大學(xué)文科數(shù)學(xué)之線性代數(shù)與概率統(tǒng)計(jì)

大學(xué)文科數(shù)學(xué)

之

線性代數(shù)與概率統(tǒng)計(jì)北京師范大學(xué)珠海分校國(guó)際特許經(jīng)營(yíng)學(xué)院與不動(dòng)產(chǎn)學(xué)院2004-2005學(xué)年第二學(xué)期歐陽順湘2005.5.11

在前面的課程中，我們討論了隨機(jī)變量及其分布，如果知道了隨機(jī)變量X的概率分布，那么X的全部概率特征也就知道了.然而，在實(shí)際問題中，概率分布一般是較難確定的.而在一些實(shí)際應(yīng)用中，人們并不需要知道隨機(jī)變量的一切概率性質(zhì)，只要知道它的某些數(shù)字特征就夠了.

因此，在對(duì)隨機(jī)變量的研究中，確定某些數(shù)字特征是重要的.在這些數(shù)字特征中，最常用的是期望和方差Whenalargecollectionofnumbersisassembled,asinacensus,weareusuallyinterestednotintheindividualnumbers,butratherincertaindescriptivequantitiessuchastheaverageorthemedian.Ingeneral,thesameistruefortheprobabilitydistributionofanumerically-valuedrandomvariable.Inthisandinthenextsection,weshalldiscusstwosuchdescriptivequantities:theexpectedvalueandthevariance.隨機(jī)變量的期望(均值)ExpectedValueorExpectationorMeanorAverageNumber要點(diǎn)期望的定義離散型隨機(jī)變量的期望連續(xù)型隨機(jī)變量的期望期望的意義期望的應(yīng)用ExpectedValue

ofDiscreteRandomVariables離散型隨機(jī)變量的分布列完全描述了這個(gè)隨機(jī)變量的取值規(guī)律,但在許多實(shí)際問題中,我們并不需要這樣的“全面描述”,而是希望能有一個(gè)數(shù)來描述這個(gè)隨機(jī)變量的“平均取值”.例如,同一品種的小麥,每畝地的產(chǎn)量不會(huì)完全相同,人們關(guān)心的是平均產(chǎn)量.同是7歲的男孩，體重并不一致，為了考察兒童的發(fā)育狀況,人們更關(guān)心他們的平均體重.隨機(jī)變量的取值在事前無法預(yù)知,取各個(gè)值的概率一般也不盡相同.那么,怎樣的一個(gè)數(shù)能夠“代表”這個(gè)隨機(jī)變量取值的平均水平呢?我們先來看看下面常見的求平均值的問題問題

設(shè)有12個(gè)西瓜,其中有4個(gè)重5公斤,3個(gè)重6公斤,5個(gè)重7公斤,求西瓜的平均重量.西瓜的平均重量應(yīng)為12個(gè)瓜的總重量除以瓜的總個(gè)數(shù),即

注意到上式的計(jì)算也可寫成如下形式:其中4/12,

3/12

5/12分別為重量是5、6、7公斤的西瓜數(shù)在總西瓜數(shù)中所占的比重.加權(quán)平均西瓜的平均重量可以寫成各重量與相應(yīng)重量的瓜數(shù)在所有瓜數(shù)中的比重的乘積和現(xiàn)在從這12個(gè)西瓜中隨機(jī)取一個(gè).則取得的西瓜的重量X(單位:公斤)是一個(gè)隨機(jī)變量,可能取值為5,6,7.X的分布列為定義1設(shè)X是離散型隨機(jī)變量，它的概率函數(shù)是:P(X=Xk)=pk

,k=1,2,…也就是說,離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望是一個(gè)絕對(duì)收斂的級(jí)數(shù)的和.如果有限,定義X的數(shù)學(xué)期望Example2

Letanexperimentconsistoftossingafaircointhreetimes.HHH３HHT２HTH２THH２TTH１THT１HTT１TTT０TTT

０TTH,THT,HTT

１HHT,HTH,THH２HHH

３1/83/83/81/8Example1

Letanexperimentconsistoftossingafaircointhreetimes.HHH,HHT,HTH,THH,TTH,THT,HTT,TTTLetXdenotethenumberofheadswhichappear.

ThenthepossiblevaluesofXare0,1,2and3.

