八年級數(shù)學(xué)下冊 講義（北師大版）第五章第06講 易錯(cuò)易混專題：分式與分式方程中常見的易錯(cuò)與含參數(shù)問題(8類熱點(diǎn)題型講練)（解析版）

第06講易錯(cuò)易混專題：分式與分式方程中常見的易錯(cuò)與含參數(shù)問題(8類熱點(diǎn)題型講練)目錄TOC\o"1-3"\h\u【易錯(cuò)一分式值為0時(shí)求值，忽略分母不為0】 1【易錯(cuò)二整式與分式混合運(yùn)算易錯(cuò)】 4【易錯(cuò)三自主取值再求值時(shí)，忽略分母或除式不能為0】 8【易錯(cuò)四解分式方程不驗(yàn)根】 11【易錯(cuò)五求使分式值為整數(shù)時(shí)未知數(shù)的整數(shù)值】 16【易錯(cuò)六分式方程無解與增根混淆不清】 19【易錯(cuò)七已知方程的根的情況求參數(shù)的取值范圍，應(yīng)舍去分母為0時(shí)參數(shù)的值】 22【易錯(cuò)八分式混合運(yùn)算和分式方程中的新定義問題】 25【易錯(cuò)一分式值為0時(shí)求值，忽略分母不為0】例題：（2024上·云南昭通·八年級統(tǒng)考期末）若分式，則x的值為（

）A． B． C．1 D．【答案】D【分析】本題考查了分式的值為0的條件，根據(jù)題意可得，即可求解．【詳解】解：依題意，，解得：，故選：D．【變式訓(xùn)練】1．（2024上·廣東云浮·八年級羅定中學(xué)校聯(lián)考期末）分式的值為0，則的值為（

）A．2或 B．或 C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了分式值為0的條件，根據(jù)分式值為0的條件是分子為0，分母不為0得到，解之即可得到答案．【詳解】解：∵的值為0，∴，解得，故選：D．2．（2023上·內(nèi)蒙古通遼·八年級統(tǒng)考期末）若分式的值為零，則的值是（

）A．2或 B．2 C． D．4【答案】C【分析】本題考查了分式值為零的條件，當(dāng)分式的值為0時(shí)，分子為0，分母不為0，即可得出答案．【詳解】解：根據(jù)題意，得，且，解得：且，即故選：C．3．（23-24八年級上·云南昆明·階段練習(xí)）若式子的值等于0，則的值為．【答案】2【分析】本題考查分式的值為0，解題的關(guān)鍵是正確理解分式的值為0的條件，本題屬于基礎(chǔ)題型．根據(jù)分式的值為0的條件即可求出答案．【詳解】解：由題意可知：解得：故答案為：24．（2023上·山東聊城·八年級校考階段練習(xí)）①當(dāng)時(shí)，分式有意義；②當(dāng)時(shí)，分式的值為0．【答案】【分析】本題考查了分式有意義的條件和分式為零的條件，根據(jù)分式有意義分母不為零，分式為零分子為零，分母不為零進(jìn)行求解即可．【詳解】解：①分式有意義，，即，②分式的值為0，，得，故答案為：①；②．5．（2023秋·八年級單元測試）已知分式．(1)若分式無意義，求x；(2)若分式值為0，求x；(3)若分式的值為整數(shù)，求整數(shù)x的值．【答案】(1)或(2)(3)或4或8【分析】（1）分式無意義，分母值為零，進(jìn)而可得，再解即可；（2）分式值為零，分子為零，分母不為零，進(jìn)而可得，且，再解即可；（3）分式值為整數(shù)，將分式變形為，再根據(jù)數(shù)的整除求解．【詳解】（1）解：∵分式無意義，∴，解得：或；（2）∵分式值為0，∴，解得：；（3）∵分式的值為整數(shù)，∴或5或或，解得：或8或2或，∵且，∴整數(shù)x的值為或4或8．【點(diǎn)睛】此題主要考查了分式無意義、分式值為零、分式的值，關(guān)鍵是掌握各種情況下，分式所應(yīng)具備的條件．【易錯(cuò)二整式與分式混合運(yùn)算易錯(cuò)】例題：（2024上·陜西延安·八年級統(tǒng)考期末）化簡：．【答案】【分析】本題主要考查了分式的混合運(yùn)算，掌握分式的混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．根據(jù)分式的混合運(yùn)算法則計(jì)算即可．【詳解】解：．【變式訓(xùn)練】1．（2024上·上海松江·七年級統(tǒng)考期末）計(jì)算：．