2024年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第24講 特殊四邊形-菱形（講義）（原卷版）

第24講特殊四邊形-菱形目錄TOC\o"1-3"\n\h\z\u一、考情分析二、知識建構(gòu)考點一菱形的性質(zhì)與判定題型01利用菱形的性質(zhì)求角度題型02利用菱形的性質(zhì)求線段長題型03利用菱形的性質(zhì)求周長題型04利用矩形的性質(zhì)求面積題型05利用矩形的性質(zhì)求坐標(biāo)題型06利用矩形的性質(zhì)證明題型07添加一個條件證明四邊形是菱形題型08證明四邊形是菱形題型09根據(jù)菱形的性質(zhì)與判定求角度題型10根據(jù)菱形的性質(zhì)與判定求線段長題型11根據(jù)菱形的性質(zhì)與判定求面積題型12根據(jù)菱形的性質(zhì)與判定解決多結(jié)論問題題型13與菱形有關(guān)的新定義問題題型14與菱形有關(guān)的規(guī)律探究問題題型15與菱形有關(guān)的動點問題題型16菱形與一次函數(shù)綜合題型17菱形與反比例函數(shù)綜合題型18菱形與一次函數(shù)、反比例函數(shù)綜合題型19菱形與二次函數(shù)綜合考點要求新課標(biāo)要求命題預(yù)測菱形的性質(zhì)與判定探索并證明菱形的性質(zhì)定理.探索并證明菱形的判定定理.菱形是特殊平行四邊形中比較重要的圖形，也是幾何圖形中難度比較大的幾個圖形之一，年年都會考查，預(yù)計2024年各地中考還將出現(xiàn).菱形的考察類型比較多樣，其中選擇、填空題常考察菱形的基本性質(zhì)，解答題中考查菱形的性質(zhì)和判定，一般和三角形全等、解直角三角形、二次函數(shù)、動態(tài)問題綜合應(yīng)用的可能性比較大．考點一菱形的性質(zhì)與判定菱形的定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.菱形的性質(zhì)：1）具有平行四邊形的所有性質(zhì)；2）四條邊都相等；3）兩條對角線互相垂直，且每條對角線平分一組對角.4）菱形既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形，菱形的對稱中心是菱形對角線的交點，菱形的對稱軸是菱形對角線所在的直線，菱形的對稱軸過菱形的對稱中心.菱形的判定：1）A對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.A2）一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.3）四條邊相等的四邊形是菱形.【解題思路】判定一個四邊形是菱形時，可先說明它是平行四邊形，再說明它的一組鄰邊相等或它的對角線互相垂直，也可直接說明它的四條邊都相等或它的對角線互相垂直平分．菱形的面積公式：S=ah=對角線乘積的一半（其中a為邊長，h為高）.菱形的周長公式：周長l=4a（其中a為邊長）.1.對于菱形的定義要注意兩點:a.是平行四邊形;b.一組鄰邊相等.1.對于菱形的定義要注意兩點:a.是平行四邊形;b.一組鄰邊相等.2.定義說有一組鄰邊相等的平行四邊形才是菱形,不要錯誤地理解為有一組鄰邊相等的四邊形是菱形.3.菱形的面積S=對角線乘積的一半，適用于對角線互相垂直的任意四邊形的面積的計算.4.在求菱形面積時,要根據(jù)圖形特點及已知條體靈活選擇面積公式來解決問題，5.在利用對角線長求菱形的面積時,要特別注意不要漏掉計算公式中的12題型01利用菱形的性質(zhì)求角度【例1】（2022·河北石家莊·?？寄M預(yù)測）如圖，菱形ABCD中，∠1=15°，則∠D=（

）A．115° B．150° C．125° D．130°【變式1-1】（2023·陜西西安·一模）如圖，將菱形紙片沿著線段AB剪成兩個全等的圖形，則∠1的度數(shù)是（

）A．40° B．60° C．80° D．100°【變式1-2】（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考二模）如圖，菱形ABCD中，以點A為圓心，以AB長為半徑畫弧，分別交BC,CD于點E，F(xiàn)．若∠EAF=60°，則∠D的度數(shù)為．

