八年級數(shù)學下冊 講義（北師大版）第一章第03講 直角三角形(7類熱點題型講練)（原卷版）

第03講直角三角形(7類熱點題型講練)1．復(fù)習直角三角形的相關(guān)知識，歸納并掌握直角三角形的性質(zhì)和判定；2．學習并掌握勾股定理及其逆定理，能夠運用其解決問題．3．探索并理解直角三角形全等的判定方法“HL”．4．會用直角三角形全等的判定方法“HL”判定兩個直角三角形全等．知識點1直角三角形的性質(zhì)定理及推論定理1直角三角形的兩個銳角互余；定理2在直角三角形中，如果一個角等于300，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.推論1：在直角三角形中，如果一個銳角等于，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半；推論2：在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的角等于.知識點2勾股定理及逆定理圖形名稱定理符號表示邊的定理在直角三角形中，斜邊大于直角邊.在中，勾股定理直角三角形兩條直角邊的平方和，等于斜邊的平方.在中，，勾股定理逆定理如果三角形的一條邊的平方等于其他兩條邊的平方和，那么這個三角形是直角三角形.在中，，知識點3直角三角形全等的判定HL法圖形定理符號如果兩個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等，那么這兩個直角三角形全等（簡記：H.L）在中，，題型01直角三角形的兩個銳角互余【例題】（2023上·浙江溫州·八年級溫州市第十二中學校聯(lián)考期中）在中，，那么另一個銳角的度數(shù)是．【變式訓練】1．（2023上·江蘇鹽城·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，，，點D在斜邊上，且，則°．2．（2023上·上海閔行·八年級校聯(lián)考期中）如圖，中，，，，若恰好經(jīng)過點，交于，則的度數(shù)為°題型02判斷三邊能否構(gòu)成直角三角形【例題】（2023上·山東煙臺·七年級統(tǒng)考期中）在中，、、的對應(yīng)邊分別是a、b、c，則不能確定是直角三角形的是（

）A． B．，C． D．【變式訓練】1．（2023上·陜西西安·八年級校考階段練習）已知的三條邊長，，滿足，則的面積為．2．（2023上·山東青島·八年級?？茧A段練習）在中，給出以下4個條件：①；②；③；④．從中任取一個條件，可以判定出是直角三角形的有．（填序號）3．已知a，b，c滿足．(1)求a，b，c的值；(2)試問：以a，b，c為三邊長能否構(gòu)成直角三角形，如果能，請求出這個三角形的面積，如不能構(gòu)成三角形，請說明理由．題型03在網(wǎng)格中判斷直角三角形【例題】如圖，正方形網(wǎng)格中的每個小正方形的邊長都是，求下列問題：

(1)試說明是直角三角形；(2)求點到的距離．【變式訓練】1．（2023上·陜西西安·八年級?？计谥校┤鐖D，網(wǎng)格中的每個小正方形的邊長為1，的頂點A、B、C均在網(wǎng)格的格點上，邊上的高長為．

2．如圖，正方形網(wǎng)格中的每個小正方形的邊長都是1，每個小格的頂點叫格點，網(wǎng)格中有以格點A，B，C為頂點的，請根據(jù)所學的知識回答下列問題：(1)判斷的形狀，并說明理由；(2)求的面積．題型04利用勾股定理的逆定理求解【例題】如圖，點在中，，，，

(1)求的長；(2)求圖中陰影部分的面積．【變式訓練】1．在四邊形中，，求四邊形的面積．2．如圖，學校有一塊三角形空地，計劃將這塊三角形空地分割成四邊形和，分別擺放“秋海棠”和“天竺葵”兩種不同的花卉，經(jīng)測量，，，，，，，求四邊形的面積．題型05勾股定理逆定理的實際應(yīng)用【例題】如圖，在筆直的公路旁有一座山，為方便運輸貨物現(xiàn)要從公路上的處開鑿隧道修通一條公路到處，已知點與公路上的?？空镜木嚯x為，與公路上另一停靠站的距離為，?？空局g的距離為，且．

(1)求修建的公路的長；(2)一輛貨車從點到點處走過的路程是多少？【變式訓練】1．在一條東西走向的河流一側(cè)有一村莊C，河邊原有兩個取水點A，B，其中，由于某種原因，由C到A的路現(xiàn)在已經(jīng)不通，該村為方便村民取水，決定在河邊新建一個取水點D（A，D，B在同一條直線上），并新修一條路，測得千米，千米，千米．

