八年級數(shù)學下冊 講義（北師大版）第六章第02講 平行四邊形的判定(6類熱點題型講練)（解析版）

第02講平行四邊形的判定(6類熱點題型講練)1．掌握平行四邊形的判定定理；(重點)2．綜合運用平行四邊形的性質與判定定理1、2解決問題．(難點)知識點01平行四邊形的判定定理【知識點】平行四邊形的判定：主要根據(jù)平行四邊形的定義、性質進行，如下圖，有四邊形ABCD：（1）判定方法1（定義）：兩組對邊平行的四邊形，即AD∥BC，AB∥DC.（2）判定方法2（邊的性質）：兩組對邊相等的四邊形，即AD=BC，AB=DC.（3）判定方法3（邊的性質）：一組對邊相等且平行的四邊形，即AD∥BC且AD=BC；AB∥DC且AB=DC.（4）判定方法4（角的性質）：兩組對角相等的四邊形，即∠BAD=∠BCD且∠ABC=∠ADC.（5）判定方法5（對角線的性質）：兩組對角線相互平分的四邊形，即AO=CO且BO=DO.注：=1\*GB3①平行四邊形的判定，需要邊、角、對角線相關的2個條件（相等、平行）；=2\*GB3②判定方法3中，必須要求是同一對邊平行且相等判定為平行四邊形.若四邊形中，一對邊平行，另一對邊相等，是無法判定為平行四邊形的.題型01判斷能否構成平行四邊形【例題】（23-24八年級下·廣東珠海·階段練習）如圖，四邊形中，對角線、相交于點，下列條件不能判定這個四邊形是平行四邊形的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】本題考查平行四邊形的判定．解題的關鍵是掌握平行四邊形的判定方法：①兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；②兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；③一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；④兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；⑤對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，據(jù)此依次對各選項逐一分析即可作出判斷．【詳解】解：A．，，根據(jù)“兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形”可以判定這個四邊形是平行四邊形，故此選項不符合題意；B．，，不能判定這個四邊形是平行四邊形，故此選項符合題意；C．，，根據(jù)“對角線互相平分的四邊形是平行四邊形”可以判定這個四邊形是平行四邊形，故此選項不符合題意；D．，，根據(jù)“兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形”可以判定這個四邊形是平行四邊形，故此選項不符合題意．故選：B．【變式訓練】1．（23-24八年級下·江蘇泰州·期中）如圖，在四邊形中，對角線與相交于點，下列四個選項中不能判定四邊形是平行四邊形的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】本題考查了平行四邊形的判定，根據(jù)平行四邊形的判定定理，結合選項逐項分析，即可求解．【詳解】解：A.∵，，

∴∴，∴四邊形是平行四邊形，故該選項不符合題意；B.根據(jù)，，不能判斷四邊形是平行四邊形，故該選項符合題意；C.∵，∴四邊形是平行四邊形，故該選項不符合題意；

D.∵，∴，又∴∴∴四邊形是平行四邊形，故該選項不符合題意；故選：B．2．（2024·河北石家莊·一模）如圖，已知線段和射線，且，在射線上找一點C，使得四邊形是平行四邊形，下列作法不一定可行的是（

）A．過點D作與交于點CB．在下方作與交于點C，使C．在上截取，使，連接D．以點D為圓心，長為半徑畫弧，與交于點C，連接【答案】D【分析】本題考查了作圖基本作圖：熟練掌握5種基本作圖是解決問題的關鍵．也考查了平行四邊形的判定．根據(jù)基本作圖和平行四邊形的判定方法對各選項進行判斷．【詳解】解：A．由作法得，而，則四邊形是平行四邊形，所以A選項不符合題意；B．由作法得，由得，則，所以，則四邊形是平行四邊形，所以B選項不符合題意；C．由作法得，而，則四邊形是平行四邊形，所以C選項不符合題意；D．由作法得，而，則四邊形不一定是平行四邊形，所以D選項符合題意．故選：D．題型02添一個條件成為平行四邊形【例題】（23-24八年級下·黑龍江齊齊哈爾·階段練習）如圖，在四邊形中，，請?zhí)砑右粋€條件：，使四邊形成為平行四邊形．【答案】（答案不唯一）．【分析】本題考查了平行四邊形的判定，熟記平行四邊形的判定方法是解題的關鍵．由平行四邊形的判定即可得出結論．【詳解】添加條件為：，理由如下：∵，，∴四邊形為平行四邊形，故答案為：（答案不唯一）．【變式訓練】1．（22-23八年級下·黑龍江齊齊哈爾·期中）在四邊形中，，請再添加一個條件，使四邊形是平行四邊形．添加的條件是．【答案】【分析】本題主要考查平行四邊形的判定，熟練掌握平行四邊形的判定是解題的關鍵．根據(jù)對角線互相平分的四邊形為平行四邊形解題即可．【詳解】解：由于對角線互相平分的四邊形為平行四邊形，，故添加條件為：．故答案為：．2．（23-24八年級下·全國·假期作業(yè)）如圖，在四邊形中，是邊上一點，連接并延長，與的延長線相交于點．請你再添加一個條件：，使四邊形是平行四邊形（寫出一種情況即可）．【答案】（答案不唯一）【解析】略題型03證明四邊形是平行四邊形【例題】（23-24九年級下·江蘇南通·階段練習）如圖，在中，E、F為對角線上兩點，．求證：四邊形是平行四邊形．【答案】見解析【分析】本題考查了平行四邊形的判定，結合條件活用對角線互相平分的四邊形是平行四邊形是解題的關鍵．連接，交于點，利用對角線互相平分的四邊形是平行四邊形證明．【詳解】如圖，連接，交于點，

