2024年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)(理)試題及答案

2024年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（理）試題及答案

使用范圍：陜西、寧夏、青海、內(nèi)蒙古、四川

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目

要求的.

1.設(shè)z=5+i,則?+z）=（）

A10iB.2iC.10D.-2

【答案】A

【解析】

【分析】結(jié)合共輾復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算直接求解.

【詳解】由z=5+i=Z=5—i,z+三=10，則i傳+z）=10i.

故選：A

2.集合&={1,2,3,4,5,9},8=1%］底64}，則。（&八8）=（）

A.{1,4,9}B.{3,4,9}C.{1,2,3}D.{2,3,5}

【答案】D

【解析】

【分析】由集合8的定義求出8，結(jié)合交集與補(bǔ)集運(yùn)算即可求解.

【詳解】因?yàn)锳={1,2,3,4,5,9},8=4，所以B={1,4,9/6,25,81},

則4口6={1,4,9},64（AnB）={2,3,5）

故選：D

4x-3y-3>Q

3.若實(shí)數(shù)滿足約束條件<x—2y—2<0，貝U2=x—5y的最小值為（）

2x+6y-9<0

A.5B.；C.—2D.—

22

【答案】D

【解析】

【分析】畫(huà)出可行域后，利用z的幾何意義計(jì)算即可得.

4x-3y-3>0

【詳解】實(shí)數(shù)乂y滿足〃x-2y-2<0，作出可行域如圖：

2x+6y-9<0

什4x-3y-3=0

*

1AX-2J-2=0

由z=x-5y可彳導(dǎo)y=二1_12,

即z的幾何意義為y=：龍—：Z的截距的-1,

則該直線截距取最大值時(shí)，z有最小值，

此時(shí)直線y尤—gz過(guò)點(diǎn)A,

Ux-3y-3=0x=-/3八

聯(lián)立。Acc，解得2,即山彳,1,

[2x+6y-9=0卜=][2)

37

貝llZn11n=--5x1=--.

故選：D.

4.等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為s“，若S5=%,%=1,貝！J4=()

7

A.—2B.一C.1D.2

3

【答案】B

【解析】

【分析】由S5=$o結(jié)合等差中項(xiàng)的性質(zhì)可得%=0,即可計(jì)算出公差，即可得力的值.

【詳解】由S10-邑=4+%+。8+%+卬0=5。8=C)，則。8=。，

則等差數(shù)列｛4｝的公差d=M馬=一g,故％=%-Md4義㈢=:

故選：B.

5.已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為（0,4）,（0,-4），點(diǎn)（-6,4）在該雙曲線上，則該雙曲線的離心率為（）

A.4B.3C.2D.72

【答案】C

【解析】

【分析】由焦點(diǎn)坐標(biāo)可得焦距2c,結(jié)合雙曲線定義計(jì)算可得2a,即可得離心率.

【詳解】設(shè)耳（。，一4）、&（0,4）、P（—6,4）,

則I耳聞=2。=8,附卜利+（4+4）2=io,|*=,62+（4—4）2=6,

DeQ

則2a=歸胤一「用=10—6=4,則e=|j=：=2.

故選：C.

6.設(shè)函數(shù)〃x）=e'+2s：nx，則曲線y=/⑺在（0』）處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為（）

1+X

1112

A.-B.-C.-D.-

6323

【答案】A

【解析】

【分析】借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義計(jì)算可得其在點(diǎn)（0,1）處的切線方程，即可得其與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)，即可得其

面積.

(e*+2cosx)(l+x2)-(e*+2sinx).2x

【詳解】ra）=

(e°+2cos0)(l+0)-(e°+2sin0)x0

則/'(o)==3

即該切線方程為y-i=3x，即y=3x+1,

令x=0，則y=l，令，=o，則x=-；,

故該切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積S==xl義=7.

故選：A.

7.函數(shù)/(%)=—/+(］—/收1?在區(qū)間［—2.8,2.8］的大致圖像為()

【答案】B

【解析】

【分析】利用函數(shù)的奇偶性可排除A、C,代入％=1可得/(1)>0,可排除D.

［詳解］/(-^)=-^2+(e-x-ex)sin(-x)=-x2+(er-e-x)sin%=/(x),

又函數(shù)定義域?yàn)椋?2.8,2.8］,故該函數(shù)為偶函數(shù)，可排除A、C,

又/⑴=T+

故可排除D.

