2024年全國中學(xué)生數(shù)學(xué)奧林匹克競賽廣西賽區(qū)選拔賽試題含答案

2024年全國中學(xué)生數(shù)學(xué)奧林匹克競賽

廣西賽區(qū)選拔賽試題

(考試時間：2024年5月19日9：00-11：30)

一、填空題(本大題共8小題，每小題10分，共80分).

1.設(shè)函數(shù)/(x)=|log2x|.若且/(a)=/(b),則a+2024b的取值范圍是一4一.

2.已知橢圓4+力=1(a＞b＞0)的焦點為耳，F(xiàn)2,M為橢圓上一點，4M居=J,

ab3

OM=-b.則橢圓的離心率為

3

3.若正實數(shù)x,y滿足x-26=12x—y，則x的最大值為一A_.

4.方程3、=X3,的正整數(shù)解為

5.設(shè)再，X2，七，七均是正整數(shù)，且任/產(chǎn)t|1＜，＜，＜左44}={18,36,54}.則玉+工2+

x3+x4=▲.

6.正三棱錐尸一48C中，4P=3,48=4.設(shè)。是直線BC上一點，面4PD與直線

的夾角為45。，則線段的長度是▲.

7.已知四次多項式/一25/+姓2+6卜_2024的四個根中有兩個根的乘積是一253,則實

數(shù)4=▲.

8.設(shè)數(shù)列{x.}滿足國=2001,xn+l=xn+yn,其中匕等于x“的個位數(shù)，則XQ=▲.

二、解答題(本大題共4小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步?)

9.（本小題滿分15分）如圖所示，AD=CD,DP=EP,$=CE,DP<AD<BE,

ZADC=NDPE=ABEC=90°.

證明：尸為線段ZB的中點.

第1頁

10.（本小題滿分15分）設(shè)力為數(shù)集｛1,2,3,…，2024｝的〃元子集，且4中的任意兩個數(shù)

既不互素又不存在整除關(guān)系.求〃的最大值.

11.（本小題滿分20分）用[x]表示不超過x的最大整數(shù).設(shè)數(shù)列｛%｝滿足：再=1,

Xm=4》“+[ML」.求、如24的個位數(shù)?

12.（本小題滿分20分）圖G是指一個有序二元組（匕E）,其中夕稱為頂點集，E稱為邊

集.一個圖G中的兩點X,y的距離是指從X到y(tǒng)的最短路徑的邊數(shù)，記作d（x,y）.一個圖G的

直徑是指G中任意兩點的距離的最大值，記作diam（G）,即diam（G）=max｛d（x,y）\x,yeG].

記…,M-1]｝是?！ǖ氖Ｓ囝悾xZ”上的加法和乘法，均是模〃的加法

和乘法，例如在…，[11]｝中：[3]+[4]=[7],[6]+[9]=[3]；[3>[4]=[0],

[6][9]=[6].

在Z”中，設(shè)若存在3*[0]使得國?[刃=[0],則稱口]是Z”的一個零因子.記

Z.的所有零因子的集合為。（Z）例如。（42）=｛[2],[3],[4],[6],[8],[9],[10]｝.Z“的零因子圖,

記為r（z,），它是以z）（z“）為頂點集，兩個不同的頂點[幻，[刃之間有一條邊相連當(dāng)且僅當(dāng)

M；LF]=[0].下圖是r（z12）的例子.

證明：對一切的整數(shù)〃N2,都有dhm（r（Z.））43.

第2貝

2024年全國中學(xué)生數(shù)學(xué)奧林匹克競賽

廣西賽區(qū)選拔賽試題參考答案

(考試時間：2024年5月1909：00-11：30)

一、填空題(本大題共8小題，每小題10分，共80分).

1.設(shè)函數(shù)/(x)=|log2x|.若a<6且/(a)=/(b),貝U。+20246的取值范圍是上一.

答案；(2025,+8).

2024

解答：由/(a)=/(b),a<b得0<a<l<b且ab=l,從而a+2024b=an-----,

a

a6(0,1).令g?=〃+絲2024二0<?<l.則g(〃)單調(diào)遞減，g(〃)無最大值且g⑴=2025.因

u

此，g(a)e(2025,+oo),即a+2024b的取值范圍是(2025,+8).