∵四邊形是平行四邊形，，，∵，，，∵，∴四邊形是平行四邊形．【變式訓練】1．（23-24八年級下·山東聊城·階段練習）如圖，四邊形對角線交于點O，且O為中點，，，求證：四邊形是平行四邊形．

【答案】見詳解【分析】本題考查了平行四邊形的判定、全等三角形的判定與性質、平行線的性質；熟練掌握平行四邊形的判定方法，證明三角形全等得出對應邊相等是解決問題的關鍵．由已知條件和平行線的性質得出，，由證明，得出對應邊相等，即可證出四邊形是平行四邊形．【詳解】證明：為中點，，，，，，在和中，，，，又，四邊形是平行四邊形．2．（2024·湖南岳陽·二模）如圖，在中，點，分別在，上，，分別交，于點，．求證：四邊形是平行四邊形．【答案】證明見解析．【分析】本題考查了平行四邊形的判定與性質，先利用平行四邊形的性質得，，又然后，從而可得，由平行四邊形的判定即可得出結論，熟練掌握平行線的判定與性質是解題的關鍵．【詳解】證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，，∵，∴，即，又∵∴四邊形是平行四邊形．題型04利用平行四邊形的判定和性質求解【例題】（23-24九年級上·浙江杭州·階段練習）如圖，在四邊形中，，點E在上，．(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)若，平分，，求的長．【答案】(1)見解析(2)．【分析】本題考查了平行四邊形的判定與性質、角直角三角形的性質和勾股定理等知識，證明四邊形為平行四邊形是解題的關鍵．（1）首先根據(jù)得到，然后結合即可證明出四邊形是平行四邊形；（2）利用角直角三角形的性質求得的長，再利用角直角三角形的性質和勾股定理求得，再根據(jù)平行四邊形的性質即可求解．【詳解】（1）證明：∵，∴，又∵，∴四邊形是平行四邊形．（2）解：∵，，，∴，，∵平分，∴，∴，由勾股定理得，即，解得，∵四邊形是平行四邊形，∴．【變式訓練】1．（23-24八年級上·吉林·期末）如圖，在中，，于點D，延長到點E，使，過點E作交的延長線于點F，連接，．(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)若，，直接寫出的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查了平行四邊形的判定與性質、全等三角形的判定與性質、等腰三角形的性質、勾股定理等知識，熟練掌握平行四邊形的判定與性質是解答本題的關鍵．（1）證，得，再由平行四邊形的判定即可得出結論；（2）由平行四邊形的性質得，再由等腰三角形的性質得，則，進而由勾股定理得，然后利用勾股定理求出的長即可．【詳解】（1）證明：，，在與中，，，,又，四邊形是平行四邊形；（2）解：由（1）可知四邊形是平行四邊形，，，，，，，，，，，．2．（22-23八年級下·江西宜春·階段練習）如圖所示，將的邊延長至點，使，連接，是邊的中點，連接．

(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)若，，，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）利用平行四邊形的性質得出，，進而利用已知得出，，進而得出答案；（2）首先過點作于點，再利用平行四邊形的性質結合勾股定理得出的長，進而得出答案．【詳解】（1）證明：四邊形是平行四邊形，，，，是邊的中點，，，四邊形是平行四邊形（2）解：過點作于點，

