橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)PTT課件

2.1.2橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)

平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)2a（2a>|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓.這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn),兩個(gè)焦點(diǎn)的距離叫做焦距2c.特別注意:當(dāng)2a>|F1F2|時(shí),軌跡是橢圓;當(dāng)2a=|F1F2|時(shí),軌跡是線(xiàn)段F1F2;當(dāng)2a<|F1F2|時(shí),軌跡不存在.

F10F2XYM1.橢圓的定義溫故知新分母哪個(gè)大，焦點(diǎn)就在哪個(gè)軸上標(biāo)準(zhǔn)方程圖形焦點(diǎn)坐標(biāo)a、b、c的關(guān)系焦點(diǎn)位置的判斷xyF1F2POxyF1F2PO2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上oyx橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)觀(guān)圖，你看到了什么？一、橢圓的范圍即-a≤x≤a-b≤y≤b結(jié)論:橢圓位于直線(xiàn)x＝±a和y＝±b圍成的矩形里.oxy-aab-b1、范圍：6YXOP（x，y）P2（-x，y）P3（-x，-y）P1（x，-y）關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)2、對(duì)稱(chēng)性：7從圖形上看，橢圓關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)。從方程上看：（1）把x換成-x方程不變，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)；（2）把y換成-y方程不變，圖象關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)；（3）把x換成-x，同時(shí)把y換成-y方程不變，圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)。即標(biāo)準(zhǔn)方程的橢圓是以坐標(biāo)軸為對(duì)稱(chēng)軸，坐標(biāo)原點(diǎn)為對(duì)稱(chēng)中心。練習(xí)：1.已知點(diǎn)P(3，6)在上,則(

)(A)點(diǎn)(-3,-6)不在橢圓上(B)點(diǎn)(3,-6)不在橢圓上(C)點(diǎn)(-3,6)在橢圓上(D)無(wú)法判斷點(diǎn)(-3,-6),(3,-6),(-3,6)是否在橢圓上三、橢圓的頂點(diǎn)頂點(diǎn)：橢圓與它的對(duì)稱(chēng)軸的四個(gè)交點(diǎn)，叫做橢圓的頂點(diǎn)。oxyB1(0,b)B2(0,-b)A1(-a,0)A2(a,0)令x=0,得y=？說(shuō)明橢圓與y軸的交點(diǎn)為(0,b)、(0,-b)令y=0,得x=？說(shuō)明橢圓與x軸的交點(diǎn)為(a,0)、(-a,0)3、頂點(diǎn)：三、橢圓的頂點(diǎn)長(zhǎng)軸、短軸：線(xiàn)段A1A2、B1B2分別叫做橢圓的長(zhǎng)軸和短軸。oxyB1(0,b)B2(0,-b)A1A2a、b分別叫做橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)和短半軸長(zhǎng)。思考：橢圓的焦點(diǎn)與橢圓的長(zhǎng)軸、短軸有什么關(guān)系？焦點(diǎn)落在橢圓的長(zhǎng)軸上長(zhǎng)軸：線(xiàn)段A1A2；長(zhǎng)軸長(zhǎng)|A1A2|=2a短軸：線(xiàn)段B1B2；短軸長(zhǎng)|B1B2|=2b焦距|F1F2|=2c①a和b分別叫做橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)和短半軸長(zhǎng)；③焦點(diǎn)必在長(zhǎng)軸上；②

a2=b2+c2，oxyB2(0,b)B1(0,-b)A2(a,0)A1(-a,0)bac橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)aF2F1|B2F2|=a；注意12鞏固提升：1、已知橢圓方程16x2+25y2=400,108680分析：橢圓方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程為：

a=5b=4c=3

oxy

oxy它的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是：

。短軸長(zhǎng)是：。焦距是

。離心率等于：。焦點(diǎn)坐標(biāo)是：

。頂點(diǎn)坐標(biāo)是：。

外切矩形的面積等于：

。

由橢圓的范圍、對(duì)稱(chēng)性和頂點(diǎn)，再進(jìn)行描點(diǎn)畫(huà)圖，只須描出較少的點(diǎn)，就可以得到較正確的圖形.四、橢圓的離心率離心率:橢圓的焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)的比,叫做橢圓的離心率.離心率的取值范圍：因?yàn)閍>c>0，所以0<e<14、離心率：因?yàn)閍>c>0，所以0<e<1.離心率越大，橢圓越扁離心率越小，橢圓越圓Oxyab●c[2]離心率對(duì)橢圓形狀的影響：1）e越接近1，c就越接近a，從而b就越小，

