北師版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 第四章 一次函數(shù)（壓軸專練）（十大題型）

第四章一次函數(shù)（壓軸專練）（十大題型）題型1：存在性問(wèn)題1．如圖：直線與軸、軸分別交于、兩點(diǎn)，，點(diǎn)是直線上與、不重合的動(dòng)點(diǎn)．

(1)求直線的解析式；(2)作直線，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，的面積被直線分成的兩部分；(3)過(guò)點(diǎn)的另一直線與軸相交于點(diǎn)，是否存在點(diǎn)使與全等？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．2．如圖，已知直線與軸、軸分別交于點(diǎn)、，將直線向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到直線，直線與軸、軸分別交于點(diǎn)、，連接、．

(1)求直線的函數(shù)表達(dá)式；(2)求四邊形的面積；(3)在直線上是否存在點(diǎn)，使得的面積是四邊形面積的倍若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．題型2：最值問(wèn)題3．如圖，直線交y軸于點(diǎn)A，交x軸于點(diǎn)B，點(diǎn)在第四象限，點(diǎn)在線段上．連接，，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，交邊于點(diǎn)E，交折線段于點(diǎn)F．(1)求點(diǎn)A，B的坐標(biāo)；(2)設(shè)點(diǎn)E，F(xiàn)的縱坐標(biāo)分別為，，當(dāng)時(shí)，為定值，求t的值；(3)在（2）的條件下，分別過(guò)點(diǎn)E，F(xiàn)作，垂直于y軸，垂足分別為點(diǎn)G，H，當(dāng)時(shí)，求長(zhǎng)方形周長(zhǎng)的最大值．4．如圖（1），在平面直角坐標(biāo)系中，直線交坐標(biāo)軸于，兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，且．(1)的坐標(biāo)為_(kāi)________，線段的長(zhǎng)為_(kāi)________．(2)求直線的解析式和點(diǎn)的坐標(biāo)．(3)如圖（2），點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合），交于點(diǎn)，連結(jié)．①在點(diǎn)移動(dòng)過(guò)程中，線段與數(shù)量關(guān)系是否不變，并證明；②連結(jié)，當(dāng)面積最大時(shí)，求的長(zhǎng)度和的面積．題型3：動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題5．如圖（1），點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于，交軸于點(diǎn)．且．(1)求直線解析式；(2)如圖2，點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)、重合），交于點(diǎn)，連接．①點(diǎn)移動(dòng)過(guò)程中，線段與數(shù)量關(guān)系是否不變，并證明；②當(dāng)面積最小時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)和面積．6．在直角坐標(biāo)系中，直線與軸、軸分別交于點(diǎn)，點(diǎn)．直線與軸，軸分別交于點(diǎn)，點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)．(1)若點(diǎn)坐標(biāo)為．ⅰ)求的值；ⅱ)點(diǎn)在直線上，若，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)為軸上一動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)使為以為直角邊的等腰直角三角形．若存在，求出的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．7．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)．(1)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A且與直線平行的直線交x軸于點(diǎn)B，試求B點(diǎn)坐標(biāo)，并直接寫(xiě)出的度數(shù)；(2)如圖1，若，過(guò)的直線與直線所夾銳角為，求該直線與直線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；(3)如圖2，在（1）的條件下，現(xiàn)有點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在x軸上，M為線段的中點(diǎn)．直接寫(xiě)出當(dāng)C從點(diǎn)A開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，到點(diǎn)B停止運(yùn)動(dòng)，M點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為．題型4：對(duì)稱問(wèn)題8．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)、分別是軸和軸上的兩點(diǎn)，點(diǎn)，且滿足．(1)如圖1，求、兩點(diǎn)坐標(biāo)．(2)點(diǎn)是內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)在第二象限，連接，，，，請(qǐng)用含的式子表示點(diǎn)的坐標(biāo)．(3)在（2）的條件下，點(diǎn)在軸上與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，過(guò)做于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，延長(zhǎng)交軸于點(diǎn)，連接，取的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交軸于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．9．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B，直線與直線相交于點(diǎn)C．(1)求點(diǎn)A，C的坐標(biāo)．(2)現(xiàn)有一動(dòng)點(diǎn)P沿折線以2個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．①當(dāng)為等腰三角形時(shí)，求出所有滿足條件的t的值．②如圖2，已知x軸正半軸上有一動(dòng)點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)P在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，連接，．作關(guān)于直線的對(duì)稱圖形，作關(guān)于直線的對(duì)稱圖形，射線交x軸于點(diǎn)M．當(dāng)時(shí)，是否存在t的值，使恰好是直角三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．題型5：旋轉(zhuǎn)問(wèn)題10．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線交軸的正半軸于點(diǎn)，交軸的正半軸于點(diǎn)．(1)求的長(zhǎng)；(2)如圖1，點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上，點(diǎn)在上，連接交軸于點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為的面積為，求與的函數(shù)解析式；(3)如圖2，在（2）的條件下，將射線繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，交軸的負(fù)半軸于點(diǎn)，連接，若，求S的值．11．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，直線分別交、軸于、兩點(diǎn)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)．

(1)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)如圖1，點(diǎn)是軸負(fù)半軸上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交軸正半軸于點(diǎn)，連接，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，連接，求的度數(shù)；(3)如圖2，點(diǎn)是軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接．把線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至線段，連接、．當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，求此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．12．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（3，0），AB＝8，C點(diǎn)到x軸的距離CD為2，且∠ABC＝30°．（1）求點(diǎn)C坐標(biāo)；（2）如圖2，y軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E、F（E點(diǎn)在F點(diǎn)上方）滿足線段EF的長(zhǎng)為，連接CE、AF，當(dāng)線段CE+EF+AF有最小值時(shí)，請(qǐng)求出這個(gè)最小值；（3）如圖3，將△ACB繞點(diǎn)B順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°，得到△BGH，使點(diǎn)A與點(diǎn)H重合，點(diǎn)C與點(diǎn)G重合，將△BGH沿直線BC平移，記平移中的△BGH為△B′G′H′，在平移過(guò)程中，設(shè)直線B′H′與x軸交于點(diǎn)M，是否存在這樣的點(diǎn)M，使得△B′MG′為等腰三角形？若存在，求出此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．題型6：取值范圍問(wèn)題13．已知，在平面直角坐標(biāo)系中，三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，，軸，且、滿足．(1)則，，；(2)如圖1，在軸上是否存在點(diǎn)，使的面積等于的面積？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)如圖2，連接交于點(diǎn)，是否存在一點(diǎn)在y軸上，使得的面積大于的面積，若有，請(qǐng)求出n的取值范圍；若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由．14．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線分別交x軸、y軸于點(diǎn)A、B，直線交直線于點(diǎn)C，交x軸于點(diǎn)．(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo)；(2)若點(diǎn)C在第二象限，的面積是5；①求點(diǎn)C的坐標(biāo)；②直接寫(xiě)出不等式組的解集；③將沿x軸平移，點(diǎn)C、A、D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為、、，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m．直接寫(xiě)出平移過(guò)程中只有兩個(gè)頂點(diǎn)在外部時(shí)，m的取值范圍．15．如圖，在直角中，，若點(diǎn)在斜邊上不與，重合滿足，則稱點(diǎn)是直角的“近點(diǎn)”．在平面直角坐標(biāo)系中，，一次函數(shù)圖象與軸，軸分別交于點(diǎn)，．

