：根據(jù)空間向量的模長公式分析求解；對于D：根據(jù)空間向量的數(shù)量積分析求解.【詳解】如圖，以為坐標原點，分別為軸，建立空間直角坐標系，則，設，可得，，若，則，可得，則，解得，即.對于選項A：可知平面的法向量，則，所以與平面的夾角的正弦值為，故A正確；對于選項B：因為，所以點到的距離為，故B正確；對于選項C：因為，則，且，可得當且僅當時，取到最大值，所以線段的長度的最大值為3，故C錯誤；對于選項D：因為，，則，且，可知當時，取到最小值；當時，取到最大值；所以與的數(shù)量積的范圍是，故D正確；故選：ABD.第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題12.的展開式中項的系數(shù)是________.【答案】112【解析】【分析】由二項式展開式的通項公式得，令確定的值，然后計算項的系數(shù)即可.【詳解】展開式的通項公式，令可得，，則項的系數(shù)為.故答案為：112.13.已知，若，則的最小值為____________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，化簡得到，設，求得，結合基本不等式，即可求解.【詳解】由，且，可得，則，設，可得且，可得，當且僅當時，即時，等號成立，所以的最小值為.故答案為：.14.已知正方形PQRS的邊長為，兩個不同的點A，B都在直線QS的同側（但A，B與P在直線QS的異側），A，B關于直線PR對稱，若，則面積的取值范圍是__________．【答案】【解析】【分析】建立平面直角坐標系，由求出點的軌跡，由軌跡特征求點的直線的距離的取值范圍，可求面積的取值范圍.【詳解】以PR為x軸，QS為y軸建系，則，，設，，且，，所以，，因為，所以，即A位于雙曲線的右支上，漸近線方程為或，設點A到直線PS的距離為h，又直線與直線PS的距離為，點到直線PS的距離為，則，又，所以面積的取值范圍是．故答案為：四、解答題15.如圖，已知四棱錐中，平面，，．（1）求證：平面平面；（2）若平面與平面所成角的余弦值為，求線段的長．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）設中點為，連接，先證得，，由線面垂直的判定定理可證得平面，再由面面垂直的判定定理即可證明.（2）以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，設，分別求出平面與平面的法向量，代入二面角公式即可得出答案.【小問1詳解】證明：設中點為，連接，如圖，因為，且，故四邊形為正方形，而，，，所以，所以，因為平面，平面，所以，又平面，，所以平面，因為平面，所以平面平面．【小問2詳解】解：以為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸，建立如圖所示空間直角坐標系，設，則，，，，所以，，設平面的法向量為n=x,y,z令，所以，由（1）知，平面的法向量為，設平面與平面所成角為，則，，解得或（舍去），所以．16.已知是函數(shù)的極小值點．（1）求的單調性；（2）討論在區(qū)間的最大值．【答案】（1）在單調遞減，在區(qū)間單調遞增，在單調遞減．（2）答案見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)極值點求出，再求導，根據(jù)導數(shù)正負得出單調性即可；（2）根據(jù)（1）的結論，用m對區(qū)間進行分類討論，再根據(jù)再結合單調性得到最值.【小問1詳解】的定義域為R，．當時，，不是的極值點．當時，令，得，．在小于0，在區(qū)間大于0，在小于0，故在單調遞減，在區(qū)間單調遞增，在單調遞減，此時是的極小值點，符合題意．綜上，在單調遞減，在區(qū)間單調遞增，在單調遞減．【小問2詳解】由（1）可知：在單調遞減，在區(qū)間單調遞增，在單調遞減．分類討論.當,即時，在區(qū)間單調遞減，故最大值為；當時，在單調遞減，在單調遞增，故最大值為；當時，在區(qū)間單調遞增，故最大值為；當時，在單調遞增，在單調遞減，故最大值為；當時，在區(qū)間單調遞減，故最大值為．17.拋物線圖象經(jīng)過點，焦點為，過點且傾斜角為的直線與拋物線交于點，，如圖．（1）求拋物線的標準方程；（2）當時，求弦AB的長；（3）已知點，直線，分別與拋物線交于點，．