2024年九年級中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)沖刺訓(xùn)練：平移綜合題（幾何變換）

2024年九年級中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)培優(yōu)沖刺專題訓(xùn)練

平移綜合題(幾何變換)

1.如圖，RtAABC中，ZACB=90°，將ABC沿AB的方向平移得到JDEF,連接CD,FB,CF.

備用圖

(1)當點。移至什么位里時，四邊形CD3廠是菱形，并加以證明.

⑵在(1)的條件下，四邊形C/汨/能否為正方形？若能，請說明理由；若不能，請給

添加一個條件，使四邊形CDB廠為正方形，并寫出推理過程.

2.在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1個單位長度，ABC的三個頂點的位置如

圖所示.現(xiàn)將；ABC平移，使點C變換為點，點4、2的對應(yīng)點分別是點￡、F.

(1)在圖中請畫出ABC平移后得到的△￡"?；

(2)在(1)的條件下，連接A￡\BF,AE與3F之間的關(guān)系是

(3)在圖中畫出ABC的邊上的高曲；

(4)ABC的面積為.

3.如圖1,已知一次函數(shù)，=履+6的圖象分別交y軸正半軸于點A,x軸正半軸于點B,且AOB

的面積是24,尸是線段。8上一動點.

試卷第2頁，共12頁

(1)求L值;

(2)如圖1,將，AOP沿AP翻折得到△AO'P,當點O'正好落在直線A2上時，

①求點尸的坐標；

②將直線AP繞點尸順時針旋轉(zhuǎn)45。得到直線4尸，求直線A尸的表達式；

(3)如圖2,上題②中的直線AP與線段AB相交于點M,將一尸沿著射線PA向上平移，

平移后對應(yīng)的三角形為△PB'M',當AP?是以AP為直角邊的直角三角形時，請直接寫出

點P'的坐標.

4.如圖1,在平面直角坐標系中，點A3的坐標分別為(0,3),(4,0).

(1)將線段平移到C。，點A的對應(yīng)點是C,點B的對應(yīng)點是。，且C、。兩點也在坐

標軸上，過點。作直線加，回，垂足為交8于點請在圖1中畫出圖形，直接

寫出點C、。的坐標，并證明MNLCD.

(2)如圖2,將平移到8,點A對應(yīng)點C(-2,加)，連接AC、BC,BC交y軸于點E,若

ABC的面積等于13,①求點E的坐標及機的值；

②請直接寫出點。的坐標.

5.如圖，已知平面直角坐標系中，點4。,。)、8(0,6),久6滿足而^+(4-0)2=0.

將線段居經(jīng)過水平、豎直方向平移后得到線段A?,已知直線4"經(jīng)過點C(4,0),4的橫坐

標為5.

(2)連接BC,8A,求三角形ABC和三角形ABA'的面積.得S.c=；5

(3)①求A'的縱坐標，并寫出線段AB的平移方式，

②直線AB上一點P(，",")，直接寫出小〃之間的數(shù)量關(guān)系.

試卷第4頁，共12頁

6.綜合與實踐.

如圖1,將兩個全等的三角尺ABC與三角尺DE尸如圖擺放（2C與毋1重合），其中,

ABAC=/EDF=90°,ZABC=ZDEF=30°.

圖1圖2圖3

（1）如圖2,固定三角尺A3C不動，將三角尺。所沿BC方向平移至圖2位置，分別連接

AE,BD.則四邊形的形狀為；

（2）如圖3,在圖2的基礎(chǔ)上，將三角尺DEF沿BC方向繼續(xù)平移，當四邊形ABDE是菱

形時，分別連接釬，CD.

①請判斷此時四邊形AFDC的形狀，并說明理由；

②若AF=1,則四邊形A5/型的周長為.

7.如圖，在平面直角坐標系中，點A坐標為（0,3）,點B坐標為（2,-1）.

（I）點C在第一象限內(nèi)，AC//X軸，將線段進行適當?shù)钠揭频玫骄€段。C,點A的對

應(yīng)點為點D,點8的對應(yīng)點為點C,連接AD,若三角形ACO的面積為12,求線段AC的長；

(II)在(I)的條件下，連接0,P為y軸上一個動點，若使三角形%B的面積等于三

20

8.已知：如圖①，在矩形ABCD中,AB=5,AD=^,AELBD,垂足是E點尸是點E關(guān)

于AB的對稱點，連接AF、BF.

