人教版九年級數(shù)學(xué)上冊《實際問題與二次函數(shù)（第1課時）》示范教學(xué)設(shè)計

實際問題與二次函數(shù)（第1課時）教學(xué)目標(biāo)1．通過探究學(xué)習(xí)，讓學(xué)生能夠獨立分析并表示出實際問題中變量之間的二次函數(shù)關(guān)系，正確建立坐標(biāo)系，并學(xué)會運用二次函數(shù)的圖象、性質(zhì)解決實際問題．2．通過探索建立直角坐標(biāo)系解決實際問題的過程，讓學(xué)生體會運用函數(shù)觀點解決實際問題的方法，體驗通過建立函數(shù)模型來解決實際問題的轉(zhuǎn)化思想．教學(xué)重點建立直角坐標(biāo)系，利用二次函數(shù)的圖象、性質(zhì)解決實際問題．教學(xué)難點恰當(dāng)建立直角坐標(biāo)系來解決實際問題．教學(xué)過程知識回顧一般地，二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c可以通過配方法化成y＝a(x－h(huán))2＋k的形式，即．因此，拋物線y＝ax2＋bx＋c的對稱軸是，頂點是．【設(shè)計意圖】通過復(fù)習(xí)已經(jīng)學(xué)過的二次函數(shù)知識，為新課“實際問題與二次函數(shù)”作鋪墊．新知探究一、探究學(xué)習(xí)【問題】從地面豎直向上拋出一小球，小球的高度h（單位：m）與小球的運動時間t（單位：s）之間的關(guān)系式是h＝30t－5t2(0≤t≤6)．小球運動的時間是多少時，小球最高？小球運動中的最大高度是多少？【師生活動】教師提出問題，學(xué)生分小組交流討論．教師提示：可以先利用所學(xué)的知識畫出函數(shù)h＝30t－5t2(0≤t≤6)的圖象．學(xué)生根據(jù)提示，畫出圖象并思考問題．教師提問：觀察所畫圖象，你能發(fā)現(xiàn)什么？學(xué)生思考并回答：這個函數(shù)的圖象是一條拋物線的一部分．這條拋物線的頂點是這個函數(shù)的圖象的最高點，當(dāng)t取頂點的橫坐標(biāo)時，這個函數(shù)有最大值．h＝30t－5t2(0≤t≤6)，，．小球運動的時間是3s時，小球最高．小球運動中的最大高度是45m．【設(shè)計意圖】通過提問為學(xué)生提供解決此類問題的思路，讓學(xué)生在問題解決的過程中體會二次函數(shù)與實際問題的聯(lián)系，用二次函數(shù)的最大值等知識刻畫實際問題中的最大高度．【思考】對于二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c，如何求出它的最?。ù螅┲的?？【新知】一般地，當(dāng)a＞0(a＜0)時，拋物線y＝ax2＋bx＋c的頂點是最低（高）點，也就是說，當(dāng)時，二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c有最?。ù螅┲担驹O(shè)計意圖】在實際問題的基礎(chǔ)上，引出直接根據(jù)函數(shù)解析式求二次函數(shù)的最大值或最小值的結(jié)論，體會由特殊到一般的思想方法．【探究】圖中是拋物線形拱橋，當(dāng)拱頂離水面2m時，水面寬4m．水面下降1m，水面寬度增加多少？【師生活動】教師提出問題，學(xué)生分小組交流討論．教師提示：二次函數(shù)的圖象是拋物線，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，就可以求出這條拋物線表示的二次函數(shù)．教師提問：都可以怎樣建立直角坐標(biāo)系解決問題？學(xué)生分小組討論，并派代表發(fā)言，教師總結(jié)．教師提問：根據(jù)建立的直角坐標(biāo)系，求出拋物線所對應(yīng)的二次函數(shù)的解析式，解決問題．