八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 講義（北師大版）第一章第01講 等腰三角形的性質(zhì)與判定(6類熱點(diǎn)題型講練)（原卷版）

第01講等腰三角形的性質(zhì)與判定(6類熱點(diǎn)題型講練)1.經(jīng)歷“探索一發(fā)現(xiàn)一猜想一證明”的過程，逐步掌握綜合法證明的方法，發(fā)展推理能力.2.進(jìn)一步了解作為證明基礎(chǔ)的幾條基本事實(shí)的內(nèi)容，能證明等腰三角形的性質(zhì).3.有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生對(duì)文字語言、符號(hào)語言和圖形語言的轉(zhuǎn)換能力，關(guān)注證明過程及其表達(dá)的合理性.知識(shí)點(diǎn)01等腰三角形的性質(zhì)（1）等腰三角形性質(zhì)1：等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)稱：等邊對(duì)等角）（2）等腰三角形性質(zhì)2：文字：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合（簡(jiǎn)稱：等腰三角的三線合一）圖形：如下所示；符號(hào)：在中，AB＝AC，知識(shí)點(diǎn)02等腰三角形的判定（1）等腰三角形的判定方法1：（定義法）有兩條邊相等的三角形是等腰三角形；（2）等腰三角形的判定方法2：有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形；(簡(jiǎn)稱：等角對(duì)等邊)題型01根據(jù)等腰三角形腰相等求第三邊或周長【例題】（2023上·河南商丘·八年級(jí)商丘市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）一個(gè)等腰三角形的兩條邊長分別為和，則第三邊的長為．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·甘肅隴南·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）一個(gè)等腰三角形有兩邊分別為和，則周長是．2．（2023上·山東濰坊·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）若，則以a，b為邊長的等腰三角形的周長為．題型02根據(jù)等腰三角形等邊對(duì)等角求角的度數(shù)【例題】等腰三角形的底角等于，則它的頂角是．【變式訓(xùn)練】1．一個(gè)等腰三角形的兩條邊長分別為和，則第三邊的長為．2．已知等腰三角形一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為．則這個(gè)等腰三角形底角的度數(shù)為．題型03根據(jù)等腰三角形三線合一進(jìn)行求解【例題】如圖，在四邊形中，，，對(duì)角線，則線段的長為．

【變式訓(xùn)練】1．如圖，在中，，平分并交于點(diǎn)，則．

2．兩個(gè)同樣大小的含角的三角尺，按如圖所示的方式放置，其中一個(gè)三角尺的銳角頂點(diǎn)與另一個(gè)的直角頂點(diǎn)重合于點(diǎn)，且另三個(gè)銳角頂點(diǎn)，，在同一直線上，為中點(diǎn)，已知．(1)求的長．(2)求的長．題型04根據(jù)等腰三角形三線合一進(jìn)行證明【例題】如圖，點(diǎn)，在的邊上，，

(1)若求的度數(shù)；(2)求證：【變式訓(xùn)練】1．（2023上·山東威?！て吣昙?jí)校聯(lián)考期中）如圖，已知，點(diǎn)F是的中點(diǎn)，連接，請(qǐng)判斷與的位置關(guān)系．2．如圖，在中，，，是邊上的高．線段的垂直平分線交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，連接．(1)試問：線段與的長相等嗎？請(qǐng)說明理由；(2)求的度數(shù)．題型05根據(jù)等角對(duì)等邊證明等腰三角形【例題】（2023上·廣西玉林·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，點(diǎn)在的延長線上，已知平分，．求證：是等腰三角形．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·安徽合肥·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，平分，，且，請(qǐng)確定的形狀并說明理由．2．（2023上·吉林松原·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在四邊形中，是的平分線，，且．求證：是等腰三角形．

題型06等腰三角形的性質(zhì)和判定綜合應(yīng)用【例題】如圖，在中，，D是邊的中點(diǎn)，連接，平分交于點(diǎn)E．(1)若，求的度數(shù)；(2)過點(diǎn)E作交于點(diǎn)F，求證：是等腰三角形．(3)若平分的周長，的周長為15，求的周長．【變式訓(xùn)練】1．如圖，在中，，D為延長線上一點(diǎn)，于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F．