(1)求的度數(shù)；(2)求取水點A到取水點D的距離．2．某小區(qū)在社區(qū)管理人員及社區(qū)居民的共同努力之下，在臨街的拐角清理出了一塊可以綠化的空地，如圖，，，，．(1)技術(shù)人員在只有卷尺的情況下，通過測量某兩點間的距離，便快速確定了．寫出技術(shù)人員測量的是哪兩點之間的距離以及確定的依據(jù)；(2)現(xiàn)計劃在空地內(nèi)種草，若每平方米草地造價30元，這塊地全部種草的費用是多少元？題型06全等的性質(zhì)和HL綜合【例題】（2023上·全國·八年級專題練習）如圖，在中，，D為邊的中點，于點E，于點F，．求證：是等邊三角形．【變式訓練】1．（2023上·福建莆田·八年級校聯(lián)考期中）如圖，點、、、在同一條直線上，，，，．求證：．2．（2023上·湖南衡陽·八年級衡陽市外國語學校?？计谥校┤鐖D，，垂足分別為．(1)求證：；(2)若，求四邊形的面積．題型07全等的性質(zhì)和HL綜合【例題】（2023上·吉林白城·八年級校聯(lián)考期末）如圖，已知是上的一點，且．(1)和全等嗎？請說明理由；(2)判斷的形狀，并說明理由．【變式訓練】1．（2023上·甘肅慶陽·八年級統(tǒng)考期中）如圖，已知，點在一條直線上，與交于點．(1)求證：．(2)若，求的度數(shù)．2．（2023上·甘肅蘭州·八年級蘭州市第五十六中學?？茧A段練習）如圖，在中，F(xiàn)為延長線上一點，點E在上，且．(1)若，求度數(shù)；(2)求證：；(3)試判斷與的位置關(guān)系．一、單選題1．（2023上·河南周口·八年級統(tǒng)考期中）在中，，，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．2．（2023上·河南鄭州·八年級校考期中）中，，，的對邊分別記為a，b，c，有下列說法錯誤的是（

）A．如果，則B．如果，則為直角三角形C．如果a，b，c長分別為6，8，10，則a，b，c是一組勾股數(shù)D．如果，則為直角三角形3．（2023上·浙江溫州·八年級溫州市第十二中學校聯(lián)考期中）如圖，是等腰底邊邊上的中線，，，則度數(shù)是（

）

A． B． C． D．4．（2023上·重慶墊江·八年級重慶市墊江中學校?？茧A段練習）如圖，在和中，，則下列結(jié)論中不一定成立的是（

）

A．B．C．D．E為BC中點5．（2023上·河南南陽·八年級統(tǒng)考階段練習）如圖，在的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1．點A，B，C都在格點上，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A． B．C．的面積為5 D．點A到的距離是1.5二、填空題6．（2023上·甘肅武威·八年級校考期末）如圖所示，，可使用“”判定與全等，則應(yīng)添加一個條件是．

7．（2023上·甘肅張掖·八年級校考階段練習）若，則由，，組成的三角形是三角形．8．（2023上·內(nèi)蒙古呼和浩特·八年級呼和浩特市實驗中學?？计谥校┤鐖D所示，在中，，，將其沿折疊，使點A落在邊上的處，則．9．（2023上·河北石家莊·八年級?？茧A段練習）如圖，在中，，，過上一點D作交的延長線于點P，交于點Q．若，則，．10．（2023上·江蘇南通·九年級?？计谀┤鐖D，在等腰梯形中，，，，，直角三角板含角的頂點放在邊上移動，直角邊始終經(jīng)過點，斜邊與交于點，若為等腰三角形，則的長為．

三、解答題11．（2023上·四川宜賓·八年級統(tǒng)考期中）如圖，，點B，E，F(xiàn)在同一直線上，，，求證．12．（2023上·遼寧鐵嶺·八年級統(tǒng)考期中）在一條東西走向河的一側(cè)有一村莊C，河邊原有兩個取水點A，B，其中，由C到A的路現(xiàn)在已經(jīng)不通，某村為方便村民取水決定在河邊新建一個取水點H（A、H、B在一條直線上），測得千米，千米，千米，(1)問是否為從村莊C到河邊的最近路？（即問：與是否垂直？）請通過計算加以說明；(2)求原來的路線的長．13．（2023上·吉林長春·八年級?？计谥校┤鐖D，網(wǎng)格中每個小正方形的邊長都為，的頂點均為網(wǎng)格上的格點．

(1)__________，__________，__________；(2)的形狀為__________三角形；(3)求中邊上的高__________．14．（2023上·山東泰安·七年級東平縣實驗中學校考階段練習）如圖，已知，，，．(1)求的長；(2)求的度數(shù)．15．（2023上·河南濮陽·八年級校聯(lián)考期中）定義：在一個三角形中，如果有一個角是另一個角的2倍，我們稱這兩個角互為“開心角”例如：在中，如果，為“開心三角形”問題：如圖，中，，，點是線段上一點（不與重合），連接(1)如圖1