由（1）得：四邊形是平行四邊形，，四邊形是平行四邊形，，，，，，，在中，，，又是邊的中點，，，在中，，．【點睛】此題主要考查了平行四邊形的判定與性質、勾股定理等、直角三角形的性質，熟練應用平行四邊形的判定方法是解題關鍵．題型05利用平行四邊形的判定和性質證明【例題】（23-24八年級下·江蘇泰州·階段練習）已知：如圖，四邊形為平行四邊形，點E，A，C，F(xiàn)在同一直線上，．(1)求證：；(2)連接、，求證：四邊形為平行四邊形．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)四邊形為平行四邊形，得到，繼而得到，結合得到，證明即可．（2）根據(jù)，得到，繼而得到即可證明四邊形為平行四邊形．本題考查了三角形全等的判定，平行四邊形的判定，熟練掌握判定定理是解題的關鍵．【詳解】（1）∵四邊形為平行四邊形，∴，∴，∵，∴，∴．（2）∵，∴，∴，∴四邊形為平行四邊形．．【變式訓練】1．（2024·廣東江門·一模）如圖，，E、F分別是邊上一點，且，直線分別交延長線、延長線于O、H、G．(1)求證：．(2)分別連接，試判斷與的關系，并證明．【答案】(1)見解析(2)，，理由見解析【分析】本題考查平行四邊形的判定與性質，三角形全等的判定與性質．（1）根據(jù)平行四邊形的性質得到，利用即可證明；（2）由（1）知，得到，根據(jù)，即可得到四邊形是平行四邊形，即可得出結論．【詳解】（1）證明：四邊形是平行四邊形，，，，；（2）證明：如圖，連接，，，，四邊形是平行四邊形，，．2．（2024·貴州·一模）如圖，中，，點是邊上一點，且，點是延長線上一點，且，點在上，且．

(1)求證：四邊形為平行四邊形；(2)若，求四邊形的周長；(3)過點作交于點，判斷和的大小關系并說明理由．【答案】(1)見解析(2)四邊形的周長為(3)，理由見解析【分析】本題考查了平行四邊形的判定與性質，等腰三角形的性質，直角三角形的性質，解題的關鍵是掌握平行四邊形的判定與性質．（1）根據(jù)平行四邊形的對角線互相平分即可求解；（2）根據(jù)平行四邊形的對邊分別相等，結合，，即可求解；（3）根據(jù)直角三角形的兩個銳角互余和等腰三角形的性質，即可求解．【詳解】（1）證明：，，四邊形是平行四邊形；（2）四邊形是平行四邊形，，，，，，平行四邊形的周長為：；（3），，即，中，，，，，．題型06平行四邊形的判定和性質的應用【例題】（22-23八年級下·陜西渭南·期末）問題背景：如圖，在等邊中，、兩點分別在邊、上，，以為邊作等邊，連接，，．

問題探究：(1)求證：為等邊三角形；(2)求證：四邊形為平行四邊形；(3)若，求四邊形的面積．【答案】(1)見解析；(2)見解析；(3)．【分析】（）證，得，，再證，即可得出結論；（）由等邊三角形的性質得，，再證，然后證，即可得出結論；（）過作于，由（）可知，再由等邊三角形的性質得，然后用面積公式即可求解．【詳解】（1）證明：∵是等邊三角形，∴，，

∵是等邊三角形，∴，，

∴，∴，即，在和中，，∴，∴，，

∵，∴，∴是等邊三角形；（2）證明：由（）可知，是等邊三角形，∴，，∴，

∴，∵，∴，∴四邊形是平行四邊形；（3）解：如圖，過作于，則，

由（）可知，，∵是等邊三角形，∴，

∴，∴，∴，

∵四邊形為平行四邊形，∴，∴．【點睛】此題考查了等邊三角形的性質、全等三角形的判定與性質、平行線的判定定理、平行四邊形的判定定理、解直角三角形、含角的直角三角形的性質，解題的關鍵在熟練掌握相關的性質定理．【變式訓練】1．（22-23八年級下·福建漳州·期末）如圖，在中，，為邊上一點（），過點，分別作射線的垂線，垂足分別為點，．點在的延長線上，且．