圖①

(1)求AE和班的長;

(2)若將△AB/沿著射線方向平移,設(shè)平移的距離為相(平移距離指點B沿方向

所經(jīng)過的線段長度)當點尸分別平移到線段AB、AD上時，求出相應(yīng)的機的值;

試卷第6頁，共12頁

(3)如圖②，將繞點8順時針旋轉(zhuǎn)一個角a(0°<1<180。)，記旋轉(zhuǎn)中的△ABR為

△/TBF,在旋轉(zhuǎn)過程中，設(shè)A尸所在的直線與邊AD交于點尸與直線8。交于點。是否存

在這樣的巴。兩點，使VDPQ為等腰三角形？若存在，直接寫出此時。。的長：若不存在，

請說明理由.

9.如圖(1),在平面直角坐標系中,已知點AO,0),8(n,0),且m,n滿足(租+2?+-6=。,

將線段向右平移2個單位長度，再向上平移4個單位長度，得到線段C。，其中點C與

(1)求點A、B、C、。的坐標；

(2)在x軸上是否存在點P,使三角形P3C的面積等于平行四邊形A3DC的面積？若存在,

求出點尸的坐標；若不存在，請說明理由；

(3)如圖(2),點E在y軸的負半軸上，且NBAE=NDCB.求證：AE//BC.

10.類比等腰三角形的定義，我們定義：有一組鄰邊相等的凸四邊形叫做“等鄰邊四邊形”.

（1）如圖1,在四邊形ABCQ中，平分/ABC,ZA+ZC=180°,請說明四邊形ABC。

是“等鄰邊四邊形”；

（2）如圖2,在RtABC中，ZABC=90°,AB^2,BC=4,并將RtABC沿/ABC的

平分線旗，方向平移得到，連接BC',要使平移后的四邊形ABC'A'是"等鄰

邊四邊形”，應(yīng)平移多少距離？（即線段班，的長）？請直接寫出平移的距離；

（3）如圖3,“等鄰邊四邊形"ABCD中，AB=BC,ZABC+ZADC=90°,BD=nBC,試

探究AD,AC,CD之間的數(shù)量關(guān)系（用含"的等式表示）.

11.如圖，A（-3,2）,B（-l,-2）,C（l-l）.將ABC向右平移3個單位長度，然后再向上

平移1個單位長度，可以得到△A4G.

試卷第8頁，共12頁

(i)4a耳a的頂點A的坐標為,頂點G的坐標為.

(2)△A耳a的面積為.

3

(3)已知點尸在X軸上，以A、G、P為頂點的三角形面積為:，則尸點的坐標為

12.如圖，長方形ABCD各頂點的坐標分別為人(1,2),8(3,4),。(4,3),￡>(2,1),長方形EFGH各

頂點的坐標分別為E(2,5),尸(5,8),G(7,6),H(4,3).平移長方形ABC。得到長方形A?CD,

且點ZT的坐標為(7,8).

(I)畫出長方形AB'C'D'，你有幾種畫法？

(2)如果長方形45Q)沿HfG的方向平移，至AD與尸G重合停止，設(shè)平移過程中與

EH之間的距離為d,長方形A5co與長方形EFGH重疊的面積為S,請你畫出S與1之間

對應(yīng)關(guān)系的大致圖象.

13.如圖1,在平面直角坐標系中，正方形。4BC的面積等于4,長方形。4DE的面積等于

8,其中點C、E在x軸上，點A在＞軸上.

備用圖備用圖

(1)請直接寫出點A,點8,點。的坐標;

(2)如圖2,將正方形Q4BC沿x軸向右平移，移動后得到正方形。ABC,設(shè)移動后的正

方形O'AB'C'長方形0AZ組重疊部分(圖中陰影部分)的面積為S；

①當4r=1時，S=；當A4'=3時，S=；當A4'=5時，S=；

②當S=1時，請直接寫出AA的值.

試卷第10頁，共12頁

14.如圖，在平面直角坐標系中，點A,B的坐標分別為(-1,0),(3,0),現(xiàn)同時將A,B兩

點先向上平移2個單位長度，再向右平移1個單位長度，分別得到點A,8的對應(yīng)點。，C,

連接AD,BC,CD.