【變式1-3】（2020·吉林長春·統(tǒng)考二模）如圖，菱形ABCD中，AC交BD于O，DE⊥BC于E，連接OE，若∠ABC=124°，則∠OED=度．【變式1-4】（2023·湖南永州·統(tǒng)考一模）如圖，菱形ABCD中，∠CBD=75，分別以A、B為圓心，大于AB的一半長為半徑畫弧，兩弧在AB的兩側(cè)分別交于點P、Q，作直線PQ交AB于點E，交AD于點F，連接BF，求∠DBF的度數(shù)．題型02利用菱形的性質(zhì)求線段長【例2】（2022·安徽·合肥38中校考模擬預(yù)測）如圖在菱形ABCD中，AD=12，對角線AC和BD交于點O，點E，F(xiàn)分別是OD和OC的中點，AE與BF交于點G，則EF的長為．

【變式2-1】（2023·浙江·模擬預(yù)測）已知菱形的一個內(nèi)角為60°，一條對角線的長為43，則另一條對角線的長為【變式2-2】（2022·湖南長沙·?？级＃┤鐖D，四邊形ABCD是邊長為5的菱形，對角線AC，BD的長度分別是一元二次方程x2?2m+1x+8m=0的兩實數(shù)根，DH是AB

【變式2-3】（2022·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市蕭紅中學(xué)校考模擬預(yù)測）如圖，在菱形ABCD中，AC、BD交于點O，點E在線段OD上，連接CE，若BE=CD=2DE，AC=27，則CE的長為

【變式2-4】（2023·山西呂梁·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC=2，BD=1，AC，BD相交于點O，過點C作CE⊥AB交AB的延長線于點E，過點O作OF⊥CE交CE于點F，則OF的長度為．

題型03利用菱形的性質(zhì)求周長【例3】（2023·河北滄州·?？寄M預(yù)測）矩形ABCD的對角線AC、BD相交于O，CE∥BD，DE∥AC，若AB=6，AD=8，則四邊形OCED的周長是(

)

A．10 B．20 C．28 D．30【變式3-1】（2023·廣東汕頭·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形ABCD的頂點A，B，C在坐標(biāo)軸上，若點A的坐標(biāo)為0,3，∠D=60°，則菱形ABCD的周長為（

）

A．13 B．14 C．15 D．8【變式3-2】（2023·河南商丘·統(tǒng)考一模）如圖，菱形ABCD中，點E，F(xiàn)，G分別為AB，AD，CD的中點，EF=4，F(xiàn)G=3，則菱形ABCD的周長為（

）A．12 B．16 C．18 D．20【變式3-3】（2023·湖南永州·?？级＃┤鐖D，在菱形ABCD中，M、N分別為AB、AC的中點，若MN=3，則菱形ABCD的周長為．

【變式3-4】（2023·湖南長沙·長沙市南雅中學(xué)統(tǒng)考一模）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC、BD交于點O，點E，F(xiàn)分別為邊AB，

(1)求證：AC⊥EF；(2)若EF=6，tan∠AEF=13題型04利用矩形的性質(zhì)求面積【例4】（2022·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考一模）一個菱形的周長是20，兩條對角線的比是4:3，則這個菱形的面積是（

）A．12 B．96 C．48 D．24【變式4-1】（2023·青海海東·統(tǒng)考三模）如圖，菱形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，過點D作DH⊥AB于點H，連接OH，若OA=6，OH=4，則菱形ABCD的面積為（

）

A．72 B．48 C．24 D．9【變式4-2】（2023·福建泉州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知菱形ABCD的周長為24，對角線AC、BD交于點O，且AC+BD=16，則該菱形的面積等于．【變式4-3】（2022·福建龍巖·?？寄M預(yù)測）如圖，菱形ABCD中，∠CBA=60°，其中一條對角線AC=6cm，則該菱形的面積是cm

題型05利用矩形的性質(zhì)求坐標(biāo)【例5】（2022·陜西西安·?？寄M預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O是菱形ABCD對角線BD的中點，AD∥x軸且AD=4，∠A=60°，將菱形ABCD繞點O順時針旋轉(zhuǎn)，使點D落在x軸正半軸上，則旋轉(zhuǎn)后點C的對應(yīng)點的坐標(biāo)是（