證明：直線過定點．【答案】（1）（2）（3）證明見解析【解析】【分析】（1）由曲線圖象經(jīng)過點，可得，則得拋物線的標準方程；（2）寫出的方程,和拋物線方程聯(lián)立，消元后，由韋達定理可得，則；（3）設直線的方程為，，，，，和拋物線方程聯(lián)立，消元后，由韋達定理可得，．直線的方程為，和拋物線方程聯(lián)立，消元后，由韋達定理可得，同理可得，由，可得，則直線的方程為，由對稱性知，定點在軸上，令，可得，則的直線過定點．【小問1詳解】曲線圖象經(jīng)過點，所以，所以，所以拋物線的標準方程為．【小問2詳解】由（1）知，當時，,所以的方程為，聯(lián)立，得，則，由，所以弦．【小問3詳解】由（1）知，直線的斜率不為0，設直線的方程為，，，，，聯(lián)立得，，因此，．設直線的方程為，聯(lián)立得，則，因此，，得，同理可得，所以．因此直線的方程為，由對稱性知，定點在軸上，令得，，所以，直線過定點．【點睛】方法點睛：求解直線過定點問題常用方法如下：(1)“特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情況確定定點，再轉化為有方向、有目的的一般性證明；(2)“一般推理，特殊求解”：即設出定點坐標，根據(jù)題設條件選擇參數(shù)，建立一個直線系或曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個關于定點坐標的方程組，以這個方程組的解為坐標的點即為所求點；(3)求證直線過定點，常利用直線的點斜式方程或截距式來證明.18.口袋中共有7個質地和大小均相同的小球，其中4個是黑球，現(xiàn)采用不放回抽取方式每次從口袋中隨機抽取一個小球，直到將4個黑球全部取出時停止.（1）記總抽取次數(shù)為X，求E（X）；（2）現(xiàn)對方案進行調整：將這7個球分裝在甲乙兩個口袋中，甲袋裝3個小球，其中2個是黑球；乙袋裝4個小球，其中2個是黑球.采用不放回抽取方式先從甲袋每次隨機抽取一個小球，當甲袋的2個黑球被全部取出后再用同樣方式在乙袋中進行抽取，直到將乙袋的2個黑球也全部取出后停止.記這種方案的總抽取次數(shù)為Y，求E（Y）并從實際意義解釋E（Y）與（1）中的E（X）的大小關系.【答案】（1）（2）6，答案見解析【解析】【分析】（1）確定X可能取值為4，5，6，7，分別求出概率后，由期望公式計算出期望；（2）Y可能取值為4，5，6，7，設甲袋和乙袋抽取次數(shù)分別為和，利用獨立事件概率公式求得概率，再由期望公式計算出期望，根據(jù)白球對取到黑球的影響說明期望的大小關系．【小問1詳解】X可能取值為4，5，6，7，，；【小問2詳解】Y可能取值為4，5，6，7，設甲袋和乙袋抽取次數(shù)分別為和，，，，，.在將球分裝時，甲袋中的黑球取完后直接取乙袋，若此時甲袋中還有其它球，則該球的干擾作用已經(jīng)消失，所以同樣是要取出4個黑球，調整后的方案總抽取次數(shù)的期望更低.19.設任意一個無窮數(shù)列的前項之積為，若，，則稱是數(shù)列．（1）若是首項為，公差為的等差數(shù)列，請判斷是否為數(shù)列？并說明理由；（2）證明：若的通項公式為，則不是數(shù)列；（3）設是無窮等比數(shù)列，其首項，公比為，若是數(shù)列，求的值．【答案】（1）是T數(shù)列，理由見解析（2）證明見解析（3）或．【解析】【分析】（1）由題知，再根據(jù)T數(shù)列的定義，即可作出判斷；（2）先假設是數(shù)列，從而有，再進行驗證，即可證明結果；（3）根據(jù)題設得到，取對數(shù)后可得，分類討論后可求.小問1詳解】是T數(shù)列，理由：由題知，即，所以，，當時，，所以是T數(shù)列．【小問2詳解】假設是數(shù)列，則對任意正整數(shù)，總是中的某一項，，所以對任意正整數(shù)，存在正整數(shù)滿足：，顯然時，存在，滿足，取，得，所以，可以驗證：當，2，3，4時，都不成立，故不是T數(shù)列.【小問3詳解】已知是等比數(shù)列，其首項，公比，所以，所以，由題意知對任意正整數(shù)n，總存在正整數(shù)m，使得，即對任意正整數(shù)n，總存在正整數(shù)m，使得，即對任意正整數(shù)n，總存在正整數(shù)m，使