(1)求證：四邊形為平行四邊形；(2)若，的周長為24，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)平行線的判定可得，，根據(jù)平行四邊形的判定即可求證；（2）根據(jù)全等三角形的判定和性質可得，根據(jù)平行四邊形的性質可得，推得，設，則，根據(jù)的周長列式求得，根據(jù)勾股定理求解．【詳解】（1）證明：∵，，∴，∴，∴．∵，∴，∴，∴四邊形為平行四邊形．（2）解：∵，，∴．在和中，，∴，∴，∵四邊形為平行四邊形，∴，∴．設，則，∴，．∵的周長為，∴，在中，，∴．解得：，（不合題意，舍去）∴．【點睛】本題考查了平行線的判定，平行四邊形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，勾股定理，熟練掌握以上判定和性質是解題的關鍵．2．（22-23八年級下·山西太原·階段練習）已知：在中，于點．

(1)尺規(guī)作圖：作線段，使交于點；（要求：不寫作法，保留作圖痕跡）(2)在（1）的基礎上，連接，，求證：四邊形是平行四邊形；(3)連接，若，，，則______．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)【分析】（1）根據(jù)要求作出圖形即可；（2）由，，可得，再證明，可得，根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形即可得證；（3）由直角三角形的性質可得，利用勾股定理求得，由（2）可知，則，進而求得，再利用勾股定理求解即可．【詳解】（1）解：如圖，點即為所求作，

（2）證明：如圖，

，，，，四邊形是平行四邊形，，，，，，四邊形是平行四邊形．（3）解：四邊形是平行四邊形，，，，在中，，由（2）知，，，，在中，，故答案為：．【點睛】本題考查了作圖-復雜作圖，平行四邊形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，勾股定理，含角的直角三角形的性質，熟練掌握知識點并靈活運用是解題的關鍵．3．（23-24八年級上·吉林白城·期末）如圖：是邊長為6的等邊三角形，P是邊上一動點．由點A向點C運動（P與點不重合），點Q同時以點P相同的速度，由點B向延長線方向運動（點Q不與點B重合），過點P作于點E，連接交于點D．(1)若設的長為x，則，．(2)當時，求的長；(3)過點Q作交延長線于點F，則有怎樣的數(shù)量關系？說明理由．(4)點在運動過程中，線段的長是否發(fā)生變化？如果不變，直接寫出線段的長；如果變化，請說明理由．【答案】(1)(2)2(3)(4)3【分析】本題考查的是等邊三角形的性質及全等三角形的判定定理、平行四邊形的判定與性質，熟練全等三角形判定是解答此題的關鍵．（1）由線段和差關系可求解；（2）由直角三角形的性質可列方程，即可求的長；（3）由""可證，可得；（4）連接，由全等三角形的性質可證，由題意可證四邊形是平行四邊形，可得．【詳解】（1）解：是邊長為6的等邊三角形，設，則，故答案為∶；（2）當時，是等邊三角形，，解得∶，；（3），理由如下∶，，又，，；（4）的長度不變．連接，如圖：，，且四邊形是平行四邊形一、單選題1．（2023·四川成都·模擬預測）如圖，在中，，分別以點A，C為圓心，長為半徑畫弧，兩弧在直線上方交于點D，連接，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了平行四邊形的判定與性質，熟練掌握平行四邊形的判定與性質是解題關鍵．先判斷出四邊形是平行四邊形，再根據(jù)平行四邊形的性質求解即可得．【詳解】解：由題意得：，∴四邊形是平行四邊形，∴，故選：D．2．（23-24八年級上·安徽合肥·期末）如圖，四邊形中，，，E、F是對角線上的兩點，如果再添加一個條件，使，則添加的條件不能是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了平行四邊形的判定，熟練掌握判定定理是解題的關鍵．根據(jù)所給條件，結合平行四邊形的各種判定方法逐一判斷即可．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，；又，，，；；∴四邊形是平行四邊形，故B正確；∵四邊形是平行四邊形，；又，，，，；；；∴四邊形是平行四邊形，故C正確；∵四邊形是平行四邊形，；又∵，，；；；∴四邊形是平行四邊形，故D正確；添加后，不能得出，進而得不出四邊形平行四邊形，故選：A．3．（23-24八年級下·黑龍江齊齊哈爾·階段練習）如圖，點是內的一點，過點作直線、分別平行于、，與的邊分別交于、、、．則圖中平行四邊形的個數(shù)為（