）

A．0，23 B．2，?4 【變式5-1】（2023·天津河西·天津市新華中學(xué)校考一模）如圖，四邊形ABCD是菱形，點D在x軸上，頂點A，B的坐標(biāo)分別是(0，2)，(4，4)，則點

A．(4，2) B．(6,2) C．(6,4) 【變式5-2】（2023·河南周口·淮陽第一高級中學(xué)?？既＃┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知菱形ABCD的頂點A?3,3，C1,?1，對角線BD交AC于點M，交x軸于點N，若BN=2ND，則點B的坐標(biāo)是（

A．32,72 B．2【變式5-3】（2023·河南南陽·統(tǒng)考三模）菱形OABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，已知頂點A8,0，點D是OA的中點，點P是對角線OB上的一個動點，∠AOC=60°，當(dāng)PA+PD最短時，點PA．6,23 B．6,433 C．【變式5-4】（2023·天津紅橋·統(tǒng)考三模）如圖，四邊形ABCD為菱形，點A?3,0，點D0,4，點B在x軸的正半軸上，則點

A．5,4 B．4,5 C．4,3 D．3,4【變式5-5】（2023·陜西咸陽·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形OABC的頂點A的坐標(biāo)為4,0，點B、C在第一象限,∠AOC=60°，求點C的坐標(biāo)．

題型06利用矩形的性質(zhì)證明【例6】（2023·新疆烏魯木齊·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在菱形ABCD中，E,F是對角線AC上的兩點，且AE=CF．(1)求證：△ADE≌△CBF；(2)證明四邊形BEDF是菱形．【變式6-1】（2023·山西·山西實驗中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，在菱形ABCD中，AC是對角線，點E是線段AC延長線上的一點，在線段CA的延長線上截取AF=CE，連接DF，BF，DE，BE．試判斷四邊形FBED的形狀，并說明理由．【變式6-2】（2024上·黑龍江哈爾濱·九年級統(tǒng)考期末）【操作探究】已知：在菱形ABCD中，點M在直線BD上，過M作AC的平行線交直線AD于點E，交直線AB于點F．(1)【舉例感知】如圖1，當(dāng)點M在線段BD上時，求證：AC=ME+MF；(2)【類比探究】①當(dāng)點M在DB延長線上時，直接寫出AC、ME、MF三條線段之間的數(shù)量關(guān)系．②當(dāng)點M在BD延長線上時，直接寫出AC、ME、MF三條線段之間的數(shù)量關(guān)系．【變式6-3】（2020·北京·統(tǒng)考中考真題）如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，E是AD的中點，點F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．（1）求證：四邊形OEFG是矩形；（2）若AD=10，EF=4，求OE和BG的長．

【變式6-4】（2022·湖北宜昌·統(tǒng)考中考真題）已知菱形ABCD中，E是邊AB的中點，F(xiàn)是邊AD上一點．(1)如圖1，連接CE，CF．CE⊥AB，CF⊥AD．①求證：CE=CF；②若AE=2，求CE的長；(2)如圖2，連接CE，EF．若AE=3，EF=2AF=4，求CE的長．題型07添加一個條件證明四邊形是菱形【例7】（2022·湖北襄陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，?ABCD的對角線AC和BD相交于點O，下列說法正確的是（

）

A．若OB＝OD，則?ABCD是菱形 B．若AC＝BD，則?ABCD是菱形C．若OA＝OD，則?ABCD是菱形 D．若AC⊥BD，則?ABCD是菱形【變式7-1】（2019·寧夏·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形ABCD的兩條對角線相交于點O，且互相平分．添加下列條件，仍不能判定四邊形ABCD為菱形的是（）A．AC⊥BD B．AB=AD C．AC=BD D．∠ABD=∠CBD【變式7-2】（2021·北京·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形ABCD中，點E,F分別在BC,AD上，AF=EC．只需添加一個條件即可證明四邊形AECF是菱形，這個條件可以是（寫出一個即可）．【變式7-3】（2022·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，AC⊥BD，垂足為O，AB∥CD，要使四邊形ABCD為菱形，應(yīng)添加的條件是．（只需寫出一個條件即可）題型08證明四邊形是菱形【例8】（2022·江蘇連云港·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，延長AD到點E，使DE=AD，且BE⊥DC．(1)求證：四邊形DBCE為菱形；(2)若△DBC是邊長為2的等邊三角形，點P、M、N分別在線段BE、BC、CE上運動，求PM+PN的最小值．【變式8-1】（2022·浙江嘉興·統(tǒng)考中考真題）小惠自編一題：“如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，AC⊥BD，OB＝OD．求證：四邊形ABCD是菱形”，并將自己的證明過程與同學(xué)小潔交流．小惠：證明：∵AC⊥BD，OB＝OD，∴AC垂直平分BD．∴AB＝AD，CB＝CD，∴四邊形ABCD是菱形．小潔：這個題目還缺少條件，需要補充一個條件才能證明．

