八年級數學下冊 講義（北師大版）第三章第04講 難點探究專題：旋轉中的常見類型(5類熱點題型講練)（原卷版）

第04講難點探究專題：旋轉中的常見類型(5類熱點題型講練)目錄TOC\o"1-3"\h\u【類型一線段繞某點旋轉綜合問題】 1【類型二直角三角形繞點旋轉綜合問題】 14【類型三等腰直角三角形繞點旋轉綜合問題】 22【類型四等邊三角形繞點旋轉綜合問題】 37【類型一線段繞某點旋轉綜合問題】例題：（23-24九年級上·貴州遵義·階段練習）如圖，在等腰直角中，，D為邊上一點，連接，將繞點C逆時針旋轉到，連接．(1)求證：．(2)若，求四邊形的面積．【變式訓練】1．（23-24九年級上·吉林·期末）如圖，等邊三角形內一點D，將線段繞點A逆時針旋轉，得到線段，連接．(1)請判斷的形狀__________，并寫出判斷的依據__________；(2)若，求的度數．2．（23-24八年級上·四川成都·期末）（1）【問題】如下圖，中，，，D為邊上一點（不與點B，C重合），將線段繞點A逆時針旋轉得到，連接，，則線段，之間滿足的數量關系式為______；直線，相交所夾的銳角的度數為______；（2）【探索】如圖2，中，，，D為外一點，將線段繞點A逆時針旋轉得到，連接，，延長，交于點F．試問：（1）中的結論是否成立？若成立，請證明，若不成立，請說明理由；（3）【應用】在（2）的條件下，，．求四邊形的面積．3．（23-24八年級上·河南安陽·期末）實踐與探究點和線是最基本的圖形，點、線運動帶來的動態(tài)幾何問題是常見的熱點題型之一．解這類題目要“以靜制動”，把動態(tài)問題變?yōu)殪o態(tài)問題來解．一般方法是抓住變化中的“不變量”，以不變應萬變．為了培養(yǎng)學生的數學思維與探究能力，在數學實踐與探究課上，王老師讓同學們以“圖形的運動”為主題開展數學學習活動．在中，，，點D是直線上的一點，連接，將線段繞點C逆時針旋轉，得到線段，連接．(1)操作發(fā)現(xiàn)①當點D在線段上時，如圖1．請你直接寫出與的位置關系______；②請寫出線段、、的數量關系，并進行證明．(2)猜想論證當點D在直線上運動時，如圖2，點D在射線上．請寫出線段、、的數量關系______；(3)拓展延伸如圖3，點D在射線上．若，，請求出的面積．4．（23-24八年級上·福建泉州·期末）在中，，，D在邊上運動（點D不與B，C重合），連接，把線段繞點A順時針旋轉后得到，連接，交于點F．(1)如圖1，求證：；(2)如圖1，當時，請用等式表示線段，，三者之間的數量關系，并加以證明；(3)如圖2，若，G為中點，連接，四邊形的面積是否會改變？若會改變請說明理由，若不會改變，請求出它的面積．5．（23-24八年級上·重慶大渡口·期末）在中，，以為斜邊作，，再將繞點逆時針旋轉得到，連接分別交，于點，點．(1)如圖1，在右側，，，求的面積；(2)如圖2，在右側，點是的中點，求證：；(3)如圖3，在左側，的延長線過的中點，當點在的中垂線上時，交于點，直接寫出的值．【類型二直角三角形繞點旋轉綜合問題】例題：（23-24九年級上·江西上饒·期末）如圖，在中，，，將繞點A順時針旋轉得到，交于點．若，求：(1)的長；(2)的面積．【變式訓練】1．（22-23九年級上·新疆烏魯木齊·期末）如圖，在中，，，將繞點按順時針方向旋轉度后，得到，點剛好落在邊上．(1)求的值；(2)若，求的長度．2．（22-23九年級上·四川德陽·期中）如圖，在中，，將繞點C順時針旋轉得到，與交于點O，點B的對應點為E，點A的對應點D落在線段上，連接．(1)求證：平分；(2)試判斷與的位置關系，并說明理由；(3)若，，求的面積．3．（23-24九年級上·浙江臺州·期末）如圖，在中，，將繞點C順時針旋轉得到，旋轉角為，，分別交于點F，G，連接．

(1)求證：；(2)若，，．①求的長；②連接，，，求四邊形的面積．（23-24九年級上·安徽淮北·期末）如圖1，把兩個完全相同且有一個角為的直角三角板重合在一起，將固定，將繞直角頂點C順時針方向旋轉．

(1)如圖2，當B，D，E三點在同一條直線上時，求旋轉角α的度數；(2)在（1）的條件下，連接，請判斷和的面積的數量關系，并說明理由．5．（23-24九年級上·天津河北·期末）在平面直角坐標系中，O為原點，點，，把繞點順時針旋轉，得，點旋轉后的對應點為，記旋轉角為．