）A．10個 B．9個 C．8個 D．7個【答案】B【分析】本題考查平行四邊形的判定和性質，根據(jù)兩組對邊分別平行的四邊形為平行四邊形，進行判斷即可．【詳解】解：∵，∴，，∵過點作直線、分別平行于、，∴，，∴四邊形均為平行四邊形，∴加上共9個．故選B．4．（2023·貴州銅仁·三模）如圖，平行四邊形中以點為圓心，適當長為半徑作弧，交于，分別以點為圓心大于長為半作弧，兩弧交于點，作交于點，連接，若，則的長為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查基本作圖-作角平分線，掌握平行四邊形的性質和判定，勾股定理，勾股定理的逆定理等知識是解題的關鍵．如圖，過點作交于．證明四邊形是平行四邊形，再利用勾股定理的逆定理證明，推出，利用勾股定理求出即可．【詳解】解：如圖，過點作交于．四邊形是平行四邊形，，，，，四邊形是平行四邊形，，平分，，，，，，，，，，，，，，故選：D．5．（2024八年級下·全國·專題練習）如圖，在四邊形中是的中點．點P以每秒1個單位長度的速度從點A出發(fā)，沿向點D運動；點Q同時以每秒3個單位長度的速度從點C出發(fā)，沿向點B運動．點P停止運動時，點Q也隨之停止運動，當運動時間t為（

）秒時，以點為頂點的四邊形是平行四邊形A．1 B． C．1或 D．或2【答案】C【分析】此題考查了平行四邊形的性質．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結合思想、分類討論思想與方程思想的應用．分別從當運動到和之間、當運動到和之間去分析求解即可求得答案．【詳解】解：∵是的中點，由題意可知：，則，①當運動到和之間，設運動時間為，∴，解得：；②當運動到和之間，設運動時間為，解得：，∴當運動時間為1秒或3.5秒時，以點，為頂點的四邊形是平行四邊形，故選：C．二、填空題6．（22-23八年級下·山東青島·期末）如圖所示，在中，A、C分別為邊、上的點，請在目前圖形中添加一個條件，使四邊形是平行四邊形．

【答案】【分析】在中可得,即，添加，滿足一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．【詳解】解：添加條件，四邊形是平行四邊形，，即，，四邊形是平行四邊形．故答案為：．【點睛】本題考查了平行線的判定與性質，熟練掌握平行線的判定與性質定理是解題關鍵．7．（23-24八年級下·四川成都·階段練習）已知一副直角三角板如圖放置，點C在ED的延長線上，，，，，若，則DC的長為．

【答案】【分析】本題主要考查了平行四邊形的判定和性質，勾股定理，等腰直角三角形的性質，直角三角形的性質．過點C作于F，過點A作于H，可得四邊形是平行四邊形，從而得到，，再由是等腰直角三角形，可得，然后根據(jù)直角三角形的性質可得，，即可求解．【詳解】解：過點C作于F，過點A作于H，

∵，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形，∴，，∵，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∵，∴，∴，∴．故答案為：8．（23-24八年級下·黑龍江哈爾濱·階段練習）如圖，在四邊形中，，，，．則四邊形的面積是．【答案】【分析】本題主要考查了勾股定理的應用和平行四邊形的判定，根據(jù)平行四邊形的面積公式即可作答．【詳解】又，四邊形是平行四邊形四邊形的面積：故答案為：．9．（2024·遼寧·模擬預測）如圖，在中，，連接，過點A作交的延長線于點E，過點E作交的延長線于點F，若，則．【答案】【分析】本題考查了平行四邊形的判定與性質、含30度角的直角三角形的性質，熟練掌握平行四邊形的判定與性質是解題關鍵．先根據(jù)平行四邊形的判定與性質可得四邊形是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質可得，從而可得，再根據(jù)含30度角的直角三角形的性質可得，由此即可得．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，，∴，，∵，∴四邊形是平行四邊形，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，故答案為：2．10．（23-24八年級上·重慶沙坪壩·期末）如圖，在中，，點E為的中點，點F為邊上的一個動點，將三角形沿折疊，點A的對應點為，當以E，F(xiàn)，，C為頂點的四邊形是平行四邊形時，線段的長為．【答案】2或【分析】本題主要考查了折疊的性質，平行四邊形的性質與判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性質，分如圖1，四邊形是平行四邊形，如圖2，四邊形是平行四邊形，兩種情況利用折疊的性質進行求解即可．【詳解】解：如圖1，四邊形是平行四邊形，∵，點E為的中點，∴，由折疊得，∵，∴，∴四邊形是平行四邊形，∴；如圖2，四邊形是平行四邊形，作于點G，∵，∴，∵，∴，∴，∴點F與點G重合，∴，綜上所述，線段的長為2或，故答案為：2或．三、解答題11．（2024八年級下·江蘇·專題練習）如圖，在中，，相交于點，點，分別為，的中點．