若贊同小惠的證法，請在第一個方框內(nèi)打“√”；若贊成小潔的說法，請你補充一個條件，并證明．【變式8-2】（2023·云南·統(tǒng)考中考真題）如圖，平行四邊形ABCD中，AE、CF分別是∠BAD、∠BCD的平分線，且E、F分別在邊BC、AD上，AE=AF．

(1)求證：四邊形AECF是菱形；(2)若∠ABC=60°，△ABE的面積等于43，求平行線AB與DC【變式8-3】（2022·山東青島·統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，點E，F(xiàn)在對角線BD上，BE=EF=FD，∠BAF=∠DCE=90°．(1)求證：△ABF≌△CDE；(2)連接AE，CF，已知__________（從以下兩個條件中選擇一個作為已知，填寫序號），請判斷四邊形AECF的形狀，并證明你的結(jié)論．條件①：∠ABD=30°；條件2：AB=BC．（注：如果選擇條件①條件②分別進(jìn)行解答，按第一個解答計分）題型09根據(jù)菱形的性質(zhì)與判定求角度【例9】（2020·河北唐山·統(tǒng)考一模）如圖，①以點A為圓心2cm長為半徑畫弧分別交∠MAN的兩邊AM、AN于點B、D；②以點B為圓心，AD長為半徑畫弧，再以點D為圓心，AB長為半徑畫弧，兩弧交于點C；③分別連接BC、CD、AC，若∠MAN=60°，則∠ACB的大小為．【變式9-1】（2023·四川成都·統(tǒng)考一模）如圖，在△ABC中，AB=AC，分別以C、B為圓心，取AB的長為半徑作弧，兩弧交于點D．連接BD、AD．若∠ABD=130°，則∠CAD=．【變式9-2】（2022·寧夏中衛(wèi)·統(tǒng)考一模）如圖，四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，若四邊形OBCD為菱形，則∠BAD的度數(shù)是．【變式9-3】（2022·浙江金華·統(tǒng)考一模）如圖，雨傘不論張開還是收緊，傘柄AP始終平分同一平面內(nèi)兩條傘骨所成的角∠BAC．當(dāng)傘收緊時，點D與點M重合，且點A，E（F），D在同一條直線上．已知傘骨的部分長度如下（單位：cm）：DE=DF=AE=AF=40．(1)求AM的長．(2)當(dāng)傘撐開時，量得∠BAC=110°，求AD的長．（結(jié)果精確到1cm）參考數(shù)據(jù)：sin55°≈0.8192,題型10根據(jù)菱形的性質(zhì)與判定求線段長【例10】（2023·湖北荊州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在?ABCD中，用直尺和圓規(guī)作∠BAD的平分線AG交BC于點E．若BF=6，AB=5，則AE的長為（

）

A．4 B．6 C．8 D．10【變式10-1】（2023·海南省直轄縣級單位·?？既＃┤鐖D，在矩形ABCD中，過AC的中點O作EF⊥AC，交BC于E，交AD于F，連接AE、CF．若AB=3，∠DCF=30°，則EF的長為（

A．2 B．5 C．3 D．2【變式10-2】（2023·青海海東·統(tǒng)考三模）如圖所示，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，BC=5，P為BC邊上的任意一點，連接PA，以PA、PC為鄰邊作?PAQC，連接PQ，當(dāng)AP=PC時，PQ的長為