(1)若，點(diǎn)是直角的“近點(diǎn)”，則的長(zhǎng)度可能是______；填序號(hào)①；②；③；④(2)若線段上的所有點(diǎn)不含和都是直角的“近點(diǎn)”，求的取值范圍；(3)當(dāng)時(shí)，若一次函數(shù)與的交點(diǎn)恰好是直角的“近點(diǎn)”，則直接寫(xiě)出的取值范圍是______．題型7：定值問(wèn)題16．如圖1所示，直線l：與x軸負(fù)半軸、y軸正半軸分別交于兩點(diǎn)．(1)當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)A坐標(biāo)及直線l的解析式；(2)在（1）的條件下，如圖2所示，設(shè)Q為延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，作直線，過(guò)兩點(diǎn)分別作于M，于N，若，求的長(zhǎng)．(3)當(dāng)m取不同值時(shí)，點(diǎn)B在y軸正半軸上運(yùn)動(dòng)，分別以為邊，點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)在第一、二象限內(nèi)作等腰直角和等腰直角，連接交y軸于點(diǎn)P，如圖3，問(wèn)：當(dāng)點(diǎn)B在y軸正半軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試猜想的長(zhǎng)度是否為定值？若是，請(qǐng)求出其值；若不是，說(shuō)明理由．題型8：新定義題17．定義：在平面直角坐標(biāo)系中，我們稱直線，為常數(shù)）是點(diǎn)的關(guān)聯(lián)直線，點(diǎn)是直線的關(guān)聯(lián)點(diǎn)；特別地，當(dāng)時(shí)，直線的關(guān)聯(lián)點(diǎn)為．如圖，直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．【定義辨析】（1）直線的關(guān)聯(lián)點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）A．

B．

C．

D．【定義延伸】（2）點(diǎn)的關(guān)聯(lián)直線與直線交于點(diǎn)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；；【定義應(yīng)用】（3）點(diǎn)的關(guān)聯(lián)直線與軸交于點(diǎn)，，求的值．18．在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于任意兩點(diǎn)與的“非常距離”，給出如下定義：若，則點(diǎn)與點(diǎn)的“非常距離”為；若，則點(diǎn)與點(diǎn)的“非常距離”為．例如：點(diǎn)，點(diǎn)，因?yàn)?，所以點(diǎn)與點(diǎn)的“非常距離”為，也就是圖1中線段與線段長(zhǎng)度的較大值（點(diǎn)為垂直于y軸的直線與垂直于x軸的直線的交點(diǎn)）．(1)已知點(diǎn)，B為y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．①若點(diǎn)A與點(diǎn)B的“非常距離”為2，直接寫(xiě)出點(diǎn)B的坐標(biāo)；②直接寫(xiě)出點(diǎn)A與點(diǎn)B的“非常距離”的最小值；(2)已知點(diǎn)是直線m上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．①如圖2，點(diǎn)D的坐標(biāo)是，求點(diǎn)C與點(diǎn)D的“非常距離”的最小值及相應(yīng)的點(diǎn)C的坐標(biāo)；②如圖3，正方形的邊長(zhǎng)為1，邊在x軸上，點(diǎn)E是正方形邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，記d為點(diǎn)C與點(diǎn)E的“非常距離”的最小值，當(dāng)正方形沿x軸平移，在平移過(guò)程中點(diǎn)G的橫坐標(biāo)大于等于0，且小于等于9時(shí)，直接寫(xiě)出d的最大值．題型9：兩點(diǎn)間的距離與一次函數(shù)綜合題19．在練習(xí)“一次函數(shù)”復(fù)習(xí)題時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)了一種新的函數(shù)：“絕對(duì)值函數(shù)”：，請(qǐng)類比探究函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，______，當(dāng)時(shí)，______用含的代數(shù)式表示；(2)過(guò)軸上的動(dòng)點(diǎn)，其中，作平行于軸的直線，分別與函數(shù)的圖像相交于、兩點(diǎn)點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，若，求的值；(3)若一次函數(shù)圖像與函數(shù)的圖像相交于、兩點(diǎn)，，直接寫(xiě)出的取值范圍．題型10：一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用20．“一方有難、八方支援”，在某地發(fā)生自然災(zāi)害后，某公司響應(yīng)“助力鄉(xiāng)情獻(xiàn)愛(ài)心”活動(dòng)，捐出了九月份的全部利潤(rùn)．已知該公司九月份只售出了A、B、C三種型號(hào)的產(chǎn)品若干件，每種型號(hào)產(chǎn)品不少于4件，九月份支出包括這批產(chǎn)品進(jìn)貨款20萬(wàn)元和其他各項(xiàng)支出1.9萬(wàn)元（含人員工資和雜項(xiàng)開(kāi)支）．這三種產(chǎn)品的售價(jià)和進(jìn)價(jià)如下表，人員工資（萬(wàn)元）和雜項(xiàng)支出（萬(wàn)元）分別與銷(xiāo)售總量（件）成一次函數(shù)關(guān)系（如圖）．型號(hào)ABC進(jìn)價(jià)（萬(wàn)元/件）0.50.80.7售價(jià)（萬(wàn)元/件）0.81.20.9（1）寫(xiě)出與的函數(shù)關(guān)系式為_(kāi)_____；九月份A、B、C三種型號(hào)產(chǎn)品的銷(xiāo)售的總件數(shù)為_(kāi)____件．（2）設(shè)公司九月份售出A種產(chǎn)品件，九月份總銷(xiāo)售利潤(rùn)為（萬(wàn)元），求與的函數(shù)關(guān)系式并直接寫(xiě)出的取值范圍；（3）請(qǐng)求出該公司這次愛(ài)心捐款金額的最大值．21．一隊(duì)學(xué)生從學(xué)校出發(fā)去勞動(dòng)基地，行進(jìn)的路程與時(shí)間的函數(shù)圖象如圖所示，隊(duì)伍走了0.8小時(shí)后，隊(duì)伍中的通訊員按原路加快速度返回學(xué)校取材料．通訊員經(jīng)過(guò)一段時(shí)間回到學(xué)校，取到材料后立即按返校時(shí)加快的速度追趕隊(duì)伍，并比學(xué)生隊(duì)伍早18分鐘到達(dá)基地．如圖，線段OD表示學(xué)生隊(duì)伍距學(xué)校的路程y（千米）與時(shí)間x（小時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系，折線OABC表示通訊員距學(xué)校的路程y（千米）與時(shí)間x（小時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系，請(qǐng)你根據(jù)圖象信息，解答下列問(wèn)題：