(1)寫出點。，C的坐標分別是,；四邊形ABCD的面積為；

(2)在x軸上是否存在點尸，連接CP,DP,使得三角形PCD面積是三角形面積尸BC的2

倍，若存在，請求出點尸的坐標：若不存在，請說明理由；

(3)若點。是直線上一點，連接QA,QD,請你直接寫出NAQD,/℃與NQAB的

數(shù)量關(guān)系.

15.如圖，正方形ABC。的邊長為4cm,等腰直角三角形跖G在正方形ABC。的左側(cè)，邊

EE與在一條直線上，且點A和點尸重合，NFEG=90°,EF=EG=4cm.

(1)當三角形EFG向右平移1cm時，兩圖形重疊部分面積為一cm2；

(2)當三角形EFG向右平移7cm時，兩圖形重疊部分面積為_cm2；

(3)當三角形EFG向右平移x(cm)時，兩圖形重疊部分面積表示為S(cnP),用含x的代

數(shù)式表示S,并寫出x滿足的條件.

試卷第12頁，共12頁

參考答案：

i.(1)解：當。移至A8的中點時，四邊形a第b是菱形.

證明如下：

ZACB=ZDFH=9Q°,。是AB的中點，

CD=-AB,EF=-DE,

22

AB=DE,

.-.CD=BD=BF=BE,

CF=BE,

：.CD=BD=BF=CF,

四邊形COB尸是菱形；

(2)解：不能為正方形，添加條件：AC=3C時，四邊形CDZM為正方形.

證明：AC=3C,。是42的中點.

:.CD±AB,即NCr>3=90°,

四邊形CDBF為菱形，

；?四邊形CDB歹是正方形.

2.解:(1)如圖所示，△EED即為所求.

(2)如圖所示，AE//BF,AE=BF-,

(3)如圖所示，S即為所求；

(4)■JAABC=S梯形AMVB_,^AAMC-SABNC

=；x(1+4)X6-Jx3x4-；xlx3

答案第1頁，共23頁

_15

一萬’

故答案為：—.

2

3.解：（1）當％=0時，y=6,故點A坐標為A（0,6）,

*/S=-OA-OB^--6.OB=24,

AOB22

08=8,

.?.點B坐標為（8,0）,

代入y=h+6得8左+6=0,

（2）①如圖2-1,由折疊性質(zhì)可知：AO=AO',PO=O'P；/AOP=NAO'P=90。,

AB=7OA2+OB2=10>

BO'=AS-AO'=10-6=4,

設(shè)「O=O'P=x,貝|PB=8-x,

由尸3?=CT尸2+OR2得（8-X）2=/+42,

PO=O'P=3,

即P點坐標為（3,0）

②如圖，過點A作AQLAP,并在AQ上取點。使AQ=AP,過0點作軸,

答案第2頁，共23頁

解圖2-2

NQAH+ZPAO=90°,

ZAPO+NPAO=90。，

ZAPO=ZQAH,

A^AOP=..QHA(AAS)

：.HQ=AO=6,AH=OP=3,

點。坐標為(6,9),

???AAPQ是等腰直角三角形，

.??將直線AP繞點尸順時針旋轉(zhuǎn)45。得到直線AP,直線4尸與PQ重合,

設(shè)經(jīng)過P(3,0),Q(6,9)的直線AP解析式為〉=乙+》得

[3k+b^0

\6k+b=9'

即直線A尸為y=3x—9,

(3)由平移性質(zhì)可知：BB,IIAP,由(2)得直線A尸為y=3x-9,

設(shè)直線88,解析式為y=3x+m,

當尸8時，y=0,即3x24+加=0,解得：m=-24,

.?.直線班懈析式為y=3x-24,

由(2)得A(0,6)、Q(6,9),則直線A。解析式為：y=gx+6,

I.當A尸為直角邊，/fiNP=90°時，如圖3-1

答案第3頁，共23頁

聯(lián)立直線BB,和直線AQ得:

y=3x-24

1,

y=—x+o

2

x=n

解得:

y=12’