【變式10-3】（2023·吉林長春·統(tǒng)考二模）如圖，小李將一張邊長分別為4和10的矩形紙片對折、再對折，然后沿圖中的虛線AC剪下，將紙展開，就得到一個四邊形．若∠ACB=60°，則這個四邊形的周長為．題型11根據(jù)菱形的性質(zhì)與判定求面積【例11】（2023·云南·模擬預(yù)測）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中點，E是AD的中點，過點A作AF∥BC交CE的延長線于點F．(1)求證：四邊形ADBF是菱形；(2)若AB＝8，菱形ADBF的面積為40，求AC的長．【變式11-1】（2022·貴州貴陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測）折疊矩形紙片ABCD，使點B落在點D處，折痕為MN，已知AB=8，AD=4，則MN的長是（

）A．535 B．25 C．73【變式11-2】（2019·山東德州·校聯(lián)考二模）如圖，在?ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分別為E，F(xiàn)，且BE=DF（1）求證：?ABCD是菱形；（2）若AB=5，AC=6，求?ABCD的面積．【變式11-3】（2022·吉林長春·?？寄M預(yù)測）如圖，矩形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，BE//AC，（1）求證：四邊形AOBE是菱形；（2）若∠AOB=60°，AC=4，求菱形AOBE的面積．【變式11-4】（2022·江蘇南京·統(tǒng)考一模）如圖，在菱形ABCD中，E、F分別是BC、DC的中點．(1)求證∠AEF=∠AFE；(2)若菱形ABCD的面積為8，則△AEF的面積為______．題型12根據(jù)菱形的性質(zhì)與判定解決多結(jié)論問題【例12】（2023·內(nèi)蒙古·一模）如圖，在矩形ABCD中，AB＜BC，連接AC，分別以點A，C為圓心，大于12AC的長為半徑畫弧，兩弧交于點M，N，直線MN分別交AD，BC于點E，F(xiàn)．下列結(jié)論：①四邊形AECF是菱形；②∠AFB＝2∠ACB；③AC?EF＝CF?CD；④若AF平分∠BAC，則CF＝2BF．其中正確結(jié)論的個數(shù)是（

）A．4 B．3 C．2 D．1【變式12-1】（2023·廣東深圳·校考模擬預(yù)測）如圖，四邊形ABCD為菱形，BF∥AC，DF交AC的延長線于點E，交BF于點F，且CE:AC=1:2．則下列結(jié)論：①△ABE≌△ADE；②∠CBE=∠CDF；③DE=FE；④A．①③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④【變式12-2】（2022·湖南長沙·長沙市長郡雙語實驗中學(xué)校考模擬預(yù)測）如圖，直線CE是平行四邊形ABCD的邊AB的垂直平分線，垂足為點O，CE與DA的延長線交于點E．連接AC，BE，DO，DO與AC交于點F，則下列結(jié)論：①四邊形ACBE是菱形；

②∠ACD=∠BAE；

③AF：FC=1：2；其中正確的結(jié)論有．（填寫所有正確結(jié)論的序號）【變式12-3】（2023·福建寧德·?？寄M預(yù)測）如圖，在一張矩形紙片ABCD中，AB=4，點M，N分別在AD，將矩形紙片ABCD沿直線MN折疊，使得點C落在AD上的一點E處，現(xiàn)給出以下結(jié)論：①連接CM，四邊形ENCM一定是菱形；②F，M，C三點一定在同一直線上；③當(dāng)點E與A重合時，A，B，C，D，F(xiàn)五點在同一個圓上；④點E到邊MN，BN的距離可能相等．其中正確的是．（寫出所有正確結(jié)論的序號）題型13與菱形有關(guān)的新定義問題【例13】（2020·河北唐山·統(tǒng)考模擬預(yù)測）定義：如圖，若菱形AECF與正方形ABCD兩個頂點A，C重合，另外兩個頂點E，F(xiàn)在正方形ABCD的內(nèi)部，則稱菱形AECF為正方形ABCD的內(nèi)含菱形．若正方形的周長為16，其內(nèi)含菱形邊長是整數(shù)，則內(nèi)含菱形的周長為；若正方形的面積為18，其內(nèi)含菱形的面積為6，則內(nèi)含菱形的邊長為．【變式13-1】（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考一模）定義：若四邊形中某個頂點與其它三個頂點距離相等，則這個四邊形叫做等距四邊形，這個頂點叫做這個四邊形的等距點．