故選：B.

8.已知c°sa=6,則tan[+N=()

cos6z-sma<4)

A.2百+1B.273-1C.B

D.1-73

2

【答案】B

【解析】

COSCL

【分析】先將-------:一弦化切求得tana，再根據(jù)兩角和的正切公式即可求解.

cosa-sma

【詳解】因?yàn)椤?6,

cosa-sma

所以;~~---=V3,=>tanoc=1--,

1-tana3

所以tanja+小=；na+l=26一］,

I4J1-tana

故選：B.

9.已知向量a=(x+l,x),B=(x,2)，貝［］(

A."x=-3"是的必要條件B."尤=-3"是"allb"的必要條件

是的充分條件

C."x=0"是的充分條件D."X=-1+43"5//B"

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)向量垂直和平行的坐標(biāo)表示即可得到方程，解出即可.

【詳解】對(duì)A,當(dāng)時(shí)，則=B=o,

所以為?+1)+2%=0,解得x=0或-3,即必要性不成立，故A錯(cuò)誤；

對(duì)C,當(dāng)x=0時(shí)，?=(1,0),^=(0,2),故-3=0,

所以Z_LB,即充分性成立，故c正確；

對(duì)B,當(dāng)W//B時(shí)，則2(x+l)=r,解得％=1±6，即必要性不成立，故B錯(cuò)誤；

對(duì)D,當(dāng)x=—l+百時(shí)，不滿足2(x+1)=/，所以％/4不成立，即充分性不立，故D錯(cuò)誤.

故選：C.

10.設(shè)。、，是兩個(gè)平面，加、〃是兩條直線，且aPl々=7九下列四個(gè)命題：

①若根〃〃,則"http://。或"http://分②若m，則

③若〃//a,且n〃/3,則向/〃④若〃與&和夕所成的角相等，則加，“

其中所有真命題的編號(hào)是()

A.①③B.②④C.①②③D.①③④

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)線面平行的判定定理即可判斷①；舉反例即可判斷②④；根據(jù)線面平行的性質(zhì)即可判斷③.

【詳解】對(duì)①，當(dāng)"<=a,因?yàn)闄C(jī)〃",mu/3，則〃//尸,

當(dāng)nu/3,因?yàn)榧印ā?mua，則“//0,

當(dāng)“既不在a也不在夕內(nèi)，因?yàn)榧印ā?muajnu0,則〃//a且〃///?,故①正確；

對(duì)②，若相，“，則"與a,尸不一定垂直，故②錯(cuò)誤；

對(duì)③，過(guò)直線〃分別作兩平面與名尸分別相交于直線$和直線L

因?yàn)椤?/戊，過(guò)直線”的平面與平面a的交線為直線s，則根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理知”//s,

同理可得"/〃,則s/〃，因?yàn)閟<Z平面/，fu平面",貝[]s//平面/，

因?yàn)閟u平面a,?n/?=zn，貝,又因?yàn)椤?/s，則相〃”,故③正確；

對(duì)④，若&c尸=%%與a和夕所成的角相等,如果〃//a,"http:///?,則加〃"，故④錯(cuò)誤;

綜上只有①③正確，

故選：A.

兀9

11.在AABC中內(nèi)角A5c所對(duì)邊分別為a,4C,若B=z,b2=-ac,貝［|sinA+sinC=()

34

3

A.B.V2C.叵

22

【答案】C

【解析】

113

【分析】利用正弦定理得sinAsinC=7,再利用余弦定理有49+c9?=：說(shuō),再利用正弦定理得到

34

sin2A+sin2C的值，最后代入計(jì)算即可.

【詳解】因?yàn)?=，則由正弦定理得sinAsinCnxsin-Bu；；.

3493

9

由余弦定理可得:b2=a2+c2-ac=—ac,

4

131313

22

即:〃2+=一ac根據(jù)正弦定理得sinA+sinC=一sinAsinC=一，

4412

7

所以(sinA+sinC)2=sin2A+sin2C+2sinAsinC=—,

4

因?yàn)锳C為三角形內(nèi)角，則sinA+sinC>0，貝！JsinA+sinC=也.

2

故選：C.

12.已知。是a，。的等差中項(xiàng)，直線依+紗+。=。與圓爐+'2+4,—i=o交于A］兩點(diǎn)，貝的最

小值為()

A.2B.3C.4D.245

【答案】C

【解析】

【分析】結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)將c代換，求出直線恒過(guò)的定點(diǎn)，采用數(shù)形結(jié)合法即可求解.