即方坐標(12,12),故點B(8,0)向右移動4個單位，向上移動12個單位得到點方,

二故點P(3,0)向右移動4個單位，向上移動12個單位得到點P(7,12),

即當AP為直角邊，/3'AP=90。時，點P，(7,12),

II.當AP為直角邊，/3'巳4=90。時，如圖3-2,

PB'HAQ,

設(shè)直線尸方解析式為：y=^x+n,

點坐標為(3,0),

答案第4頁，共23頁

0=—x3+n,

2

._3

??n=—

2

13

???直線尸9解析式為y=y-

聯(lián)立直線班，和直線得:

y=3x-24

即方坐標(9,3),故點B(8,0)向右移動1個單位，向上移動3個單位得到點方,

故點P(3,0)向右移動1個單位，向上移動3個單位得到點P(4,3),,

即當AP為直角邊，NB'R4=90。時，點P，(4,3).

4.解:(1)如圖，

根據(jù)平移的性質(zhì)可知：

AB//CD,AB=CD,

OMA.AB,

:.OMVCD,即M?UCD.

在MOB和NDOC中，

ZAOB=ZDOC

</ABO=ZDCO,

AB=DC

:.AAOB=ADOC(AAS),

OA=OD=3,OB=OC=4,

-0),0(0,—3).

答案第5頁，共23頁

（2）①過點C作軸于點尸，

AA3c的面積等于13,

即S.CE+SMBE=13,

.,.—xAExCF+—xAExOB=13,

22

?.-(3+6>E)x2+-(3+OE)x4=13,

22

4

解得?！?1，

4

所以點E的坐標為(0,--).

4

設(shè)直線理解析式為>="-三，

4

:Ak一一=0,

3

解得太=:,

14

所以直線BE的解析式為y=-x--,

當x=-2時，y=-2.

所以加的值為-2.

②由平移的性質(zhì)：。(-2,-2)向下平移3個單位，再向右平移4個單位得到。(2,-5).

故答案為：(2,-5).

5.(解：(1)：a、6滿足,+2+(4--1=0,

'.a+2=Q,4-6=0,

.,.a=-2,6=4,

AA(-2,0),B(0,4)；

(2)VA(-2,0),B(0,4),C(4,0),

答案第6頁，共23頁

=x

**,SABC^(4+2)x4=12,

'：A'B'//AB,

，點4到AB的距離與點C到AB的距離相等，

SABA=12；

(3)①如圖，連接AB,CB,作無軸于點。，作軸于點E,

'：AB//A'B',

：.SAA'BA=SAABC=OBxAC=1x4x(4+2)=12,

又S〃VR4=SzA5O+S^ABOD-S^AA'D,

：.12=4+1(A,D+4)x5-1(5+2)xA,￡),

：.A'D=2,

：.A'(5,2),

平移方式為向右平移7個單位，向上平移2個單位；

VC(4,0),B'(7,6),P(m,n),

.".SZBCF=1X3X6=9,

SABCF=SAPCF+SABPF=yX3X/1+；x6x(7-m),

:?gx3x〃+gx6x(7-m)=9,

2m-n=8.

答案第7頁，共23頁

6.解：(1)四邊形A8OE的形狀為平行四邊形，理由如下:

,/平移過程中4ABC%ADEF,

AB=DE,ZABC=ZDEB,

：.ABIIDE,

.??四邊形ABDE是平行四邊形；

(2)①四邊形AEDC的形狀是菱形.

理由如下：

如圖，連接AD交8E于點。，

圖3

平移過程中ZvWCqZ\DEF,

AAC^DF,ZACB=ZDFE,

：.AC!IDF,

：.四邊形AFDC是平行四邊形，

:四邊形是菱形，

AD±BE,

：.ADLCF,

.??四邊形AEDC是菱形；

②：四邊形AEDC是菱形，

.\AF=AC=1,

答案第8頁，共23頁

ZABC=30°,

:.BC=2,

AB=VfiC2-AC2=V3，

:四邊形ABDE是菱形，

:.AB=BD=DE=AE=6,

四邊形ABDE的周長為4月.

"：AB=CD,AB//CD,

四邊形ABC。是平行四邊形,

：.SAACD=SAACB=12,

(3+1)=12,

：.AC=6.

m).由(I)可知C(6,3),D(4,7),

答案第9頁，共23頁

由題意，W-3|.2=；X3X4,

解得m=9或-3,

：.P(0,9)或(0,-3).