(1)學(xué)校與勞動(dòng)基地之間的距離為_(kāi)_______千米；(2)________，B點(diǎn)的坐標(biāo)是________．(3)若通訊員與學(xué)生隊(duì)伍的距離不超過(guò)3千米時(shí)能用無(wú)線對(duì)講機(jī)保持聯(lián)系，請(qǐng)你直接寫(xiě)出通訊員離開(kāi)隊(duì)伍后他們能用對(duì)講機(jī)保持聯(lián)系的時(shí)間的取值范圍．

第四章一次函數(shù)（壓軸專練）（十大題型）題型1：存在性問(wèn)題1．如圖：直線與軸、軸分別交于、兩點(diǎn)，，點(diǎn)是直線上與、不重合的動(dòng)點(diǎn)．

(1)求直線的解析式；(2)作直線，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，的面積被直線分成的兩部分；(3)過(guò)點(diǎn)的另一直線與軸相交于點(diǎn)，是否存在點(diǎn)使與全等？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．【答案】(1)直線的解析式為；(2)當(dāng)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到或的位置時(shí)，的面積被直線分成1：2的兩部分(3)存在，點(diǎn)的坐標(biāo)為或或．【分析】（1）由得，根據(jù)，得，利用待定系數(shù)法即得直線的解析式為；（2）可得的面積，當(dāng)時(shí)，，可得，，即得，當(dāng)時(shí)，同理可得；（3）在中，，，，分兩種情況①若，②若時(shí)，分別求解即可．【解析】（1）解：在中，令得，，，，，，把代入得：，解得，直線的解析式為；（2）解：，，的面積，當(dāng)時(shí)，如圖：

此時(shí)，，即，，在中令，得，∴，當(dāng)時(shí)，如圖：

此時(shí)，，即，，在中令，得，∴，綜上所述，當(dāng)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到或的位置時(shí)，的面積被直線分成1：2的兩部分；（3）解：存在點(diǎn)，使與全等，在中，，，，①若，過(guò)作交軸于，過(guò)作于，如圖：

，，，，設(shè)，則，，，而，，解得或，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，符合題意，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，不符合題意，舍去，∴，同理可知，時(shí)，，，，，同理可得，②若時(shí)，如圖：

，，，在中，令得，，此時(shí)，，符合題意，，綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為或或．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、三角形面積、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是分別畫(huà)出圖形，分類討論，利用數(shù)形結(jié)合解決問(wèn)題．2．如圖，已知直線與軸、軸分別交于點(diǎn)、，將直線向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到直線，直線與軸、軸分別交于點(diǎn)、，連接、．

(1)求直線的函數(shù)表達(dá)式；(2)求四邊形的面積；(3)在直線上是否存在點(diǎn)，使得的面積是四邊形面積的倍若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)的解析式為；(2)四邊形的面積為；(3)存在或．【分析】（）利用待定系數(shù)法求出的解析式，根據(jù)平移得到點(diǎn)的坐標(biāo)及的值相等，再利用待定系數(shù)法即可求出的解析式；（）由圖可得，，即可求解；（）設(shè)，由勾股定理求出，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，由得到，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式可得，再根據(jù)的面積是四邊形面積的倍即可求得點(diǎn)的坐標(biāo)．【解析】（1）設(shè)的解析式為，把，代入，得，解得，∴由平移知，，設(shè)的解析式是，∵點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)，∴，解得，∴的解析式為；（2）由()知，，∴，中，當(dāng)時(shí)，，∴，∴，∵，∴，∴，，，，∴四邊形的面積為；（3）存在或，理由：設(shè)，∵，，，∴，，∴，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，