【詳解】因?yàn)樾某稹３傻炔顢?shù)列，所以%=a+c,c=2b-a，代入直線方程依+乃+c=0得

/、/\\x-\-0\x=l

ax+by+2b-a=G艮"T+心+2)=0,令［5=0得］=-2

故直線恒過(guò)。，-2),設(shè)P0,-2),圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程得：C:￡+(y+2)2=5,

設(shè)圓心為C,畫(huà)出直線與圓的圖形，由圖可知，當(dāng)PCLAB時(shí)，|A@最小，

|PC|=1,|AC|=|F|=A/5,此時(shí)卜21Api=2y1AC2-PC2=275^1=4.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.匕+x）的展開(kāi)式中，各項(xiàng)系數(shù)的最大值是___

【答案】5

【解析】

【分析】先設(shè)展開(kāi)式中第一+1項(xiàng)系數(shù)最大，則根據(jù)通項(xiàng)公式有<,進(jìn)而求出「即

可求解.

【詳解】由題展開(kāi)式通項(xiàng)公式為j,0<r<10fireZ,

,

設(shè)展開(kāi)式中第廠+1項(xiàng)系數(shù)最大，則<

29

r>——

42933

，即力「已，又*，故T,

33

r<—

4

所以展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)是第9項(xiàng)，且該項(xiàng)系數(shù)為C：。5.

故答案為：5.

14.已知甲、乙兩個(gè)圓臺(tái)上、下底面的半徑均為4和馬，母線長(zhǎng)分別為2（&Ti）和3（2-彳），則兩個(gè)圓臺(tái)

的體積之比含=

乙

【答案】國(guó)

4

【解析】

【分析】先根據(jù)已知條件和圓臺(tái)結(jié)構(gòu)特征分別求出兩圓臺(tái)的高，再根據(jù)圓臺(tái)的體積公式直接代入計(jì)算即可

得解.

【詳解】由題可得兩個(gè)圓臺(tái)的高分別為慍=J[2（…）]2_（上02=若您—弓），

壇=也色-切了一6一式=20?一4），

也=#2+5+7^）為=冬=回-弓）=旦

彩；化+5+庖；）/務(wù)2母（…）4'

故答案為：叵

4

115

15.已知。＞1,--J=一不，則。=

log8alog”42

【答案】64

【解析】

【分析】將1暇a」og〃4利用換底公式轉(zhuǎn)化成log?a來(lái)表示即可求解.

113K5,、2

【詳解】由題^------；—-=--------loga=--，整理得（log2。）-51og?-6=0,

2v272

log8alogfl4log2a22

nlog2a=-1或log2a=6，又a>l,

所以log2a=6=log2，故a=26=64

故答案為：64.

16.有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3、4、5、6,從中不放回地隨機(jī)抽取3次，每次取1個(gè)球.記加

為前兩次取出的球上數(shù)字的平均值，"為取出的三個(gè)球上數(shù)字的平均值，則加與〃差的絕對(duì)值不超過(guò):的

概率是.

7

【答案】百

【解析】

【分析】根據(jù)排列可求基本事件的總數(shù)，設(shè)前兩個(gè)球的號(hào)碼為。力，第三個(gè)球的號(hào)碼為。，則

a+b-3<2c<a+b^,就c的不同取值分類討論后可求隨機(jī)事件的概率.

【詳解】從6個(gè)不同的球中不放回地抽取3次，共有A：=120種，

設(shè)前兩個(gè)球的號(hào)碼為。力,第三個(gè)球的號(hào)碼為。，則“+；+,

故12c-(a+Z?)|3,故—3<2c-(a+Z?)<3,

故a+b—3<2c<a+b+3,

若c=l,則a+人V5，則(。力)為:(2,3),(3,2),故有2種,

若c=2，則lKa+6K7,則為：(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(3,4),

(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(4,3),故有10種，

當(dāng)c=3,貝!］3<a+b<9,貝U(a,。)為：

(1,2),(1,4),(1,5),(1,6),(2,4),(2,5),(2,6),(4,5),

(2,1),(4,1),(5,1),(6,1),(4,2),(5,2),(6,2),(5,4),

故有16種，

當(dāng)c=4,貝［|5=。+二11,同理有16種，

當(dāng)c=5，則7<a+bK13,同理有10種，

當(dāng)c=6,貝［|9Ka+Z?<15,同理有2種，

共加與〃的差的絕對(duì)值不超過(guò)g時(shí)不同的抽取方法總數(shù)為2(2+10+16)=56,

故所求概率為需=(.

