三角形高線、中線、角平分線的計(jì)算 高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

第四章三角函數(shù)、解三角形補(bǔ)上一課三角形高線、中線、角平分線的計(jì)算INNOVATIVEDESIGN解三角形是高考數(shù)學(xué)的必考內(nèi)容，其中在三角形中增加高線、中線、角平分線以及其他等分點(diǎn)條件在最近幾年的高考題中出現(xiàn)的頻率很高，這類問(wèn)題一般需要綜合使用正弦定理和余弦定理解決.題型一三角形的高線例1(2023·新高考Ⅰ卷)已知在△ABC中，A＋B＝3C，2sin(A－C)＝sinB.(1)求sinA；(2)設(shè)AB＝5，求AB邊上的高.因?yàn)?sin(A－C)＝sinB，所以2sin(A－C)＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)，所以2sinAcosC－2cosAsinC＝sinAcosC＋cosAsinC，所以sinAcosC＝3cosAsinC，易得cosAcosC≠0，感悟提升高線問(wèn)題的處理策略(1)等面積法：AD·BC＝AB·AC·sin∠BAC.(2)AD＝AB·sin∠ABD＝AC·sin∠ACD.(3)a＝c·cosB＋b·cosC.題型二三角形的中線例2(2024·湘潭模擬)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，滿足b2(sin2B－3cos2B)＝－a(a＋b)，且sinC＝sin2B. (1)求角B的大??；解因?yàn)閟inC＝sin2B，所以sinC＝2sinB·cosB，由正弦定理得c＝2bcosB，由b2(sin2B－3cos2B)＝－a(a＋b)，得b2(1－4cos2B)＝－a2－ab，又由c＝2bcosB，得c2＝4b2cos2B，感悟提升中線問(wèn)題的處理策略：如圖①，△ABC中，AD為BC的中線，已知AB，AC及A，求中線AD長(zhǎng).訓(xùn)練2(2024·長(zhǎng)沙模擬)在△ABC中，bsinB＝asinA－(b＋c)sinC.(1)求角A的大?。唤庥梢阎猙sinB＝asinA－(b＋c)sinC和正弦定理，得b2＝a2－bc－c2，題型三三角形的角平分線(2)設(shè)AD是△ABC的角平分線，求AD的長(zhǎng).解由(1)可得b＝c－1＝2，因?yàn)锳D是∠BAC的平分線，所以∠BAD＝∠CAD＝30°，設(shè)AD＝x，由S△ABC＝S△ACD＋S△ABD，可得感悟提升訓(xùn)練3(2024·晉城模擬)已知三角形ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且acosB＋bcosA＝2ccosB.(1)求角B；解因?yàn)閍cosB＋bcosA＝2ccosB，由正弦定理可得sinAcosB＋sinBcosA＝2sinCcosB，所以sin(A＋B)＝2sinCcosB，即sinC＝2sinCcosB，在△BCD中，由余弦定理可得CD2＝BD2＋BC2－2BD·BCcos∠CBD，課時(shí)分層精練KESHIFENCENGJINGLIANCA解析如圖，BC邊上的高AD為BC邊長(zhǎng)的一半，B解析設(shè)∠BAD＝∠CAD＝θ，∵S△ABC＝S△ABD＋S△ACD，CDACD解析由(2b－c)cosA＝acosC，得2sinBcosA－sinCcosA＝sinAcosC，得2sinBcosA＝sinAcosC＋sinCcosA＝sin(A＋C)＝sin(π－B)＝sinB，因?yàn)锽∈(0，π)，所以sinB≠0，C解析設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝b2＋c2－bc，即4＝b2＋c2－bc，所以4＝b2＋c2－bc≥bc，當(dāng)且僅當(dāng)b＝c時(shí)，等號(hào)成立.1解析如圖，在△ABC中，設(shè)D為AB邊的中點(diǎn)，10.在銳角△ABC中，BC＝4，sinB＋sinC＝2sinA，則中線AD的取值范圍是____________.解析設(shè)AB＝c，AC＝b，BC＝a＝4，對(duì)sinB＋sinC＝2sinA運(yùn)用正弦定理，得b＋c＝2a＝8，所以c＝8－b，因?yàn)樵撊切螢殇J角三角形，所以根據(jù)余弦定理，11.在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，a2＋b2(1－4cos2B)＝－ab，且c＝2bcosB. (1)求B；解由a2＋b2(1－4cos2B)＝－ab，有a2＋b2－4b2cos2B＝－ab，又c＝2bcosB，所以c2＝4b2cos2B，即a2＋b2－c2＝－ab，B設(shè)BC＝x，則AC＝2x，在△ABC中，由余弦定理知，AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB，14.(2024·柳州模擬)在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知

(a＋b)(sinA－sinB)＝c(sinC＋sinB)，若角A的內(nèi)角平分線AD的長(zhǎng)為3，則4b＋c的最小值為(

) A.21

B.24

C.27

D.36C解析在△ABC中，(a＋b)(sinA－sinB)＝c(sinC＋sinB)，由正弦定理得(a＋b)(a－b)＝c(c＋b)，即a2＝b2＋c2＋bc，AD解析在△ABC中，BC＝2，BC邊上的中線AD＝2，對(duì)于A，∵∠ADB＋∠ADC＝π，∴cos∠ADB＋cos∠ADC＝0，16.(2024·杭州模擬)已知銳角△ABC，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，且2acosC＝b－a. (1)證明：C＝2A；證明因?yàn)?acosC＝b－a，由正弦定理得2sinAcosC＝sinB－sinA，又sinB＝sin(π－A－C)＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC，所以2sinAcosC＝sinAcosC＋cosAsinC