∵，∴，∴，∵，，∴，∵的面積是四邊形面積的倍，∴，即，∴，∴或，∴或，∴或．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)，平移，一次函數(shù)與一元一次方程，一次函數(shù)與三角形，解題的關(guān)鍵是熟練掌握用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，直線平移的性質(zhì)，點(diǎn)平移的坐標(biāo)性質(zhì)，一次函數(shù)與一元一次方程的關(guān)系，一次函數(shù)與三角形面積的關(guān)系．題型2：最值問(wèn)題3．如圖，直線交y軸于點(diǎn)A，交x軸于點(diǎn)B，點(diǎn)在第四象限，點(diǎn)在線段上．連接，，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，交邊于點(diǎn)E，交折線段于點(diǎn)F．(1)求點(diǎn)A，B的坐標(biāo)；(2)設(shè)點(diǎn)E，F(xiàn)的縱坐標(biāo)分別為，，當(dāng)時(shí)，為定值，求t的值；(3)在（2）的條件下，分別過(guò)點(diǎn)E，F(xiàn)作，垂直于y軸，垂足分別為點(diǎn)G，H，當(dāng)時(shí)，求長(zhǎng)方形周長(zhǎng)的最大值．【答案】(1)，(2)(3)28【分析】（1）令，得以關(guān)于的一元一次方程，令，得到的值，解方程后即可得出點(diǎn)，的坐標(biāo)；（2）確定的解析式為，表示出，再根據(jù)定值的條件即可得解；（3）分①當(dāng)時(shí)，②當(dāng)時(shí)兩種進(jìn)行討論即可．【解析】（1）解：∵直線交y軸于點(diǎn)A，交x軸于點(diǎn)B，∴當(dāng)時(shí)，得：，解得：，當(dāng)時(shí)，得：，∴，；（2）解：設(shè)的解析式為，過(guò)點(diǎn)，∴，∴，∴的解析式為，∵點(diǎn)在線段上，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，交邊于點(diǎn)，交折線段于點(diǎn)，且點(diǎn)，的縱坐標(biāo)分別為，，，∴，，∴，∵為定值，即為定值，∴，解得：；（3）①當(dāng)時(shí)，（定長(zhǎng)），在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到圖中點(diǎn)，此時(shí)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，即，∴長(zhǎng)方形周長(zhǎng)的最大值：，②當(dāng)時(shí)，設(shè)的解析式為，過(guò)點(diǎn)，，∴，解得：，∴的解析式為，∴，∴長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為：，∵，∴隨的增大而減小，當(dāng)時(shí)，長(zhǎng)方形周長(zhǎng)的最大值為：，綜上所述，長(zhǎng)方形周長(zhǎng)的最大值為．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，待定系數(shù)法確定一次函數(shù)的解析式，兩點(diǎn)之間的距離，長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)，一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，運(yùn)用了分類討論的思想．掌握一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．如圖（1），在平面直角坐標(biāo)系中，直線交坐標(biāo)軸于，兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，且．(1)的坐標(biāo)為_(kāi)________，線段的長(zhǎng)為_(kāi)________．(2)求直線的解析式和點(diǎn)的坐標(biāo)．(3)如圖（2），點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合），交于點(diǎn)，連結(jié)．①在點(diǎn)移動(dòng)過(guò)程中，線段與數(shù)量關(guān)系是否不變，并證明；②連結(jié)，當(dāng)面積最大時(shí)，求的長(zhǎng)度和的面積．【答案】(1)，(2)，(3)①相等，不變，見(jiàn)解析，②，【分析】（1）分別將、時(shí)，代入解析式，即可求出點(diǎn)、坐標(biāo)，即可求解，（2）根據(jù)，可得，通過(guò)，，求直線的解析式，與聯(lián)立方程組，即可求解，（3）①由已知可證，即可求解，②由，得到為定值，當(dāng)最小時(shí)最大，由，得：當(dāng)時(shí)，取最小值，即可求解，本題考查了，一次函數(shù)綜合，三角形的面積，全等三角形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵是：利用全等三角形，實(shí)現(xiàn)面積之間的等量代換．【解析】（1）解：當(dāng)時(shí)，直線，當(dāng)時(shí)，直線，解得：，，，故答案為：，，（2）解：過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，且，，，，設(shè)過(guò)點(diǎn)，，直線的解析式為：，則：解得：，直線的解析式為：，、交于點(diǎn)，解得：，，故答案為：，，（3）解：①，，，，，，，，，，即線段與線段數(shù)量關(guān)系，保持不變，②，，，，，，即：，，，，，，，，，，，∴為定值，，∴要使最大，求最小即可，，∴當(dāng)取最小值時(shí)，最小，，，，，當(dāng)時(shí)，取最小值，，即：，解得：，面積最小為，，故答案為：①相等，不變，見(jiàn)解析；②，．題型3：動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題5．如圖（1），點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于，交軸于點(diǎn)．且．(1)求直線解析式；(2)如圖2，點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)、重合），交于點(diǎn)，連接．①點(diǎn)移動(dòng)過(guò)程中，線段與數(shù)量關(guān)系是否不變，并證明；②當(dāng)面積最小時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)和面積．【答案】(1)直線的解析式為(2)①線段與數(shù)量關(guān)系是保持不變，證明見(jiàn)解析；②點(diǎn)，面積是【分析】（1）根據(jù)求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，然后用待定系數(shù)法求解即可；（2）①先證明，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)得出；②根據(jù)三角形的面積公式可得面積=，從而得到當(dāng)最小時(shí)，的面積最小，則當(dāng)時(shí)，最小，此時(shí)的面積最小，即可求解．【解析】（1）解：∵，∴，∴．設(shè)解析式為，把，代入得：，解得：，∴解析式為；（2）解：①線段與數(shù)量關(guān)系不變，，證明如下：∵，，∴，，∴，，∴，在與中，，∴，∴；②由①得：，∵，∴的面積，∴當(dāng)最小時(shí)，的面積最小，∴當(dāng)時(shí)，最小，此時(shí)的面積最小，∵，，∵，∴，，∵，∴，聯(lián)立得：，解得，∴；∴，∴的面積．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，一次函數(shù)圖像的交點(diǎn)與二元一次方程組解的關(guān)系，以及全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，坐標(biāo)與圖形，熟練掌握一次函數(shù)圖像的交點(diǎn)與二元一次方程組解的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．6．在直角坐標(biāo)系中，直線與軸、軸分別交于點(diǎn)，點(diǎn)．直線與軸，軸分別交于點(diǎn)，點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)．(1)若點(diǎn)坐標(biāo)為．ⅰ)求的值；ⅱ)點(diǎn)在直線上，若，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)為軸上一動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)使為以為直角邊的等腰直角三角形．若存在，求出的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)ⅰ)；ⅱ)或；(2)或【分析】（1）ⅰ)先求出，把代入即可求出m的值；ⅱ)得出，分別求出，，，，進(jìn)而得出，則，再求出，再進(jìn)行分類討論：當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)E下方時(shí)：，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)E上方時(shí)：，即可解答；（2）設(shè)點(diǎn)，則，進(jìn)行分類討論：①當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)F分別作x軸，y軸的垂線，垂足分別為點(diǎn)M，N，通過(guò)證明，得出，求出n的值，進(jìn)而得出點(diǎn)E的坐標(biāo)，即可解答；②當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)F作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)C作的垂線，交y軸于點(diǎn)G，通過(guò)證明，得出，求出n的值，進(jìn)而得出點(diǎn)E的坐標(biāo)，即可解答．【解析】（1）解：ⅰ)把點(diǎn)代入得：，∴，把代入得：，解得：；ⅱ)∵，∴，把代入得：，解得：，把代入得：，∴，，把代入得：，把代入得：，解得：，∴，，∴，∴，∵，∴，∵，，，∴，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)E下方時(shí)：∴，∴，解得：，∴，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)E上方時(shí)：∴，∴，解得：，∴，綜上：或；（2）解：設(shè)點(diǎn)，把代入得：，解得：，∴，∵點(diǎn)F為中點(diǎn)，∴，①當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)F分別作x軸，y軸的垂線，垂足分別為點(diǎn)M，N，∵為以為直角邊的等腰直角三角形，∴，∵，∴，∵，∴，∴，即，解得：，∴，把代入得：，解得：．②當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)F作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)C作的垂線，交y軸于點(diǎn)G，∵，∴，∵，∴，∴，∴，解得：，則，把代入得：，解得：．綜上：或．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)綜合，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線，具有分類討論的思想．7．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)．(1)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A且與直線平行的直線交x軸于點(diǎn)B，試求B點(diǎn)坐標(biāo)，并直接寫(xiě)出的度數(shù)；(2)如圖1，若，過(guò)的直線與直線所夾銳角為，求該直線與直線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；(3)如圖2，在（1）的條件下，現(xiàn)有點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在x軸上，M為線段的中點(diǎn)．直接寫(xiě)出當(dāng)C從點(diǎn)A開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，到點(diǎn)B停止運(yùn)動(dòng)，M點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為．【答案】(1)(2)或(3)【分析】（1）由題意得到直線的解析式，令可求解B點(diǎn)坐標(biāo)，取的中點(diǎn)P，連接，再利用直角三角形的特征得到，進(jìn)而可求解的度數(shù)；（2）設(shè)直線的解析式為，利用待定系數(shù)法求出直線的解析式，設(shè)這樣兩條直線與直線交點(diǎn)為E、F（其中點(diǎn)E在點(diǎn)F上方），作軸于G，軸于H，證明，令，從而得到點(diǎn)F的坐標(biāo)，代入直線的解析式，即可得到結(jié)果．