【答案】【分析】本題考查了分式的混合運(yùn)算，首先將括號內(nèi)的式子進(jìn)行通分，然后將除法轉(zhuǎn)化為乘法，約分化簡即可，熟練掌握分式的混合運(yùn)算法則是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：．2．（2023上·陜西西安·九年級?？茧A段練習(xí)）化簡：．【答案】【分析】本題考查了分式的混合運(yùn)算：分式的混合運(yùn)算，要注意運(yùn)算順序，式與數(shù)有相同的混合運(yùn)算順序，先乘方，再乘除，最后加減，有括號先算括號里面的，最后結(jié)果分子、分母要進(jìn)行約分，注意運(yùn)算的結(jié)果要化成最簡分式或整式型．先把括號內(nèi)通分，再把除法運(yùn)算化為乘法運(yùn)算，然后約分即可．【詳解】．3．（2023上·上海徐匯·八年級上海民辦南模中學(xué)?？茧A段練習(xí)）計(jì)算：【答案】【分析】此題考查了分式的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算的法則是解本題的關(guān)鍵．原式括號中兩項(xiàng)通分并利用同分母分式的減法法則計(jì)算，同時(shí)利用除法法則變形，約分即可得到結(jié)果．【詳解】原式4．（2022上·河北唐山·八年級校聯(lián)考期末）計(jì)算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查了分式的混合運(yùn)算，掌握分式的運(yùn)算法則是解決本題的關(guān)鍵．（1）先利用分式的性質(zhì)把分母化為同分母，再進(jìn)行同分母的減法運(yùn)算，即可求解；（2）先算括號里面加減法，再把除法統(tǒng)一成乘法，即可求解．【詳解】（1）解：原式；（2）解：原式．5．（2023上·山東東營·八年級?？计谥校┯?jì)算題：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】本題考查分式混合運(yùn)算，涉及分式加減乘除混合運(yùn)算、通分、約分等知識，熟練掌握分式混合運(yùn)算的運(yùn)算法則是解決問題的關(guān)鍵．（1）先通分，利用同分母的分式加法運(yùn)算計(jì)算，再將除法轉(zhuǎn)化為乘法，因式分解，約分即可得到答案；（2）先通分，利用同分母的分式加法運(yùn)算計(jì)算，再將除法轉(zhuǎn)化為乘法，因式分解，約分，最后通過整式乘法計(jì)算即可得到答案；（3）先通分，利用同分母的分式減法運(yùn)算計(jì)算，再將除法轉(zhuǎn)化為乘法，因式分解，約分即可得到答案；（4）先通分，利用同分母的分式減法運(yùn)算計(jì)算，因式分解，再將除法轉(zhuǎn)化為乘法，約分，最后通分、利用同分母的分式減法運(yùn)算計(jì)算后約分即可得到答案．【詳解】（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：．6．（2024·湖北孝感·一模）先化簡，再求值：，其中．【答案】，【分析】本題主要考查了分式的化簡求值，先把括號內(nèi)的分式通分，再把除法變成乘法，接著約分化簡，最后代值計(jì)算即可.【詳解】解：

，

當(dāng)時(shí)，原式=．【易錯(cuò)三自主取值再求值時(shí)，忽略分母或除式不能為0】例題：（2023秋·湖南長沙·九年級統(tǒng)考期末）先化簡：，然后從、0、2、3中選擇一個(gè)合適的值代入求值．【答案】；當(dāng)時(shí)，原式【分析】根據(jù)分式的加法和除法可以化簡題目中的式子，然后在、0、2、3中選擇一個(gè)使得原分式有意義的值代入化簡后的式子即可得到答案．【詳解】解：原式，，，∴當(dāng)時(shí)，原式．【點(diǎn)睛】本題考查的是分式的化簡求值，解答本題的關(guān)鍵是明確分式化簡求值的方法．【變式訓(xùn)練】1．（23-24八年級下·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）先化簡，再在1，2，3中選取一個(gè)適當(dāng)?shù)臄?shù)值作為的值，代入求值．