(1)判斷：一個內(nèi)角為60°的菱形________等距四邊形．（填“是”或“不是”）(2)如圖2，在5×5的網(wǎng)格圖中有A、B兩點，請在答題卷給出的兩個網(wǎng)格圖上各找出C、D兩個格點，使得以A、B、C、D為頂點的四邊形以A為等距點的“等距四邊形”，畫出相應(yīng)的“等距四邊形”（互不全等），并寫出該等距四邊形的端點均為非等距點的對角線長．端點均為非等距點的對角線長為________．(3)如圖，在海上A，B兩處執(zhí)行任務(wù)的兩艘巡邏艇，根據(jù)接到指令A(yù)，B兩艇同時出發(fā)，A艇直接回到駐地O，B艇到C島執(zhí)行某項任務(wù)后回到駐地O（在C島執(zhí)行任務(wù)的時間忽略不計），已知A，B，C三點到O點的距離相等，AO∥BC，BC=100km，tanA=32，若A艇速度為65km【變式13-2】（2022·遼寧沈陽·東北育才雙語學(xué)校校考三模）【定義】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，如果點A，C為某個菱形的一組對角的頂點，且點A，C在直線y=x上，那么稱該菱形為點A，C的“陽光菱形”，如圖是點A，C的“陽光菱形”的一個示意圖．

【運用】已知點M的坐標(biāo)為2，2，點P的坐標(biāo)為(1)下列各組點，能與點M，P形成“陽光菱形”的是______．（直接填寫序號）①E?4，10，F(xiàn)10,?4；②G1，6(2)如果四邊形MNPQ是點M，P的“陽光菱形”，點N在MP下方，且面積為16．①求點N、點Q的坐標(biāo)；②如果直線y=kx?3k與折線MN?NP有唯一公共點，直接寫出滿足條件的k的取值范圍．【變式13-3】（2022·江西萍鄉(xiāng)·?？寄M預(yù)測）若四邊形對角線互相垂直，那么我們定義這種四邊形為“對垂”四邊形．特征辨析(1)下列4個圖中，四邊形ABCD不是“對垂”四邊形的是（）歸納探究(2)如圖1，ED⊥AF于O，動點P，Q都從O點出發(fā)，點P沿OE運動到B，點Q沿OF運動到C．①當(dāng)∠BAC=30°，OB=OC，OD=1，OA=4時，則AB2+CD2=___________，AD②在“對垂”四邊形ABCD中，當(dāng)①中的條件都不存在時，①中所猜想的數(shù)量關(guān)系還成立嗎？若成立，請予以證明；若不成立，請說明理由．拓展應(yīng)用(3)如圖2，四邊形AEDB和四邊形AGFC均為正方形，點B恰好在FC的延長線上，且已知AC=2，AB=3，求題型14與菱形有關(guān)的規(guī)律探究問題【例14】（2023·廣東深圳·?？家荒＃┤鐖D，菱形OABC的頂點O(0,0)，A(?2,0)，∠B=60°，若菱形OABC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°后得到菱形OA1B1C1，依此方式，繞點O連續(xù)旋轉(zhuǎn)2024

A．3,1 B．1,?3 C．?3【變式14-1】（2023·河南南陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，正方形ABCD的頂點均在坐標(biāo)軸上，且點B的坐標(biāo)為2,0，以AB為邊構(gòu)造菱形ABEF，將菱形ABEF與正方形ABCD組成的圖形繞點O順時針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)90°，則第2023次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點F的對應(yīng)點F2023的坐標(biāo)為（

A．?2,22 B．22,?2 C．?2【變式14-2】（2023·湖南永州·統(tǒng)考二模）如圖，已知矩形ABCD的邊長分別為6，4，進(jìn)行如下操作：第一次，順次連接矩形ABCD各邊的中點，得到四邊形A1B1C1D1；第二次，順次連接四邊形A1B

A．32n?4 B．32n?3 C．【變式14-3】（2023·貴州銅仁·?？家荒＃┤鐖D，菱形ABCD中，∠ABC=120°，AB=1，延長CD至A1，使DA1=CD，以A1C為一邊，在BC的延長線上作菱形A1CC1D1，連接AA1，得到△ADA1；再延長C1D1至A2，使D1A2=C1D1