橢圓就越扁2）e越接近0，c就越接近0，從而b就越大，

橢圓就越圓16思考：當(dāng)e＝0時(shí)，曲線(xiàn)是什么？當(dāng)e＝1時(shí)曲線(xiàn)又是什么？如果a=b，則c=0，兩個(gè)焦點(diǎn)重合，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程就變?yōu)閳A的方程：e=0，這時(shí)兩個(gè)焦點(diǎn)重合，圖形變?yōu)閳A．e=1,為線(xiàn)段。[3]e與a,b的關(guān)系:17結(jié)論：離心率e越大，橢圓越扁；

離心率e越小，橢圓越圓.鞏固提升：

1.說(shuō)出橢圓的范圍,長(zhǎng)軸長(zhǎng),短軸長(zhǎng),焦點(diǎn)坐標(biāo),頂點(diǎn)坐標(biāo):2.比較下列每組中兩個(gè)橢圓的形狀,哪一個(gè)更扁?根據(jù)：離心率e越大，橢圓越扁；離心率e越小，橢圓越圓3.已知橢圓方程為則它的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是：

;短軸長(zhǎng)是：

;焦距是：

;離心率等于：

;焦點(diǎn)坐標(biāo)是：（0，）＿＿＿;頂點(diǎn)坐標(biāo)是：

＿＿＿＿＿＿＿;

外切矩形的面積等于：

。

2

xyＯA2(a,0)A1(-a,0)B2(0,b)B1(0,-b)一個(gè)框，四個(gè)點(diǎn)，注意光滑和圓扁,莫忘對(duì)稱(chēng)要體現(xiàn)．用曲線(xiàn)的圖形和方程來(lái)研究橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)小結(jié)：基本元素{1}基本量：a、b、c、e、（共四個(gè)量）{2}基本點(diǎn)：頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、中心（共七個(gè)點(diǎn)）{3}基本線(xiàn)：對(duì)稱(chēng)軸（共兩條線(xiàn)）oxyB1(0,b)B2(0,-b)A1(-a,0)A2(a,0)︱︱F1F2方程

圖形

范圍對(duì)稱(chēng)性頂點(diǎn)離心率

xyB1B2A1A2∣∣F1

F2A2A1B1B20關(guān)于x軸，y軸，原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)xyF1F2O例1.求橢圓16x2+25y2=400的長(zhǎng)軸和短軸的長(zhǎng)、離心率、焦點(diǎn)和頂點(diǎn)坐標(biāo).解：把已知方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程因此，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)和短軸長(zhǎng)分別是離心率焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)是例2．求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）經(jīng)過(guò)點(diǎn)、；（2）長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于,離心率等于．解:（1）由題意，,又∵長(zhǎng)軸在軸上，所以，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）由已知，，∴，，∴，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為或．已知橢圓的離心率，求的值由，得：解：當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，，，得．

當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，，，得．由，得，即．∴滿(mǎn)足條件的或．思考：例3：酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心將一顆人造衛(wèi)星送入到距地球表面近地點(diǎn)(離地面近的點(diǎn))高度約200km,遠(yuǎn)地點(diǎn)(離地面最遠(yuǎn)的點(diǎn))高度約350km的橢圓軌道(將地球看作一個(gè)球，其半徑約為6371km),求橢圓軌道的標(biāo)準(zhǔn)方程。(注:地心(地球的中心)位于橢圓軌道的一個(gè)焦點(diǎn)，且近地點(diǎn)、遠(yuǎn)地點(diǎn)與地心共線(xiàn))例4、如圖，在圓上任取一點(diǎn)P作x軸的垂線(xiàn)段PD，D為垂足。當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線(xiàn)段PD的中點(diǎn)M的軌跡是什么？為什么？解:設(shè)點(diǎn)M坐標(biāo)為M(x,y),點(diǎn)P的坐標(biāo)為