（3）根據(jù)C、D坐標(biāo)得到點(diǎn)M坐標(biāo)，由C從點(diǎn)A開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，到點(diǎn)B停止運(yùn)動(dòng)，得到點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡，再用兩點(diǎn)之間距離的求法求解即可．【解析】（1）解：設(shè)直線的解析式為，將代入關(guān)系式，得，∴直線的解析式為：，令時(shí)，解得：，∴，，，取的中點(diǎn)，連接，，，∴；（2）解：設(shè)直線的解析式為，將，代入關(guān)系式，得，解得：，∴直線的解析式為：，過(guò)的直線與直線所夾銳角為，這樣兩條直線與直線交點(diǎn)為E、F（其中點(diǎn)E在點(diǎn)F上方），作軸于G，軸于H，則為等腰直角三角形，∴，∵，∴，∴，令，可得，∵，∴，∴，將F點(diǎn)坐標(biāo)代入直線解析式得可求得，解得：，此時(shí)F點(diǎn)橫坐標(biāo)為，綜上所述，所求橫坐標(biāo)為或；（3）解：將代入直線解析式可得，，點(diǎn)M是的中點(diǎn)，，，點(diǎn)C在直線上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)C從點(diǎn)A開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，到點(diǎn)B停止運(yùn)動(dòng)，當(dāng)時(shí)，此時(shí)的中點(diǎn)坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，此時(shí)的中點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)過(guò)這兩個(gè)中點(diǎn)坐標(biāo)的直線解析式為，代入這兩點(diǎn)，得：，解得：∴過(guò)這兩個(gè)中點(diǎn)坐標(biāo)的直線解析式為，將點(diǎn)代入直線解析式，即，點(diǎn)M滿足直線解析式，∴點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡是一條從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到的線段，，∴M點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡長(zhǎng)度為；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題是一次函數(shù)的綜合題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，求函數(shù)解析式，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，知識(shí)點(diǎn)較多，難度較大，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意得到相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，以及根據(jù)坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)得到相應(yīng)線段的長(zhǎng)度．題型4：對(duì)稱問(wèn)題8．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)、分別是軸和軸上的兩點(diǎn)，點(diǎn)，且滿足．(1)如圖1，求、兩點(diǎn)坐標(biāo)．(2)點(diǎn)是內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)在第二象限，連接，，，，請(qǐng)用含的式子表示點(diǎn)的坐標(biāo)．(3)在（2）的條件下，點(diǎn)在軸上與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，過(guò)做于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，延長(zhǎng)交軸于點(diǎn)，連接，取的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交軸于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)，；(2)；(3)．【分析】（）先把利用完全平方公式分解成，利用非負(fù)性求出，的值，代入即可；（）過(guò)作軸于點(diǎn)，過(guò)作軸于點(diǎn)，證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可解答；（）根據(jù)題意畫(huà)出圖形，設(shè)解析式為：且過(guò)，，求出解析式為，求得，又，則可得，從而表示出的坐標(biāo)，再證，得到，根據(jù)列出關(guān)系式，計(jì)算即可．【解析】（1）解：由，則，∴，，∴，；（2）如圖，過(guò)作軸于點(diǎn)，過(guò)作軸于點(diǎn)，∴，∴，∵，即，∴，∵，∴，∴，，∵的坐標(biāo)為，∴，，∴，，∴，，∵點(diǎn)在第二象限，∴；（3）如圖，由（）可知，，∴，∵，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，∴點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，設(shè)解析式為：且過(guò)，，∴，解得：，∴直線解析式為，由代入得，解得，∴，∵，∴，∴，∵點(diǎn)在軸上與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，∴，∴，∵，∴，，∵點(diǎn)是中點(diǎn)，∴，∴，∴，∴，∵，∴，解得：或（舍去），∴．【點(diǎn)睛】本題考查了非負(fù)數(shù)之和為零，完全平方公式因式分解，軸對(duì)稱的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式和點(diǎn)的坐標(biāo)與線段長(zhǎng)之間的關(guān)系，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．9．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B，直線與直線相交于點(diǎn)C．(1)求點(diǎn)A，C的坐標(biāo)．(2)現(xiàn)有一動(dòng)點(diǎn)P沿折線以2個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．①當(dāng)為等腰三角形時(shí)，求出所有滿足條件的t的值．②如圖2，已知x軸正半軸上有一動(dòng)點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)P在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，連接，．作關(guān)于直線的對(duì)稱圖形，作關(guān)于直線的對(duì)稱圖形，射線交x軸于點(diǎn)M．當(dāng)時(shí)，是否存在t的值，使恰好是直角三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)；(2)①或6或或12；②或【分析】（1）利用函數(shù)關(guān)系式，求出點(diǎn)A、C的坐標(biāo)即可；（2）①根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式求出，，，分四種情況進(jìn)行討論：當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，當(dāng)點(diǎn)P在上運(yùn)動(dòng)，時(shí)，當(dāng)點(diǎn)P在上運(yùn)動(dòng)，時(shí)，當(dāng)點(diǎn)P在上運(yùn)動(dòng)，時(shí)，分別畫(huà)出圖形，求出結(jié)果即可；②根據(jù)折疊說(shuō)明，分兩種情況進(jìn)行討論：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，分別畫(huà)出圖形，求出結(jié)果即可．【解析】（1）解：把代入得：，解得：，∴；聯(lián)立，解得：，∴．（2）解：把代入得：，∴，∴，，；①當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，如圖所示：此時(shí)，為等腰三角形，∴；當(dāng)點(diǎn)P在上運(yùn)動(dòng)，時(shí)，如圖所示：此時(shí)為等腰三角形，∴；當(dāng)點(diǎn)P在上運(yùn)動(dòng)，時(shí)，過(guò)點(diǎn)O作于點(diǎn)D，如圖所示：此時(shí)為等腰三角形，根據(jù)勾股定理得：，∵，∴，根據(jù)勾股定理得：，∵，，∴，∴∴；當(dāng)點(diǎn)P在上運(yùn)動(dòng)，時(shí)，如圖所示：此時(shí)為等腰三角形，；綜上分析可知，或6或或12．②當(dāng)時(shí)，如圖所示：設(shè)交y軸于點(diǎn)N，交y軸于點(diǎn)E，根據(jù)折疊可知，，，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴軸，∵，，∴，設(shè)，則，，根據(jù)勾股定理得：，即，解得：，∴；當(dāng)時(shí)，如圖所示：∵，∴軸，∵，點(diǎn)P在y軸上，∴此時(shí)點(diǎn)在y軸上，∵關(guān)于直線的對(duì)稱圖形，∴此時(shí)軸，∴，∴；根據(jù)折疊可知：，∵，∴；綜上分析可知，或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，折疊的性質(zhì)，求兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，勾股定理，平行線的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，兩點(diǎn)間距離公式，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)的判定和性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合，并注意進(jìn)行分類討論．題型5：旋轉(zhuǎn)問(wèn)題10．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線交軸的正半軸于點(diǎn)，交軸的正半軸于點(diǎn)．(1)求的長(zhǎng)；(2)如圖1，點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上，點(diǎn)在上，連接交軸于點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為的面積為，求與的函數(shù)解析式；(3)如圖2，在（2）的條件下，將射線繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，交軸的負(fù)半軸于點(diǎn)，連接，若，求S的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用、全等三角形的判定及性質(zhì)、勾股定理，添加合適的輔助線是解題的關(guān)鍵．（1）令，可求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，從而得出，再根據(jù)勾股定理即可得出答案；（2）過(guò)作于于，利用證明，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出，根據(jù)點(diǎn)C的坐標(biāo)可得出，最后根據(jù)三角形面積公式即可得出答案；（3）根據(jù)題意可得出，根據(jù)角之間的關(guān)系可得出，設(shè)，可得出，在上截取，連接，利用證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，利用證明，最后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理即可得出答案．【解析】（1）對(duì)于，當(dāng)時(shí)，，在中，，（2）過(guò)作于于在和中，，設(shè)直線解析式為：；（3），，，且，，設(shè)，則，，，由題得：，，又在上截取，連接，在和中，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，，在和中，，又，在中，，解得：11．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，直線分別交、軸于、兩點(diǎn)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)．