【答案】，當(dāng)時(shí)，原式=【分析】本題主要考查分式的化簡求值，解題的關(guān)鍵是掌握分式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則．先根據(jù)分式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則化簡原式，再將使分式有意義的的值代入計(jì)算可得．【詳解】解：原式，或或2時(shí)，分母為0，，則原式．2．（23-24八年級下·河南南陽·階段練習(xí)）先化簡，然后從的范圍內(nèi)選取一個(gè)你喜歡的整數(shù)作為的值代入求值．【答案】，當(dāng)時(shí)，原式；當(dāng)時(shí)，原式【分析】本題主要考查了分式的化簡求值，先把小括號內(nèi)的式子通分化簡，然后計(jì)算分式除法化簡，再根據(jù)分式有意義的條件選擇符合題意的x的值代值計(jì)算即可．【詳解】解：，∵分式要有意義，∴，∴且，∵，且x為整數(shù)，∴當(dāng)時(shí)，原式；當(dāng)時(shí)，原式．3．（23-24九年級下·廣東深圳·階段練習(xí)）先化簡，然后從，1，，2中選一個(gè)合適的數(shù)代入求值．【答案】，2【分析】本題考查分式化簡求值，涉及通分、因式分解、分式加減乘除混合運(yùn)算、約分、分式有意義的條件等知識，先將分式分子分母因式分解、再由分式加減乘除混合運(yùn)算法則，利用通分、約分化簡，再根據(jù)分式有意義的條件取得的值，代值求解即可得到答案，熟練掌握分式加減乘除混合運(yùn)算法則，根據(jù)分式有意義的條件取值是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】解：，分式分母不能為0，，則原式．4．（2023·山東棗莊·?？家荒＃┫然啠?，再從不等式組的解集中選一個(gè)合適的整數(shù)x的值代入求值．【答案】；當(dāng)時(shí)，原式=4【分析】先求出不等式組的解集，得到整數(shù)解，再對原代數(shù)式進(jìn)行化簡，確定合適的x的值代入求解即可．【詳解】解：由①得：，由②得：，∴該不等式組的解集為：，∴整數(shù)解為，0，1，2，====；∵，∴∴可取，∴原式=，【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次不等式組和分式的化簡求值，涉及到了分式的加減乘除混合運(yùn)算，解題關(guān)鍵是掌握解不等式的方法和分式的運(yùn)算法則等知識．【易錯(cuò)四解分式方程不驗(yàn)根】例題：（2024上·甘肅武威·八年級校聯(lián)考期末）解下列分式方程：(1)；(2)．【答案】(1)無解(2)【分析】本題考查解分式方程．（1）先求出最簡公分母去分母，再去括號移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)即可得到本題答案；（2）先求出最簡公分母去分母，再去括號移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)即可得到本題答案．【詳解】（1）解：∵，兩邊同時(shí)乘以得：，去括號得：，移項(xiàng)得：，合并同類項(xiàng)得：，即：，檢驗(yàn)：把代入，所以不是原方程的解，所以原方程無解；（2）解：，兩邊同時(shí)乘以最簡公分母得：，去括號整理得：，即：，移項(xiàng)得：，即：，檢驗(yàn)：把代入，所以是方程的解．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·山東濟(jì)南·八年級統(tǒng)考期中）解分式方程：(1)(2)【答案】(1)(2)無解【分析】本題考查解分式方程，按照解分式方程的步驟解方程并檢驗(yàn)即可．【詳解】（1）解：，，解得：，檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，，是原方程的根；（2），，解得：，檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，，是原方程的增根，原方程無解.2．（2023上·全國·八年級課堂例題）解下列方程：(1)；(2)．