(1)如圖①，當時，求的長；(2)如圖②，當時，求點的坐標；(3)K為線段上一點，且，S為的面積，求的取值范圍（直接寫出結果即可）．【類型三等腰直角三角形繞點旋轉綜合問題】例題：（23-24八年級上·海南儋州·期末）如圖1，把兩個大小不同的等腰直角三角形，如圖所示擺放，使得點D、A、B在同一直線上，連結，．

(1)求證：；(2)如圖2，將繞著點A順時針旋轉某個角度后，使得點B、C、E在同一直線上，與交于點O．①求證：；②求證：；③連結，如圖3，若，求的面積．【變式訓練】1．（23-24九年級上·湖北省直轄縣級單位·期中）把兩個等腰直角三角形和按圖1所示的位置擺放，將繞點按逆時針方向旋轉，如圖2，連接，，設旋轉角為．

(1)如圖1，與的數量關系是______，與的位置關系是______；(2)如圖2，（1）中與的數量關系和位置關系是否仍然成立，若成立，請證明；若不成立，請說明理由；(3)當旋轉角______填度數時，的面積最大．2．（23-24九年級上·山東日照·期末）如圖，在中，，，，分別為，的中點，將繞點逆時針方向旋轉得到（如圖），使直線恰好過點，連接．(1)判斷與的位置關系，并說明理由；(2)求的長；(3)若將繞點逆時針方向旋轉一周，當直線過的一個頂點時，請直接寫出長的其它所有值．3．（23-24八年級上·山西呂梁·期中）綜合與實踐將一塊含角的大直角三角板和一塊含角的小直角三角板按如圖1所示的方式擺放．如圖2，將繞點逆時針旋轉，連結．

(1)求證：．(2)在旋轉的過程中，如圖3，當三點共線時，設與交于點．①試判斷的形狀，并說明理由；②若是的中點，請直接寫出和的面積關系．4．（23-24七年級上·河南駐馬店·期末）如圖1，將三角板與三角板擺放在一起；如圖2，其中，，．固定三角板，將三角板繞點A按順時針方向旋轉，記旋轉角（）．(1)當為_________度時，，并在圖3中畫出相應的圖形；(2)在旋轉過程中，試探究與之間的關系；(3)當旋轉速度為秒時．且它的一邊與平行（不共線）時，直接寫出時間t的所有值．5．（23-24九年級上·河南洛陽·階段練習）一副三角板如圖1擺放，，，，點F在上，點A在上，且平分，現(xiàn)將三角板繞點F以每秒的速度順時針旋轉（當點落在射線上時停止旋轉），設旋轉時間為t秒．(1)當秒時，；(2)在旋轉過程中，與的交點記為P，如圖2，若有兩個內角相等，求t的值；(3)當邊與邊、分別交于點M、N時，如圖3，連接，設，，，試問是否為定值？若是，請直接寫出答案；若不是，請說明理由．6．（2024·遼寧沈陽·模擬預測）數學活動課上，老師出示兩個大小不一樣的等腰直角和擺在一起，其中直角頂點重合，，，．(1)用數學的眼光觀察．如圖1，連接，，判斷與的數量關系，并說明理由；(2)用數學的思維思考．如圖2，連接，，若是中點，判斷與的數量關系，并說明理由；(3)用數學的語言表達．如圖3，延長至點，滿足，然后連接，，當，，繞點旋轉得到，，三點共線時，求線段的長．【類型四等邊三角形繞點旋轉綜合問題】例題：（23-24九年級上·廣東深圳·期中）【問題背景】：如圖1，在等邊中，點D是等邊內一點，連結，，將繞點A逆時針旋轉得到，連結，觀察發(fā)現(xiàn)：與的數量關系為，度；【嘗試應用】：如圖2，在等腰中，，，點D是內一點，連結，，，，，，求面積．【拓展創(chuàng)新】：如圖3，在等腰中，，，點D為平面內一點，且，，則的值為．

【變式訓練】1．（23-24九年級上·福建廈門·期中）如圖，、均為等邊三角形，，．將繞點A沿順時針方向旋轉，連接、．(1)在圖①中證明；(2)如圖②，當時，連接，求的面積；(3)在的旋轉過程中，直接寫出的面積S的取值范圍．2．（20-21九年級上·河南周口·期中）如圖，和都是等邊三角形，直線，交于點F．(1)如圖1，當A，C，D三點在同一直線上時，的度數為______，線段與的數量關系為______．(2)如圖2，當繞點C順時針旋轉時，（1）中的結論是否還成立？若不成立，請說明理由：若成立，請就圖2給予證明．(3)若，，當繞點C順時針旋轉一周時，請直接寫出長的取值范圍．3．（2024八年級·全國·競賽）如圖，和都為等邊三角形，點、分別為、的中點．(1)當點、分別在、上時（如圖），求證：；為等邊三角形；(2)繞點逆時針方向旋轉，當點、、共線時（如圖），（）中的結論是否還成立，若成立，請證明；若不成立，請說明理由；(3)繼續(xù)旋轉，當點在上時（如圖），（）中的結論是否仍然成立，若成立，請證明；若不成立，請說明理由．4．（23-24九年級上·山西呂梁·期末）綜合與實踐【模型感知】手拉手