(1)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)如圖1，點(diǎn)是軸負(fù)半軸上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交軸正半軸于點(diǎn)，連接，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，連接，求的度數(shù)；(3)如圖2，點(diǎn)是軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接．把線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至線段，連接、．當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，求此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）求出、點(diǎn)的坐標(biāo)，再由中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出點(diǎn)坐標(biāo)即可；（2）過(guò)點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸交于，可證明，設(shè)，，則，，，求出，可得，即可求；（3）過(guò)點(diǎn)作軸，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，延長(zhǎng)，使，過(guò)點(diǎn)作交于，作點(diǎn)關(guān)于過(guò)點(diǎn)垂直于軸的直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，最小值為，可證明，設(shè)，，則，，，，，，求出直線'的解析式為，再將點(diǎn)坐標(biāo)代入即可求的值，從而求出點(diǎn)坐標(biāo)．【解析】（1）解：在中，令，則，，，令，則，，，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，，，，故答案為：，；（2）解：過(guò)點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸交于，

，，，，，，，，設(shè)，，，，，，是的中點(diǎn)，，，是的中點(diǎn)，，，，，，；（3）解：過(guò)點(diǎn)作軸，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，延長(zhǎng)，使，過(guò)點(diǎn)作交于，

，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，，，作點(diǎn)關(guān)于過(guò)點(diǎn)垂直于軸的直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接，，當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，最小值為，如圖所示，

，，，，，，設(shè)，，，，，，，，是的中點(diǎn)，，，設(shè)直線的解析式為，，解得，，在上，，解得，，．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，熟練掌握一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形，軸對(duì)稱求最短距離的方法是解題的關(guān)鍵．12．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（3，0），AB＝8，C點(diǎn)到x軸的距離CD為2，且∠ABC＝30°．（1）求點(diǎn)C坐標(biāo)；（2）如圖2，y軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E、F（E點(diǎn)在F點(diǎn)上方）滿足線段EF的長(zhǎng)為，連接CE、AF，當(dāng)線段CE+EF+AF有最小值時(shí)，請(qǐng)求出這個(gè)最小值；（3）如圖3，將△ACB繞點(diǎn)B順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°，得到△BGH，使點(diǎn)A與點(diǎn)H重合，點(diǎn)C與點(diǎn)G重合，將△BGH沿直線BC平移，記平移中的△BGH為△B′G′H′，在平移過(guò)程中，設(shè)直線B′H′與x軸交于點(diǎn)M，是否存在這樣的點(diǎn)M，使得△B′MG′為等腰三角形？若存在，求出此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．【答案】（1）點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，2）；（2）線段CE+EF+AF的最小值為；（3）存在，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3，0）或（﹣5+8，0）或（﹣5﹣8，0）或（19，0）．【分析】（1）在Rt△BCD中，∠CBA＝30°，利用勾股定理可以求得BD＝，從而得到AD=2，OD＝1即可得到答案；（2）過(guò)點(diǎn)A作AG∥EF，且AG＝EF，連接EG，作點(diǎn)C關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)C′，連接C′E，可以得到四邊形EFAG是平行四邊形，線段CE+EF+AF＝CE+EG+EF＝+CE+EG＝+C′E+EG，用“將軍飲馬”模型求解即可；（3）分兩大類：①點(diǎn)M在x軸負(fù)半軸，②點(diǎn)M在x軸正半軸，利用含30度角的直角三角形和等腰三角形的性質(zhì)求解即可.【解析】解：（1）∵在Rt△BCD中，∠CBA＝30°，∠CDB=90°，A（3，0）∴BC=2CD=，，OA=3∴BD＝，∵AB=8，∴AD=2，∴OD＝1，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，）；（2）過(guò)點(diǎn)A作AG∥EF，且AG＝EF＝，連接EG，作點(diǎn)C關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)C′，連接C′E，得EC′＝EC，∴四邊形EFAG是平行四邊形，∴EG＝AF，點(diǎn)G的坐標(biāo)為（3，），∴線段CE+EF+AF＝CE+EG+EF＝+CE+EG＝+C′E+EG，當(dāng)C′、E、G三點(diǎn)共線時(shí)，線段CE+AF+有最小值，∵點(diǎn)C′的坐標(biāo)為（﹣1，2），點(diǎn)G的坐標(biāo)為（3，），∴∴線段CE+EF+AF的最小值＝；（3）存在這樣的點(diǎn)M，使得△B′MG′為等腰三角形，由平移性質(zhì)可知∠BB′G′＝∠CBG＝60°，又∵∠G′B′H′＝30°，∴∠MB′B＝90°，G′B′＝GB＝CB＝，分兩種情形①點(diǎn)M在x軸負(fù)半軸，如圖4，∠MB′G′＞90°，∴MB′＝G′B′＝4，在Rt△MB′B中，∠MBB′＝30°，∴MB＝2MB′＝8，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（﹣5﹣8，0）；②點(diǎn)M在x軸正半軸，如圖5，M與A重合，此時(shí)MB′＝MG′，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3，0）；如圖6，此時(shí)MB′＝G′B′＝4，在Rt△MB′B中，∠MBB′＝30°，∴MB＝2MB′＝8，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（﹣5+8，0），如圖7，，在中，，，，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，綜上所述，點(diǎn)M的坐標(biāo)為或或或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解.題型6：取值范圍問(wèn)題13．已知，在平面直角坐標(biāo)系中，三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，，軸，且、滿足．(1)則，，；(2)如圖1，在軸上是否存在點(diǎn)，使的面積等于的面積？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)如圖2，連接交于點(diǎn)，是否存在一點(diǎn)在y軸上，使得的面積大于的面積，若有，請(qǐng)求出n的取值范圍；若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)，4，2(2)存在，(3)有，【分析】（1）根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)構(gòu)建方程組，求出a和b，再根據(jù)軸，可得c的值；（2）設(shè)與軸交于點(diǎn)，如圖1中，先求出直線與軸的交點(diǎn)．設(shè)．，根據(jù)三角形面積公式構(gòu)建方程，可得結(jié)論．（3）設(shè)，利用面積法求出a的值，分當(dāng)點(diǎn)點(diǎn)A的上方時(shí)、當(dāng)點(diǎn)點(diǎn)A的下方時(shí)，求出時(shí)，n的值，結(jié)合圖象可得結(jié)論．本題屬于三角形綜合題，考查了三角形的面積，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用未知數(shù)構(gòu)建方程解決問(wèn)題，對(duì)于初一學(xué)生來(lái)說(shuō)題目有一定的難度．【解析】（1）解：∵，∴，∴，∵軸，∴，∴，，，故答案為：，，；（2）在軸上存在點(diǎn)D，使的面積等于的面積，理由如下：如圖1，設(shè)與軸交于點(diǎn)，設(shè)直線的解析式為，代入A、C得：，解得：，∴直線的解析式為，令，則，解得：，∴P點(diǎn)坐標(biāo)為；∵，∴，∵∴∴，當(dāng)D在P的左邊時(shí)，D的坐標(biāo)為，當(dāng)D在P的右邊時(shí)，D的坐標(biāo)為，∴D的坐標(biāo)為或；（3）存在一點(diǎn)在y軸上，使得的面積大于的面積，理由如下：如圖2.1中，當(dāng)點(diǎn)點(diǎn)A的上方時(shí)，連接，，，設(shè)，∵，∴解得，當(dāng)時(shí)，則有解得，如圖2.2，當(dāng)點(diǎn)N在點(diǎn)A的下方時(shí)，當(dāng)時(shí)，則有解得，觀察圖象可知，滿足條件的n的值為．14．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線分別交x軸、y軸于點(diǎn)A、B，直線交直線于點(diǎn)C，交x軸于點(diǎn)．(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo)；(2)若點(diǎn)C在第二象限，的面積是5；①求點(diǎn)C的坐標(biāo)；②直接寫(xiě)出不等式組的解集；③將沿x軸平移，點(diǎn)C、A、D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為、、，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m．直接寫(xiě)出平移過(guò)程中只有兩個(gè)頂點(diǎn)在外部時(shí)，m的取值范圍．【答案】(1)(2)①；②；③或【分析】（1）把代入求出點(diǎn)A的坐標(biāo)即可；（2）①先根據(jù)的面積是5，求出點(diǎn)C的縱坐標(biāo)即可，再代入求出點(diǎn)C的橫坐標(biāo)即可；②根據(jù)函數(shù)圖象，寫(xiě)出不等式組的解集即可；③根據(jù)平移特點(diǎn)，分兩種情況，當(dāng)沿x軸向右平移時(shí)，當(dāng)沿x軸向左平移，求出m的值即可．【解析】（1）解：把代入得：，解得：，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為；（2）解：①∵，，∴，∵，點(diǎn)C在第二象限，∴，∴，當(dāng)時(shí)，，∴，∴；②由圖象即可知：不等式組的解集為：；③連接，如圖所示：把代入得：，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為，設(shè)直線的解析式為，把，代入得：，解得：，∴直線的解析式為，把代入得：，解得：，，當(dāng)點(diǎn)在直線上時(shí)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)D上時(shí)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：，∴當(dāng)沿x軸向右平移時(shí)，只有兩個(gè)頂點(diǎn)在外部時(shí)；當(dāng)沿x軸向左平移，只有兩個(gè)頂點(diǎn)在外部時(shí)；綜上分析可知，只有兩個(gè)頂點(diǎn)在外部時(shí)，m的取值范圍為或．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)圖象的性質(zhì)，一次函數(shù)圖象與不等式的解集，三角形面積問(wèn)題，掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．15．如圖，在直角中，，若點(diǎn)在斜邊上不與，重合滿足，則稱點(diǎn)是直角的“近點(diǎn)”．在平面直角坐標(biāo)系中，，一次函數(shù)圖象與軸，軸分別交于點(diǎn)，．