【變式14-4】（2020·甘肅蘭州·蘭州市外國語學(xué)校?？级＃┤鐖D，在菱形ABCD中，邊長為1，∠A＝60?，順次連接菱形ABCD各邊中點，可得四邊形A1B1C1D1；順次連結(jié)四邊形A1B1C1D1各邊中點，可得四邊形A2B2C2D2；順次連結(jié)四邊形A2B2C2D2各邊中點，可得四邊形A3B3C3D3；按此規(guī)律繼續(xù)下去，…，則四邊形A2019B2019C2019D2019的面積是．【變式14-5】（2019·甘肅白銀·校聯(lián)考一模）如圖，作出邊長為1的菱形ABCD，∠DAB＝60°，連接對角線AC，以AC為邊作第二個菱形ACC1D1，使∠D1AC＝60°，連接AC1，再以AC1為邊作第三個菱形ACC2D2，使∠D2AC1＝60°；…按此規(guī)律所作的第2019個菱形的邊長為．題型15與菱形有關(guān)的動點問題【例15】（2023·廣東東莞·統(tǒng)考一模）如圖菱形ABCD的邊長為4cm，，∠A=60°，動點P，Q同時從點A出發(fā)，都以1cm/s的速度分別沿A→B→C和A→D→C的路經(jīng)向點C運動，設(shè)運動時間為x（單位：s），四邊形PBDQ的面積為y（單位：cm2），則y與x0≤x≤8A．B．C．D．【變式15-1】（2017·山東濰坊·統(tǒng)考一模）菱形OBCD在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，頂點B2，0，∠DOB=60°，點E坐標(biāo)為0,?3，點P是對角線OC上一個動點．則

【變式15-2】（2023·湖北省直轄縣級單位·模擬預(yù)測）用四根一樣長的木棍搭成菱形ABCD，P是線段DC上的動點（點P不與點D和點C重合），在射線BP上取一點M，連接DM，CM，使∠CDM=∠CBP．操作探究一

(1)如圖1，調(diào)整菱形ABCD，使∠A=90°，當(dāng)點M在菱形ABCD外時，在射線BP上取一點N，使BN=DM，連接CN，則∠BMC=，MCMN操作探究二(2)如圖2，調(diào)整菱形ABCD，使∠A=120°，當(dāng)點M在菱形ABCD外時，在射線BP上取一點N，使BN=DM，連接CN，探索MC與MN的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；拓展遷移(3)在菱形ABCD中，∠A=120°，AB=6．若點P在直線CD上，點M在射線BP上，且當(dāng)∠CDM=∠PBC=45°時，請直接寫出MD的長．【變式15-3】（2023·江蘇鹽城·景山中學(xué)校考模擬預(yù)測）如圖，BD是菱形ABCD的對角線，AB=BD=2cm．動點P從點A出發(fā)，沿折線AB?BC以1cm/s的速度向終點C運動，當(dāng)點P出發(fā)后，且不與點B重合時，過點P作PQ∥BD交折線AD?DC于點Q．以PQ為邊作正三角形PQE，且點E與BD始終在PQ的同側(cè)．設(shè)正三角形PQE與△ABD重疊部分圖形的面積為Scm2，點

(1)當(dāng)點E落在BD上時，求t的值；(2)當(dāng)點P在AB邊上時，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；(3)當(dāng)點E落在∠BDC的平分線上時，直接寫出t的值．【變式15-4】（2023·廣東梅州·統(tǒng)考一模）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=6cm．動點P從點A出發(fā)，以2cm/s的速度沿邊AB向終點B勻速運動．以PA為一邊作∠APQ=120°，另一邊PQ與折線AC?CB相交于點Q，以PQ為邊作菱形PQMN，點N在線段PB上．設(shè)點P的運動時間為xs，菱形PQMN與△ABC