(1)求證：是等腰三角形(2)若，求線段的長．2．如圖，將長方形紙片沿對(duì)角線折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，，(1)試判斷折疊后重疊部分的形狀，并說明理由．(2)求重疊部分的面積．一、單選題1．（2023上·河南許昌·八年級(jí)統(tǒng)考期中）等腰三角形的一個(gè)底角為，則這個(gè)等腰三角形的頂角為（

）．A． B． C． D．或2．（2024下·全國·七年級(jí)假期作業(yè)）如圖，在中，為邊上的中線，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．3．（2023上·廣東珠?！ぐ四昙?jí)?？茧A段練習(xí)）下列條件中，可以判定是等腰三角形的是（

）A．， B．C． D．三個(gè)角的度數(shù)之比是4．（2023上·廣東韶關(guān)·八年級(jí)統(tǒng)考期中）一個(gè)等腰三角形的周長為，只知其中一邊的長為，則這個(gè)等腰三角形的腰長為（

）A． B． C． D．或5．（2023上·山東濟(jì)寧·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，等腰直角三角形中，，D是的中點(diǎn)，于點(diǎn)E，交的延長線于點(diǎn)F，若，則的面積為（

）A．16 B．20 C．48 D．32二、填空題6．（2024下·全國·七年級(jí)假期作業(yè)）等腰三角形一邊的長是4，另一邊的長是8，則它的周長是．7．（2023上·河北廊坊·八年級(jí)?？计谀┰谥?，，要使為等腰三角形，寫出一個(gè)可添加的條件：．8．（2023上·浙江金華·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）“三等分角”是由古希臘人提出來，借助如圖所示的“三等分角儀”能三等分任一角．這個(gè)三等分角儀由兩根有槽的棒、組成．兩根棒在點(diǎn)相連并可繞轉(zhuǎn)動(dòng)，點(diǎn)固定，，點(diǎn)、在槽中滑動(dòng)，若，則．9．（2022上·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，延長至D，使，延長至E，使，連接和，則的度數(shù)為．10．（2023上·浙江杭州·八年級(jí)杭州外國語學(xué)校?？计谥校┤鐖D，的頂點(diǎn)A，C在直線l上，，，若點(diǎn)P在直線l上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)是等腰三角形時(shí)，的度數(shù)是．三、解答題11．（2023上·廣東汕尾·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）用一條長為的細(xì)繩圍成一個(gè)等腰三角形．(1)如果腰長是底邊長的3倍，那么各邊的長是多少?(2)能圍成有一邊的長為的等腰三角形嗎?如果能，請(qǐng)求出另兩邊長．12．（2023上·重慶開州·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在和中，，，，與交于點(diǎn)P，點(diǎn)C在上．(1)求證：；(2)若，，求的度數(shù)．13．（2023上·浙江金華·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在中，，，點(diǎn)在邊上，，，垂足為，與交于點(diǎn)，(1)求的長．(2)求的長．14．（2023上·浙江寧波·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，分別交、于點(diǎn)、，點(diǎn)在的延長線上，且，(1)求證：是等腰三角形；(2)連接，當(dāng)，，的周長為時(shí)，求的周長．15．（2023上·湖北武漢·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）在中，是的中線，是的平分線，交的延長線于F．(1)若，求的度數(shù)；(2)求證：是等腰三角形．16．（2023上·廣東廣州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，點(diǎn)D、E在的邊上，，．

(1)求證：；(2)若，，求的度數(shù)．17．（2023上·河北石家莊·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）（1）如圖1，，平分，則的形狀是三角形；（2）如圖2，平分，，，則．（3）如圖3，有中，是角平分線，交于點(diǎn)D．若，則．（4）如圖4，在中，與的平分線交于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作，分別交，于點(diǎn)D，E．若，則的周長為．（5）如圖，在中，cm，分別是和的平分線，且，則的周長是．18．（2023上·福建龍巖·八年級(jí)校考期中）概念學(xué)習(xí)規(guī)定：如果一個(gè)三角形的三個(gè)角分別等于另一個(gè)三角形的三個(gè)角，那么稱這兩個(gè)三角形互為“等角三角形”．從三角形（不是等腰三角形）一個(gè)頂點(diǎn)引出一條射線與對(duì)邊相交，頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段把這個(gè)三角形分割成兩個(gè)小三角形，如果分得的兩個(gè)小