20

8.((1)在心MB。中，AB=5,AD=—

3

由勾股定理得：如辦笈+心二十+學(xué)號

S^D=^BD.AE=^AB.AD,

20

AB.AD?Xy/

AAErr=--------=——=4.

BD25

T

在RtAABE中，AB=5,AE=4,

由勾股定理得：BE=3.

(2)設(shè)平移中的三角形為△ABF',如答圖2所示：

由對稱點性質(zhì)可知，Zl=Z2.

由平移性質(zhì)可知，AB//AB',Z4=Z1,BF=B'F'=3.

答圖2

①當點尸落在A3上時,

AB//AB,

.-.Z3=Z4,

.-.Z3=Z2,

:.BB=BF'=3,§Pm=3；

②當點F落在A。上時，

AB//KB,

.-.Z6=Z2,

Z1=N2,Z5=Z1,

答案第10頁，共23頁

Z5=Z6,

又易知AM_LAD,

???△8下。為等腰三角形，

:.BD=B'F'=3,

:.BB'=BD-B'D=—-3=—,即相=電.

3313

(3)存在.理由如下：

在旋轉(zhuǎn)過程中，等腰ADPQ依次有以下4種情形：

①如答圖3-1所示，點。落在8。延長線上，S.PD=DQ,易知N2=2NQ,

答圖3-1

Z1=Z3+ZQ,N1=N2,

?.N3=NQ,

;.A!Q=A!B=5,

.-.F'Q=F'A+A'Q=4+5=9.

在RfABFQ中,由勾股定理得：BQ=^F'^+F'B1=792+32=3A/10.

:.DQ=BQ-BD^3y/lO-；

②如答圖3-2所示，點Q落在8。上，且尸。=。。，易知N2=ZP,

r.N1=NP,

答案第11頁，共23頁

：.BA//PD,則此時點A，落在BC邊上.

.N3=N2,

BQ=AQ,

F,Q=F,A-AQ=4-BQ.

在RtABQF中，由勾股定理得：BF,2+F,Q2=BQ2,

即：32+(4—30)2=302,

25

解得：BQ=—,

O

2525125

DQ=BD-BQ=----------=——；

3824

③如答圖3—3所示，點。落在上，且尸。=。。，易知/3=/4.

答圖3-3

N2+N3+N4=180。，/3=/4,

Z4=90°--Z2.

2

Z1=Z2,

Z4=90°--Zl.

2

ZA'QB=Z4=90°-1Zl,

/.ZABQ=180°-ZAQB-Zl=90°-1zi,

:.ZAQB=ZABQf

:.A,Q=A,B=5,

F'Q=AQ-^=5-4=1.

在放△B尸。中，由勾股定理得：30二歷匹"'=疹了=版,

答案第12頁，共23頁

:.DQ=BD-BQ=^---J10；

④如答圖3-4所示，點。落在上，且PQ=BD,易知/2=13.

.Z1=N2,N3=/4,N2=N3,

.-.Z1=Z4,

:.BQ=BA'=5,

DQ=BD-BQ^-5^.

綜上所述，存在4組符合條件的點P、點Q,使AOPQ為等腰三角形;

%的長度分別為3亞-三或空或與-亞或二

32433

9.(1)解：'：m,"滿足(〃2+2>+Jw-6=0,

m+2=0,且〃-6=0,

/.m=—2,n—6,

：.A(-2,0),8(6,0),

(2)解：存在，理由如下:

設(shè)尸(羽0),

答案第13頁，共23頁

由(1)得：AB=8fOC=4f

??S平行四邊形ABDC=8x4=32

-PB=\x-6\,

S=—PBxOC=—|x—61x4=32,

APRcr22

解得：x=22或X=—10,

???點尸的坐標為(22,0)或(—10,0)；

(3)證明：由平移的性質(zhì)得：ABIICD,

JZDCB=NCBA,

?；ZBAE=ZDCB,

：.ZBAE=ZCBA,

：.AE//BC.

10.(1)如圖1中，作_L8C于6。石_LA4交84的延長線于E.