7

故答案為：-

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.第17題~第21題為必考題，每個(gè)

考題考生必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

(-)必考題：共60分.

17.某工廠進(jìn)行生產(chǎn)線智能化升級(jí)改造，升級(jí)改造后，從該工廠甲、乙兩個(gè)車(chē)間的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取150件

進(jìn)行檢驗(yàn)，數(shù)據(jù)如下：

優(yōu)級(jí)品合格品不合格品總計(jì)

甲車(chē)間2624050

乙車(chē)間70282100

總計(jì)96522150

(1)填寫(xiě)如下列聯(lián)表：

優(yōu)級(jí)品非優(yōu)級(jí)品

甲車(chē)間

乙車(chē)間

能否有95%的把握認(rèn)為甲、乙兩車(chē)間產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率存在差異？能否有99%的把握認(rèn)為甲，乙兩車(chē)間產(chǎn)品

的優(yōu)級(jí)品率存在差異？

(2)已知升級(jí)改造前該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率。=。5,設(shè)萬(wàn)為升級(jí)改造后抽取的〃件產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率.如果

p>p+1.65.P(1~P),則認(rèn)為該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率提高了，根據(jù)抽取的150件產(chǎn)品的數(shù)據(jù)，能否認(rèn)為

Vn

生產(chǎn)線智能化升級(jí)改造后，該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率提高了?(而5。12.247)

附：——幽血一

(Q+b)(c+d)(Q+c)(b+d)

P^K2>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

【答案】(1)答案見(jiàn)詳解

(2)答案見(jiàn)詳解

【解析】

【分析】(1)根據(jù)題中數(shù)據(jù)完善列聯(lián)表，計(jì)算K2,并與臨界值對(duì)比分析；

(2)用頻率估計(jì)概率可得萬(wàn)=0.64,根據(jù)題意計(jì)算p+].65J—P),結(jié)合題意分析判斷.

【小問(wèn)1詳解】

根據(jù)題意可得列聯(lián)表：

優(yōu)級(jí)品非優(yōu)級(jí)品

甲車(chē)間2624

乙車(chē)間7030

可得片J50(26X30-24X70)2=至=4.6875,

50x100x96x5416

因?yàn)?.841<4.6875<6.635,

所以有95%的把握認(rèn)為甲、乙兩車(chē)間產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率存在差異，沒(méi)有99%的把握認(rèn)為甲，乙兩車(chē)間產(chǎn)品的

優(yōu)級(jí)品率存在差異.

【小問(wèn)2詳解】

96

由題意可知：生產(chǎn)線智能化升級(jí)改造后，該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品的頻率為F=0?64,

用頻率估計(jì)概率可得方=0.64,

又因?yàn)樯?jí)改造前該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率。=0.5,

則p+1.65、同05=O.5+L65p5(l-"5J-o5+1.65x。行-0.568,

\nV15012.247

可知》＞p+L65卜”0,

Vn

所以可以認(rèn)為生產(chǎn)線智能化升級(jí)改造后，該工廠產(chǎn)品的優(yōu)級(jí)品率提高了.

18.記Sn為數(shù)歹U｛?！ǎ那皀項(xiàng)和，且4S.=3an+4.

(1)求｛?！ǎ耐?xiàng)公式；

(2)設(shè)〃=(-1)"”,求數(shù)列也｝的前n項(xiàng)和為T(mén)”.

【答案】(1)4=4-(-3尸

(2)〈=(2〃-1).3"+1

【解析】

【分析】(1)利用退位法可求｛4｝的通項(xiàng)公式.

(2)利用錯(cuò)位相減法可求7；.

【小問(wèn)1詳解】

當(dāng)〃=1時(shí)，4s]=4q=3q+4，解得q=4.

a3a

當(dāng)"之2時(shí)，4S-1=3?！耙?+4,所以4S,,—4S,T=4a“=3an-34T即?=~n-i.

而4=4w0，故囚產(chǎn)0,故'=-3,

an-\

二數(shù)列｛4｝是以4為首項(xiàng)，-3為公比的等比數(shù)列，

所以4=4.(—3)“T.