20

2.已知橢圓[+與=1(。>6>0)的焦點為片，F(xiàn),,〃為橢圓上一點，NFiMF,=%,

a-Zr-3

OM=-b-則橢圓的離心率為_A_.

3

答案：坐.

2

解答：令a=MF[,[3=MF2,y=OM=^^~b,則a+P=2a,OF}=OF2=c.

122

在AOg和AO崢中，由余弦定理可得02=72+02-2%(^/欣明，(5=r+c-

2%cosNM。居.故

a2+p2=2/2+2c2.(1)

在△/鳴鳥中，由余弦定理可得

(2c)2=a2+(i1-2ay?cosy=a2+fi2-ap.(2)

由a+P=2a可得

=a2+p2+2ap.(3)

第1頁

由(2)(3)可得的=料2一。2)=耕，從而Y+/=4c?+#.代入(1)可得

4?+-62=—Z>2+2?,b=c.因此，e=J-^-^=—.

33U2+c22

3.若正實數(shù)x,y滿足x—2方=，2x—y，則x的最大值為▲.

答案：10.

解答：設(shè)a=J2x-y,b=后.則。2+加=2X，x=a+2b.

(。一1)2+(6-2)2=5,故(2刈皿、=22+42=20.從而x的最大值為10.

4.方程3、=/的正整數(shù)解為▲.

答案：39.

解答：XH1,2.

11—Inx-

令g(x)=—1nx，xN3.則由g'(x)=———<?？芍猤(x)單調(diào)遞減，從而/(x)=x"

XX5

Ln*

(=e*)單調(diào)遞減.

j_j_j_j_

由3、=/可得x；=3K=(33)7=(39)7,/(X)=/(39).因此，所求的正整數(shù)解為x=3\

5.設(shè)X”與，X3,匕均是正整數(shù),且{X/X/X*|l<i</<%"}={18,36,54}.則再+與+

三+'=—.

答案：14.

解答：不妨設(shè)X14電4為4與，則18=用電當(dāng)＜xix2xi＜用七演《X2X3X4=54.

由玉々玉?玉?X]X3X4=(』々*3々)3及18.36-54=24?37可知玉X2X4WI8,

再看匕。54,于是玉電匕=再％3匕=36,從而々=當(dāng)，x}x;=18.因此，1＜X1＜為＜4，故

5454/

X[+/+*3+X1=14.

再=2,x2=3,x3=x2=3"短=5=6.因此,

6.正三棱錐P-4BC中，AP=3,AB=4.設(shè)。是直線上一點，面力PO與直線8c

的夾角為45。，則線段為。的長度是▲.

答案:黑

第2頁

解答：設(shè)A/為8C的中點，點N在直線以上且MN為以，BC的公垂線段.由/P=3,

力3=4可得力加=2后，PM=45-于是PN=g,AN=三,M?V=|jiT.DN為邊BC

n__

在面力PD上的射影，從而由NMDN=45°,MNA.BC可得DM=MN=二后.因此，PD=

3

!44789

^IPM2+DM2=5+—=----

93

7.已知四次多項式r―25/+af+6ix-2024的四個根中有兩個根的乘積是-253,則實

數(shù)4=▲.

答案I-221.

解答：設(shè)四個根分別是M，為，看，匕，不妨設(shè)再為=-253.由韋達定理可得

X|+七+看+%=25,(1)

X|X,+x/3+玉/+x2x3+x’x4+x3x4=a,⑵

'七七+K/2X4+再看汽+X2X3X4=-6L⑶

不々/巧=-2024.(4)

由(4)有x3x4=—"2,.=8.

-253

于是由（3）式得8（%+片）-253（當(dāng)+為）=一61.（5）

由（1）（5）可得再+為=24,玉+玉=1.于是，。=再又2+占/+（±+玉）。3+為）=-253+

8+24=-221.

8.設(shè)數(shù)列區(qū)｝滿足jf,=2001,xn+l=x?+yn,其中y”等于x?的個位數(shù)，則/3=▲.

答案：12108.

解答：=2002,y2=2,x3=2004,必=4,=2008,_y4=8,xs=2016,丁5=6,

人=2022，y6=2.一般地：y^4=yn(M>2).

%+歹"+I+加2+加3=20(〃N2).于是，xn+A=x?+20,進一步有再田=x”+20Z,

n>2.因此，JC2024=JC4+20x505=2008+10100=12108.