(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)若的面積為，直接寫出四邊形的面積．【答案】(1)見解析；(2)．【分析】（）由平行四邊形的性質得，，再證，然后由平行四邊形的判定即可得出結論；（）由平行四邊形的性質得，再由三角形面積關系得，然后由平行四邊形的性質即可得出結論；本題考查了平行四邊形的判定與性質以及三角形面積等知識，熟練掌握平行四邊形的判定與性質是解題的關鍵．【詳解】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，，∵，分別是，的中點，∴，，∴，∴四邊形是平行四邊形；（2）解：∵的面積為，∴，∵點，分別為，的中點，，∴，∴，由（1）可知，四邊形是平行四邊形，∴．12．（23-24八年級下·遼寧鞍山·階段練習）如圖：，和均為直線同側的等邊三角形，點P在內．(1)求證：四邊形為平行四邊形；(2)若中，，，，求四邊形的面積．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）證明，即可；（2）過作垂直的延長線于，依據(jù)，，即可得出四邊形是平行四邊形，由勾股定理的逆命定理證得，求出，再由的直角三角形性質求出的長，最后根據(jù)平行四邊形的面積公式求解即可．【詳解】（1）證明：，是等邊三角形，，，，，，，，，同理，四邊形是平行四邊形．（2）解：如圖所示，過作垂直的延長線于，，，，，又，，，而，又．【點睛】本題屬于四邊形綜合題，主要考查了等邊三角形的性質、平行四邊形的判定與性質以及全等三角形的判定與性質，直角三角形的特征，解決問題的關鍵是正確尋找全等三角形解決問題，學會作輔助線構造平行四邊形的高線解決問題．13．（23-24八年級下·山東濱州·階段練習）如圖，在中，點，分別在，上，，分別交，于點，．(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)已知，連接，若平分，求的長．【答案】(1)證明見解析；(2)．【分析】本題考查了平行四邊形的判定與性質、平行線的判定與性質、等腰三角形的判定等知識，熟練掌握平行線的判定與性質是解題的關鍵．（）由平行線四邊形的性質可以得出，，再利用線段和差證明，即可得出結論；（）由（）得：，，再由平行線的性質得，然后證，則可由求解．【詳解】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，，∵，∴，即，∴四邊形是平行四邊形；（2）解：∵平分，∴，由（）得：四邊形是平行四邊形，∴，，∴，∴，∴．14．（23-24八年級下·浙江溫州·階段練習）如圖，在中，點為中點，延長相交于點，連結．

(1)求證：四邊形是平行四邊形．(2)連結，若，求的長度．【答案】(1)見解析(2)．【分析】本題考查平行四邊形的性質與判定，等腰三角形的判定和性質以及全等三角形的性質與判定，熟練其性質與判定定理通過條件作出輔助線逐步推理是解題關鍵．（1）通過證明，即可推出平行且相等于，即得證；（2）利用平行四邊形的性質求得，得到是等腰三角形，推出，再利用勾股定理求解即可．【詳解】（1）證明：由題意得，，，又點為的中點，，在和中，，，又，四邊形為平行四邊形（一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）；（2）解：∵四邊形為平行四邊形，∴，，∵在中，，∴，，∴，即是等腰三角形，∵，∴，∵，∴．15．（23-24八年級下·山東臨沂·階段練習）如圖，四邊形中，，F(xiàn)為上一點，與交于點E，．(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)若，，，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)平行線的性質可得，，從而可證，可得，再根據(jù)平行四邊形的判定即可得出結論；（2）由題意求得，根據(jù)平行四邊形的性質可得，，從而求得，再利用勾股定理求得，再根據(jù)求解即可．【詳解】（1）證明：∵，∴，，在和中，，∴，∴，∵，，∴四邊形是平行四邊形．（2）解：∵，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∴的長是．【點睛】本題考查平行四邊形的判定與性質、全等三角形的判定與性質、勾股定理、平行線的性質，熟練掌握全等三角形的判定與性質及平行四邊形的判定與性質是解題的關鍵．16．（2024九年級下·浙江·專題練習）在中，，是斜邊上的一點，作，垂足為，延長到，連接，使．(1)求證：四邊形是平行四邊形．(2)連接，若平分，，，求四邊形的面積．【答案】(1)見解析(2)96【分析】（1）由，，推出，得出，再證，則，即可得出結論；（2）先由證得，得出，由平行四邊形的性質得，，設，則，再由勾股定理求出，，即可得出結果．【