(1)當(dāng)點Q在邊AC上時，PQ的長為cm．（用含x的代數(shù)式表示）(2)當(dāng)點M落在邊BC上時，求x的值．(3)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍．題型16菱形與一次函數(shù)綜合【例16】（2022·江蘇常州·統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y=?43x+4的圖像與x軸、y軸分別交于點A、B，以AB為邊作菱形ABCD，BC∥x軸，則菱形【變式16-1】（2018·江蘇無錫·統(tǒng)考一模）已知一次函數(shù)y=﹣3x+3的圖象與x軸、y軸分別交于A、B兩點．直線l過點A且垂直于x軸．兩動點D、E分別從AB兩點間時出發(fā)向O點運動（運動到O點停止）．運動速度分別是每秒1個單位長度和3個單位長度．點G、E關(guān)于直線l對稱，GE交AB于點F．設(shè)D、E的運動時間為t（s）．（1）當(dāng)t為何值時，四邊形是菱形？判斷此時△AFG與AGB是否相似，并說明理由；（2）當(dāng)△ADF是直角三角形時，求△BEF與△BFG的面積之比．題型17菱形與反比例函數(shù)綜合【例17】（2023·吉林長春·吉林大學(xué)附屬中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形ABCO的頂點O為坐標(biāo)原點，邊CO在x軸正半軸上，∠AOC=60°，反比例函數(shù)y=3xx>0的圖象經(jīng)過點A，且交菱形對角線BO于點D，DE⊥x軸于點E，則CE長為（

A．1 B．3 C．2?3 D．【變式17-1】（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考二模）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，菱形ABCD的頂點A,C在反比例函數(shù)y=kx(k<0)的圖象上，對角線AC與BD相交于坐標(biāo)原點，若點D1,1,AB=2

A．?4 B．4 C．?9 D．9【變式17-2】（2023·廣東湛江·校考一模）如圖，菱形OABC的一邊OA在x軸的負(fù)半軸上，O是坐標(biāo)原點，tan∠AOC=43，反比例函數(shù)y=kx的圖象經(jīng)過點C，與AB交于點D，若

【變式17-3】（2023·湖北省直轄縣級單位·校聯(lián)考二模）如圖，點A、B分別在x軸和y軸的正半軸上，以線段AB為邊在第一象限作等邊△ABC，S△ABC=3，且CA∥y

(1)求該反比例函數(shù)的解析式；(2)若點N是反比例函數(shù)圖像上一點，當(dāng)四邊形ABCN是菱形時，求出點N坐標(biāo)．【變式17-4】（2023·河南周口·統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)為6,8，連接OA，過點A作x軸的垂線，垂足為B，∠AOB的平分線與線段AB交于點P．

(1)若反比例函數(shù)y=kxx>0(2)如圖，過點A作x軸的平行線，交射線OP于點Q，過點Q作OA的平行線，交x軸于點R．求證：四邊形OAQR是菱形．【變式17-5】（2023·河南商丘·統(tǒng)考三模）如圖，菱形OBAC頂點A在反比例函數(shù)y=kx(x>0)的圖象上，點B在y軸上，點C為

(1)求k的值；(2)點P為反比例函數(shù)圖象上一個動點，過點P作PN⊥x軸于點N，交OA于點M，若PM=MN，求點P的坐標(biāo)．題型18菱形與一次函數(shù)、反比例函數(shù)綜合【例18】（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y=kx+b的圖像與反比例函數(shù)y=mxm>0的圖像相交于A3,4，B?4,n兩點，與

(1)求m和n的值；(2)若點Pe,f在該反比例函數(shù)的圖像上，且它到y(tǒng)軸的距離小于3，則f的取值范圍是(3)以AC為邊在右側(cè)作菱形ACDE．使點D在x軸正半軸上，點E在第一象限，雙曲線交DE于點F，連接AF,CF，則△ACF的面積為．（直接寫出答案）【變式18-1】（2023·浙江金華·統(tǒng)考一模）如圖，已知反比例函數(shù)y1=kx與一次函數(shù)y2=x+2圖象在第一象限內(nèi)相交于(1)求n和k的值．(2)根據(jù)圖象，當(dāng)y1≥y(3)如圖，以AB為邊作菱形ABCD，使點C在x軸正半軸上，點D在第一象限，求點D的坐標(biāo)．【變式18-2】（2023·安徽合肥·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，已知一次函數(shù)y1=32x?3的圖象與反比例函數(shù)y2=(1)求n和k的值；(2)如圖，以AB為邊作菱形ABCD，使點C在x軸正半軸上，點D在第一象限，雙曲線交CD于點