(1)若，點(diǎn)是直角的“近點(diǎn)”，則的長(zhǎng)度可能是______；填序號(hào)①；②；③；④(2)若線段上的所有點(diǎn)不含和都是直角的“近點(diǎn)”，求的取值范圍；(3)當(dāng)時(shí)，若一次函數(shù)與的交點(diǎn)恰好是直角的“近點(diǎn)”，則直接寫(xiě)出的取值范圍是______．【答案】(1)②③(2)或(3)或【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，作于，求出，的長(zhǎng)，進(jìn)而得出結(jié)果；（2）找出臨界：當(dāng)時(shí)，上所有的點(diǎn)都是直角的“近點(diǎn)”，進(jìn)而得出結(jié)果；（3）找出臨界：由得，進(jìn)而得出結(jié)果．【解析】（1）解：如圖，

取的中點(diǎn)，連接，作于，由得，，，，，，，由得，，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)是直角的“近點(diǎn)”，故答案為：；（2）如圖，

當(dāng)時(shí)，上所有的點(diǎn)都是直角的“近點(diǎn)”，或；（3）如圖，

由得，由得，，由得，，或．【點(diǎn)睛】本題考查了新定義的理解能力，直角三角形的性質(zhì)，一次函數(shù)及其圖象的性質(zhì)等知識(shí)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是找出臨界，數(shù)形結(jié)合．題型7：定值問(wèn)題16．如圖1所示，直線l：與x軸負(fù)半軸、y軸正半軸分別交于兩點(diǎn)．(1)當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)A坐標(biāo)及直線l的解析式；(2)在（1）的條件下，如圖2所示，設(shè)Q為延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，作直線，過(guò)兩點(diǎn)分別作于M，于N，若，求的長(zhǎng)．(3)當(dāng)m取不同值時(shí)，點(diǎn)B在y軸正半軸上運(yùn)動(dòng)，分別以為邊，點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)在第一、二象限內(nèi)作等腰直角和等腰直角，連接交y軸于點(diǎn)P，如圖3，問(wèn)：當(dāng)點(diǎn)B在y軸正半軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試猜想的長(zhǎng)度是否為定值？若是，請(qǐng)求出其值；若不是，說(shuō)明理由．【答案】(1)，直線的解析式為(2)(3)的長(zhǎng)度為定值，理由見(jiàn)詳解【分析】（1），令，則，所以，則，可求得，即可求得直線的解析式為；（2）由，得，即可證明，由，，，根據(jù)勾股定理求得，所以，則的長(zhǎng)是6；（3）作軸于點(diǎn)，可證明，得，，再證明，得，則的長(zhǎng)度為定值，它的值為5．【解析】（1），當(dāng)時(shí)，則，解得，，，且點(diǎn)在軸正半軸上，，將代入，得，解得，，直線的解析式為．（2）如圖2，于，于，，，在和中，，，，，，，的長(zhǎng)是（3）的長(zhǎng)度為定值，如圖3，作軸于點(diǎn)，和都是等腰直角三角形，且點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，，，，，，在和中，，，，，在和中，，，，的長(zhǎng)度為定值，它的值為5．【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、等腰直角三角形的性質(zhì)、同角的余角相等、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，此題綜合性較強(qiáng)，難度較大，屬于考試壓軸題．題型8：新定義題17．定義：在平面直角坐標(biāo)系中，我們稱直線，為常數(shù)）是點(diǎn)的關(guān)聯(lián)直線，點(diǎn)是直線的關(guān)聯(lián)點(diǎn)；特別地，當(dāng)時(shí)，直線的關(guān)聯(lián)點(diǎn)為．如圖，直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．【定義辨析】（1）直線的關(guān)聯(lián)點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）A．