???8￡>平分NA8C,DE_LBE,DF_LBC,

:,DE=DF,ZBED=ZBFD=ZDFC=90°,

ZBAD+ZC=180°,/BAD+ZDAE=180°,

:.ZEAD=ZC,

：.ADEA^/\DFC(ASA),

：.DA=DC,

???四邊形ABC。是“等鄰邊四邊形”.

(2)由平移可知：A'B^/AB,且Ab=A5,

???四邊形B3A4是平行四邊形.

：.BB,=AA,

當A3=A4=2時，此時8夕=2；

答案第14頁，共23頁

當A'C'=AA'=AC=7AB2+BC2=2君時，BB'=26；

當A'C'=C'B=AC=NAB?+BC?=2百時，延長A，B交BC延長線于D.過C作CE，BC于E,

設(shè)BD=x

由于8c〃9C',ZABC=90°

ZA'DB=90°,AB'DB是直角三角形.

?，?四邊形夕OEC為矩形

：.CE=B'D,BC=ED,

又BB'是ZABC的角平分線，

ZB'BD=ZBB'D=45°,

：.B'D=BD=x.

：.C'E=CE=BD=x

BE=x+4

在Rt^BC'E中

C'E-+BE2=CB2

：.d+(x+4)2=(2后

解得x=-2土布，而3。>0,

?*.BD=y[6-2

：.BB'=①BD=2石-2A/2.

當AB=CB時

RtXABC沿NABC的平分線BB'方向平移得到RmA'B'C,

：.ZCB'B=1S0°-ZDB'B=135°,

在鈍角△中，

VC'B>C'B'=4,A8=2,

答案第15頁，共23頁

CB>C'B'>AB.即C'B不可能等于AB.

綜上所述：班'=2或2石或-20時，四邊形4BCC是“等鄰邊四邊形”.

故答案為2或2君或-20.

(3)在右邊取一點E,使ZACB=/DCE,線=2,連AE、DE、CE,

ACCzi

??BCADCE

.ACBCAB

ZABC=ZEDC

'~CE~~CD~~DE

：AB=BC

\CD=DE

：ZACB=ZDCE

??ZACE=ZDCB

*.AACEABCD

.ACAE

?二一訪’

：BD=nBC

\AE=nAC

：ZABC+ZADC=90°

??ZEDC^ZADC=90°

即“)石=90。

AD2^DE2=AE2

：.AD2+CD2=(nAC)2

AD2+CD2=n2AC2.

11.(1)如圖，△A//。為所作,

答案第16頁，共23頁

頂點4的坐標為（0,3）；頂點G的坐標為（4,0）；

故答案為：（0,3）；（4,0）；

(2)計算△AiBiCi的面積=4x4-g><2x4—《x2xl-x4x3

=5；

3

故答案為：5；（3）設(shè)尸點得坐標為（30）,??,以A/、。、尸為頂點的三角形得面積為三,

,Jx3x|/-4|=：,解得/=3或￡=5,即尸點坐標為（3,0）或（5,0）.故答案為：（3,0）

或（5,0）.

12.（1）有兩種方法:一是直接運用平移畫圖的方法畫圖，平移的方向是點5（3,4）到點夕（7,8）

的方向，平移距離為4夜個單位長度（即一個小方格對角線的4倍）；二是利用平移與坐標

的關(guān)系畫圖，平移后各頂點的橫、縱坐標都比其對應(yīng)頂點的橫、縱坐標增加4.如圖所示:

V2iZ,0<(Z<2>/2

S=<4,2A/2<</<3A/2

10-履,30<dW5&

S與1之間對應(yīng)關(guān)系的大致圖象如圖所示.

答案第17頁，共23頁

A(0,2),

長方形面積為8,A0=2

.*.AD=8^2=4

0(4,2)

(2)①A￥=l時，面積為圖2陰影部分，S=A4,xA0=1x2=2

AV=3時，面積如下圖，S=ABrxAO=2x2=4

AB'A'

AA，=5時，面積如下圖，S=BDxBC=lx2=2

答案第18頁，共23頁

X

A

②正方形剛進入長方形時，可參照圖2,陰影部分是ATOO,該部分面積=A4xA0=A4，x2=l

??—《

正方形快要走出長方形時，可參照下圖，陰影部分是BDEC,該部分面積=27X29=27）x2=1

X