【小問(wèn)2詳解】

bn=(—I)”—.〃.4.(―3)”T=4n.3'i,

所以/=4+4+么+,??+)"=4-3°+8-31+12-32+.?<4n-3n-1

故37；=4-31+8-32+12-33+---+4n-3n

所以_2〈=4+4-3'+4-32+---+4-3,!-'-4?-3"

=4+23(3,-1)-4h3”

=(2—4〃>3"—2,

.'.7；,=(2n-l)-3"+1.

19.如圖，在以Z,8,C,。，巳尸為頂點(diǎn)的五面體中，四邊形Z8C。與四邊形ZOE廠均為等腰梯形,

BC//AD,EF//AD,AD=4,AB=BC=EF=2,ED=?,FB=2下,M為AD的中點(diǎn).

(1)證明：碗//平面CDE；

(2)求二面角F-BM-E的正弦值.

【答案】(1)證明見(jiàn)詳解；

(2)拉

13

【解析】

【分析】(1)結(jié)合已知易證四邊形為平行四邊形，可證員欣〃CD,進(jìn)而得證；

(2)作3(9,AD交AD于。,連接OF,易證03,8,0/三垂直，采用建系法結(jié)合二面角夾角余弦公

式即可求解.

【小問(wèn)1詳解】

因?yàn)锽C//AD,EF=2,AD=4,M為AD的中點(diǎn)，所以BC//MD,BC=MD,

四邊形BCDM平行四邊形，所以BM//CD,又因?yàn)锽M。平面CDE,

CDu平面CDE,所以3M〃平面CDE;

【小問(wèn)2詳解】

如圖所示，作30,AD交AD于。，連接。尸,

因?yàn)樗倪呅蜛BCD為等腰梯形，BC//AD,AD=4,AB=BC=2,所以C￡>=2,

結(jié)合（1）BCDM為平行四邊形，可得BM=8=2,又AM=2,

所以為等邊三角形，0為AM中點(diǎn)，所以05二百，

又因?yàn)樗倪呅蜛DEF為等腰梯形，M為AD中點(diǎn)，所以EF=MD,EF//MD,

四邊形跳加。為平行四邊形,FM=ED=AF,

所以LAFM為等腰三角形，AABM與底邊上中點(diǎn)。重合，OF_LAM,。尸=^AF2-AO2=3，

因?yàn)镺B2+OF?=BF2,所以O(shè)BLOF,所以O(shè)B,OD,OF互相垂直,

以O(shè)B方向?yàn)閄軸，。。方向?yàn)閥軸，OF方向?yàn)槎S，建立。一孫Z空間直角坐標(biāo)系，

F（0,0,3）,B（A0,0）,M（0,l,0）,E（0,2,3）,施=（一省,1,0）,麗=卜6,0,3）,

BE=（-73,2,3），設(shè)平面加亂的法向量為仇=&,如4）,

平面EMB的法向量為n=（x2,y2,z2）,

m-BM=0￡玉+》10，令％=Q,彳導(dǎo)％=3,4=],即玩=（也,3,1）

則一,即

m-BF=0_13X[+3zj-0

n-BM=0—yj3xo+y9—0i—

則一,即「，令x?=A/3，得%=3,Z2=—1z

n-BE=0—，3%2+2y2+3z2—0

一一m-n11_H/3

,cosm,n=同?一一同一標(biāo)后一百,貝人也泣點(diǎn)=4記A

故二面角F-BM-E的正弦值為上叵.

13

22/o

20.設(shè)橢圓。：++方=1(。>/,>0)的右焦點(diǎn)為/，點(diǎn)在C上，且“F_Lx軸.

(1)求。的方程；

(2)過(guò)點(diǎn)P(4,0)的直線與。交于A3兩點(diǎn)，N為線段FP的中點(diǎn)，直線NB交直線破于點(diǎn)。，證明：

軸.

22

【答案】(1吟+上1

(2)證明見(jiàn)解析

【解析】

【分析】(1)設(shè)*c,0),根據(jù)M的坐標(biāo)及MF，x軸可求基本量，故可求橢圓方程.

(2)設(shè)出ya乂4,A(x2J,3(9，%)，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，用A3的坐標(biāo)表示M一%，

結(jié)合韋達(dá)定理化簡(jiǎn)前者可得％-%=。，故可證AQ±y軸.