B．

C．

D．【定義延伸】（2）點(diǎn)的關(guān)聯(lián)直線與直線交于點(diǎn)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；；【定義應(yīng)用】（3）點(diǎn)的關(guān)聯(lián)直線與軸交于點(diǎn)，，求的值．【答案】（1）D；（2）C的坐標(biāo)為；（3）的值為或．【分析】（1）根據(jù)題中所給新定義可直接進(jìn)行求解；（2）求出點(diǎn)的坐標(biāo)為，根據(jù)題中所給新定義可得點(diǎn)的關(guān)聯(lián)直線為，聯(lián)立直線即可求解；（3）根據(jù)題中所給新定義可得點(diǎn)的關(guān)聯(lián)直線為，則點(diǎn)，分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)在直線左側(cè)時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)在直線右側(cè)時(shí)，分別求解即可．【解析】解：（1）直線，為常數(shù)），點(diǎn)是直線的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，直線的關(guān)聯(lián)點(diǎn)的坐標(biāo)是，故答案為：D；（2）直線，當(dāng)時(shí)，，解得，點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線，為常數(shù)）是點(diǎn)的關(guān)聯(lián)直線，點(diǎn)的關(guān)聯(lián)直線為，聯(lián)立得，解得，的坐標(biāo)為；（3）點(diǎn)的關(guān)聯(lián)直線為，當(dāng)時(shí)，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，①如圖1，當(dāng)點(diǎn)在直線左側(cè)時(shí)，過(guò)點(diǎn)作，交直線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作垂直軸于點(diǎn)．，，，，，，，，是等腰直角三角形，，，，，，的坐標(biāo)為，把點(diǎn)代入得，；②如圖2，當(dāng)點(diǎn)在直線右側(cè)時(shí)，同理可證，，，點(diǎn)的坐標(biāo)為把點(diǎn)代入得，，綜上所述，的值為或．【點(diǎn)睛】本題是一次函數(shù)的綜合題，也是有關(guān)關(guān)聯(lián)點(diǎn)和關(guān)聯(lián)直線的新定義問(wèn)題，考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、理解新定義、利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，本題中理解關(guān)聯(lián)點(diǎn)和關(guān)聯(lián)直線的定義，正確進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵．18．在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于任意兩點(diǎn)與的“非常距離”，給出如下定義：若，則點(diǎn)與點(diǎn)的“非常距離”為；若，則點(diǎn)與點(diǎn)的“非常距離”為．例如：點(diǎn)，點(diǎn)，因?yàn)?，所以點(diǎn)與點(diǎn)的“非常距離”為，也就是圖1中線段與線段長(zhǎng)度的較大值（點(diǎn)為垂直于y軸的直線與垂直于x軸的直線的交點(diǎn)）．(1)已知點(diǎn)，B為y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．①若點(diǎn)A與點(diǎn)B的“非常距離”為2，直接寫(xiě)出點(diǎn)B的坐標(biāo)；②直接寫(xiě)出點(diǎn)A與點(diǎn)B的“非常距離”的最小值；(2)已知點(diǎn)是直線m上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．①如圖2，點(diǎn)D的坐標(biāo)是，求點(diǎn)C與點(diǎn)D的“非常距離”的最小值及相應(yīng)的點(diǎn)C的坐標(biāo)；②如圖3，正方形的邊長(zhǎng)為1，邊在x軸上，點(diǎn)E是正方形邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，記d為點(diǎn)C與點(diǎn)E的“非常距離”的最小值，當(dāng)正方形沿x軸平移，在平移過(guò)程中點(diǎn)G的橫坐標(biāo)大于等于0，且小于等于9時(shí)，直接寫(xiě)出d的最大值．【答案】(1)①0,2或；②(2)①最小值為：，；②【分析】（1）①根據(jù)點(diǎn)B位于y軸上，可以設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為．由“非常距離”的定義可以確定，據(jù)此可以求得y的值；②設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為．因?yàn)?，所以點(diǎn)A與點(diǎn)B的“非常距離”最小值為12；（2）①設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為．根據(jù)材料“若，則點(diǎn)與點(diǎn)的“非常距離”為”知，C、D兩點(diǎn)的“非常距離”的最小值為，據(jù)此可以求得點(diǎn)C的坐標(biāo)；②當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)處，且點(diǎn)E在與點(diǎn)N重合時(shí)，求出的最小值符合題意；再結(jié)合當(dāng)C，E的“非常距離”最小且，由此列出方程即可求解．【解析】（1）解：①∵B為y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∴設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為．∵，∴，解得或；∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是或；故答案是：或；②設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為∵∴點(diǎn)A與點(diǎn)B的“非常距離”的最小值為．故答案是：．（2）解：①如圖2，取點(diǎn)C與點(diǎn)D的“非常距離”的最小值時(shí)，根據(jù)運(yùn)算定義，若，則點(diǎn)點(diǎn)與點(diǎn)的“非常距離”為知：．即，由題意可知，點(diǎn)C是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D的坐標(biāo)是，∴設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為，∴，解得：，∴點(diǎn)C與點(diǎn)D的“非常距離”的最小值為：，此時(shí)；

②如圖3，根據(jù)“非常距離”的定義可知，當(dāng)點(diǎn)F與重合，且點(diǎn)E與點(diǎn)N重合時(shí)，C，E的“非常距離”最小，且，此時(shí)最大，

∴，解得：，∴．此時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為，∴最大值為：【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、解一元一次方程等知識(shí)點(diǎn)，弄清題意、理解“非常距離”的定義是解題的關(guān)鍵．題型9：兩點(diǎn)間的距離與一次函數(shù)綜合題19．在練習(xí)“一次函數(shù)”復(fù)習(xí)題時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)了一種新的函數(shù)：“絕對(duì)值函數(shù)”：，請(qǐng)類比探究函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，______，當(dāng)時(shí)，______用含的代數(shù)式表示；(2)過(guò)軸上的動(dòng)點(diǎn)，其中，作平行于軸的直線，分別與函數(shù)的圖像相交于、兩點(diǎn)點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，若，求的值；(3)若一次函數(shù)圖像與函數(shù)的圖像相交于、兩點(diǎn)，，直接寫(xiě)出的取值范圍．【答案】(1)(2)1或(3)【分析】（1）根據(jù)絕對(duì)值的意義即可得到結(jié)論；（2）表示出、的坐標(biāo)，由，得到，即可或；（3）聯(lián)立兩個(gè)函數(shù)解析式，求得、的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間距離公式表示出，由，得到，兩邊平方得到，進(jìn)而求得，由一次函數(shù)圖像與函數(shù)的圖像相交于、兩點(diǎn)，把點(diǎn)代