Thecorrespondingprobabilitiesare1/8,3/8,3/8,and1/8.Thus,theexpectedvalueofXequals二項(xiàng)分布的期望設(shè)Ｘ～Ｂ(n,p)E(X)=npProof:例如，對(duì)上面的例子，Ｘ～B(3,1/2)E(X)=3/2Exercise２InLasVegas,aroulettewheelhas38slotsnumbered0,00,1,2,...,36.The0and00slotsaregreen,andhalfoftheremaining36slotsareredandhalfareblack.Acroupierspinsthewheelandthrowsanivoryball.Ifyoubet1dollaronred,youwin1dollariftheballstopsinaredslot,andotherwiseyouloseadollar.Wewishtocalculatetheexpectedvalueofyourwinnings,ifyoubet1dollaronred.LetXbetherandomvariablewhichdenotesyourwinningsina1dollarbetonredinLasVegasroulette.ThenthedistributionofXisgivenby期望的解釋投擲一枚均勻的骰子,只可能出現(xiàn)1點(diǎn),2點(diǎn),…

,6點(diǎn),怎樣解釋這個(gè)均值7/2呢?觀察一個(gè)隨機(jī)變量X,你能期望它取得均值EX嗎?投擲一枚骰子100次后所得點(diǎn)數(shù)和近似于100×7/2=350例3某人的一串鑰匙上有n把鑰匙，其中只有一把能打開自己的家門，他隨意地試用這串鑰匙中的某一把去開門.若每把鑰匙試開一次后除去，求打開門時(shí)試開次數(shù)的數(shù)學(xué)期望.解:設(shè)試開次數(shù)為X,P(X=k)=1/n,k=1,2,…,nE(X)于是二、連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望設(shè)X是連續(xù)型隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為f(x),在數(shù)軸上取很密的分點(diǎn)x0<x1<x2<…,則X落在小區(qū)間[xi,xi+1)的概率是小區(qū)間[xi,xi+1)陰影面積近似為小區(qū)間[Xi,Xi+1)由于xi與xi+1很接近,所以區(qū)間[xi,xi+1)中的值可以用xi來近似代替.這正是的漸近和式.陰影面積近似為近似,因此X與以概率取值xi的離散型r.v

該離散型r.v

的數(shù)學(xué)期望是由此啟發(fā)我們引進(jìn)如下定義.定義2設(shè)X是連續(xù)型隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為f(x),如果有限,定義X的數(shù)學(xué)期望為也就是說,連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望是一個(gè)絕對(duì)收斂的積分.

若X~U(a,b),即X服從(a,b)上的均勻分布,則由隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的定義，不難計(jì)算得：若X服從特別,如果X服從N(0,1)則,E(X)=0

這意味著，若從該地區(qū)抽查很多個(gè)成年男子，分別測(cè)量他們的身高，那么，這些身高的平均值近似是1.68.已知某地區(qū)成年男子身高X~練習(xí)ThetimebetweenarrivalsisanexponentiallydistributedrandomvariableXwithdensityfunctionFindtheexpectedvalueofthetimebetweenarrivals.三、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)

1.設(shè)C是常數(shù)，則E(C)=C;4.設(shè)X、Y獨(dú)立，則E(XY)=E(X)E(Y);

2.若k是常數(shù)，則E(kX)=kE(X);

3.E(X1+X2)=E(X1)+E(X2);（諸Xi獨(dú)立時(shí)）注意:由E(XY)=E(X)E(Y)不一定能推出X,Y獨(dú)立例6某射擊隊(duì)共有9名隊(duì)員,技術(shù)不相上下,每人射擊中靶的概率均為0.8.進(jìn)行射擊時(shí)，各自打中靶為止為止，但限制每人最多只打3次，問大約要為他們準(zhǔn)備多少發(fā)子彈?設(shè)

i為第i名隊(duì)員所需子彈數(shù)，

為9名隊(duì)員所需子彈數(shù)目=1+2+3+…9E=E(1+2+3+…+9)

=E1+E2+E3+…+E9=9E1S:success射中F:Failure

不射中P(=1)=P(S)=0.8P(=2)=P(FS)=0.2

0.8P(=3)=P(FFS+FFF)=P(FFS)+P(FFF)