第3頁

二、解答題（本大題共4小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）

9.(本小題滿分15分)如圖所示，AD=CD,DP=EP,BE=CE,DP<AD<BE,

AADC=NDPE=NBEC=90°.

證明：P為線段的中點.

證明：如圖所示，延長OP至點戶，使得PF=PD,

聯(lián)結(jié)FB、AP、BP.

(1)DE=EF,CE=BE,NCED=/BEF,?取ACEDweBEF.因此，CD=BF,

NCDE=NBFE.

（2）若CD〃PE,則力、D、P和B、F、P分別三點共線.又D、P、/三點共線，故

A.P、B三點共線.由4O=CO=B尸和Z）P=PF得/P=/0+QP=8R+PR=BP.因

此，P為線段的中點.

(3)若CD與PE不平行.AD=CD=BF,DP=FP,ZADP=ZADC+NCDE—

NEDP=90°+NCDE-45°=ZCDE+45°=NBFE+APFE=NBFP,.故XADP/△BFP.

因此，AP=BP,NAPD=NBPF.

由于點4、8在直線OF的兩側(cè)，而。、P、F三點共線，ZAPD=NBPF,故4、P、8

三點共線，即點P在線段上.因為"=8P,所以P為線段48的中點.

10.（本小題滿分15分）設(shè)力為數(shù)集｛1,2,3,…，2024｝的〃元子集，且/中的任意兩個數(shù)

既不互索又不存在整除關(guān)系.求〃的最大值.

解：由力中的任意兩個數(shù)不互索可知存在素數(shù)P,力中的每個數(shù)均被P整除，故在數(shù)集

｛1,2,3,…,2024｝的〃元子集中使得任意兩個數(shù)不互素的最大的子集是偶數(shù)子集.

｛2,4,…,2024｝共有1012個元素，而其中有的元素滿足整除關(guān)系，注意到1012的2倍是2024.于

是，集合/=｛1014」016,…,2024｝中，任意兩個數(shù)既不互索又不存在整除關(guān)系，此時/中有506

個元素.若從｛2川1444506｝中任取一數(shù)，則它與/中的某個數(shù)存在整除關(guān)系.因此，506是〃

的最大值.

11.（本小題滿分20分）用口]表示不超過X的最大整數(shù).設(shè)數(shù)列｛4｝滿足：再=1,

Xz=4x”+[ViTrrt].求^2034的個位數(shù).

第4頁

解：由JiT是無理數(shù)和x“sz可得[JTTx“]<JiTx“<[JiT%]+1.

則4x〃+[ViTxn]<4x?+ViTxrt<4x”+[ViTx“]+1,xrt+1<4x”+ViTx?<xn+i+1,

(4-0T)x向<5%<(4-拒)(加+1).

故0<而角一(43-5/)<4—五<1,[疝如—(4%—5x.)]=0.

因此，4%|-5乙=[而乙+|],從而〃2=4%|+[5/1?%+1]=8'“+|-5匕.

9X

于是n^2三x“(mod2),^?+2=3^,(mod5).

由數(shù)學(xué)歸納法及Xi=l,/=7可得X”三l(mod2)(〃Nl)：x"三2x3"-2(mod5)(〃N2).故

022

x2024=l(mod2)；、2必三2X32=2x3z三3(mod5).因此，所求不。?’的個位數(shù)為3.

12.(本小題滿分20分)圖G是指一個有序二元組(匕E),其中P稱為頂點集，E稱為邊

集.一個圖G中的兩點x,丁的距離是指從x到V的最短路徑的邊數(shù)，記作d(xj).一個圖G的

直徑是指G中任意兩點的距離的最大值，記作dhm(G),即diam(G)=max{d(x,y)|x/eG}.

記Z“={[0],[l],⑵，…,是?！ǖ氖Ｓ囝?，定義Z”上的加法和乘法，均是?！ǖ募臃?/p>

和乘法,例如在幾={⑼,臼,[2],...,[11]}中：網(wǎng)+[4]=[刀，同+[9]=處網(wǎng)平卜⑼,

[6]-[9]=[6].

在Z”中，設(shè)國w[0].若存在[用。⑼使得印?[用=[0],則稱[x]是Z”的一個零因子.記

4的所有零因子的集合為。(Z“)