【小問(wèn)1詳解】

設(shè)E(c,0),由題設(shè)有。=1且工=3,故土二=3,故”=2,故，

a2a2

22

故橢圓方程為上+匕=1.

43

【小問(wèn)2詳解】

直線AB的斜率必定存在，設(shè)AB：y=A(x—4),A(X],yJ,B(x2,y2),

由+4v-I?可彳導(dǎo)（3+4左2）%2一32k2%+64左2-12=。，

故A=1024左，―4（3+4左2）（64左2—12）>0，故—；（上<g,

d32k264^-12

乂%+%=------二-------------丁

123+4左2123+4左2

XX

所以…="以y1（22-5）+3為

2X2-5

左（花一4）X（2%2—5）+3左（冗2-4）

—

2%25

64左2_1232k2

2

lxxx2-5（%1+x2）+8J3+4左之53+4^

k--------------------二K---------------------------------------------

2%2—52%2一5

128左2-24-160左2+24+32k2

3+442

=k=0'

2%,—5

故%=%,即軸.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問(wèn)題的基本步驟如下：

（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（%1，%），（%，%）；

（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于X（或y）的一元二次方程，注意A的判斷；

（3）列出韋達(dá)定理；

（4）將所求問(wèn)題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為為+%、%逮2（或M+%、%%）的形式；

（5）代入韋達(dá)定理求解.

21.已知函數(shù)/(%)=。-女)皿1+無(wú))一%.

(1)當(dāng)"-2時(shí)，求/(%)的極值；

(2)當(dāng)xNO時(shí),〃x)2O恒成立,求。的取值范圍.

【答案】(1)極小值0,無(wú)極大值.

(2)?<--

2

【解析】

【分析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性和零點(diǎn)可求函數(shù)的極值.

(2)求出函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，就-；<a<0、a?0分類討論后可得參數(shù)的取值范圍.

小問(wèn)1詳解】

當(dāng)。=一2時(shí)，/(x)=(l+2x)ln(l+x)—x,

1+2r1

故(⑴=21n(l+x)+-------1=21n(l+x)-------+1,

1+x1+x

因?yàn)閥=2ln(l+x),y=—J—+1在(-1,+力)上為增函數(shù)，

故/‘(X)在(T+⑹上為增函數(shù)，而((0)=0,

故當(dāng)—1<尤<。時(shí)，r(x)<o，當(dāng)尤>o時(shí)，r(x)>o,

故/(X)在X=0處取極小值且極小值為/(0)=0,無(wú)極大值.

【小問(wèn)2詳解】

(x)=-aln(l+x)+；飆一1=-aIn(1+x)一(；+"芯,%>0,

設(shè)s(x)=-aIn(1+x)—(°+1)%,x>0,

1+X

,zx_-a(a+1)_a(x+l)+?+l_ax+2a+l

則‘"J-x+1(l+x/―(1+x)2—(1+x)2(

當(dāng)a<—3時(shí)，/(x)>0,故s(x)在(0,+力)上增函數(shù)，

故s(x)>s(O)=O,即r(%)>0,

所以/(X)在［o,+句上為增函數(shù)，故“X)”⑼=0.

-1rs.-i

當(dāng)一一<a<0時(shí)，當(dāng)0<x<一一--時(shí)，s'(x)<0,

2a

故s(x)在10,-號(hào)止)上為減函數(shù)，故在［。，-受")上s(“)<s(°)，

即在10,-受生)上/''(x)<0即/'(x)為減函數(shù)，

故在受生)上了(％)</(。)=。,不合題意，舍.

當(dāng)心0,此時(shí)s'(x)<0在(0,+動(dòng)上恒成立,

同理可得在(0,+動(dòng)±/(%)</(o)=。恒成立，不合題意，舍;

綜上,a<――.

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：導(dǎo)數(shù)背景下不等式恒成立問(wèn)題，往往需要利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，有時(shí)還需要對(duì)導(dǎo)

數(shù)進(jìn)一步利用導(dǎo)數(shù)研究其符號(hào)特征，處理此類問(wèn)題時(shí)注意利用范圍端點(diǎn)的性質(zhì)來(lái)確定如何分類.

(二)選考題：共10分，請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答，并用2B鉛筆將所選題號(hào)涂黑，多涂、

錯(cuò)涂、漏涂均不給分，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.

［選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程］

22.在平面直角坐標(biāo)系xOv中，以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線。的極坐

標(biāo)方程為。=pc