學(xué)生獨立思考并作答．解：方法1：以拋物線和水面的兩個交點的連線為x軸，以左邊的交點為原點，建立直角坐標(biāo)系．設(shè)這條拋物線表示的二次函數(shù)為y＝a(x－2)2＋2．由拋物線經(jīng)過點A(4，0)，可得0＝a×22＋2，a＝．這條拋物線表示的二次函數(shù)為．當(dāng)水面下降1m時，水面上C，D的縱坐標(biāo)為?1．由，，可得C(2＋，－1)，D(2－，－1)．所以．所以水面下降1m，水面寬度增加m．方法2：以拋物線的頂點為原點，以拋物線的對稱軸為y軸建立直角坐標(biāo)系（如圖）．設(shè)這條拋物線表示的二次函數(shù)為y＝ax2．由拋物線經(jīng)過點A(2，－2)，可得－2＝a×22，a＝．這條拋物線表示的二次函數(shù)為．當(dāng)水面下降1m時，水面上C，D的縱坐標(biāo)為－3．由，得，所以C(，－3)，D(－，－3)．此時水面的寬度CD為m．所以水面下降1m，水面寬度增加m．方法3：以拋物線和水面的兩個交點的連線為x軸，以拋物線的對稱軸為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系（如圖）．設(shè)這條拋物線表示的二次函數(shù)為y＝ax2＋k．由拋物線經(jīng)過點A(2，0)，P(0，2)，可得a＝，k＝2．這條拋物線表示的二次函數(shù)為．當(dāng)水面下降1m時，水面上C，D的縱坐標(biāo)為?1．由，得，所以C(，－1)，D(－，－1)．此時水面的寬度CD為m．所以水面下降1m，水面寬度增加m．教師提問：對比三種解法，哪種解法更簡便？學(xué)生結(jié)合解題過程思考，并回答，教師總結(jié)歸納．【歸納】“拱橋類”問題建立坐標(biāo)系的“竅門”：（1）根據(jù)拋物線的對稱性建立以對稱軸為y軸的坐標(biāo)系；（2）若頂點在原點上，一般設(shè)y＝ax2；若頂點不在原點上，一般設(shè)y＝ax2＋k．解決“拱橋類”問題的一般步驟：（1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并將已知條件轉(zhuǎn)化為點的坐標(biāo)；（2）合理設(shè)出所求函數(shù)的表達式，并代入已知條件或點的坐標(biāo)，求出關(guān)系式；（3）利用關(guān)系式求解實際問題．【設(shè)計意圖】從實際情景中讓學(xué)生學(xué)會建立直角坐標(biāo)系，分析兩個變量之間的二次函數(shù)關(guān)系，并用所求出的二次函數(shù)的圖象、性質(zhì)解決實際問題．通過探索建立直角坐標(biāo)系解決實際問題的過程，讓學(xué)生體會運用函數(shù)觀點解決實際問題的方法，體驗通過建立函數(shù)模型來解決實際問題的轉(zhuǎn)化思想．二、典例精講【例題】某工廠大門是一拋物線形水泥建筑物（如圖），大門地面寬AB＝4m，頂部C離地面高度為4m．現(xiàn)有一輛滿載貨物的汽車欲通過大門，貨物頂部距地面2.5m，裝貨寬度為2m．請判斷這輛汽車能否順利通過大門．【師生活動】教師提出問題，學(xué)生分小組交流討論，并派代表發(fā)言，教師板書．【答案】解：以點C為原點，以拋物線的對稱軸為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系（如圖）．設(shè)這條拋物線所表示的二次函數(shù)的解析式為y＝ax2．由圖象知，拋物線過點(2，－4)，∴－4＝a×22，a＝－1．∴y＝－x2．裝貨寬度為2m，在圖象上為EF，即點F的橫坐標(biāo)為1．當(dāng)x＝1時，y＝－1，即CG＝1m．∵大門的頂部C離地面高度為4m，∴CH＝4m．∴GH＝4－1＝3（m）．∵3m＞2.5m，∴這輛汽車能順利通過大門．【設(shè)計意圖】通過例題練習(xí)與講解，加深學(xué)生對所學(xué)