【答案】(1)(2)無解【分析】本題考查了分式方程的解法，注意結(jié)果要檢驗(yàn)，（1）先去分母，化為整式方程，再求解；（2）先去分母方程兩邊乘，化為整式方程，再求解，結(jié)果要檢驗(yàn)．【詳解】（1）解：原方程可化為，去分母，得，解得，檢驗(yàn)：時(shí)，，故是原方程的解；（2）解：原方程可化為，去分母方程兩邊乘，得，去括號，得解得檢驗(yàn)：時(shí)，，故原方程無解．3．（2023上·江蘇南京·八年級南京大學(xué)附屬中學(xué)?？计谀┙庀铝蟹质椒匠蹋?1)；(2)【答案】(1)(2)原分式方程無解【分析】此題考查了解分式方程，（1）分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解；（2）分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解．【詳解】（1）解析：方程兩邊都乘，得，去括號得：移項(xiàng)合并同類項(xiàng)得：解得，經(jīng)檢驗(yàn)，是分式方程的解，（2）解：去分母，得，去括號得：移項(xiàng)合并同類項(xiàng)得：，經(jīng)檢驗(yàn)，是分式方程的增根，∴原分式方程無解．4．（2023上·山東泰安·八年級統(tǒng)考期中）解方程：(1)；(2)．【答案】(1)(2)無解【分析】本題考查了解分式方程：（1）利用解分式方程的一般步驟即可求解；（2）利用解分式方程的一般步驟即可求解；熟練掌握解分式方程的一般步驟是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：，兩邊同時(shí)乘，得：，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的根，∴原方程的解為．（2）兩邊同時(shí)乘得，，移項(xiàng)合并得：，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的增根，原方程無解．5．（2024上·遼寧鐵嶺·八年級?？计谀┙夥匠?1)(2)(3)【答案】(1)；(2)；(3)原分式方程無解.【分析】（）按照解分式方程的一般步驟解答即可求解；（）按照解分式方程的一般步驟解答即可求解；（）按照解分式方程的一般步驟解答即可求解；本題考查了解分式方程，掌握解分式方程的一般步驟是解題的關(guān)鍵.【詳解】（1）解：方程可變?yōu)?，，方程兩邊同時(shí)乘以得，，解得，檢驗(yàn)：把代入得，，∴是原分式方程的解；（2）解：方程兩邊同時(shí)乘以得，，整理得，，解得，檢驗(yàn)：把代入得，，∴是原分式方程的解；（3）解：方程變形為，，方程兩邊同時(shí)乘以得，，解得，檢驗(yàn)：把代入得，，∴是原分式方程的增根，∴原分式方程無解.【易錯(cuò)五求使分式值為整數(shù)時(shí)未知數(shù)的整數(shù)值】例題：（23-24八年級上·河北邢臺·期中）已知分式．(1)當(dāng)為何值時(shí)，該分式無意義；(2)當(dāng)為何整數(shù)值時(shí)，該分式的值為正整數(shù)．【答案】(1)(2)或【分析】（1）根據(jù)分母等于零，分式無意義可得，求出m的值即可，熟練掌握分式有無意義的條件是解題的關(guān)鍵；（2）根據(jù)題意分別令或，求解即可，利用分母是分子的正約數(shù)求解是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：該分式無意義，，解得，即當(dāng)時(shí)，該分式無意義．（2）解：該分式的值為正整數(shù)，且也為整數(shù)，或，解得或，即當(dāng)或時(shí)，該分式的值為正整數(shù)．【變式訓(xùn)練】1．（22-23七年級上·安徽宣城·期中）當(dāng)?為何整數(shù)時(shí)，(1)?分式?的值為正整數(shù)；(2)?分式?的值是整數(shù)．【答案】(1)0(2)?或?或?或【分析】（1）?若使該式的值為正整數(shù)，則?能夠被?整除，所以?可以為?，?，?；即?，?，；由?為整數(shù)得，?即可；（2）?分式?進(jìn)行變形，化為?，若要使?值為整數(shù)，則?的值一定是整數(shù)，則?一定是?