P(x’,y’),則由題意可得：因?yàn)樗约催@就是點(diǎn)M的軌跡方程，它表示一個(gè)橢圓。相關(guān)點(diǎn)分析法:即利用中間變量求曲線(xiàn)方程.oxyPMD1、在下列方程所表示的曲線(xiàn)中,關(guān)于x軸,y軸都對(duì)稱(chēng)的是()(A)(B)(C)(D)2、橢圓以坐標(biāo)軸為對(duì)稱(chēng)軸，離心率，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6，則橢圓的方程為（）(A)(B)(C)(D)或或DC課堂練習(xí)2、求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)a=6,e=,焦點(diǎn)在x軸上(2)離心率e=0.8,焦距為8求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí),應(yīng):先定位(焦點(diǎn)),再定量（a、b）當(dāng)焦點(diǎn)位置不確定時(shí)，要討論，此時(shí)有兩個(gè)解！4.

橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為,其長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．分析：題目沒(méi)有指出焦點(diǎn)的位置，要考慮兩種位置橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；解：（1）當(dāng)為長(zhǎng)軸端點(diǎn)時(shí)，，，（2）當(dāng)為短軸端點(diǎn)時(shí)，,，綜上所述，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是或提煉精華你學(xué)會(huì)了嗎?通過(guò)這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有什么收獲?※對(duì)自己說(shuō)，你有什么收獲？※對(duì)同學(xué)說(shuō)，你有什么提示？※對(duì)老師說(shuō)，你有什么疑惑？標(biāo)準(zhǔn)方程圖象范圍對(duì)稱(chēng)性頂點(diǎn)坐標(biāo)焦點(diǎn)坐標(biāo)半軸長(zhǎng)焦距a,b,c關(guān)系離心率|x|≤a,|y|≤b|x|≤b,|y|≤a關(guān)于x軸、y軸成軸對(duì)稱(chēng)；關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)。（a,0）,(0,b)（b,0）,(0,a)(±c,0)(0,±c)長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為a,短半軸長(zhǎng)為b.焦距為2c;a2=b2+c2課外閱讀：橢圓第二定義所以，點(diǎn)M的軌跡是長(zhǎng)軸、短軸長(zhǎng)分別為10、6的橢圓。FlxoyMHd猜想證明

若動(dòng)點(diǎn)P(x,y)和定點(diǎn)F(c,0)的距離與它到定直線(xiàn)l:的距離的比是常數(shù)(0<c<a),則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是橢圓.猜想將上式兩邊平方并化簡(jiǎn)得:0xyP證明:由已知，得猜想證明這是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，所以P點(diǎn)的軌跡是長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a短軸長(zhǎng)為2b的橢圓.由此可知,當(dāng)點(diǎn)M與一個(gè)定點(diǎn)的距離和它到一條定直線(xiàn)的距離的比是一個(gè)常數(shù)時(shí),這個(gè)點(diǎn)的軌跡是橢圓,這就是橢圓的第二定義，定點(diǎn)是橢圓的焦點(diǎn),定直線(xiàn)叫做橢圓的準(zhǔn)線(xiàn),,常數(shù)e是橢圓的離心率.0xyM對(duì)于橢圓相應(yīng)于焦點(diǎn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程是能不能說(shuō)M到的距離與到直線(xiàn)的距離比也是離心率e呢?

)0,(-cF￠概念分析由橢圓的對(duì)稱(chēng)性，相應(yīng)于焦點(diǎn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程是OxyPF1F2OyxPF1F2右準(zhǔn)線(xiàn)上準(zhǔn)線(xiàn)下準(zhǔn)線(xiàn)左準(zhǔn)線(xiàn)上焦點(diǎn)(0,c),上準(zhǔn)線(xiàn)右焦點(diǎn)(c,0),

右準(zhǔn)線(xiàn)下焦點(diǎn)(0,-c),下準(zhǔn)線(xiàn)左焦點(diǎn)(-c,0),左準(zhǔn)線(xiàn)焦點(diǎn)準(zhǔn)線(xiàn)

例2求中心在原點(diǎn),一條準(zhǔn)線(xiàn)方程是x=3，離心率為的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程.解:依題意設(shè)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為由已知有解得a=c=所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為例題講解P（x0，y0）是橢圓（a＞b＞0）上的一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是左、右焦點(diǎn)，則PF1，PF2叫焦半徑，求證∣PF左∣＝a+ex0∣PF右∣＝a-ex0，例3證明:yoP(x0,y0)xF1