=0.2

0.2

0.8+0.2

0.2

0.2=0.2

0.2例Acoinistossedtwice.Xi=1ifthe

ithtossisheadsand0otherwise.WeknowthatX1andX2areindependent.Theyeachhaveexpectedvalue1/2.ThusE(X1·X2)=E(X1)E(X2)=(1/2)(1/2)=1/4.隨機(jī)變量的獨(dú)立性隨機(jī)變量的獨(dú)立性是概率論中的一個(gè)重要概念兩事件A,B獨(dú)立的定義是：若P(AB)=P(A)P(B)則稱事件A,B獨(dú)立.設(shè)X,Y是兩個(gè)r.v，若對(duì)任意的x,y,有則稱X,Y相互獨(dú)立.兩隨機(jī)變量獨(dú)立的定義是：例 WeflipacoinandletXhavethevalue1ifthecoincomesupheadsand0ifthecoincomesuptails.Then,werolladieandletYdenotethefacethatcomesup.ItreasonabletoassumethatXandYareindependent.WhatdoesX+Ymean,andwhatisitsdistribution?Thisquestioniseasilyansweredinthiscase,byconsideringthejointrandomvariableZ=(X,Y),whoseoutcomesareorderedpairsoftheform(x,y)用分布函數(shù)表示,即設(shè)X,Y是兩個(gè)r.v，若對(duì)任意的x,y,有則稱X,Y相互獨(dú)立.

它表明，兩個(gè)r.v相互獨(dú)立時(shí)，它們的聯(lián)合分布函數(shù)等于兩個(gè)邊緣分布函數(shù)的乘積.其中是X,Y的聯(lián)合密度，幾乎處處成立，則稱X,Y相互獨(dú)立.對(duì)任意的x,y,

有若(X,Y)是連續(xù)型r.v，則上述獨(dú)立性的定義等價(jià)于：這里“幾乎處處成立”的含義是：在平面上除去面積為0的集合外，處處成立.分別是X的邊緣密度和Y

的邊緣密度.若(X,Y)是離散型r.v，則上述獨(dú)立性的定義等價(jià)于：則稱X和Y相互獨(dú)立.對(duì)(X,Y)的所有可能取值(xi,

yj),有四、數(shù)學(xué)期望性質(zhì)的應(yīng)用例1求二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望若X~B(n,p)，則X表示n重貝努里試驗(yàn)中的“成功”次數(shù).現(xiàn)在我們來求X的數(shù)學(xué)期望.可見，服從參數(shù)為n和p的二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望是np.

X~B(n,p),若設(shè)則X=X1+X2+…+Xn=

npi=1,2，…，n因?yàn)镻(Xi=1)=p,P(Xi=0)=1-p所以E(X)=則X表示n重貝努里試驗(yàn)中的“成功”次數(shù).E(Xi)==p例保險(xiǎn)問題例

設(shè)某保險(xiǎn)公司有10000人參加人身意外保險(xiǎn).該公司規(guī)定:每人每年付公司120元,如果遇到意外死亡,公司將賠償10000元.如果每人每年意外死亡率為0.006,試討論該公司是否會(huì)虧本(不考慮公司的其他賠償費(fèi)用、開支和收入).如果用X表示這10000人中意外死亡的人數(shù),那么X服從參數(shù)為n=10000;p=0.006的二項(xiàng)分布,即死亡X人時(shí),公司要賠償X萬元,它的利潤(rùn)是(120-X)萬設(shè)某保險(xiǎn)公司有10000人參加人身意外保險(xiǎn).該公司規(guī)定:每人每年付公司120元,如果遇到意外死亡,公司將賠償10000元.如果每人每年意外死亡率為0.006,求該保險(xiǎn)公司的年平均利潤(rùn).用X表示投保的10000人中意外死亡的人數(shù),則X~B(10000;0.006),則每年的死亡人數(shù)平均為EX=10000*0.006=60.因此,年平均損失為60萬元.這樣,該公司的年平均利潤(rùn)為120-60＝60萬元.隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望

1.問題的提出：設(shè)已知隨機(jī)變量X的分布，我們需要計(jì)算的不是X的期望，而是X的某個(gè)函數(shù)的期望，比如說g(X)的期望.那么應(yīng)該如何計(jì)算呢？如何計(jì)算隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望?一種方法是，因?yàn)間(X)也是隨機(jī)變量，故應(yīng)有概率分布，它的分布可以由已知的X的分布求出來.一旦我們知道了g(X)的分布，就可以按照期望的定義把E[g(X)]計(jì)算出來.

使用這種方法必須先求出隨機(jī)變量函數(shù)g(X)的分布，一般是比較復(fù)雜的.那么是否可以不