的約數(shù)，從而求得?的值．【詳解】（1）解：若使該式的值為正整數(shù)，則?能夠被?整除，?可以為?，?，?，?，?，?，?為整數(shù)，?；（2）解：?，?的值為整數(shù)，且?為整數(shù)；?為?的約數(shù)，?的值為?或?或?或?；?的值為?或?或?或?．【點(diǎn)睛】此題考查了分式的值，分式的加減，解決此題的關(guān)鍵是要熟練掌握分式的加減法法則．2．（23-24八年級上·福建福州·期末）我們知道，假分?jǐn)?shù)可以化為整數(shù)與真分?jǐn)?shù)和的形式，例如：．在分式中，對于只含有一個(gè)字母的分式，當(dāng)分子的次數(shù)小于分母的次數(shù)時(shí)，我們稱之為“真分式”，例如：，：當(dāng)分子的次數(shù)大于或等于分母的次數(shù)時(shí)，我們稱之為“假分?jǐn)?shù)”，例如：，．類似的，假分式也可以化為整式與真分式的和的形式，例如：；；(1)請根據(jù)以上信息，任寫一個(gè)真分式；(2)將分式化為整式與真分式的和的形式；(3)如果分式的值為整數(shù)，求的整數(shù)值．【答案】(1)（答案不唯一）(2)(3)或或或【分析】（1）根據(jù)定義即可求出答案；（2）根據(jù)假分式可以化為整式與真分式的和的形式來進(jìn)行計(jì)算即可；（3）先化為帶分式，然后根據(jù)題意列出方程，即可求出x的值．本題考查了分式和新定義問題，解題的關(guān)鍵是正確理解新定義以及分式的運(yùn)算．【詳解】（1）解：∵當(dāng)分子的次數(shù)小于分母的次數(shù)時(shí)，稱之為“真分式”∴分式是真分式，故答案為：（答案不唯一）；（2）解：；（3）解：=∵分式的值為整數(shù)，x為整數(shù)，∴或，解得或或或，∴當(dāng)或或或時(shí)，分式的值為整數(shù)．【易錯(cuò)六分式方程無解與增根混淆不清】例題：（2023秋·山西朔州·八年級統(tǒng)考期末）若關(guān)于的分式方程無解，則（

）A． B．0 C．1 D．【答案】A【分析】解分式方程，可得，根據(jù)題意可知分式方程的增根為，即有，求解即可獲得答案．【詳解】解：，去分母，得，合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1，得，由題意可知，分式方程的增根為，即有，解得．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解分式方程以及分式方程的增根的知識，通過分析確定該分式方程的增根為是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·八年級課時(shí)練習(xí)）已知關(guān)于的方程有增根，則的值是（

）A．4 B． C．2 D．【答案】D【分析】首先把所給的分式方程化為整式方程，然后根據(jù)分式方程有增根，得到x?4＝0，據(jù)此求出x的值，代入整式方程求出m的值即可．【詳解】解：原方程去分母，得：，∴，由分式方程有增根，得到x?4＝0，即x＝4，把x＝4代入整式方程，可得：m＝-2．故選D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了分式方程的增根，解答此題的關(guān)鍵是要明確：（1）化分式方程為整式方程；（2）把增根代入整式方程即可求得相關(guān)字母的值．2．（2023·山東菏澤·校考一模）已知關(guān)于的分式方程無解，則的值為_____．【答案】或【分析】根據(jù)分式方程的解法步驟，結(jié)合分式方程無解的情況即可得到參數(shù)的值．【詳解】解：，去分母得，，關(guān)于的分式方程無解，①當(dāng)時(shí)，即，此時(shí)無解；②當(dāng)時(shí)，即，解得，此時(shí)分式方程無解，必須有或，則或，當(dāng)時(shí)，方程無解；當(dāng)時(shí)，解得；綜上所述，的值為或，故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查解分式方程及由分式方程無解求參數(shù)問題，熟練掌握分式方程的解法步驟以及無解情況的分類討論是解決問題的關(guān)鍵．3．（2022秋·湖北武漢·八年級?？计谀┤絷P(guān)于x的方程無解，則a的值為______．【答案】或或【分析】分增根無解和化簡后的一元一次方程無解兩種情況計(jì)算即可．【詳解】∵，∴，整理，得，當(dāng)時(shí)，方程無解，解得；∵的增根為，∴，解得，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的無解問題，熟練掌握分式方程無解的分類計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．4．（2023春·八年級單元測試）已知關(guān)于x的分式方程．(1)當(dāng)時(shí)，求這個(gè)分式方程的解．(2)小明認(rèn)為當(dāng)時(shí)，原分式方程無解，你認(rèn)為小明的結(jié)論正確嗎？請判斷并說明理由．【答案】(1)；(2)小明的結(jié)論正確，理由見解析．【分析】（1）按照解分式方程的步驟求解即可；（2）按照解分式方程的步驟求解即可．【詳解】（1）解：去分母，得，當(dāng)時(shí)，得，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的根；（2）解：小明的結(jié)論正確，理由如下：去分母，得，當(dāng)時(shí)，，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的增根，原方程無解，∴小明的結(jié)論正確．【點(diǎn)睛】此題考查了分式方程的求解，解題的關(guān)鍵是掌握分式方程的求解步驟與方法．5．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）已知關(guān)于x的分式方程.(1)若方程的增根為x＝2，求a的值；(2)若方程有增根，求a的值；(3)若方程無解，求a的值．【答案】（1）－2；（2）－2；（3）3或－2【詳解】試題分析：（1）原方程化為整式方程，求解出增根，然后代入求解即可；（2）由增根求出x的值，然后代入化成的整式方程即可；（3）方程無解，可分為有增根和化成的整式方程無解兩種情況求解即可.試題解析：(1)原方程去分母并整理，得(3－a)x＝10.因?yàn)樵匠痰脑龈鶠閤＝2，所以(3－a)×2＝10.解得a＝－2.(2)因?yàn)樵质椒匠逃性龈?，所以x(x－2)＝0.解得x＝0或x＝2.因?yàn)閤＝0不可能是整式方程(3－a)x＝10的解，所以原分式方程的增根為x＝2.所以(3－a)×2＝10.解得a＝－2.(3)①當(dāng)3－a＝0，即a＝3時(shí)，整式方程(3－a)x＝10無解，則原分式方程也無解；②當(dāng)3－a≠0時(shí)，要使原方程無解，則由(2)知，此時(shí)a＝－2.綜上所述，a的值為3或－2.點(diǎn)睛：分式方程有增根時(shí)，一定存在使最簡公分母等于0的整式方程的解．分式方程無解是指整式方程的解使最簡公分母等于0或整式方程無解．【易錯(cuò)七已知方程的根的情況求參數(shù)的取值范圍，應(yīng)舍去分母為0時(shí)參數(shù)的值】例題：（2023上·內(nèi)蒙古烏蘭察布·八年級校聯(lián)考期末）若關(guān)于x的分式方程的解為正數(shù)，則k的取值范固是．【答案】且【分析】本題主要考查了分式方程的解及分式方程有意義的條件、一元一次不等式組的求解，熟練掌握相關(guān)計(jì)算方法是解決本題的關(guān)鍵．根據(jù)題意，將分式方程的解用含的表達(dá)式進(jìn)行表示，進(jìn)而令，再因分式方程要有意義則，進(jìn)而計(jì)算出的取值范圍即可．【詳解】解：方程兩邊同時(shí)乘以，根據(jù)題意且∴∴∴k的取值范圍是且．故答案為：且．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·河北張家口·八年級統(tǒng)考期末）若關(guān)于的分式方程的解為正數(shù)，則的取值范圍是．【答案】且【分析】本題考查根據(jù)分式方程解的情況求值．解分式方程得：，再根據(jù)其解的情況求解即可，注意分母不能為0的條件．掌握分式方程的解法是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：，化為整式方程為，解得：．∵該分式方程的解為正數(shù)，∴，且，∴且．故答案為：且．2．（2024上·上?！ぐ四昙壭？计谀┤絷P(guān)于的方程的解為負(fù)數(shù)，則的取值范圍是．【答案】且【分析】本題考查了分式方程的解與解不等式，把看作常數(shù)，根據(jù)分式方程的解法求出的表達(dá)式，再根據(jù)方程的解是負(fù)數(shù)列不等式組并求解即可，解題的關(guān)鍵是牢記分式有意義的條件，熟練掌握解方程的步驟．【詳解】解：，，，，，∵分式方程的解為負(fù)數(shù)，∴，解得：，又∵，∴且，解得：且，綜上可知：且，故答案為：且．3．（2023上·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·八年級統(tǒng)考期末）已知關(guān)于x的分式方程的解為非負(fù)數(shù)，則a的取值范圍．【答案】且【分析】本題主要考查了根據(jù)分式方程解的情況求參數(shù)，先解方程方程求出分式方程的解為，再根據(jù)分式方程的解為非負(fù)數(shù)以及方程不能有增根列出不等式組求解即可．【詳解】解：去分母得：，去括號得：，移項(xiàng)得：，合并同類項(xiàng)得：，系數(shù)化為1得：，∵關(guān)于x的分式方程的解為非負(fù)數(shù)，∴，∴且，故答案為：且．4．（2023上·湖南懷化·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）若關(guān)于y的分式方程的解為正整數(shù)，則所有滿足條件的整數(shù)a的值之和是．【答案】【分析】此題考查了解分式方程，利用分式方程的解求參數(shù)，先解分式方程，用a表示方程的解，根據(jù)方程的解是正整數(shù)的要求得出a的值，即可得到答案．【詳解】分式兩邊都乘以，得，得，∵該分式方程的解為正整數(shù)，∴的值為1或2或3，∴所有滿足條件的整數(shù)a的值為2或或，所有滿足條件的整數(shù)a的值之和是，故答案為：．【易錯(cuò)八分式混合運(yùn)算和分式方程中的新定義問題】例題：（23-24八年級上·廣西南寧·階段練習(xí)）我們給出定義：若一個(gè)分式約分后是一個(gè)整式，則稱這個(gè)分式為“巧分式”，約分后的整式稱為這個(gè)分式的“巧整式”．例如：，則稱分式是“巧分式”，為它的“巧整式”．根據(jù)上述定義，解決下列問題．(1)下列分式中是“巧分式”的有__________（填序號）；①；②；③．(2)若分式（m為常數(shù)）是一個(gè)“巧分式”，它的“巧整式”為，求m的值：(3)若分式的“巧整式”為．①求整式A．②是“巧分式”嗎？【答案】(1)①③(2)(3)①；②是“巧分式”【分析】本題考查了分式的化簡、因式分解及分式的混合運(yùn)算．解決本題的關(guān)鍵是弄清楚“巧分式”的定義．（1）根據(jù)“巧分式”的定義，逐個(gè)判斷得結(jié)論；（2）根據(jù)“巧分式”的定義，得到關(guān)于的方程，求解即可；（3）①根據(jù)給出的“巧分式”的定義求解即可；②將A代入，約分后看是否是一個(gè)整式，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：，是整式，①是“巧分式”；，不是整式，②不是“巧分式”；，是整式，③是“巧分式”；故答案為：①③；（2）解：分式（m為常數(shù)）是一個(gè)“巧分式”，它的“巧整式”為，，，；（3）解：①分式的“巧整式”為．，，即；②，又是整式，是“巧分式”．【變式訓(xùn)練】1．（23-24八年級上·四川廣安·期末）定義：若兩個(gè)分式的和為n（n為正整數(shù)），則稱這兩個(gè)分式互為“n階分式”，例如：，則分式與互為“3階分式”．(1)分式與互為“__________階分式”；(2)設(shè)正數(shù)x，y互為倒數(shù)，求證：分式與互為“2階分式”；(3)若分式與互為“1階分式”（其中a，b為正數(shù)），求ab的值．【答案】(1)5(2)詳見解析(3)【分析】（1）根據(jù)提議，計(jì)算與的和即可；（2）根據(jù)題意首先利用倒數(shù)關(guān)系，將x，y進(jìn)行消元，然后通過分式的加法化簡即可得解；（3）根據(jù)